湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（　　） A．b2+a2＝c2 B．（b﹣a）2＝b2+a2﹣2ab C．（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2 D．（b+a）2＝b2+a2+2ab 4．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝AD，CD＝BC 5．（3分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A．a＝5，b＝12，c＝13 B．a2＝c2﹣b2 C．∠B＝50°，∠C＝40° D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 6．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，若测得A，C两点之间的距离为8cm，B，D两点之间的距离为6cm，则四边形ABCD的面积为（　　） A．48cm2 B．40cm2 C．24cm2 D．14cm2 7．（3分）某青年创业伙伴公司现有10名员工，每人年收入数据如表，则他们年收入数据的众数与中位数分别为（　　） 年收入/万元 4 6 8 10 人数/人 2 2 5 1 A．8，6 B．6，7 C．8，8 D．8，5 8．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x+7＝4 B．（x+1）2＝x2 C．ax2+bx＝0 D．4x2＝7x﹣3 9．（3分）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx+b＜2x的解集为（　　） A．0＜x＜1 B．x＞1 C．x＞2 D．1＜x＜2 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接BC，点D为BC的中点，在点C运动过程中，AD的长的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 12．（3分）小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是　 　 元． 13．（3分）李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选 　 　 同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 93 98 98 方差 2 3.2 3.2 2 14．（3分）对于一次函数y＝﹣x+2的以下四个理解： ①图象经过一、二、三象限； ②点（2+a，a）在该函数的图象上； ③图象与直线y＝﹣2x平行； ④图象与坐标轴围成的三角形面积为2． 其中正确的结论是　 　 （填写所有正确的代号）． 15．（3分）如图，△ABC的顶点C与AB的中点D均在数轴上，且C，D两点在数轴上对应的数分别为﹣3，1，当∠BCA＝90°时，AB的长为　 　 ． 16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为12，则BE的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）千法万法不如通法，公式法就是解一元二次方程的通法．请你用公式法解方程：x2+x﹣3＝0． 18．（6分）计算：． 19．（6分）已知一次函数的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）点A（2，3）是否在这个函数的图象上，请说明理由． 20．（8分）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m． （1）求BC的长； （2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 21．（8分）已知点P（x，y）在第一象限，且满足x+y＝8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S． （1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围，并画出函数S的图象； （2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？ （3）△OPA的面积能等于25吗？为什么？ 22．（9分）理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题． 东区有肥料250t，西区有肥料350t，现要把这些肥料全部运往南、北两区．从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南，北两区运肥料的费用分别为24元/t和32元/t．已知南区需要肥料280t，北区需要肥料320t． （1）设从东区往南区运x吨肥料，则从东区往北区运 　 　 吨肥料，从西区往南区运 　 　 吨肥料，从西区往北区运 　 　 吨肥料；（用含x的式子表示，并化简结果） （2）x的取值范围是 　 　 ； （3）设调运的总运费为W元，求W关于x的函数解析式以及调运总费用最少的方案． 23．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝12，BC＝18，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒． （Ⅰ）当点P运动停止时，t＝　 　 ，线段DP的长为 　 　 ； （Ⅱ）①用含t的式子填空： DP＝　 　 ，BQ＝　 　 ，AP＝　 　 ； ②t为何值时，四边形ABQP为矩形，求出t的值； （Ⅲ）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 24．（10分）菱形与矩形都是特殊的平行四边形，将他们放在同一图形是一种有趣的结合，请你从知识关联的角度思考下列问题． 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AO＝BE，BO＝CE． （1）求证：四边形OBEC是矩形； （2）若四边形OBEC的周长为36，． ①求矩形OBEC的面积； ②求平行线AB与DC间的距离． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B的坐标分别为A（0，6），B（12，6），点D为对角线OB中点，点E在x轴上运动，连接DE，把△ODE沿DE翻折，点O的对应点为点F，连接BF． （1）当点F在第四象限时（如图1），求证：DE∥BF． （2）当点F落在矩形的某条边上时，求EF的长． （3）是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D D C C D B B 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式满足的条件对各选项进行判断． 【解答】解：＝2，＝，＝， 只有为最简二次根式． 故选：B． 【点评】本题考查了最简二次根式：把满足下述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、×＝，正确，符合题意； C、÷＝2，原计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意， 故答案为：B． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，分母有理化，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 3．（3分）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（　　） A．b2+a2＝c2 B．（b﹣a）2＝b2+a2﹣2ab C．（b+a）（b﹣a）＝b2﹣a2 D．（b+a）2＝b2+a2+2ab 【分析】根据中间边长为b﹣a的正方形面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可． 【解答】解：大正方形的边长为c，中间小正方形的边长为b﹣a， 依题意得：， ∴a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab， ∴b2+a2＝c2， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，平方差公式，全等图形，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 4．（3分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，AB＝CD C．OA＝OC，OB＝OD D．AB＝AD，CD＝BC 【分析】分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论． 【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不合题意； ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不合题意； ∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不合题意； ∵AB＝AD，CD＝BC， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形， ∴故选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是本题的关键． 5．（3分）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　） A．a＝5，b＝12，c＝13 B．a2＝c2﹣b2 C．∠B＝50°，∠C＝40° D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论． 【解答】解：A、由a＝5，b＝12，c＝13得c2＝a2+b2，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B、由a2＝c2﹣b2得c2＝a2+b2，符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； C、由三角形三个角度数和是180°及∠B＝50°，∠C＝40°得∠A＝90°，故是直角三角形； D、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，及∠A+∠B+∠C＝180°得∠C＝75°≠90°，故不是直角三角形． 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键． 6．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，若测得A，C两点之间的距离为8cm，B，D两点之间的距离为6cm，则四边形ABCD的面积为（　　） A．48cm2 B．40cm2 C．24cm2 D．14cm2 【分析】作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由DE＝DF得平行四边形ABCD是菱形，再根据菱形的性质求面积即可． 【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O， 由题意知，AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵DE＝DF． ∵DE•AB＝DF•BC， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD的面积为：． 故选：C． 【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 7．（3分）某青年创业伙伴公司现有10名员工，每人年收入数据如表，则他们年收入数据的众数与中位数分别为（　　） 年收入/万元 4 6 8 10 人数/人 2 2 5 1 A．8，6 B．6，7 C．8，8 D．8，5 【分析】根据一组数据中出现次数最多的是众数，排序后，位于中间一位或两位的平均数为中位数，进行求解即可． 【解答】解：根据一组数据中出现次数最多的是众数，排序后，位于中间一位或两位的平均数为中位数可得： 出现次数最多的是8，故众数为8； 第5个和第6个数据分别为8和8，故中位数为：×（8+8）＝8． 故选：C． 【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数． 8．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A．2x+7＝4 B．（x+1）2＝x2 C．ax2+bx＝0 D．4x2＝7x﹣3 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：2x+7＝4中含有未知数的最高次数是1，则A不符合题意； 由原方程得到：2x+1＝0中含有未知数的最高次数是1，则B不符合题意； ax2+bx＝0中当a＝0时，未知数的最高次数为1，则C不符合题意； 4x2＝7x﹣3符合一元二次方程的定义，则D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 9．（3分）如图，函数y＝kx+b（k≠0）的图象与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx+b＜2x的解集为（　　） A．0＜x＜1 B．x＞1 C．x＞2 D．1＜x＜2 【分析】利用函数y＝2x求得A的坐标，然后根据图象，写出直线y＝2x在直线y＝kx+b的上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：设函数y＝2x的图象过点A（a，2）， ∴2a＝2， ∴a＝1， ∴A（1，2）， 当x＞1时，kx+b＜2x， 所以不等式kx+b＜2x的解集为x＞1． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接BC，点D为BC的中点，在点C运动过程中，AD的长的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】求出A、B点的坐标，当AD⊥BC时，AD的长最小解答即可． 【解答】解：直线y＝﹣与x轴、y轴分别交于A，B两点， ∴A（2，0），B（0，2）， 由题意知点D的运动轨迹为过AB中点且AB∥x轴 当AD垂直于此直线时，AD长的最小． 即AD＝ 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握动点的运动轨迹和垂线段最短是解决此题的关节 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥2025　 ． 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【解答】解：根据题意可知，x﹣2025≥0， ∴x≥2025． 故答案为：x≥2025． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键． 12．（3分）小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是　69　 元． 【分析】利用加权平均数的定义即可得． 【解答】解：这20名同学购买课外书的平均花费是：100×20%+80×30%+50×50%＝69（元）． 故答案为：69． 【点评】本题主要考查加权平均数，从扇形统计图中得出解题所需数据及加权平均数的定义是解题的关键． 13．（3分）李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选 　丁　 同学． 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 90 93 98 98 方差 2 3.2 3.2 2 【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛． 【解答】解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好， 又丁的方差小于丙， 所以丁的成绩好且稳定， 故答案为：丁． 【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 14．（3分）对于一次函数y＝﹣x+2的以下四个理解： ①图象经过一、二、三象限； ②点（2+a，a）在该函数的图象上； ③图象与直线y＝﹣2x平行； ④图象与坐标轴围成的三角形面积为2． 其中正确的结论是　④　 （填写所有正确的代号）． 【分析】根据一次函数性质逐项分析判断即可． 【解答】解：①一次函数y＝﹣x+2的k＝﹣1＜0，b＝2＞0，图象经过一、二、四象限，原说法错误，不符合题意； ②当x＝2+a时，y＝﹣（2+a）+2＝﹣a≠a，故点（2+a，a）不在该函数的图象上，原说法错误，不符合题意； ③一次函数y＝﹣x+2与直线y＝﹣2x不平行，原说法错误，不符合题意； ④一次函数y＝﹣x+2与坐标轴交点是（0，2），（2，0），S＝＝2，原说法正确，符合题意． 正确的选项只有④． 故答案为：④． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 15．（3分）如图，△ABC的顶点C与AB的中点D均在数轴上，且C，D两点在数轴上对应的数分别为﹣3，1，当∠BCA＝90°时，AB的长为　8　 ． 【分析】根据数轴上两点之间的距离得到CD＝4，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【解答】解：∵C，D两点在数轴上对应的数分别为﹣3，1， ∴CD＝1﹣（﹣3）＝4， ∵∠BCA＝90°，点D为AB的中点， ∴AB＝2CD＝8， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查的是实数与数轴，直角三角形斜边中线，掌握以上知识是关键． 16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为12，则BE的长为　2　 ． 【分析】过点B作BF⊥CD交DC的延长线交于点F，证明△AEB≌△CFB（AAS）推出BE＝BF，S△ABE＝S△BFC，可得S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝12，由此即可解决问题； 【解答】解：过点B作BF⊥CD交DC的延长线交于点F，如图所示， ∵BF⊥CD，BE⊥AD ∴∠BFC＝∠BEA＝90°， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠ABE+∠EBC＝90°，∠EBC+∠CBF＝90°， ∴∠ABE＝∠CBF， ∵AB＝CB， ∴△AEB≌△CFB（AAS） ∴BE＝BF，S△ABE＝S△BFC ∴S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝12， ∴BE×BF＝12， 即BE2＝12， ∴BE＝2， 故答案为2． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）千法万法不如通法，公式法就是解一元二次方程的通法．请你用公式法解方程：x2+x﹣3＝0． 【分析】利用公式法求解即可． 【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3， ∴Δ＝1﹣4×1×（﹣3）＝13＞0， 则x＝，即x1＝，x2＝． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解． 18．（6分）计算：． 【分析】先根据算术平方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【解答】解： ＝ ＝． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19．（6分）已知一次函数的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）点A（2，3）是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【分析】（1）首先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法把（3，5）与（﹣4，﹣9）代入y＝kx+b，求出一次函数的解析式， （2）把A（2，3）代入函数关系式，如果能满足关系式，则此点就在函数图象上． 【解答】解：（1）设这个一次函数的解析式为y＝kx+b． ∵y＝kx+b的图象过点（3，5）与（﹣4，﹣9）， ∴ 解得 所以一次函数解析式为y＝2x﹣1． （2）当x＝2时，y＝2x﹣1＝2×2﹣1＝3， ∴点A（2，3）在这个函数的图象上． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 20．（8分）树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m． （1）求BC的长； （2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【分析】（1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝4m， 答：BC的长为4m； （2）地毯长为：3+4＝7（m）， 已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为2.8×7＝19.6（m2）， ∴需要花费35×19.6＝686（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键． 21．（8分）已知点P（x，y）在第一象限，且满足x+y＝8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S． （1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围，并画出函数S的图象； （2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？ （3）△OPA的面积能等于25吗？为什么？ 【分析】（1）写出S与x，y的表达式，然后将y与x的关系代入，根据点P在第一象限，求出x的取值范围，然后描点绘图； （2）将x值代入（1）的表达式，求解即可； （3）令S＝25求x值，看其是否在x的取值范围内． 【解答】解：（1）∵x+y＝8， ∴y＝8﹣x， ∵P在第一象限内， ∴x＞0，y＞0， ∴0＜x＜8， ∴S＝OA•y＝×6×（8﹣x）＝24﹣3x， 图象如下： （2）当x＝5时，S＝24﹣3×5＝9； （3）不能，理由如下： 当S＝25时，24﹣3x＝25， 解得：x＝﹣＜0， ∴P不在第一象限个， ∴△OPA的面积不能等于25． 【点评】本题主要考查了函数的图象，掌握函数的意义是本题解题的关键． 22．（9分）理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题． 东区有肥料250t，西区有肥料350t，现要把这些肥料全部运往南、北两区．从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南，北两区运肥料的费用分别为24元/t和32元/t．已知南区需要肥料280t，北区需要肥料320t． （1）设从东区往南区运x吨肥料，则从东区往北区运 　（250﹣x）　 吨肥料，从西区往南区运 　（280﹣x）　 吨肥料，从西区往北区运 　（x+70）　 吨肥料；（用含x的式子表示，并化简结果） （2）x的取值范围是 　0≤x≤250　 ； （3）设调运的总运费为W元，求W关于x的函数解析式以及调运总费用最少的方案． 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集即可； （3）写出W关于x的函数解析式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最小，从而得到该调运方案即可． 【解答】解：（1）设从东区往南区运x吨肥料，则从东区往北区运（250﹣x）吨肥料，从西区往南区运（280﹣x）吨肥料，从西区往北区运（x+70）吨肥料． 故答案为：（250﹣x），（280﹣x），（x+70）． （2）根据题意，得， 解得0≤x≤250， ∴x的取值范围是0≤x≤250． 故答案为：0≤x≤250． （3）W＝30x+35（250﹣x）+24（280﹣x）+32（x+70）＝3x+17710， ∴W关于x的函数解析式为W＝3x+17710， ∵3＞0， ∴W随x的增大而增大， ∵0≤x≤250， ∴当x＝0时W值最小， 250﹣0＝250（吨），280﹣0＝280（吨），0+70＝70（吨）． 答：从东区往南区运0吨肥料、往北区运250吨肥料，从西区往南区运280吨肥料、往北区运70吨肥料调运总费用最少． 【点评】本题考查一次函数的应用，用含x的代数式表示运往各区肥料数量、掌握一元一次不等式组的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 23．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝12，BC＝18，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒． （Ⅰ）当点P运动停止时，t＝　9　 ，线段DP的长为 　9　 ； （Ⅱ）①用含t的式子填空： DP＝　t　 ，BQ＝　2t　 ，AP＝　12﹣t　 ； ②t为何值时，四边形ABQP为矩形，求出t的值； （Ⅲ）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（Ⅰ）分别计算出点P和点Q到达终点的时间，进而得到停止时间，据此求出对应的DP的长即可； （Ⅱ）根据题意列出对应的代数式即可；根据题意可得当四边形ABQP是平行四边形时，四边形ABQP是矩形，则AP＝BQ，据此列出程求解即可； （Ⅲ）根据题意可得四边形PDCQ为平行四边形，则PD＝CQ，据此列出方程求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵＝12，＝9， ∴点P运动9秒后停止， 即：t＝9． ∴DP＝1×9＝9， 故答案为：9；9； （Ⅱ）①由题意得，DP＝t，BQ＝2t， ∵AD＝12， ∴AP＝AD＝DP＝12﹣t． 故答案为：t；2t；12﹣t； ②∵∠A＝90°， ∴当四边形ABQP是平行四边形时，四边形ABQP是矩形， 此时有AP＝BQ， ∴12﹣t＝2t， 解得t＝4， ∴t的值为4s； （Ⅲ）∵以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形，且PQ∥CQ， ∴此时四边形PDCQ为平行四边形， ∴PD＝CQ， ∴t＝18﹣2t， 解得t＝6， ∴t的值为6s． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，一元一次方程的几何应用，解题的关键是对以上知识的熟练掌握． 24．（10分）菱形与矩形都是特殊的平行四边形，将他们放在同一图形是一种有趣的结合，请你从知识关联的角度思考下列问题． 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AO＝BE，BO＝CE． （1）求证：四边形OBEC是矩形； （2）若四边形OBEC的周长为36，． ①求矩形OBEC的面积； ②求平行线AB与DC间的距离． 【分析】（1）根据菱形性质得AO＝CO＝BE，AC⊥BD，AB＝BC，再根据BO＝CE得四边形OBEC是平行四边形，然后根据AC⊥BD即可得出结论； （2）①设OB＝a，OC＝b，则矩形OBEC的面积为OB•OC＝ab，由四边形OBEC的周长为36得a+b＝18，则a2+b2+2ab＝324，再由勾股定理得a2+b2＝＝192，由此即可得出矩形OBEC的面积； ②过点O直线垂直于AB于点Q，交CD于点P，则平行线AB与DC间的距离PQ，证明△OBQ和△ODP全等得OQ＝OP，则PQ＝2OQ，再由三角形的面积公式求出OQ＝即可得出平行线AB与DC间的距离． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，AC⊥BD，AB＝BC， ∵AO＝BE， ∴CO＝BE， 又∵BO＝CE， ∴四边形OBEC是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴平行四边形OBEC是矩形； （2）①解：设OB＝a，OC＝b， ∴矩形OBEC的面积为：OB•OC＝ab， ∵四边形OBEC的周长为36， ∴2（a+b）＝36， ∴a+b＝18， ∴（a+b）2＝324， 即a2+b2+2ab＝324， 在Rt△OBC中，BC＝AB＝， 由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2， ∴a2+b2＝＝192， ∴192+2ab＝324， ∴ab＝66， ∴矩形OBEC的面积66； ②解：过点O直线垂直于AB于点Q，交CD于点P，如图所示： ∴平行线AB与DC间的距离PQ， 在菱形ABCD中，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC， ∴∠OBQ＝∠ODP，∠OQB＝∠OPD＝90°， 在△OBQ和△ODP中， ， ∴△OBQ≌△ODP（AAS）， ∴OQ＝OP， ∴PQ＝OQ+OP＝2OQ， ∵AC⊥BD，PQ⊥AB， 由三角形的面积公式得：S△OAB＝AB•OQ＝OA•OB， ∴OQ＝， ∵OA•OB＝OB•OC＝66，AB＝， ∴OQ＝＝， ∴PQ＝2OQ＝． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线之间的距离，理解菱形的性质，平行线之间的距离，熟练掌握矩形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理和三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B的坐标分别为A（0，6），B（12，6），点D为对角线OB中点，点E在x轴上运动，连接DE，把△ODE沿DE翻折，点O的对应点为点F，连接BF． （1）当点F在第四象限时（如图1），求证：DE∥BF． （2）当点F落在矩形的某条边上时，求EF的长． （3）是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据折叠的性质及等边对等角，得到∠DFB＝∠EDF，利用平行线的判定即可得证； （2）分情况讨论，当ED⊥OC时，OE＝EF，此时F点与C点重合；当F点与B点重合时，利用勾股定理即可解答； （3）分情况讨论，当四边形DEFB为平行四边形时，DB∥EF，且BD＝EF；当四边形DEBF为平行四边形时，DF＝BE；当四边形DEBF为平行四边形时，DF＝BE，利用勾股定理即可解答． 【解答】（1）证明：由折叠可知∠ODE＝∠EDF，OD＝DF， ∵点D为OB中点， ∴OD＝BD， ∴DF＝BD， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴∠ODF＝2∠DFB＝2∠EDF， ∴∠DFB＝∠EDF， ∴DE∥BF； （2）解：当ED⊥OC时，OE＝EF，此时F点与C点重合， ∴， ∵B（12，6），四边形OABC是矩形， ∴OC＝12， ∴EF＝6； 如图①，当F点与B点重合时，OE＝EF，EC＝12﹣OE＝12﹣BE， 在Rt△BCE中，BE2＝EC2+BC2， 即BE2＝（12﹣BE）2+62， 解得BE＝， ∴EF＝； 综上，EF的长为6或； （3）解：存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形． 如图②，当四边形DEFB为平行四边形时，DB∥EF，且BD＝EF， ∵OE＝EF，BD＝DO， ∴OE＝OD， ∵D是OB的中点，B（12，6）， ∴D（6，3）， ∴OD＝， ∴E（3，0）或（﹣3，0）； 如图③，当四边形DEBF为平行四边形时，DF＝BE， ∵OD＝DF， ∴OD＝BE， ∴BE＝3， 在Rt△BEC中，EC＝， ∴E（9，0）； 如图④，当四边形DEBF为平行四边形时，DF＝BE， ∵OD＝BD＝DF， ∴，BE＝OD＝3， 在Rt△BCE中，EC＝， ∴E（15，0）． 综上，E点坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（9，0）或（15，0）． 【点评】本题考查四边形的综合应用，主要考查矩形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$