1.3 全等三角形的判定 课时提优练习-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.3 全等三角形的判定 课时提优练习 一、选择题 1、如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 2、如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 3、如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明， 则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 4、如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（   ）   A．  B．C．  D．   5、如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，． 若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6、下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 7、三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上 根木条． 8、如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 9、如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对． 10、如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 11、小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    12、在中，平分，则 ． 13、如图，，，于，于．下面四个结论：； ；；，其中正确的有 ．    三、解答题 14、如图，在和中，，，（点，，，在同一条直线上）． 求证：． 15、如图，在和中，，，．求证：． 16、如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、， 请说明与全等的理由． 17、如图，D是上一点，，，．求证：． 18、如图，在中，，，为边延长线上的一点，点在上， 且．求证：． 19、如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 20、如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O， 试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以， 所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 21、如图，在中，，，，于，求的度数． 22、如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 23、【变式8-2】如图，在四边形中，，，．求证：． 24、如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． 25、在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路． 如：在图1中，若C是的平分线上一点，点A在上，此时，在射线上截取，连结，根据三角形全等的判定方法______（简称），容易构造出全等三角形和，参考上面的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，是的平分线，E、F分别为上的点，且． 求证：．（两个内角相等的三角形是等腰三角形） （2）如图3，在非等边中，，分别是、的平分线，且交于点F，求证：． 26、【问题提出】我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ， 可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角， 则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？ 请直接写出结论： ． 1.3 全等三角形的判定 课时提优练习 一、选择题 1、如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2、如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3、如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明， 则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 4、如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（   ）   A．  B．C．  D．   【答案】D 5、如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，． 若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 二、填空题 6、下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 【答案】② 7、三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上 根木条． 【答案】2 8、如图，已知，要说明，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 【答案】 9、如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对． 【答案】 10、如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 【答案】14 11、小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 12、在中，平分，则 ． 【答案】9 解：在上截取，连接，如图： ∵平分，∴， 在和中，，∴， ∴， 从而， 又，∴，从而，∴， ∴，故答案为：9． 13、如图，，，于，于．下面四个结论：；；；，其中正确的有 ．    【答案】 ∵，，∴，∴，故正确； ∵，∴， 在和中，，∴，故正确； ∵，，∴，，∴，故错误； ∵，∴，，∵，∴，故正确； 故答案为： ． 三、解答题 14、如图，在和中，，，（点，，，在同一条直线上）． 求证：． 证明：，，即， 在和中，，． 15、如图，在和中，，，．求证：． 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 16、如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 17、如图，D是上一点，，，．求证：． 证明：在和中，；∴． 18、如图，在中，，，为边延长线上的一点，点在上， 且．求证：． 证明： ，为边延长线上的一点，， ， ． 在和中，， ． 19、如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． (1)你选择添加的选项是______（填序号）； (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)①或②或③ （1）解：选择①或②或③ （2）选择①，证明如下： ∵，∴即， 在和中，∴． 选择②，证明如下： ∵，∴即， 在和中，∴． 选择③，证明如下： ∵，∴即， 在和中，∴． 20、如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O， 试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以， 所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【答案】不正确，见解析 解：不正确，正确步骤为： 在和中，，∴，∴． 在和中，，∴． 21、如图，在中，，，，于，求的度数． 【答案】 解：∵， ， ， ， ， ． 22、如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． （1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 23、【变式8-2】如图，在四边形中，，，．求证：． 连接，BD 在与中，，∴，， 在与中，，∴，∴． 24、如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF (1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF； (2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？ (3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由． （1）∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF. （2）成立.理由如下： ∵AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF， 在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF. （3）AD与CB不一定平行，理由如下： ∵只给了两组对应相等的边，∴不能判定△ADE≌△CBF， ∴不能判定∠A与∠C的大小关系，∴AD与CB不一定平行， 25、在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全等三角形的解决思路． 如：在图1中，若C是的平分线上一点，点A在上，此时，在射线上截取，连结，根据三角形全等的判定方法______（简称），容易构造出全等三角形和，参考上面的方法，解答下列问题： （1）如图2，在中，是的平分线，E、F分别为上的点，且． 求证：．（两个内角相等的三角形是等腰三角形） （2）如图3，在非等边中，，分别是、的平分线，且交于点F，求证：． (1)在上截取，连结， ∵，∴，∴， ∴， ∵，， ∴，∴，∴． （2）在上截取，连结， ∵，∴，∴，， ∵，分别是、的平分线，且交于点F， ∴，∴， ∵，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵∴． 26、【问题提出】我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ， 可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角， 则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？ 请直接写出结论： ． （1）解：∵，∴和是直角三角形， 在和中， 故答案为：； （2）证明：在和 ，且都是钝角，如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， 且都是钝角， 在和 在 和 在和中； （3）解：①在和中，，且都是锐角， 如图，和不全等； ②由①图可知，， ∴当时，就唯一确定了，则． 当时，即， 在和中， 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$