第四讲：解一元二次方程（三）（因式分解法）（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第四讲：一元一次方程（三） （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法的概念：使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.因式分解的方法： ①提公因式法：am+bm=m(a+b)； ②公式法：平方差公式：a2-b2 =(a+b)(a-b) ； 完全平方公式：a2-2ab+b2 =(a-b) 2 ,a2+2ab+b2 =(a+b) 2 ； ③十字相乘法：x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)。 3.因式分解法求解一元二次方程的步骤： 一移：使方程的右边为0； 二分：将方程的左边因式分解； 三化：将方程化为两个一元一次方程； 四解：写出方程的两个解. 简记口诀：右化零，左分解；两因式，各求解. 知识点02：选用适当的方法解方程 一元二次方程的解法选择基本思路： 考点1：因式分解解一元二次方程 【典型例题】 一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【变式训练1】 解方程： (1)． (2)． 【变式训练2】 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是 ． 考点2：用合适的方法解一元二次方程 【典型例题】 解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（ ） A．①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法 B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法 C．①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 【变式训练1】 用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点3：用换元法解一元二次方程 【典型例题】 方程，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 一元二次方程的解是（　　） A． B． C．和4 D．和4 【变式训练2】 已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 2．方程中的根是（   ） A． B．， C． D． 3．如果多项式与的积为，那么（   ） A．1 B．或 C．1或 D． 4．已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（   ） A． B．3或 C．3 D．或1 5．若多项式可以分解为，则在关于x的方程中，的值为（    ） A．3或 B．或1 C． D．1 6．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．若，则的值是（    ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 8．已知关于的方程的根是整数，其中是实数，则可取的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 9．方程的根是 ． 10．用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则p的值是 ． 11．已知，则的值为 ． 12．若，则 ． 13．若一元二次方程（m为常数）的一个根是，则另一个根是 ． 14．一元二次方程的根是 ． 15．已知关于的方程有一个根为2，则的值为 ． 16．已知是关于的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为 ． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)求m的值； (2)求此方程的根． 19．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 20．阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第四讲：一元一次方程（三） （知识总结梳理+3大考点典例精讲+变式训练+课后高频精炼） 知识点01：因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法的概念：使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.因式分解的方法： ①提公因式法：am+bm=m(a+b)； ②公式法：平方差公式：a2-b2 =(a+b)(a-b) ； 完全平方公式：a2-2ab+b2 =(a-b) 2 ,a2+2ab+b2 =(a+b) 2 ； ③十字相乘法：x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)。 3.因式分解法求解一元二次方程的步骤： 一移：使方程的右边为0； 二分：将方程的左边因式分解； 三化：将方程化为两个一元一次方程； 四解：写出方程的两个解. 简记口诀：右化零，左分解；两因式，各求解. 知识点02：选用适当的方法解方程 一元二次方程的解法选择基本思路： 考点1：因式分解解一元二次方程 【典型例题】 一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，先移项，然后因式分解解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得，， 故选：C． 【变式训练1】 解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法是解答本题的关键． （1）方程利用因式分解法求解即可； （2）方程移项后，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得：， ，， ，； （2）解：∵， 整理得， 因式分解，得：， 或， 解得，． 【变式训练2】 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理；解方程得 ，，当时，当时，由三角形的三边关系定理进行判断，即可求解；能正确解一元二次方程，会利用三角形三边关系定理进行求解是解题关键． 【详解】解：， ， ，， ，， 当时， ， 不符合三角形的三边关系定理， 舍去， 当时， 符合三角形的三边关系定理， 三角形的周长是， 故答案为：13． 考点2：用合适的方法解一元二次方程 【典型例题】 解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（ ） A．①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法 B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法 C．①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 根据各方程的特点逐一判别即可． 【详解】①，适合③直接开平方法； ②，适合公式法； ③，适合因式分解法； ④，适合因式分解法． 故选：D． 【变式训练1】 用合适的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】（1）整理后，两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）整理后，求出的值，再代入公式求出即可． 本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：，； （2）解： ∴， ∴， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴， ∴，， 解得：，； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 考点3：用换元法解一元二次方程 【典型例题】 方程，如果设，那么原方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要利用换元法变形，注意变形时与互为相反数，符号要变化．注意变形时符号的变化． 【详解】解：∵ ∴ 所以． 故选：D． 【变式训练1】 一元二次方程的解是（　　） A． B． C．和4 D．和4 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 则， 或， 解得，， 故选：C． 【变式训练2】 已知方程的解是，则另一个方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：D． 一、单选题 1．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴或， 解得，． 故选：C 2．方程中的根是（   ） A． B．， C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法．方程利用因式分解法转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程， 所以或， 解得：． 故选：D． 3．如果多项式与的积为，那么（   ） A．1 B．或 C．1或 D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的常见方法． 根据多项式与的积为，列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 即， 解得：或． 故选：C． 4．已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为（   ） A． B．3或 C．3 D．或1 【答案】C 【分析】首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值．本题考查了一元二次方程的解及定义和解一元二次方程，正确理解定义及熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， ， 解得：，， ， ， ， ， 故选：C． 5．若多项式可以分解为，则在关于x的方程中，的值为（    ） A．3或 B．或1 C． D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了因式分解的定义和多项式乘多项式的运算及解一元二次方程，正确将原式变形是解题关键．直接利用多项式乘法将原式变形进而计算得出答案． 【详解】解：多项式可以分解为， ， ， ， ， 故选：D． 6．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程．根据关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），可知或，进一步求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，）， ∴在方程中，或， 解得， 故选：C． 7．若，则的值是（    ） A．2 B．3 C．或3 D．2或 【答案】C 【分析】先设，则方程即可变形为，解方程即可求得即的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 即， 解得：或， ∴或， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 8．已知关于的方程的根是整数，其中是实数，则可取的值有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的概念，因式解法求一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键，根据关于x的方程的根为整数，分类讨论，当时，运用因式分解求一元二次方程的根；当时，解一元二次方程得，结合题意判定是否符合题意；由此即可求解． 【详解】解：①当时，即和时， 由原方程，得, 解得，或， ∵关于的方程的根是整数， ∴； ②当时， 解得，， 分别可得，， 因此也可以； 综上所述，满足条件的值共有个． 故选：C． 二、填空题 9．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法，配方法，因式分解法，求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 移项后再因式分解求得两根即可． 【详解】解： ， ∴， ∴或， 解得： ， 故答案为： ． 故答案为：． 10．用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则p的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．由题意知，再将展开即可得出答案． 【详解】解：由题意知， ， ， 故答案为： 11．已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用因式分解法解得，，进而求解即可． 【详解】设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或 ∴， ∵ ∴应舍去 ∴ ∴． 故答案为：1． 12．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 13．若一元二次方程（m为常数）的一个根是，则另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．利用求出参数m的值，进而利用因式分解法解一元二次方程，得到的另外一个根即为答案． 【详解】解：是一元二次方程（m为常数）的一个根， 将代入一元二次方程中可得：， 解得：， 原方程为：，即， 解得：， 另外一个根为， 故答案为：． 14．一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】将方程进行因式分解化为的形式，由或进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 故，． 故答案：，． 【点睛】本题考查了用因式分解法解二次方程，掌握解法是解题的关键． 15．已知关于的方程有一个根为2，则的值为 ． 【答案】0或4/4或0 【分析】根据题意先把代入方程即可求得k的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴或4． 故答案为：0或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键，本题还考查了解一元二次方程． 16．已知是关于的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】根据是关于的一元二次方程的一个根得到的值，进而解答即可．本题考查了一元二次方程的根，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程的根的概念是解题的关键 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴解得：， ∴一元二次方程的一般式为， ∴解得，， ∴这个方程的另一个根为， 故答案为． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】（）利用因式分解法求解即可； （）利用公式法求解即可； （）利用配方法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （4）解：∵， ∴， 则或， 解得，． 18．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)求m的值； (2)求此方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）利用判别式的意义得到，再解关于m的方程求解即可得到m的值； （2）由（1）知，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴原方程为，即 解得． 19．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若此方程恰有一个根小于1，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解一元二次方程得出，，再结合此方程恰有一个根小于1得出，计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵此方程恰有一个根小于1， ∴， 解得：． 20．阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，利用换元降次求解一元高次方程． （1）设，则原方程化为，进而求解； （2）设，则原方程化为，进而求解； （3）设，则原方程化为，进而求解； 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； （2）设，则原方程化为， 解得， 当时，，，，； 所以原方程的解为，； （3）. 设，则原方程化为， 解得， 当时，，， 解得：，； 当时，， 解得，； 所以原方程的解为，，0， 学科网（北京）股份有限公司 $$