21.2.2 公式法 暑期预习讲义 2025—2026学年人教版数学九年级上册

21.2.2 公式法 暑期预习讲义 思维导图 知识梳理 一、一元二次方程的求根公式推导 知识点讲解： 1.对于一元二次方程的一般形式，我们可以通过配方法来推导它的求根公式。 2.首先将方程两边同时除以，得到。 3.然后进行配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方，即，得到： 4.当时，两边开平方可得： ，进一步化简得到求根公式。 易错点提示： 1.在配方过程中，容易忘记在等式两边加上一次项系数一半的平方这一步骤，导致后续推导错误。 2.开平方时，要注意正负号的选取，不要只取正号或只取负号，应该是。 二、公式法求解一元二次方程的步骤 知识点讲解： 1.第一步：把一元二次方程化为一般形式，确定、、的值。例如方程，这里，，。 2.第二步：计算判别式的值。对于上述方程，。 3.第三步：根据判别式的值来判断方程根的情况： （1）当时，方程有两个不相等的实数根，将、、的值代入求根公式求出方程的根。如前面的方程，，即，。 （2）当时，方程有两个相等的实数根，此时。 （3）当时，方程没有实数根。 易错点提示： 1.确定、、的值时，要注意带上各自的符号，特别是当方程系数有负数时，容易出错。 2.计算判别式时，要按照运算顺序准确计算，避免出现计算错误导致根的情况判断错误。 巩固练习 一、选择题 1．一元二次方程根的情况是（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 2．下列方程没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 3．是下列哪个一元二次方程的根（　　） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜ B．m＞﹣ C．m＞ D．m＜﹣ 6．已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 7．关于x的方程有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．小明准备完成题目：解一元二次方程．若“□”表示一个数字，且方程有实数根，则“□”的值可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 9．不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是　 　. 10．若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则c的值可以是　 　（写出一个即可）. 11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围　 　． 12．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　． 13．已知关于的方程有一个根是，则的值为　 　． 三、解答题 14．用公式法解下列方程： （1）； （2）． 15．设方程 只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根. 16．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）有两个相等的实数根，求 的值． 17．关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一根小于0，求的取值范围． 18．已知关于x的方程 （1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根. （2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长. 参考答案 1．B 2．D 3．D 4．D 5．C 6．C 7．B 8．A 9．有两个不相等的实数根 10．答案不唯一（只要c<4即可），如：0，1等 11． 12． 13． 14．（1）解：， ， ， ∴，，， ∴， ∴， ，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ， ，． 15．解：∵|x2+ax|=4， ∴x2+ax-4=0①或x2+ax+4=0②， 方程①②不可能有相同的根， 而原方程有3个不相等的实数根， ∴方程①②中有一个有等根， 而Δ1=a2+16>0， ∴Δ2=a2-16=0， ∴a=±4， 当a=4时，原方程为x2+4x-4=0或x2+4x+4=0， 原方程的解为：x=-2，； 当a=-4时，原方程为x2-4x-4=0或x2-4x+4=0 原方程的解为：x=2， 16．解：∵方程ax2＋bx＋1＝0（a≠0）有两个相等的实数根， ∴b2－4a＝0，∴b2＝4a， 将b2＝4a代入 ＝ ， ＝ ＝ ＝4. 17．（1）证明：依题意，得， 该方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ，， ∵该方程有一根小于0， ∴， ∴． 18．（1）证明：∵Δ=b2-4ac=(k+2)2-8k=(k-2)2≥0， ∴无论k取任意实数值，方程总有实数根 （2）解：①b=c时， ∵方程x2-(k+2)x+2k=0有两个相等的实数根， ∴Δ=b2-4ac=(k-2)2=0，解得k=2， ∴此时方程为x2-4x+4=0，解得x1=x2=2， ∴△ABC周长为5； ②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1， ∵把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得 1-(k+2)+2k=0， 解得k=1， ∴此时方程为x2-3x+2=0， 解得x1=1，x2=2， ∴方程另一根为2， ∵1、1、2不能构成三角形， ∴所求△ABC的周长为5 学科网（北京）股份有限公司 $$