专题3.3 立方根（课堂同步）-2025-2026学年七年级数学上册同步课堂与核心专题特训（浙教版2024）

专题3.3.立方根 1、了解立方根的含义； 2、会用开立方运算求一个数的立方根，与立方互为逆运算； 3、了解立方根的性质； 4、区分立方根与平方根的不同。 2 考点1.立方根的概念理解 2 考点2.求一个数的立方根 3 考点3.利用开立方解方程 4 考点4.立方根的性质 5 考点5.立方根小数点位数移动规律 6 考点6.立方根的实际应用 8 考点7.算术平方根与立方根的综合运用 9 考点8.阅读材料与新定义问题考法 10 13 考点1.立方根的概念理解 1）立方根的定义:如果一个数的立方等于（即），那么这个数叫做的立方根或三次方根，记作，其中是被开方数，3是根指数。 2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方是立方运算的逆运算。 3）一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 例1．（24-25七年级下·山东·期中）下列说法正确的是（   ） A．0没有立方根 B．负数没有立方根 C．一个正数有一个负的立方根 D．一个正数只有一个立方根 【答案】D 【详解】解：A、0有立方根，错误；B、负数有立方根，错误； C、一个数的立方根只有一个，且一个数的立方根与这个数同号，错误； D、一个正数只有一个立方根，正确．故选：D． 变式1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下列没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，负数没有算术平方根，没有意义，符合题意； B、表示的算术平方根，有意义，不符合题意； C、表示的立平方根，有意义，不符合题意； D、表示的立平方根，有意义，不符合题意；故选：A． 变式2．（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何数的立方根都只有一个 B．如果一个数有立方根，那么这个数一定有平方根 C．一个数的立方根比这个数的平方根小 D．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 【答案】A 【详解】解：∵一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0， ∴A选项说法正确；D选项说法不正确． ∵一个负数有一个负的立方根，但负数没有平方根，∴B选项说法不正确； 一个数的立方根不一定比这个数的平方根小，例如0的平方根和立方根相等，∴C选项说法不正确； 综上，说法正确的是A选项，故选：A． 考点2.求一个数的立方根 一个数a的立方根的就用表示（读作：立方根或三次方根），其中叫做被开方数。 1）若a是立方数（即：a=x3），则a的立方根等于x；2）若a是非立方数，a的立方根等于。 例1．（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）下列计算，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D． ，故此选项符合题意． 故选：D． 变式1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，的立方根是．故选：B． 变式2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 【答案】D 【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、有立方根，为，原选项说法错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是，和，原选项说法错误，不符合题意； 、，原选项说法正确，符合题意；故选：． 考点3.利用开立方解方程 利用立方根解方程的核心是将方程转化为平方形式，再通过开立方降次求解。特别注意任何数都只有一个立方根！ 例1．（23-24七年级上·浙江·期中）求x的值：（1）．(2)． 【答案】（1）(2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ， ． 变式1．（24-25八年级下·上海金山·期中）方程的根是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，解得， 故该方程的根为，故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·广东阳江·期中）解方程：(1)； (2) 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）解： （2）解： 或． 考点4.立方根的性质 立方根的性质： 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题；立方根符号与原数符号相同，简化正负数运算逻辑 例1．（24-25七年级下·泸州·期中）已知为实数，且，则的算术平方根为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∴，∴，解得， ∴，∴的算术平方根为2，故选：C． 变式1．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为 【答案】或2或3 【详解】解：∵，∴， ∴或，∴或或；故答案为：或2或3． 变式2．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． ，，． ，，． ，，．， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ，相反数 (2) 【详解】（1）解：，，； ∴互为相反数的两个数的立方根互为相反数； 故答案为：；；； ，相反数 （2）解： ． 考点5.立方根小数点位数移动规律 立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位。例如，，，，. 例1．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4(2)，(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵，∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得：∵，∴又，∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．∵∴，∴． 变式1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知，，，，，则 ， ． 【答案】 1.285 2.342 【详解】解：， 故答案为：1.285；2.342 变式2．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______；(2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，.①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】(1)0.1；10(2)(3)①6.694； 0.3107②需要大约1248平方米的铁皮 【详解】（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得： ；；故答案为：0.1；10； （2）解：∵，，∴，故答案为：； （3）解：①； ；故：6.694；0.3107； ②设正方体的棱长为a米，则，∴， ∴（平方米）， 答：需要大约1248平方米的铁皮． 考点6.立方根的实际应用 立方根的核心作用是‌将立方关系还原为线性关系‌，立方根公式常用于数学教学中解释体积与边长的关系。通过上述方法，可系统解决几何、物理统计等领域的实际问题。 例1．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）某商店的李师傅制作的正方体水果礼盒的体积为，则李师傅制作的正方体水果礼盒的表面积为 ． 【答案】150 【详解】解：∵正方体的体积是，∴正方体的棱长为， ∴它的表面积为．故答案为：150． 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设小美正方体棱长为，，得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：，其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：，则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：；故选：B． 变式2．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：，故选：A 考点7.算术平方根与立方根的综合运用 综合运用算术平方根与立方根时，需灵活结合代数方程、非负数性质及运算规则，重点掌握符号处理与分步化简方法。典型题型可通过上述步骤系统求解，避免因符号错误或条件遗漏导致失分。 例1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值；(2)求的立方根． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：是的算术平方根，，解得：， 的立方根是，∴，即解得：； （2），，，的立方根是． 变式1．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值；(2)求的算术平方根和立方根． 【答案】(1)，(2)算术平方根是4，立方根是 【详解】（1）解：的平方根是，，解得； 又的立方根为，，解得；，． （2）由（1）可知：， 的算术平方根为，的立方根为． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知正数m的两个平方根分别为和，b为的整数部分．(1)求a及m的值；(2)求的立方根． 【答案】(1)，(2)2 【详解】（1）解：∵正数m的两个平方根分别为和， ∴，解得：，∴，∴； （2）解：∵b为的整数部分，∴，∴， ∵，∴的立方根是2． 考点8.阅读材料与新定义问题考法 这类题型以初中数学知识为基础，通过引入新概念、新规则或新运算构建数学模型，要求学生‌快速理解材料并迁移应用‌解决相关问题。 例1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了次方根，下面是他们写的“次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整． 次方根的学习档案 定义：如果一个数的次方等于（是大于1的整数），即，那么这个数就叫做的次方根． 例如2是16的 ． 求一个数的次方根的运算叫做 ，叫做 ． 特征：根据次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0和负数的次方根的特征如下： 正数的次方根是正数；0的次方根是 ；负数 ． 【答案】四次方根；开次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数 【详解】解∶，2是16的四次方根； 如果一个数x的n(n是大于|的整数)次方等于a，即，那么这个数x就叫做a的n次方根，求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数；正数的n次方根是正的；0的n次方根是0；负数不存在偶次方根，奇次方根为负数， 故答案为：四次方根；开次方；被开方数；0；没有偶次方根，奇次方根为负数． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 【答案】C 【详解】解：当为偶数，时，有意义， 当为偶数时，必有意义，不一定成立，故C正确，ABD错误．故选：C． 变式2．（24-25七年级下·河南周口·期中）已知变换：例如则的变换结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，，，，故选：C． 变式3．（24-25七年级下·江西上饶·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．华罗庚是按照下面的方法算出的：由，，从而确定是两位数，由的个位上的数是，所以能确定的个位上的数是，如果划去后面的三位得到数，而，，由此就能确定的十位上的数是，所以的立方根是．模仿华罗庚的方法，请确定的立方根是 ． 【答案】 【详解】解：，，是两位数， 又只有个位上是的数的立方的个位上的数是，的个位上的数是， 如果划去后面的三位得到，而，， 十位上的数是，的立方根是，故答案为：． 1．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根； ③平方根与立方根相等的数有0和1； ④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】D 【详解】解：①正数的两个平方根的和等于0，说法正确；②实数都有一个立方根，说法正确； ③平方根与立方根相等的数有0，原说法错误；④，3的算术平方根为，故原说法错误； ⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数，说法正确；故选D． 2．（23-24八年级上·河北唐山·期中）甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当时，乙：时，丙：当时，则下列说法正确的是（    ） A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确 【答案】B 【详解】解：甲：当时，，正确；乙：时，，错误； 丙：当时，，正确；故选：B． 3．（2024·浙江·七年级阶段练习）若与互为相反数，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 与 是相反数，∴== ∴3x－1=2y－１，整理得：3x=2y，即 ，故选A． 4．（2025·江苏盐城·一模）的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的立方根是．故选：A 5．（2025七年级下·江苏·专题练习）若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，∴，则．故选：C． 6．（2025七年级下·山西·专题练习）如图，该几何体由8个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由条件可知：每一个小正方体的体积为， 则每个小正方体的棱长为，故选：A． 7．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）球体的体积与其半径的关系为．如图，该球体的体积为，那么它的半径（    ） A．，且更接近于3 B．，且更接近于3 C．，且更接近于2 D．，且更接近于4 【答案】C 【详解】解：由题意可得：，∴， ∵，，，∴，且更接近，故选：C． 8．（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为，∴，∴， ∴的立方根是，故选：C． 9．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【答案】A 【详解】解：A、，故此选项结论正确，符合题意； B、没有平方根，故此选项结论不正确，不符合题意； C、若，则或，故此选项结论不正确，不符合题意； D、64的立方根是4，故此选项结论不正确，不符合题意；故选：A． 10．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每个方块的边长为，∴，∴，∴，故选C 11．（2025七年级下·江苏·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．一个数有立方根，那么它的立方根一定为正数 D．一个数的立方根与这个数同号 【答案】D 【详解】A、一个数的立方根只有一个，错误；B、负数有立方根，错误； C、一个数有立方根，那么它的立方根不一定为正数，错误； D、一个数的立方根与这个数同号，正确．故选：D． 12．（23-24八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（    ） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数， ∴负数a没有偶数次方根，∴A选项的结论不符合题意； ∵任何实数a都有奇数次方根，∴B选项的结论不符合题意； ∵，∴∴C选项的结论不符合题意； ∵，∴∴D选项的结论符合题意，故选：D． 13．（2025七年级下·山东·专题练习）125的立方根为 ，的平方根为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴125的立方根为：， ∵，又∵，∴，故答案为：；． 14．（24-25八年级下·辽宁丹东·开学考试）立方根等于它本身的数是 【答案】0，1， 【详解】解：立方根等于它本身的数是0，1，，故答案为：0，1，． 15．（24-25七年级下·广东江门·期中）若，则x的值为 ． 【答案】 【详解】解：，，，故答案为：． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）若的立方根是，则的平方根是 ． 【答案】 【详解】解：由题可知，解得：，10， 的平方根为，故答案为：． 17．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【详解】解：，，，的平方根为．故答案为：． 18.（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，依据题意，可得 ， ．    【答案】 3 【详解】解：，， ，，，故答案为：3；． 19．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是．(1)求a，b，c的值：(2)求的平方根和立方根． 【答案】(1)，，(2)， 【详解】（1）解： 的算术平方根是1，，解得； 的立方根是，，； 的平方根是，，． （2）解：由（1）知，，，，， 的平方根是；的立方根是． 20．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数；(2)求关于的方程的解． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根是与， ∴，解得：，∴∴这个正数为； （2）把代入，得：，∴，∴． 21．（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且，则，即 ① ． 因为是整数且不为0，所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则．所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾．所以是无理数． 【解决问题】(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；(2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；②(2)见解析 【详解】（1）解：设，a与b是互质的两个整数，且，则 即． 因为b是整数且不为0，所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且），则．所以． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾．所以是无理数． （2）设，a与b是互质的两个整数，且，则，所以， ∵a，b是整数且不为0，∴a为6的倍数．设（n是整数），∴，∴， ∴b也是6的倍数，与a与b是互质的整数矛盾，∴是无理数． 22．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长；(2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明；(3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1)(2)裁出的长方形的面积不能为，理由见解析(3) 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得， 解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，      解得或（舍去）， ∵，∴裁出的长方形的面积不能为； （3）解：∵正方体的体积为，∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 23．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚怎样迅速准确地计算出来的吗？ 请按照下面的问题试一试： (1)由，可以确定是______位数，由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是_______．如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此可以确定的十位上的数字是_______； (2)已知是整数的立方，按照上述方法，请你求它的立方根． 【答案】(1)两，9，3(2) 【详解】（1）解：∵，∴是两位数， ∵的个位上的数是9，∴的个位上的数字是9， ∵划去59319后面的三位319得到数59， ∴的十位上的数字是3 故答案是：两，9，3； （2）解：∵，∴∴的立方根是两位数 ∵个位数是 5 ∴的立方根个位数是5 ∵划去274625后面的三位625得到数274，且∴274625的立方根的十位数是6， ∴274625的立方根65，∴的立方根是． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3.立方根 1、了解立方根的含义； 2、会用开立方运算求一个数的立方根，与立方互为逆运算； 3、了解立方根的性质； 4、区分立方根与平方根的不同。 2 考点1.立方根的概念理解 2 考点2.求一个数的立方根 3 考点3.利用开立方解方程 4 考点4.立方根的性质 5 考点5.立方根小数点位数移动规律 6 考点6.立方根的实际应用 8 考点7.算术平方根与立方根的综合运用 9 考点8.阅读材料与新定义问题考法 10 13 考点1.立方根的概念理解 1）立方根的定义:如果一个数的立方等于（即），那么这个数叫做的立方根或三次方根，记作，其中是被开方数，3是根指数。 2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方是立方运算的逆运算。 3）一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 例1．（24-25七年级下·山东·期中）下列说法正确的是（   ） A．0没有立方根 B．负数没有立方根 C．一个正数有一个负的立方根 D．一个正数只有一个立方根 变式1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下列没有意义的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何数的立方根都只有一个 B．如果一个数有立方根，那么这个数一定有平方根 C．一个数的立方根比这个数的平方根小 D．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 考点2.求一个数的立方根 一个数a的立方根的就用表示（读作：立方根或三次方根），其中叫做被开方数。 1）若a是立方数（即：a=x3），则a的立方根等于x；2）若a是非立方数，a的立方根等于。 例1．（24-25七年级下·广西钦州·阶段练习）下列计算，错误的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）的立方根是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 考点3.利用开立方解方程 利用立方根解方程的核心是将方程转化为平方形式，再通过开立方降次求解。特别注意任何数都只有一个立方根！ 例1．（23-24七年级上·浙江·期中）求x的值：（1）．(2)． 变式1．（24-25八年级下·上海金山·期中）方程的根是 ． 变式2．（24-25七年级下·广东阳江·期中）解方程：(1)； (2) 考点4.立方根的性质 立方根的性质： 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题；立方根符号与原数符号相同，简化正负数运算逻辑 例1．（24-25七年级下·泸州·期中）已知为实数，且，则的算术平方根为（　　） A． B． C．2 D．4 变式1．（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，则的值为 变式2．（24-25七年级下·山东济宁·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． ，，． ，，． ，，．， ， ， ． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ． (2)计算的值． 考点5.立方根小数点位数移动规律 立方根小数点位数移动规律：被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位。例如，，，，. 例1．（24-25七年级下·广西南宁·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 变式1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）已知，，，，，则 ， ． 变式2．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______；(2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，.①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 考点6.立方根的实际应用 立方根的核心作用是‌将立方关系还原为线性关系‌，立方根公式常用于数学教学中解释体积与边长的关系。通过上述方法，可系统解决几何、物理统计等领域的实际问题。 例1．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）某商店的李师傅制作的正方体水果礼盒的体积为，则李师傅制作的正方体水果礼盒的表面积为 ． 变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 考点7.算术平方根与立方根的综合运用 综合运用算术平方根与立方根时，需灵活结合代数方程、非负数性质及运算规则，重点掌握符号处理与分步化简方法。典型题型可通过上述步骤系统求解，避免因符号错误或条件遗漏导致失分。 例1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值；(2)求的立方根． 变式1．（24-25七年级下·山东临沂·期中）已知的平方根是，的立方根为． (1)求a与b的值；(2)求的算术平方根和立方根． 变式2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知正数m的两个平方根分别为和，b为的整数部分．(1)求a及m的值；(2)求的立方根． 考点8.阅读材料与新定义问题考法 这类题型以初中数学知识为基础，通过引入新概念、新规则或新运算构建数学模型，要求学生‌快速理解材料并迁移应用‌解决相关问题。 例1．（24-25八年级上·山西晋中·期中）我们已经从定义、表示、特征三个方面研究了平方根与立方根．实际上，数的方根的概念可以推广．类比平方根与立方根的学习，博学小组合作探究了次方根，下面是他们写的“次方根的学习档案”的部分内容．请认真阅读，并帮助其补充完整． 次方根的学习档案 定义：如果一个数的次方等于（是大于1的整数），即，那么这个数就叫做的次方根． 例如2是16的 ． 求一个数的次方根的运算叫做 ，叫做 ． 特征：根据次方根的意义，结合平方根与立方根的特征，探究发现正数、0和负数的次方根的特征如下： 正数的次方根是正数；0的次方根是 ；负数 ． 变式1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若n为自然数，对下面判断正确的是（    ） A．一定无意义 B．一定有意义 C．若n为奇数，则必有意义 D．一定成立 变式2．（24-25七年级下·河南周口·期中）已知变换：例如则的变换结果是（  ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级下·江西上饶·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：．华罗庚是按照下面的方法算出的：由，，从而确定是两位数，由的个位上的数是，所以能确定的个位上的数是，如果划去后面的三位得到数，而，，由此就能确定的十位上的数是，所以的立方根是．模仿华罗庚的方法，请确定的立方根是 ． 1．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根； ③平方根与立方根相等的数有0和1； ④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数． A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤ 2．（23-24八年级上·河北唐山·期中）甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：甲：当时，乙：时，丙：当时，则下列说法正确的是（    ） A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确 3．（2024·浙江·七年级阶段练习）若与互为相反数，则的值为（ ）． A． B． C． D． 4．（2025·江苏盐城·一模）的立方根是（   ） A． B． C． D． 5．（2025七年级下·江苏·专题练习）若的值为4，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025七年级下·山西·专题练习）如图，该几何体由8个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）球体的体积与其半径的关系为．如图，该球体的体积为，那么它的半径（    ） A．，且更接近于3 B．，且更接近于3 C．，且更接近于2 D．，且更接近于4 8．（2025七年级下·湖南·专题练习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 10．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）如图，二阶魔方为的正方体结构，本身只有8个方块，没有其他结构的方块，结构与三阶魔方相近，可以利用复原三阶魔方的公式进行复原．已知二阶魔方的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），那么每个方块的边长为（    ）    A． B． C． D． 11．（2025七年级下·江苏·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．负数没有立方根 C．一个数有立方根，那么它的立方根一定为正数 D．一个数的立方根与这个数同号 12．（23-24八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（    ） A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根 C． D． 13．（2025七年级下·山东·专题练习）125的立方根为 ，的平方根为 ． 14．（24-25八年级下·辽宁丹东·开学考试）立方根等于它本身的数是 15．（24-25七年级下·广东江门·期中）若，则x的值为 ． 16．（24-25七年级下·全国·课后作业）若的立方根是，则的平方根是 ． 17．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知，则的平方根为 ． 18.（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，依据题意，可得 ， ．    19．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是．(1)求a，b，c的值：(2)求的平方根和立方根． 20．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数；(2)求关于的方程的解． 21．（24-25七年级下·福建福州·期中）【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互质的两个整数，且，则，即 ① ． 因为是整数且不为0，所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则．所以 ② ． 所以也是偶数，与是互质的整数矛盾．所以是无理数． 【解决问题】(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；(2)证明：是无理数． 22．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长；(2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明；(3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 23．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚怎样迅速准确地计算出来的吗？ 请按照下面的问题试一试： (1)由，可以确定是______位数，由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是_______．如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此可以确定的十位上的数字是_______； (2)已知是整数的立方，按照上述方法，请你求它的立方根． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$