精品解析：2025年辽宁省鞍山市铁东区中考三模数学试题

九年数学试卷 温馨提示：1．考试时间120分钟，卷面满分120分，试卷共6页． 2．请仔细审题、认真思考、细致解答、规范书写、勿忘检查． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若将辽河的标准水位记为0米，则下列水位记录最接近标准水位的是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 1米 2. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 6. 下图是某次视力检测的结果，参加测验的有10人，其中有部分数据丢失，根据目前已知数据仍旧可以确定这组数据的（ ） 视力 人数 1 2 4 A. 平均数，方差 B. 中位数，平均数 C. 中位数，众数 D. 方差，中位数 7. 如图，已知，则等于（ ） A B. C. D. 8. 《九章算术》“盈不足”中有如下记载：今有共买琎（jìn），人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何?译文：今有人合伙买斑石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数和琎石的价格各是多少?设人数为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集是______． 12. 如图，已知Rt△ABC的边BC在x轴上，，且A（1，2），B（-2，0）若将△ABC平移，使点B落在点A处，则点C的对应点的坐标为___________ 13. “服务社会，提升自我．”宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级3名同学（两男一女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________． 14. 点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______． 15. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线；③分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；④作直线交射线于点，交于点，交于点．若，，则的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 端午节到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的倍，已知用元购买A种礼盒的数量，比用元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元? 18. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：a．学生成绩的统计图如图所示（数据分为五组：，，，，）． b．成绩在这一组的是 80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89 c．成绩不低于85分为优秀． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查采用的方式是______，样本容量是______； （2）补全频数分布直方图； （3）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数． 19. 如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，支撑杆于点且，从点观测点的仰角为，又测得米． （1）求该支架的边的长； （2）求支架边的顶端点到地面的距离．（结果保留根号） 20. 每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利60元时，每天可售出50个：单价每降低2元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助听的利润不低于40元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元 （1）求y与x的函数关系式：每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元； （2）全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器． 21. 如图，在中，四边形是圆内接四边形，是直径，，过D作交延长线于点E，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径长． 22. （1）【问题背景】 如图1，点是线段，的中点，求证：； （2）【变式迁移】 如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点．使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 23. 定义：若点（k为常数且）在函数F的图象上，则点A称为这个函数F的k倍值点．例如：点是函数的2倍值点，点是函数的倍值点． （1）若点B是函数的2倍值点，求点B的坐标； （2）已知函数有且只有一个k倍值点C，求k的值； （3）函数图象与函数图象交于D，E两点，函数有D，F两个k倍值点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年数学试卷 温馨提示：1．考试时间120分钟，卷面满分120分，试卷共6页． 2．请仔细审题、认真思考、细致解答、规范书写、勿忘检查． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若将辽河的标准水位记为0米，则下列水位记录最接近标准水位的是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 1米 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握有理数比较大小法则． 先比较四个数字的绝对值大小，即可判断哪个数离0最接近． 【详解】解：， ∵， ∴下列水位记录最接近标准水位的是米， 故选：B． 2. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：从正面看的图形为：， 故选：A． 3. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握其形式，确定的值的方法是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：万， 故选：C ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、幂的乘方法则知识点．熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据以上运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 6. 下图是某次视力检测的结果，参加测验的有10人，其中有部分数据丢失，根据目前已知数据仍旧可以确定这组数据的（ ） 视力 人数 1 2 4 A. 平均数，方差 B. 中位数，平均数 C. 中位数，众数 D. 方差，中位数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差以及平均数的意义和求解方法，理解每个统计量的实际意义和求解方法是解题的关键． 根据表格中的数据，求得视力为4.9和5.0的总人数，然后根据各统计量的求解方法判断即可． 【详解】解：根据表格数据，可得视力为和的总人数为（人） 视力为所占人数最多为4，因此众数为， 从小到大排列后处在第5、6位的两个数是、，因此中位数为， 则与被遮盖的数据无关的是中位数和众数， 数据不全无法求平均数，也不能求方差． 故选：C． 7. 如图，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关的性质是解题的关键．先根据平行线性质求出，再在直角三角形中利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 8. 《九章算术》“盈不足”中有如下记载：今有共买琎（jìn），人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何?译文：今有人合伙买斑石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数和琎石的价格各是多少?设人数为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，由钱数不变，根据“每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱”即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：， 故选：D． 9. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 10. 已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象经过二、四象限，且在每一象限内，随着的增大而增大， ∵， ∴ ∵、， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求出不等式的解集． 【详解】解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是解本题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变． 12. 如图，已知Rt△ABC的边BC在x轴上，，且A（1，2），B（-2，0）若将△ABC平移，使点B落在点A处，则点C的对应点的坐标为___________ 【答案】（4，2） 【解析】 【分析】根据A、B两点的坐标可得坐标的变化规律为横坐标加3，纵坐标加2，再把C点的坐标横坐标加3，纵坐标加2，即可求解． 【详解】解：∵将△ABC平移，使点B落在点A处，点A（1，2），B（﹣2，0）， ∴坐标的变化规律为横坐标加3，纵坐标加2， ∵C（1，0）， ∴点C的对应点的坐标为是（1+3，0+2），即（4，2）． 故答案为：（4，2）． 【点睛】本题考查了坐标系中的点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移过程中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 13. “服务社会，提升自我．”宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． 画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 一共有6种情况，恰好是一男一女有4种情况， 所以，恰好是一男一女的概率是． 故答案为：． 14. 点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由矩形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，进一步证明，即可得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线；③分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点；④作直线交射线于点，交于点，交于点．若，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图角平分线和线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 先由勾股定理求出，由作图可得，垂直平分，得到，继而，求出，根据等腰三角形的判定得到，最后由即可求解． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 由作图可得：，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算、实数的混合运算，涉及平方差公式、单项式乘多项式、负整数指数幂、绝对值性质等知识点，熟记公式，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键． （1）分别进行负整数指数幂运算、二次根式的性质、绝对值运算即可求解． （2）先利用平方差公式、单项式乘多项式运算法则展开化简，再合并同类项计算即可； 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 端午节到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的倍，已知用元购买A种礼盒的数量，比用元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元? 【答案】种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，熟练掌握根据题意列出等式是解题的关键，设种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元，根据“用元购买A种礼盒的数量，比用元购买B种礼盒的数量多5盒”列出式子，计算即可． 【详解】解：设种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元， 根据题意得， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意， ， 答：种粽子礼盒的单价是元，则种粽子礼盒的单价是元． 18. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲．某学校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，从七年级随机抽取部分同学进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．下面给出部分信息：a．学生成绩的统计图如图所示（数据分为五组：，，，，）． b．成绩在这一组的是 80 80 80 81 81 82 83 84 84 85 85 87 88 89 89 89 c．成绩不低于85分为优秀． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查采用的方式是______，样本容量是______； （2）补全频数分布直方图； （3）若七年级有400名学生，请估计该校七年级学生达到优秀的人数． 【答案】（1）抽样调查，50； （2）见解析 （3）160名 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查的特点即可作答，结合条形统计图和扇形统计图的数据，利用分段的人数除以其百分比即可求解； （2）先统计出成绩在这一组的共有16名，即可求出成绩在这一组的人数，据此补全图形即可； （3）七年级总人数乘以样本中优秀人数的占比即可作答． 【小问1详解】 通过题意可知，此次是抽样调查， 样本容量：， 故答案为：抽样调查，50； 【小问2详解】 成绩在这一组的共有16名， 成绩在这一组的有（名）． 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 ． 答：该校七年级学生达到优秀的有160名． 【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图的信息关联，利用样本估计总体等知识，注重数形结合，加强条形统计图、扇形统计图的数据关联，是解答本题的关键． 19. 如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，支撑杆于点且，从点观测点的仰角为，又测得米． （1）求该支架的边的长； （2）求支架的边的顶端点到地面的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）该支架的边的长为米； （2） 【解析】 【分析】（1）在中，，根据已知可得，即可求解． （2）由代入数据求得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴是直角三角形， 在中，， ∵， ∴， 即该支架的边的长为米； 【小问2详解】 根据已知可得，在，中，且， ∴， 即， 解得：， 在矩形中，， ∴米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 20. 每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利60元时，每天可售出50个：单价每降低2元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助听的利润不低于40元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元 （1）求y与x的函数关系式：每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元； （2）全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器． 【答案】（1）每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元 （2）75个 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于x的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 根据题意得， ，开口向下，有最大值 当时，有最大值，最大值为4000 答：每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元 【小问2详解】 根据题意得， 解得：，， 不合题意，舍去 答：这天售出了75个助听器． 21. 如图，在中，四边形是圆内接四边形，是的直径，，过D作交延长线于点E，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明为的切线，需连接，利用圆内接四边形性质和角度关系证明； （2）通过角度关系证明为等边三角形，过E作于H，利用辅助线构造直角三角形，结合特殊角（）的直角三角形的性质计算线段的长度，进而求求出半径． 【小问1详解】 解：连接，如图， 四边形是圆内接四边形，， ， 又， ， ， ， ， ，即， 是半径， 为的切线。 【小问2详解】 ， ， ，四边形是圆内接四边形， ， 又， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 过E作于H， 在中， ， ， ， 在中，， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查了圆综合题，切线的判定性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确构造辅助线是解题的关键． 22. （1）【问题背景】 如图1，点是线段，的中点，求证：； （2）【变式迁移】 如图2，在等腰中，是底边上的高线，点为内一点，连接，延长到点．使，连接，若，请判断、、三边数量关系并说明理由； （3）【拓展应用】 如图3，在等腰中，，，点为中点，点在线段上（点不与点，点重合），连接，过点作，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明即可证明； （2）连接，根据条件证明可得，进而得到，由勾股定理即可证明； （3）延长到T，使，连接，延长交于点J，即可证明，利用全等三角形的性质可得，即可求得． 【小问1详解】 证明：∵点是线段，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵是等腰三角形，是底边上的高线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小问3详解】 解：延长到T，使，连接，延长交于点J，如图， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查三角形综合题，关键是根据等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识解答，要学会添加常用的辅助线． 23. 定义：若点（k为常数且）在函数F的图象上，则点A称为这个函数F的k倍值点．例如：点是函数的2倍值点，点是函数的倍值点． （1）若点B是函数的2倍值点，求点B的坐标； （2）已知函数有且只有一个k倍值点C，求k的值； （3）函数图象与函数图象交于D，E两点，函数有D，F两个k倍值点，求的面积． 【答案】（1）或 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数相关的新定义问题，解一元二次方程，一元二次方根与系数的关系，利用铅锤法求三角形的面积等， 解题的关键是正确理解题意，熟练掌握相关知识点，会利用铅锤法求三角形的面积； （1）根据定义，设，代入解方程即可； （2）根据题意，转化为关于的方程有两个相等的实数根，即，再解方程即可； （3）设D，E，F三点的横坐标分别为，，，根据题中条件转化为相应的方程，得出根与系数的关系， 再根据所得等式求出，，的值，再利用铅锤法求的面积． 【小问1详解】 若点B是函数的2倍值点， 可设，代入，得，整理得， 解得， 点B的坐标为或． 【小问2详解】 函数有且只有一个k倍值点， 关于的方程有两个相等的实数根， 方程整理得， 由， 解得． 【小问3详解】 设D，E，F三点的横坐标分别为，，， 则， 联立，消去整理得， 由根与系数得关系知，，， 由整理得，， 由根与系数得关系知，，， ，即， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 代入点， 可得， 解得， 直线的解析式为， 如图，过点E作轴的垂线交于G，则， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $