21.2.2 公式法（预习讲义）2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年数学九年级上册人教版第二十一章一元二次方程 21.2.2公式法（预习讲义） 学习目你 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程。 2.掌握用公式法解一元二次方程的步骤。 3.会判断一元二次方程实数根的情况（根的判别式）。 4.应用公式法解决实际问题中的方程求解问题。 知识点梳理 1.求根公式的推导 从配方法出发，将一般形式的一元二次方程x2+bx十C=0(a≠0)通过配方转化为： x=btvb 4ac 2a 2.公式法的定义 直接利用求根公式求解一元二次方程的方法称为公式法。 3.根的判别式（△） 表达式：△=b-4ac ·△>0：方程有两个不相等的实数根。 ·△=0：方程有两个相等的实数根（即一个实数根）。 ·△<0：方程无实数根。 4.公式法解题步骤 ①将方程化为标准形式ax2+bx+c=0; ②确定系数ab,c,计算判别式△： ③根据△的值代入求根公式求解。 重点知识进凝 1.求根公式的推导过程 以方程2x2-4x-6=0为例： 1.化为标准形式：a=2,b=-4,c=-6。 2.计算判别式：△=(-4)-4×2×(-6)=16+48=64>0。 3.代入公式： x压学 解得：81=3，X2=-1。 2.判别式的应用 例题：判断方程x2+3x+3=0的根的情况。 解：计算△=32-4×1×3=-3<0，故方程无实数根。 3.易错点提醒 。使用公式法前，必须将方程化为标准形式x2+bx+c=0。 。计算判别式时，注意系数的符号（如b=一4时，b=(-4=16)。 Q知识点总结 核心要点 关键内容 核心要点 关键内容 求根公式 x=btvb:4ac 2a (a≠0) 判别式（△）△=b2-4ac,决定根的存在性与数量 公式法步骤一化标准、二算△、三代公式、四求解 根的三种情况△>0（两实根），△=0（一实根），△<0（无实根） 口诀记忆： “方程先化标准形，系数符号要分清： 判别式，先计算，再代公式解方程。” 巩固练习 一、选择题 1.已知关于x的一元二次方程(k一)x2一4x一1=0有两个不等的实数根，则k的取值范围 是() A.k≥-4 B.k>-3 C.k>-3且k≠1 D.k≥-3且k≠1 2.下列一元二次方程没有实数根的是() A.x2-1=0 B.x&x+5=0 C.x2-3x+2=0D.x2-2x+3=0 3.用公式法解方程x2-5=-7x时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是() A.0,-5,-7 B.1-7,-5 C.1,7,-5 D.1-5,-7 4.若x=2是方程x2-x+2a=0的一个根，则a的值是（） A.a=-1 B.a=-2 C.a=1 D.a=2 5.方程x2-2x+3=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有一个实数根 6.己知关于x的一元二次方程x2-mx+n=0,其中m,n在数轴上的对应点如图所示，则这个 方程的根的情况是() n 0 m A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 二、填空题 7.若整数a使得关于x的不等式组 3+1>一1 有解，也使得关于x的一元二次方程 x+1≤3(a-x) (a-1)x2一4x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的和为 8.已知y=x2+x-34,当x= 或 时，y=-2. 9.已知等腰三角形的一腰为x,周长为20，则方程x2-12x+31=0的根为 10.已知代数式7x(x+5)+10与代数式9x-9的值互为相反数，则x= 11.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为 确定 的值，当 时，把a,b,c的值代入公式，x1,x2= 求得方程 的解 12.若关于x的方程号x2-2kx-4k+1=0有两个相等的实数根，则“+2账+10的值 k 为 三、解答题 13.用适当的方法解下列方程。 (1)4(3x-1)2=25: (2)2x2+3x-1=0 14.已知关于x的方程x2-(k+1)x+子k2-是=0：（其中k为常数） (1)当k的范围为何时，方程有两个不相等的实数根； (2)在(1)的结果中，取满足k的范围的最小整数k,并算出该方程的根. 15.已知方程2(m+1)x2+4mx+3m=2,根据下列条件之一求m的值： (1)方程有两个相等的实数根； (2)求方程的实数根. 16.已知关于x的一元二次方程x2-(m+2x+2m=0 (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根. (2)若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值. 参考答案 1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.A 7.14 8.-1+129；-1-129 2 9.6+5 10.-22±353 7 11.一般式方程；a,b,c;△≥0；-bb4ac 2a 12.49 13.(1)X1=名x2=-克 (2) 4 14.(1)当k>一2的范围为何时，方程有两个不相等的实数根. ②)x=号'为=-号 15.(1)m=-2,=1 (2)m=-1时，x=-:m≠-1时，x=2m2m22m产 21叶2 16.(1)证明：△=[-(m+2)]2-42m=(m-2)2, “(m-2)2≥0：即A≥0， ∴.无论m取任何实数值，方程总有实数根； (2)解：由x2-(m+2)x+2m=0,得： (x-2Xx-m=0, 解得，X1=m,2=2, 若X1≠X2,则m=1=3, 若x1=x2=2,则m=2 所以，m=3或2