21.2.3 因式分解法 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.3 因式分解法 暑期预习讲义 思维导图 知识梳理 一、因式分解法的基本概念 知识点： 1.因式分解法是将一元二次方程 转化为两个一次因式的乘积形式，即：； 2.然后利用“若两数乘积为零，则至少有一个数为零”的性质，得到两个一元一次方程：； 3.从而求出方程的解。 易错点提示： 1.未整理为标准形式：必须先把方程化为 ，右边为 0，否则不能直接因式分解。 错误示例：解 时，未移项直接写成 ，导致漏解。 2.漏解：分解后只解其中一个因式，忘记另一个因式对应的解。 正确做法：分解后必须分别解两个一次方程，如 的解是 和 。 二、因式分解法的适用条件 知识点： 1.因式分解法适用于左边能因式分解，且右边为 0的一元二次方程。常用的分解方法包括： （1）提公因式法（如 可分解为 ） （2）十字相乘法（如 可分解为 ） （3）平方差公式（如 可分解为 ） 易错点提示： 1.强行分解：不是所有方程都能因式分解（如 ），此时应改用配方法或公式法。 2.忽略系数：分解时要注意二次项系数和常数项的因数组合，避免分解错误。 错误示例：分解 时，错误写成 ，实际应为 。 三、因式分解法的解题步骤 知识点： 1.整理方程：确保方程右边为 0，左边按降幂排列。 2.尝试因式分解：选择合适的分解方法（提公因式、十字相乘、公式法等）。 3.解方程：令每个因式等于 0，求出所有解。 易错点提示： 1.未检查分解是否正确：分解后应展开验证是否与原方程一致。 2.忽略特殊情况：如方程 可直接用平方差公式分解，但若写成 ，直接开方会漏掉负根。 四、总结 因式分解法是解一元二次方程的重要方法，适用于能分解的方程。解题时要注意： 1.先整理为标准形式（右边为 0）。 2.选择合适的分解方法（提公因式、十字相乘等）。 3.解完要验根，避免漏解或增根。 易错点汇总： 1.未整理方程直接分解 2.分解错误导致解不正确 3.漏解（只写一个解） 4.强行分解不能分解的方程 巩固练习 一、选择题 1．下列方程中，不适合用因式分解法求解的是（　　） A． B． C． D． 2．方程的解是（　　） A． B． C．， D． 3．解方程最合适的方法是（　　） A．因式分解法 B．公式法 C．配方法 D．代入消元法 4．方程的根为（　　） A．2， B．， C．2， D．， 5．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是（　　） A． B．5 C． D．1 6．如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（　　） A． B． C． D． 7．已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．若等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则等腰三角形的周长为（　　） A．9 B．10 C．12 D．9或12 二、填空题 9．写出一个一元二次方程使它的根为1，2，则这个方程可以为　 　． 10．方程的解是　 　． 11．一元二次方程的较大的根为　 　． 12．定义运算“@”：对于任意实数m，n，都有，如：．若，则实数x的值是　 　． 13．关于x的方程（m，b为常数，且）的解是，，则关于x的方程的解是　 　． 三、解答题 14．用适当方法解下列方程： （1）； （2）． 15．老师在黑板上书写了一个方程，随后用手掌捂住了一部分，如图所示： （1）若所捂的值为，求的值； （2）若所捂住的是，求的值． 16．在学习了解一元二次方程后，老师出示了这样一个题目 解方程：． 佳琪同学的解答过程如下： 方程两边同时除以， 得， 所以， 因此，方程的解为． （1）试判断佳琪的解法是否正确，若不正确，请说明理由． （2）根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程． 17．嘉淇准备完成题目：解方程：．发现系数“”印刷不清楚． （1）她把“”猜成，请你解方程； （2）她妈妈：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果有一个是．”通过计算说明原题中“”是几． 18．定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． （1）下列方程是“差方程”的是　 　；（填序号） ①②③； （2）若方程是“差方程”，求的值． 参考答案 1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．A 8．C 9． 10．， 11． 12．或 13． 14．（1）解：， 或， ． （2）解：， ， 或， ． 15．（1）解：根据题意可得，即， 或 解得：； （2）解：根据题意可得，即， 解得：． 16．（1）解：佳琪的解法错误，原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以． （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴方程的解为，． 17．（1）解：，∴， 则或， 解得：，． （2）设一次项系数“”为，∴把代入， ∴， 解得：． 即原题中“”是． 18．（1）② （2）解：方程因式分解得， 解得：，. ∵方程为“差方程”， ∴， 解得：或. 学科网（北京）股份有限公司 $$