精品解析：广州市梅州市梅县区2024-2025学年下学期期末八年级数学试题

2024-2025学年度第二学期 初中八年级数学学科期末考试试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填在答题卡上） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐个进行判断即可．轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形；符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形；不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形；不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是找准对称轴和对称中心. 2. 若将分式中的x，y都扩大为原来的10倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的10倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 不改变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：将分式中的x，y都扩大10倍，得 ， ∴分式中的x，y都扩大10倍，则这个分式的值不变， 故选：D． 3. 下列由左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断． 【详解】解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； B．等式左右两边不相等，不是因式分解，故此选项不符合题意； C．原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； D．把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算． 4. 已知，下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，特别注意：在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．利用不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、不等式两边同时减去1，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、不等式两边同时乘以，不等号方向不变，式子成立，故本选项符合题意； D、不等式两边同时乘以，不等号方向改变，即；不等式两边同时加上3，不等号方向不变，即，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 一个直角三角形中，两条边的长都是2，则第三条边的长是（ ） A. 2 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．明确两条长都是2的边是直角边是解题的关键． 根据两条长都是2的边是直角边，利用勾股定理求第三边的长即可． 【详解】解：由题意知，两条长都是2的边是直角边， ∴第三边的长为， 故选：C． 6. 如图，平行四边形的对角线、交于点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出的长是解题的关键．直接利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ． 故选：． 7. 如图，直线与直线 交于点，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到直线的图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，直线的图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围为， ∴不等式 的解集为， 故选：A． 8. 分式的值，可以等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式的意义是解题的关键． 利用分式的意义和非负数的意义解答即可得出结论． 【详解】解：， 的值可以等于2， 故选：D． 9. 如图， 四边形中，，，，，， 则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，延长，过点C作，交于点E，证明四边形为平行四边形，得出，，证明，根据勾股定理得出，即可得出结果． 【详解】解：延长，过点C作，交于点E，如图所示： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴， 故选：D． 10. 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召八年级同学自愿捐款．已知八（1）班同学捐款总额为1600元，八（2）班的同学捐款总额为1800元，八（2）班捐款人数比八（1）班多5人，而且两个班级人均捐款额恰好相等，如果设八（1）班捐款人数为x人，列出关于x的方程，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，弄清题意、确定等量关系成为解题的关键 设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人，利用“人均捐款额＝捐款总额÷捐款人数，结合两个班级人均捐款额恰好相等”，即可列出关于x的分式方程． 【详解】解：设八（1）班捐款人数为x人，则八（2）班捐款人数为人， 根据题意得：． 故选：A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应的位置上） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不为零． 12. 因式分解的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是_____ 【答案】20° 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到PEAD，PFBC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点， ∴PE是△ABD的中位线， ∴PEAD， 同理，PFBC， ∵AD＝BC， ∴PE＝PF， ∴∠EFP（180°﹣∠EPF）（180°﹣140°）＝20°， 故答案为：20°． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 如图， 在中， 点 E 是的中点， ，点 F 是上的动点，连接点E 与的中点 G． 则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形外角定理，等边三角形性质，勾股定理，连接，，利用三角形中位线定理得到，当点 F运动到点时，即与重合，最大，则最大，利用等边三角形性质，，再利用三角形外角定理得到，进而得到，利用勾股定理得到，即可解题． 【详解】解：连接，， 点 E 是的中点，的中点为 G． ，， 点 F 是上的动点， 当点 F运动到点时，即与重合，最大，则最大， ， ，， ， ， ， 的最大值是． 15. 一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，这水经次，倒出的总水量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，列出每次倒出水量的式子，求和，即可. 【详解】根据题意得： = = =， 故答案是： 【点睛】本题主要考查根据题意列代数式，求和，列出代数式，裂项求和，是解题的关键. 三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式组；先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集是 17. 先化简，后求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，再约分得到最简结果，把的值代入计算，即可解题． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质找出平移后的点A、B、C的对应点，再顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质找出点A、B、C的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 如图所示： 【小问2详解】 如图所示： 【点睛】本题考查了平移作图和中心对称作图，属于基本题型，熟练掌握平移的性质和中心对称的性质、得出相应的对应点是解题关键． 四、解答题（二）：（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，点分别是的边的中点，连接并延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用三角形中位线定理，，根据，得，，从而得到，，即可证明． （2）过点作于，根据题意易证，，，再根据直角三角形中，所对的直角边为斜边的一半，得的长，再根据平行四边形面积公式，即可求出四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵点分别是的边的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：过点作于，如图， ∵四边形平行四边形，，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为． 20. 某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元． （1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【答案】(1) B型商品的进价为120元，A型商品的进价为150元；(2)5500元． 【解析】 【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元，根据“用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍”，这一等量关系列分式方程求解即可； （2）根据题意中的不等关系求出A商品的范围，然后根据利润=单价利润×减数函数关系式，根据函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元． 由题意： 解得x=120， 经检验x=120是分式方程的解， 答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元． （2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元． m≤100﹣m， ∴m≤50， 由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000， ∴m=50时，w有最小值=5500（元） 【点睛】此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，注意解分式方程时要检验． 21. 如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． （1）若，求的长； （2）连接，证明四边形是平行四边形 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出根据中心对称的性质得出； （2）先由得出，再利用“角角边”定理证明，得出，再结合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明四边形为平行四边形． 【小问1详解】 解： ， ， 点O为平行四边形的对称中心． ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵． ∴四边形为平行四边形． 五、解答题（三）：（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，经过点的直线与y轴交于点D，与直线交于点E，且点B为的中点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，纵坐标为m的点M在线段上（不与点A，E重合），过点M作x轴的平行线交于点N． ①设的长为w，求w关于m的函数解析式； ②在x轴上是否存在一点P，使得/为等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②存在，． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数，求一次函数的解析式，已知自变量的值求函数值， （1）求出点B的坐标，得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （2）①用m分别表示点M与点N的坐标，根据两点距离公式即可求出w关于m的函数解析式； ②分三种情况：当，时，当，时，当时，分别求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴点B的坐标为． ∵点B为的中点， ∴点D的坐标为． 设直线的解析式为． 把点代入， 得解得 ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 ①把代入，得 把代入，得 ②存在． i：如答25-1图，当，时，可得，解得． ii：如答25-2图，当，时，可得，解得． iii：如答25-3图，当时， 作，则有可得解得． ∴． 综上所述： 23. 【问题感知】 （1）如图1，在四边形中，，且， ①请写出的数量关系并证明； ②证明：平分； 【迁移应用】 （2）如图2，四边形中，，计算的长度． 【答案】（1）①，证明见解析； ②证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）①延长使，连接，证明，得出，，证出，在中，根据勾股定理即可求解； ②将绕点逆时针旋转至，证明、、三点共线，证出是等腰直角三角形，得出，即可证明； （2）连接，将绕点逆时针旋转至，根据旋转的性质得出，，，证明、、三点共线，从而证出是等边三角形，根据等边三角形性质得出平分，得出，根据直角三角形的性质和勾股定理得出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）①解：； 证明：延长使，连接， 则， ，， ， ，，， ， ，， ， 在中， ， ， ， 故答案为：； ②证明：将绕点逆时针旋转 至， ， 、、三点共线， ，， 是等腰直角三角形， ， 平分； （2）解：连接，将 绕点逆时针旋转 至， ，，， 在四边形中，， ， 、、三点共线， 又，， 是等边三角形， ， 平分， ， ， 设， 则， 在中，， 则， 解得，（舍去）， ， ． 【点睛】该题是四边形综合题，主要考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期 初中八年级数学学科期末考试试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填在答题卡上） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 若将分式中的x，y都扩大为原来的10倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的10倍 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 不改变 3. 下列由左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个直角三角形中，两条边的长都是2，则第三条边的长是（ ） A. 2 B. C. D. 或 6. 如图，平行四边形的对角线、交于点，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与直线 交于点，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 分式的值，可以等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 9. 如图， 四边形中，，，，，， 则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 10. 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召八年级同学自愿捐款．已知八（1）班同学捐款总额为1600元，八（2）班的同学捐款总额为1800元，八（2）班捐款人数比八（1）班多5人，而且两个班级人均捐款额恰好相等，如果设八（1）班捐款人数为x人，列出关于x的方程，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡相应的位置上） 11. 要使分式有意义，则x的取值范围_____． 12. 因式分解的结果是______． 13. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是_____ 14. 如图， 在中， 点 E 是的中点， ，点 F 是上的动点，连接点E 与的中点 G． 则的最大值是______． 15. 一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出水，第2次倒出的水是的，第3次倒出的水量是的，第4次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，这水经次，倒出的总水量为__________. 三、解答题（一）：（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组： 17. 先化简，后求值：，其中 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形． 四、解答题（二）：（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，点分别是的边的中点，连接并延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的面积． 20. 某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元． （1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 21. 如图，点O为平行四边形的对称中心，经过点O的直线交边于点M，交的延长线于点E，交边于点N，交的延长线于点F． （1）若，求的长； （2）连接，证明四边形是平行四边形 五、解答题（三）：（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 综合运用 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，经过点的直线与y轴交于点D，与直线交于点E，且点B为的中点． （1）求直线的解析式； （2）如图2，纵坐标为m的点M在线段上（不与点A，E重合），过点M作x轴的平行线交于点N． ①设的长为w，求w关于m的函数解析式； ②在x轴上是否存在一点P，使得/为等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 【问题感知】 （1）如图1，在四边形中，，且， ①请写出的数量关系并证明； ②证明：平分； 【迁移应用】 （2）如图2，四边形中，，计算的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $