21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 暑期衔接讲义 2025—2026学年人教版数学九年级上册

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 暑期衔接讲义 2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、定理定义（韦达定理） 韦达定理（根与系数的关系）：对于一元二次方程，若方程有两个实数根 和，则两根与系数的关系为： 注意：定理成立的前提是方程有实数根，即判别式 二、定理推导 1. 由求根公式推导： 一元二次方程的求根公式为： 设两根为 2. 计算两根之和： 3. 计算两根之积： 三、公式拓展（特殊形式） 1. 二次项系数为1的方程： 若方程为（即a=1），则： 2. 含参数的方程： 若已知一根，可利用韦达定理求另一根： 四、应用场景 1. 已知方程求两根的和与积 例：若方程。 解： 2. 已知两根构造一元二次方程 例：已知方程的两根为 = 3， = -4，求这个一元二次方程。 解： 设方程为，则： 故方程为 3. 已知一根求另一根及参数值 例：若方程m 和另一根。 解： 4. 求与两根相关的代数式的值 常见公式： 例： 解： 五、注意事项 1. 判别式前提：使用韦达定理前需确保，否则方程无实根，定理不适用。 ▶ 反例。 2. 系数符号：注意公式中 的负号，避免遗漏。 ▶ 错误示例：方程 3. 方程形式：必须将方程化为一般形式。 ▶ 例： 六、典型例题解析 综合应用 例：已知关于x 的方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两根为 （1）证明： ∴方程总有两个实数根。 （2）解： 由韦达定理： 则 解得 巩固练习 一、选择题 1．设是一元二次方程的两根，则（　　） A．2 B． C． D．10 2． 已知a，b 是方程. 的两根，则代数式 的值为(　　). A．-25 B．-24 C．35 D．36 3．若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（　　） A． B． C． D． 4．已知 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 的值为 (　　) A． B． C． D． 5．已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝－4，x2＝7，则原方程可化为（　　） A．（x－4）（x－7）＝0 B．（x＋4）（x＋7）＝0 C．（x－4）（x＋7）＝0 D．（x＋4）（x－7）＝0 6．已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为(　　). A．6 B．5 C．4 D．3 8．关于x的一元二次方程. 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程 同样有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根； .其中正确结论的个数是(　　). A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 9．写出一个一元二次方程，它的根为－1和3，这个方程可以是　 　． 10．已知方程的两根之和等于两根之积，则方程两根的平方和为　 　． 11．若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是　 　． 12．已知a和b是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　． 13． 关于 的一元二次方程 的一个解为 ， 则另一个解为 　 　. 14．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是　 　． 三、解答题 15．已知关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 16．已知：关于x的一元二次方程， （1）已知是方程的一个根，求m的值及另一个根； （2）若以这个方程的两个实数根作为中BC、AC的边长，，当时，求此时m的值． 17．关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若的两条直角边，的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 18．已知方程组 (x，y为未知数)，有两个不同的实数解 （1）求实数k 的取值范围. （2）如果 求实数k 的值. 19．已知方程 的两个根是x1，x2，那么x1+ 请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知a，b满足 求 的值. （2）已知a，b，c 均为实数，且a+b+c=0， abc=16，求正数c 的最小值. 20．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则　 　，　 　； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； （3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 暑期衔接讲义 2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、定理定义（韦达定理） 韦达定理（根与系数的关系）：对于一元二次方程，若方程有两个实数根 和，则两根与系数的关系为： 注意：定理成立的前提是方程有实数根，即判别式 二、定理推导 1. 由求根公式推导： 一元二次方程的求根公式为： 设两根为 2. 计算两根之和： 3. 计算两根之积： 三、公式拓展（特殊形式） 1. 二次项系数为1的方程： 若方程为（即a=1），则： 2. 含参数的方程： 若已知一根，可利用韦达定理求另一根： 四、应用场景 1. 已知方程求两根的和与积 例：若方程。 解： 2. 已知两根构造一元二次方程 例：已知方程的两根为 = 3， = -4，求这个一元二次方程。 解： 设方程为，则： 故方程为 3. 已知一根求另一根及参数值 例：若方程m 和另一根。 解： 4. 求与两根相关的代数式的值 常见公式： 例： 解： 五、注意事项 1. 判别式前提：使用韦达定理前需确保，否则方程无实根，定理不适用。 ▶ 反例。 2. 系数符号：注意公式中 的负号，避免遗漏。 ▶ 错误示例：方程 3. 方程形式：必须将方程化为一般形式。 ▶ 例： 六、典型例题解析 综合应用 例：已知关于x 的方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两根为 （1）证明： ∴方程总有两个实数根。 （2）解： 由韦达定理： 则 解得 巩固练习 一、选择题 1．设是一元二次方程的两根，则（　　） A．2 B． C． D．10 【答案】D 【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴ 故答案为：D. 【分析】利用根与系数的关系，利用完全平方公式变形后求解． 2． 已知a，b 是方程. 的两根，则代数式 的值为(　　). A．-25 B．-24 C．35 D．36 【答案】D 【解析】【解答】解：∵a，b是方程x2-3x-5=0的两根 ∴a2-3a-5=0，b2-3b-5=0，a+b=3， ∴a2-3a=5，b2=3b+5， ∴2a2-6a2+b2+7b+1 =2a(a2-3a)+3b+5+7b+1 =10a+10b+6 =10(a+b)+6 =10×3+6 =36. 故答案为：D. 【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-3a-5=0，b2-3b-5=0，即a2=3a+5，b2=3b+5，根据根与系数的关系得到a+b=3，然后整体代入变形后的代数式即可求得. 3．若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：设方程的另一个根为， 由一元二次方程的根与系数的关系得：x1·x2=， ∵a=1，c=-3，x2=1， ∴x1·1=， ∴． 故答案为：A． 【分析】设方程的另一个根为，根据根与系数的关系“x1·x2=”可得关于x1的方程，解方程即可求解． 4．已知 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 的值为 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：设 则原方程可变形为 ， 设该方程的两个实数根α、 则原方程的四个实数根为 ∵它们在数轴上对应的四个点等距排列， 又·. 故答案为： C. 【分析】设 则原方程可变形为 0，设该方程的两个实数根α、 则原方程的四个实数根为 由四个实数根在数轴上对应的四个点等距排列，可得出， ，结合根与系数的关系可得出k值，再由根的判别式 即可确定k值，此题得解. 5．已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝－4，x2＝7，则原方程可化为（　　） A．（x－4）（x－7）＝0 B．（x＋4）（x＋7）＝0 C．（x－4）（x＋7）＝0 D．（x＋4）（x－7）＝0 【答案】D 【解析】【解答】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ，， 原方程可化为． 故答案为：D． 【分析】根据根与系数的关系，可得，，继而得解. 6．已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 【分析】 对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则由根与系数的关系知：． 7．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为(　　). A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】【解答】解：设x2+2x+m-2=0的两个实数根为x1、x2，则 x1+x2=-2，Δ=4-4(m-2)≥0， ∴m≤3，m为正整数 ∴0<m≤3， ∴-2<m-2≤1， ∵x1x2=m-2， ∴-2<x1x2≤1，则可取-1，0，1， ∵方程的根都是整数， ∴方程的根x1、x2都是整数， 又∵-2=-1-1，此时x1x2=1，符合题意，此时m=3 ∵-2=-2+0，此时x1x2=0，符合题意，此时m=2， 故符合条件的所有正整数m的和为5. 故答案为：B. 【分析】设x2+2x+m-2=0的两个实数根为x1、x2，根据韦达定理，得到x1+x2=-2，求根公式得到Δ=4-4(m-2)≥0，结合题意，求出m的范围，利用两根都是整数，且两根的和为-2，积的取值情况，分别探讨根的情况，进而求出m. 8．关于x的一元二次方程. 有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程 同样有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根； .其中正确结论的个数是(　　). A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】【解答】解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有， x1·x2=2n>0，y1y2=2m>0，y1+y2=-2n<0，x1+x2=-2m<0，这两个方程的根都为负根，①正确； ②由根判别式有：Δ=b2-4ac=4m2-8n≥0，Δ=b2-4ac=4n2-8m≥0， ∵4m2-8n≥0，4n2-8m≥0， ∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，m2-2m+1+n2-2n+1=m2-2n+n2-2m+2≥2， (m-1)2+(n-1)2≥2，②正确； ③由根与系数关系可得 2m-2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1，由y1、y2均为负整数， 故(y1+1)·(y2+1)≥0，故2m-2n≥-1， 同理可得： 2n-2m=x1x2=x1+x2-(x1+1)(x2+1)-1，得2n-2m≥-1，即2m-2n≤1，故③正确； 故答案为：D. . 【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2-2n≥0以及n2-2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解. 二、填空题 9．写出一个一元二次方程，它的根为－1和3，这个方程可以是　 　． 【答案】x2-2x-3=0 【解析】【解答】设这个方程为 方程的根为－1和3， 求得a=2，n=-3， 这个方程可以是x2-2x-3=0 ， 故答案为：x2-2x-3=0 . 【分析】设这个方程为利用根于系数的关系求得a，b的值，从而求解. 10．已知方程的两根之和等于两根之积，则方程两根的平方和为　 　． 【答案】15 【解析】【解答】设方程的两根分别为， ， 方程的两根之和等于两根之积， 解得k=6， ， 故答案为：15. 【分析】设方程的两根分别为，根据两根之和等于两根之积，求得关于k的方程，解方程得到，再利用完全平方公式进行变形即可求解. 11．若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是　 　． 【答案】11 【解析】【解答】解：由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：11． 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，可得到m+n，mn的值，同时可得到，再将代数式进行转化，然后整体代入求值. 12．已知a和b是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：因为和是一元二次方程的两个实数根， 所以，， 所以． 故填：． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（两根之和等于，两根之积等于）得出，，然后变形即可求解． 13． 关于 的一元二次方程 的一个解为 ， 则另一个解为 　 　. 【答案】5 【解析】【解答】解：把代入一元二次方程， 得：，解得：， 解方程，则， ∴， 解得，， 即方程的另一个解为， 故答案为：5． 【分析】把代入一元二次方程，求得k值，再解方程即可求解． 14．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数有两个相异的不动点，，且，则c的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由题意知，是方程的两个不相等实数根，且， 整理，得：， 由有两个不相等的实数根，且由知， 令，画出该二次函数的草图如下： 则， 解得， 故答案为： 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征..由函数的不动点概念可推出：，是方程的两个实数根，由知且时，根据二次函数的图象上的点的特征可得：，解不等式组可求出c的取值范围. 三、解答题 15．已知关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）解：因为关于的方程有两个不相等实数根，， 所以， 所以； （2）解：因为，，， 所以， 所以， 所以， 解得：或或， 因为， 所以． 【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得出，列出不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入，列出方程求解即可． （1）关于的方程有两个不相等实数根，， ， ； （2），，， ， ， ， 解得：或或， ， ． 16．已知：关于x的一元二次方程， （1）已知是方程的一个根，求m的值及另一个根； （2）若以这个方程的两个实数根作为中BC、AC的边长，，当时，求此时m的值． 【答案】（1）解：将代入中， 得：， 解得：，， 当时，， 解得：，； 当时，， 解得：，； 综上：m的值为1或4，另一个根为3或12 （2）解：由题意可得：，， ∵， ∴，则， ∴， 解得：，， 当时，方程无解，∴． 【解析】【分析】（1）把x=1代入方程中，求出m值，再代入到方程中，求出另一个根； （2）根据根与系数的关系得出AC+BC=3m+1，AC×BC=m2-2m+4，利用勾股定理得到AC2+BC2=AB2，利用完全平方公式变形，求出m值即可． 17．关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若的两条直角边，的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴． 解得：． （2）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴ ， 根据勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴的周长为． 【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个不相等的实数根，对应的判别式，代入相应值计算即可求出答案； （2）设，是关于x的一元二次方程的两实数根，根据根与系数的关系可得，，根据配方法可得，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出答案. 18．已知方程组 (x，y为未知数)，有两个不同的实数解 （1）求实数k 的取值范围. （2）如果 求实数k 的值. 【答案】（1）解：把y=k(2x-1)代入， 可得， ∵方程组(x、y为未知数)有两个不同的实数解， ∴k≠0，且Δ>0， 即k≠0，且， ∴k≠0，且2k+1>0， 解得，且k≠0， 即实数k的取值范围是，且k≠0 （2）解： 得k=1 【解析】【分析】(1)首先把y=k(2x-1)代入，可得；然后根据方程组(x、y为未知数)有两个不同的实数解，可得k≠0，且Δ>0，据此求出k的取值范围是多少即可； (2)首先根据韦达定理，可得，据此求出k的值是多少即可. 19．已知方程 的两个根是x1，x2，那么x1+ 请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知a，b满足 求 的值. （2）已知a，b，c 均为实数，且a+b+c=0， abc=16，求正数c 的最小值. 【答案】（1）解：当a≠b时，则a，b 为方程 的两根， ∴a+b=15， ab=-5. ∴原式 当a=b时，原式=2. 综上所述，原式=-47或2 （2）解： 由条件得 ， 则a，b 为方程 的两实根， 即c≥4. 故c的最小值为4 【解析】【分析】(2)方程结构相同，所以a、b是方程的两根，从a、b相等或者不等两个方面，分别计算要求代数式的值； (3)把两个等式转化为以a、b为根的一元二次方程的两根和与两根积，写出方程，根据根的判别式确定c的最小值. 20．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则　 　，　 　； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； （3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【答案】（1）-3；-5 （2）解：由题意，得：，，∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）解：∵，∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 【解析】【解答】（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根，∴； 故答案为：； 【分析】（1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系(若一元二次方程有两个根，则两根之和等于，两根之积等于)，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． （1）解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）∵， ∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$