21.2.2 公式法（预习讲义）2025-2026学年人教版数学九年级上册

 

2025-2026学年数学九年级上册人教版 第二十一章 一元二次方程

21.2.2 公式法（预习讲义）

 

学习目标

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程。
2. 掌握用公式法解一元二次方程的步骤。
3. 会判断一元二次方程实数根的情况（根的判别式）。
4. 应用公式法解决实际问题中的方程求解问题。

知识点梳理

1. 求根公式的推导

从配方法出发，将一般形式的一元二次方程 （）通过配方转化为：
 

2. 公式法的定义

直接利用求根公式求解一元二次方程的方法称为公式法。

3. 根的判别式（Δ）

表达式：

• ：方程有两个不相等的实数根。
• ：方程有两个相等的实数根（即一个实数根）。
• ：方程无实数根。

4. 公式法解题步骤

① 将方程化为标准形式 ；
② 确定系数 ，计算判别式 ；
③ 根据 的值代入求根公式求解。

重点知识讲解

1. 求根公式的推导过程

以方程 为例：

1. 化为标准形式：，，。
2. 计算判别式：。
3. 代入公式：
   
   解得：，。

2. 判别式的应用

例题：判断方程 的根的情况。
解：计算 ，故方程无实数根。

3. 易错点提醒

• 使用公式法前，必须将方程化为标准形式 。
• 计算判别式时，注意系数的符号（如 时，）。

核心要点	关键内容
求根公式	（）
判别式（Δ）	，决定根的存在性与数量
公式法步骤	一化标准、二算Δ、三代公式、四求解
根的三种情况	Δ > 0（两实根），Δ = 0（一实根），Δ < 0（无实根）

口诀记忆：
“方程先化标准形，系数符号要分清；
判别式，先计算，再代公式解方程。”

巩固练习

 

一、选择题

1．已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A． B．

C．且 D．且

2．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）  

A． B． C． D．

3．用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（　　）

A． B． C． D．

4．若是方程的一个根，则a的值是（　　）

A． B． C． D．

5．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根   D．有一个实数根

6．已知关于x的一元二次方程x2-mx+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　）