精品解析：河南省信阳市固始县永和高中联考2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

2024-2025学年永和中学第二学期高一年级期末考试 数学试题 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效， 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法法则计算． 【详解】， 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出. 【详解】由题意可得，. 故选：A. 3. 已知圆锥的顶点为S，母线，所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出母线，所成角的正弦值，利用三角形面积公式得到方程，求出母线长，从而得到底面半径，利用圆锥侧面积公式得到答案. 【详解】母线，所成角的正弦值为， 设圆锥的母线长为，则，解得， 故底面半径为， 故该圆锥的侧面积为. 故选：C 4. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.78 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案. 【详解】因为事件和相互独立，, 故， 所以. 故选：A. 5. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．则的面积为（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理可求解，即可由面积公式求解. 【详解】由余弦定理可得， 即，即，解得或（舍去）， ∵，∴， 所以， 故选:D． 6. 在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出，易得，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量线性运算的坐标表示结合三角函数即可得解. 【详解】由题意， 在中，由余弦定理得， 所以， 则，故， 如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，，，设， 故，，， 又， 即， 所以，所以， 所以，其中， 当且仅当时，取最大值，且它的最大值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键. 7. 若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知不等式和偶函数性质判断出在定义域上的单调性，将转化为，，结合含绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由可知：当时，， 即当时，， 可得在上单调递增， 因为是定义在上的偶函数，偶函数的图象关于轴对称， 所以在上单调递减，且，， 可得，即， 又因为，， 所以， 易知，恒成立，因此，，即，, 的值域是，的值域是， 解得. 故选：D. 8. 给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足.若图中，且，则（ ） A. 21 B. 33 C. 42 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式，弦化切得到，代入式子得到，解得答案. 【详解】， 所以，则，因为，所以， 所以， 解得， 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 如图是某企业年至年的污水净化量(单位：吨)的折线图，则（ ） A. 这组数据的中位数等于平均数 B. 这组数据的第60百分位数是55 C. 污水净化量逐年递增 D. 去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 【答案】ABD 【解析】 【分析】将污水净化量从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，根据中位数，平均数，百分位数，方差，标准差公式，逐项判断即可. 【详解】由折线图可知某企业年至年的污水净化量从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56， 则其中位数为54，平均数为，所以A正确； 易知，所以第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即为55，所以B正确； 有折线图知到污水净化量减少，所以C错误； 原数据方差为 掉2018年的污水净化量数据后，新数据52，53，54，55，56，56，平均数， 方差为， 所以去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的方差会变小，即标准差变小，所以D正确. 故选：ABD 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 直线为的一条对称轴 D. 若为偶函数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象得到，然后根据正弦型函数的性质进行逐一判断. 【详解】由图可知：，，则， 当时，函数取得最大值，所以，又，所以. 所以. 对A，的最小正周期为，正确； 对B，，令，则，可知在不是单调的，故错误； 对C，由，所以，所以取得最小值-3，直线为的一条对称轴，故正确； 对D，为偶函数，所以，故正确. 故选：ACD. 11. 如图，在正方形中，点分别是线段上的动点（不含端点），且与交于点．现将四边形沿直线折起，使平面平面，则（ ） A. B. 与所成角为定值 C. 为定值 D. 存在点，使得直线与平面所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】令，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得，判断A；利用余弦定理计算判断C；确定所成角，计算判断B；确定直线与平面所成角，计算判断D. 【详解】在正方形中，令，则， ，如图，连接，， 显然，而平面平面，平面平面，平面， 则平面，而平面， 于是，，故选项A正确； ，， 因为， 所以为定值，故C正确； 显然，即有，因为，则是AC与MN所成的角， ，当且仅当时取等号， 所以与所成角为定值，故B错误； ，平面平面，平面平面， 平面，则平面，所以是与平面所成的角， 从而，当时，， 化简得，方程无解， 故不存在点，使得直线与平面所成角为，故D错误. 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 甲、乙两名射手射击同一目标，且命中目标与否相互独立，已知甲、乙击中目标的概率分别为0.8和0.7，若他们各射击一次，则目标被击中的概率是_________________. 【答案】0.94 【解析】 【分析】由对立事件的概念和独立事件的乘法公式可得. 【详解】记“甲、乙击中目标的事件”分别为A，B.则，两人都没有击中的概率， 所以目标被击中的概率为. 故答案为：0.94. 13. 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则________． 【答案】4 【解析】 【分析】结合图象建立直角坐标系，得出向量，，坐标，利用向量关系列方程组求出，进而求解． 【详解】设图中方格单位为1，建立下图所示直角坐标系， 则，， ， ， ，解得， ． 故答案为：4． 14. 已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球心到平面的距离为，则球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用已知条件求出外接圆的半径，再根据几何关系进一步解出外接球半径，代入表面积公式求解即可. 【详解】设外接圆的圆心为，外接圆半径为，球半径为， 根据已知条件有，， 由正弦定理可得，所以， 所以， 所以球的表面积为：. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，，O为坐标原点． （1）求向量与的夹角； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求得，然后由向量夹角的计算公式求解即可； （2）计算出，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，因为， 所以，解得， 所以， 所以向量与的夹角的余弦值为， 故向量与的夹角为； 【小问2详解】 因为，与的夹角为， 所以的面积为. 16. 五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了100名来欣赏蓝花楹的游客，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本数据的第50百分位数； （2）估计这100名游客的平均年龄（同一组中的数据用该组中的中点值代表）． 【答案】（1） （2）50岁 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图百分位数定义列式计算求解； （2）根据频率分布直方图平均数定义列式计算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， 样本中数据落在的频率为， 设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有：，解得． 【小问2详解】 设100名游客的平均年龄为，由图可知， ， 故这100名游客的平均年龄约为50岁． 17. 如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点. （1）求证：平面； （2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，使得，再连接，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）利用柱体和锥体的体积公式，分别求得和，根据题意，结合，即可求解. 【小问1详解】 证明：连接，交于点，则为中点，连接，如图所示， 在中，因为分别为的中点，所以， 又因为面，且面，所以平面； 【小问2详解】 解：在正三棱柱中，因为，且， 可得正三棱柱的体积为, 又由三棱锥的体积为， 所以剩余部分的体积为. 18. 已知函数(R). （1）当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值; （2）若为锐角，且，求的值. 【答案】(1) Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为．(2) . 【解析】 【分析】（1）由倍角公式，辅助角公式，化简f（x），利用三角函数的图像和性质即可得解. （2）把代入f（x）的解析式得f（）的解析式，可求得，进而求得. 【详解】（1）f（x）＝2sinxcosx+cos2x＝sin2x+cos2x， ， ． ∴当，即Z）时，函数f（x）取得最大值，其值为． （2）∵，∴． ∴． ∵θ为锐角， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查三角函数性质，同角三角函数的基本关系等知识，考查运算求解能力，属于中档题． 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点E在棱上． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求； （3）当取得最小值时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以. 因为四边形为菱形，所以. 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的性质定理及菱形的性质得出及；再根据线面垂直的判定定理得出平面；最后根据面面垂直的判定定理可证得平面平面． （2）先根据线面平行的性质定理得出，进而得出E到平面的距离；再根据菱形的性质得出；最后根据三棱锥等体积及锥体的体积公式即可求解. （3）先根据线面垂直的性质定理即二面角的定义得出即为二面角的平面角；再根据线面垂直的判定定理及性质定理得出；最后结合菱形的性质及三角形的有关计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如图所示： 因为平面，平面，平面平面， 所以. 因为O是中点，所以E是中点． 因为平面，， 所以E到平面的距离． 因为在菱形中，，， 所以， 所以． 【小问3详解】 由（1）知：平面， 因为平面，平面，平面， 得，，， 故即为二面角的平面角． 当取得最小值时，有， 又因为，所以平面， 又因为平面，所以. 又因为在菱形中，，， 所以，， 又因为， 所以， 又因为在中，， 所以． 则在中，， 所以二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年永和中学第二学期高一年级期末考试 数学试题 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效， 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的顶点为S，母线，所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机事件和相互独立，且，则（ ） A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.78 5. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．则的面积为（ ）． A. 2 B. C. D. 6. 在平行四边形中，，，，是以为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 给白炽灯加上一个不透光材料做的灯罩，可以降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角满足.若图中，且，则（ ） A. 21 B. 33 C. 42 D. 55 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 如图是某企业年至年的污水净化量(单位：吨)的折线图，则（ ） A. 这组数据的中位数等于平均数 B. 这组数据的第60百分位数是55 C. 污水净化量逐年递增 D. 去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 直线为的一条对称轴 D. 若为偶函数，则 11. 如图，在正方形中，点分别是线段上的动点（不含端点），且与交于点．现将四边形沿直线折起，使平面平面，则（ ） A. B. 与所成角为定值 C. 为定值 D. 存在点，使得直线与平面所成角为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 甲、乙两名射手射击同一目标，且命中目标与否相互独立，已知甲、乙击中目标的概率分别为0.8和0.7，若他们各射击一次，则目标被击中的概率是_________________. 13. 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（，），则________． 14. 已知是边长为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球心到平面的距离为，则球的表面积为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，，，O为坐标原点． （1）求向量与的夹角； （2）求的面积． 16. 五一期间昆明蓝花楹盛开，吸引了很多游客，现随机采访了100名来欣赏蓝花楹的游客，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本数据的第50百分位数； （2）估计这100名游客的平均年龄（同一组中的数据用该组中的中点值代表）． 17. 如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱的中点. （1）求证：平面； （2）该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积. 18. 已知函数(R). （1）当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值; （2）若为锐角，且，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点E在棱上． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求； （3）当取得最小值时，求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $