精品解析：河南省实验中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

河南省实验中学2025-2026学年下期期中考试高二数学 命题人：李科丽 审题人：杨亚峰 陈亚敏 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 等差数列中，，则（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 56 【答案】B 【解析】 【详解】 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得该函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，， 由得，故函数的增区间为. 3. 圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】分析圆周上8个等分点可构成4条直径，由此得到所对应的直角三角形个数，用可以构成的总三角形个数减去直角三角形个数，可得锐角三角形或钝角三角形的个数. 【详解】圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角. 又每条直径对应着6个直角三角形，所以共有（个）直角三角形， 因为这8个等分点为顶点的三角形共有（个）， 所以锐角三角形或钝角三角形的个数为（个）． 故选：C. 4. 已知随机变量，若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由随机变量的期望和方差公式解方程组计算即可. 【详解】因为，， 所以， 即，所以， 所以． 故选：A． 5. 二项式展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】二项式展开式通项为， 令可得，故展开式中的常数项为. 6. 一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合组合、古典概型的概率公式，超几何分布，由进行求解即可. 【详解】由题意，从中任选4个球，除取到4个白球得4分外，其他取法的得分都不小于6， 故. 故选：C. 7. 若随机变量，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量，所以正态曲线的对称轴是， 又，可得，则. 故选：C. 8. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】， 则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以函数的极大值为， 且当时，，当时，， 则函数的图象如下图所示： 所以当时， 即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（ ） A. 该知识竞赛的及格率为60% B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求得这次知识竞赛的及格率.分析得到随机变量服从二项分布，即可求得. 【详解】选项A：因为学生成绩，根据正态分布的对称性得：， 所以，即该知识竞赛的及格率为80%，故选项A错误； 选项B、C、D：因为，由题意可得， 所以，，. 故选项B、D正确，选项C错误. 故选：BD. 10. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用对立事件概率求法、全概率及条件概率公式判断A、B、D；由概率的性质判断C. 【详解】由题设，且， ， ， 所以A、C对，B、D错. 故选：AC 11. 已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，极值点为的两个根为，设，则有两个根，利用导数法求出的单调性得到的最大值大于零，从而得解；对于选项B，由有两个根得到，求出，利用二次函数的图像及的范围得到；对于选项C，由的极值点为得到，求出，利用二次函数的图像及的范围得到，可正可负可零；对于选项D，有两个极值点得到，通过构造函数，利用导数法得到在上是单调递减函数，从而得到，即，通过计算得到结论. 【详解】对于选项A，的定义域为， ， 函数有两个极值点， 的两个根为， 设，则有两个根， ， 的解为，则在上是单调递增函数； 的解为，则在上是单调递减函数； 故在处取得最大值为， 有两个根， ，，故选项A正确； 对于选项B，，则有两个根， ，， ， 设， 对称轴为， ，在是单调递减函数， ，，故选项B正确； 对于选项C，的极值点为，， ， ， ，对称轴为， ，在是单调递增函数， 的值可正可负可零，故选项C错误； 对于选项D，有两个极值点， ，， ，， 设，， 则在上是单调递减函数， ， 当时，，当时，， ，，， ，， ，， 转化为， ，， ，，，， ，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出导数值. 【详解】由，求导得， 所以. 故答案为：2 13. 甲、乙等4位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙不在同一所学校，则不同的安排方法有______种． 【答案】30 【解析】 【详解】设3所学校分别为A，B，C，先把甲乙两人安排到不同学校，有种， 不妨设甲在A，乙在B，只需剩余2人至少有1人去C即可， 利用间接法计算，有种不同安排方法， 根据分步乘法计数原理可知，共有6×5=30种不同安排方法． 方法二：先将4人分成三组，共有种分法，其中甲、乙在一组的分法只有一种， 所以满足题意的分组方法有种， 再将三组分配到3所学校，共有种分配方法， 所以不同的安排方法共有种方法. 14. 若在上单调递增，则a的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据可导函数在上单调递增的充要条件是导函数非负恒成立，将问题转化为求参数小于等于构造的新函数的最小值，进而求新函数的最小值即为的最大值. 【详解】已知 在上单调递增，故对任意，都有恒成立， 对求导得， 因此不等式 对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，只需满足即可，又， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此是的极小值点，也是最小值点， 代入得，即的最大值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求展开式中含项的系数； （2）求展开式的第六项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由二项式性质得二项式系数之和是，根据题目可得二项式系数之和是128， 可得，解得，则变为， 由二项式定理得的通项公式为， 令，解得，代入可得含项的系数为. 【小问2详解】 令，解得，代入通项公式可得. 16. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】（1）480 （2）360 （3）540 【解析】 【分析】（1）采用插空法，先排其余四科，再插空； （2）特殊的先排，再用分步乘法； （3）先分组后分配. 【小问1详解】 第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种； 【小问2详解】 第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. 【小问3详解】 ①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况； ②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况； ③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况； 综上，所有的课程安排共有种情况. 17. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）令，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合数列的递推公式即可证明. （2）利用（1）的结论，结合累加法可求数列的通项公式. （3）利用“裂项相消法”求和. 【小问1详解】 因为. 又， 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得：， 所以，，，…，. 以上各式相加得：. 所以. 【小问3详解】 ， 所以， 所以. 18. 小明每天晚上的学习态度分为“认真”与“放松”两种.根据过往记录，若某天晚上学习状态为“认真”，则第2天晚上仍为“认真”的概率为0.8；若某天晚上为“放松”，则第2天晚上转为“认真”的概率为0.3.已知开学第1天晚上学习状态为“认真”的概率为0.2.表示第n天晚上小明学习状态为“认真”的概率. （1）求； （2）写出与()的递推关系（不必证明），并求出； （3）试判断从第几天开始，与()的差的绝对值小于0.01，并说明其实际意义. 【答案】（1）0.4; （2）()，; （3）从第7天起，相邻两天的学习状态为“认真”的概率的变化幅度已非常小（小于0.01），表明其学习习惯已基本趋于稳定. 【解析】 【分析】(1)由全概率公式求解； (2)先求出与的递推式，再转化为等比数列求通项公式解出； (3)通过的表达式，求解满足的的取值范围. 【小问1详解】 由全概率公式得； 【小问2详解】 因为()，即()， 构造等比数列()， 因为，所以数列是以为首项，0.5为公比的等比数列. 所以，即()； 【小问3详解】 由（2）可知 ∴当时， 若()，则，即. ∵，， ∴当时，. 实际意义从第7天起，相邻两天的学习状态为“认真”的概率的变化幅度已非常小（小于0.01），表明其学习习惯已基本趋于稳定. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，单调递减，当时，单调递增．. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数与函数单调性的关系求解即可； （3）当时，不等式为：，显然成立，当时，分离参数得，令，利用导数研究的单调性，求出的最大值即可. 【小问1详解】 由， 得， 所以切线方程为； 【小问2详解】 当时，， 令 由于，故单调递增， 注意到，故当时，单调递减， 当时，单调递增． 【小问3详解】 由得，，其中， 法一：①当时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②当时，分离参数得，， 记， 令，则，令， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，单调递增，当时，单调递减． 另解：， 令，则， 设， 所以， 又，所以，使得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因此，． 综上可得，实数a的取值范围是． 法二：等价于． （另） 设函数，则 ， ①若，即， 则当时，，所以在上单调递增， 而，故当时，，不合题意． ②若，即， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由于，所以当且仅当， 即． 所以当时，． ③若，即，则， 由于，故由②可得， 故当时，． 综上可得，实数a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省实验中学2025-2026学年下期期中考试高二数学 命题人：李科丽 审题人：杨亚峰 陈亚敏 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 等差数列中，，则（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 56 2. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 4. 已知随机变量，若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 5. 二项式展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 6. 一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（ ） A. B. C. D. 7. 若随机变量，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 8. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 某高中为了让同学们了解有关半导体芯片的内容，并同时增加同学们对芯片行业的兴趣，特地举办了一次半导体芯片知识竞赛，统计结果显示，学生成绩，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为20%.若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中知识竞赛及格的学生人数为，则（ ） A. 该知识竞赛的及格率为60% B. C. D. 10. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则________. 13. 甲、乙等4位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙不在同一所学校，则不同的安排方法有______种． 14. 若在上单调递增，则a的最大值为_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求展开式中含项的系数； （2）求展开式的第六项． 16. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 17. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）令，求数列的前n项和． 18. 小明每天晚上的学习态度分为“认真”与“放松”两种.根据过往记录，若某天晚上学习状态为“认真”，则第2天晚上仍为“认真”的概率为0.8；若某天晚上为“放松”，则第2天晚上转为“认真”的概率为0.3.已知开学第1天晚上学习状态为“认真”的概率为0.2.表示第n天晚上小明学习状态为“认真”的概率. （1）求； （2）写出与()的递推关系（不必证明），并求出； （3）试判断从第几天开始，与()的差的绝对值小于0.01，并说明其实际意义. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $