精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区第二中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

集宁二中2024-2025年度高二下学期质量检测卷 数学 命题：高二数学组 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：使的否定为（ ） A. 不等式恒成立 B. 不等式成立 C. 恒成立或 D. 不等式恒成立 3. 已知函数且的图象恒过定点,点在幂函数的图象上，则（ ） A B. 9 C. D. 3 4. 定义运算如下:设函数，则该函数的图象是（ ） A. B. C. D. 5. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6. 设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数x，y满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为16 10. 已知函数，则下列结论中错误的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 函数是偶函数 C. 函数在区间上是减函数 D. 函数的图象关于直线对称 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知，，则的取值范围是______. 13. 已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是________. 14. 函数的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数取值范围． 16. 已知关于的不等式. （1）是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求m的取值范围； （3）若不等式对于恒成立，求实数x取值范围. 17. 已知函数是幂函数，定义域为R． （1）求m值． （2）若，求的值域． 18. 已知定义域为函数（且）是奇函数． （1）求实数值； （2）若，判断函数的单调性，若，求实数m的取值范围． 19. 已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 集宁二中2024-2025年度高二下学期质量检测卷 数学 命题：高二数学组 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出集合，再算其交集即可. 【详解】由得或 所以 由得 所以 所以 故选D. 2. 命题：使的否定为（ ） A. 不等式恒成立 B. 不等式成立 C. 恒成立或 D. 不等式恒成立 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词的命题的否定方法可得结论. 【详解】命题：使的否定为 恒成立或. 故选：C. 3. 已知函数且的图象恒过定点,点在幂函数的图象上，则（ ） A. B. 9 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数y＝ax﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，当x﹣2＝0时，y＝4，得定点P（2，4）；由于点P在幂函数f（x）的图象上，用待定系数法求得幂函数解析式，即可得的值． 详解】∵函数y＝ax﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P， ∴当x﹣2＝0时，y＝4，得定点P（2，4）； ∵点P在幂函数f（x）的图象上， 设f（x）＝xα，则f（2）＝2α＝4，∴α＝2； ∴f（x）＝x2， 故选A 【点睛】本题考查了指数函数过定点问题，幂函数的定义，待定系数法求函数解析式，求函数值问题等，属于综合题． 4. 定义运算如下:设函数，则该函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数新定义求得函数解析式，再根据一次函数和二次函数得图像即可的解. 【详解】解：由的定义可知 因为，所以函数图象过点，排除A，B； 当时，，排除D，只有C符合. 故选：C. 5. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【详解】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：C 6. 设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】探讨函数的奇偶性和单调性，再借助性质求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R，，即是偶函数， 函数在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递增，不等式， 则，两边平方得，解得或， 所以的取值范围为. 故选：D 7. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为奇函数，为偶函数，可求得的周期为4， 故，代入解析式即得解 【详解】为奇函数, ， 偶函数，， ，即， ． 令，则， ，． 故函数周期为4 故选：B 8. 已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性,可得关于的不等式组,解不等式组即可确定的取值范围. 【详解】函数在上为减函数， 所以满足， 解不等式组可得. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数x，y满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为16 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A、B、C：结合基本不等式分析判断；对D：由代换，结合二次函数分析判断. 【详解】对A：由于，当且仅当，即时取等号，故A正确； 对B：由基本不等式得，故，当且仅当时取等号，故B正确； 对C：，当且仅当时取等号，故C正确； 对D：由正实数x，y满足，得， 故，故D错误. 故选：ABC． 10. 已知函数，则下列结论中错误的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 函数是偶函数 C. 函数在区间上是减函数 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】AC 【解析】 【分析】由求出定义域判断A，代入根据定义判断出其奇偶性判断B，根据判断C，根据为偶函数判断关于对称判断D. 【详解】函数， 由，，可得，即函数定义域为，故A错误； 由， 定义域为，显然为偶函数，故B正确； 由，，，，故C错误； 由为偶函数，图象向左平移1个单位得到图象， 故函数的图象关于直线对称，故D正确. 故选：AC 11. 已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意作出函数图像，根据函数图像可确定ABC，利用基本不等式可判断D. 【详解】根据函数，作出函数图像， ，则，，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，又，所以，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知，，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的取值范围求出夫人范围，再结合的取值范围，利用不等式的性质求出的取值范围. 【详解】已知，不等式两边同时乘以得， 再根据，得到. 故答案为： 13. 已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解. 【详解】因为q的一个充分不必要条件是p， 所以是的一个真子集， 则，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 函数的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： 所以，当，即时，取得最小值. 所以答案应填：. 考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用集合并集的定义求解即可； （2）利用集合交集的定义求解即可. 【小问1详解】 因为， 由题意可得当集合不是空集时，解得， 当集合是空集时，解得， 综上. 【小问2详解】 因为， 由题意可得当集合不是空集时或，解得， 当集合为空集时，解得， 综上或. 16. 已知关于的不等式. （1）是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求m的取值范围； （3）若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】（1）不存在 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将不等式转换，讨论的取值得到结果 （2）将原式转化为，通过换元分析得出的取值范围. （3）将原式堪称关于的一次函数，保证和的值大于零即可. 【小问1详解】 原不等式等价于， 当时，不恒成立， 当时，不等式对于恒成立， 则需且，无解， 所以不存在实数对任意恒成立. 【小问2详解】 因为，所以， 设，则， 所以， 设， 显然在上单调递增， 当时，，，且， 所以，所以的取值范围是. 【小问3详解】 设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得或， 所以的取值范围是. 17. 已知函数是幂函数，定义域为R． （1）求m的值． （2）若，求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数可得，并对结果检验即可； （2）换元令，可得，结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：，即，解得或， 若，，其定义域为R，符合题意； 若，，其定义域为，不符合题意； 综上所述：，. 【小问2详解】 由（1）可知：，则， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的值域为. 18. 已知定义域为函数（且）是奇函数． （1）求实数的值； （2）若，判断函数的单调性，若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）在R上单调递减， 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用，求得，结合函数奇偶性的定义，即可求解； （2）由，求得，得到在上单调递减，把不等式转化为，结合单调性，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数的定义域为的奇函数， 可得，解得， 经验证：当时，，可得， 则为奇函数，符合题意， 所以． 【小问2详解】 解：由（1）知，（且）， 因为，即， 又因为，且，所以， 而在上单调递减，在上单调递减， 故由单调性的性质可判断在上单调递减， 不等式可化为， 可得，即，解得， 所以实数m的取值范围是． 19. 已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) . 【解析】 【分析】（1）利用配方法化简函数，根据函数定义域，换元得到t＝∈[0,2]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数的取值范围． 【详解】(1)h(x)＝(4－2)·＝－2(－1)2＋2， 因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，， 故函数h(x)值域为[0,2]． (2)由f(x2)·f()＞k·g(x)， 得(3－4)(3－)＞k·， 令，因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]， 所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0,2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0,2]时，恒成立， 即， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为－3.所以k＜－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)． 【点睛】本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，以及利用基本不等式求最值．意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$