精品解析：2025年河南省平顶山市鲁山县西部山区初中二模数学试题

2025鲁山县西部山区初中中考二模数学试卷 数 学 （满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列有理数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线 和 相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，该纸杯的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 按一定规律排列的代数式：，，，，，，第 个代数式是（ ） A. B. C. D. 8. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形 中，分别以点 和 为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，水平放置的矩形 中，，，菱形的顶点 ，在同一水平线上，点与 的中点重合，，，现将菱形以的速度沿 方向匀速运动，当点 运动到 上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形 重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若每个篮球30元，则购买n个篮球需_____________元． 12. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分） 13. 已知方程的两根分别为，，则的值为______． 14. 如图，， ，，，点D，E分别在边上，，连接 ，将沿 翻折，得到，连接 ，．若的面积是面积的2倍，则______． 15. 如图，现有正方形纸片 ，点E，F分别在边上，沿垂直于 的直线折叠得到折痕，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边 上，且，则______（用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，，与的交点为P，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： 【收集数据】 100 94 88 88 52 79 83 64 83 87 76 89 91 68 77 97 72 83 96 73 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用 表示） 等次 频数（人数） 频率 不合格 1 0.05 合格 a 0.20 良好 10 0.50 优秀 5 b 合计 20 1.00 【分析数据】 此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是c； 【解决问题】 （1）填空：__________，__________，__________； （2）若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人？ （3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法． 18. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点 ，连接，求的面积． 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段 的垂直平分线l，分别交 ， 于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接 ，若 ，求 的长． 20. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为 ．在 处测得桥塔顶部 的仰角（）为，测得桥塔底部 的俯角（）为，又在 处测得桥塔顶部 的仰角（）为． （1）求线段 的长（结果取整数）； （2）求桥塔 的高度（结果取整数）．参考数据：． 21. 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将 、 两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件 品种柑橘礼盒比 品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件 品种柑橘礼盒和件 品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工 、 两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出 、 两种柑橘礼盒共盒，且 品种柑橘礼盒售出的数量不超过 品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排 、 两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 22. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知 和，，，，．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形 中，点E，F分别在对角线和边 上，，．用等式写出线段 ，， 的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形 中，点E在对角线上，点F在边 的延长线上，，．用等式写出线段 ，， 的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025鲁山县西部山区初中中考二模数学试卷 数 学 （满分：120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列有理数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握比较有理数大小的方法．根据有理数的大小比较选出最小的数． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A． 2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家．将4015000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时， 是非负数，当原数绝对值小于1时， 是负数，表示时关键是要正确确定 的值以及 的值． 【详解】解：． 故选：B． 3. 如图，直线 和 相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 4. 如图，该纸杯的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案． 此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 【详解】解：该纸杯的主视图是选项A， 故选：A． 5. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴符合题意的是A 故选A． 6. 如图，在 中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； 故选：． 7. 按一定规律排列的代数式：，，，，，，第 个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键． 【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，， ∴第 个代数式是， 故选：． 8. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，根据题意画出树状图，求和后利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是 ， 故选：B 9. 如图，在矩形中，分别以点 和 为圆心， 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得，由勾股定理得出，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 【详解】解：连接 ， 根据题意可得， ∵矩形，∴，， 在中，， ∴图中阴影部分的面积． 故选：D． 10. 如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点 ， 在同一水平线上，点 与 的中点重合，，，现将菱形以的速度沿 方向匀速运动，当点 运动到 上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为 ，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若每个篮球30元，则购买n个篮球需_____________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，熟练掌握代数式的书写格式是解题的关键． 根据总价=数量×单价，进而求出篮球的总价即可． 【详解】解：若每个篮球30元，则购买n个篮球需元， 故答案为：． 12. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分） 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了中位数的知识，解题的关键是了解中位数的求法，难度不大． 根据中位数的定义（数据个数为偶数时，排序后，位于中间位置的数为中位数），结合图中的数据进行计算即可； 【详解】解：∵共有12个数， ∴中位数是第6和7个数的平均数， ∴中位数是； 故答案为：90． 13. 已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 【详解】解： 方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 14. 如图， ，，，，点D，E分别在边上，，连接 ，将沿 翻折，得到，连接 ，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设 与 相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿 翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设 与 相交于M， 则，又 ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 15. 如图，现有正方形纸片，点E，F分别在边上，沿垂直于 的直线折叠得到折痕 ，点B，C分别落在正方形所在平面内的点，处，然后还原． （1）若点N在边 上，且，则______（用含α的式子表示）； （2）再沿垂直于 的直线折叠得到折痕，点G，H分别在边上，点D落在正方形所在平面内的点处，然后还原．若点在线段上，且四边形是正方形，，， 与的交点为P，则的长为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】①连接，根据正方形的性质每个内角为直角以及折叠带来的折痕与对称点连线段垂直的性质，再结合平行线的性质即可求解； ②记与交于点K， 可证：，则，，由勾股定理可求，由折叠的性质得到：，，，，，则，，由，得，继而可证明，由等腰三角形的性质得到，故． 【详解】解：①连接，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴， 故答案为：； ②记与交于点K，如图： ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，而， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键． （1）先算括号里面的，再算乘法，负整数指数幂，最后算加减即可； （2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 为了解七年级男生体能情况，某校随机抽取了七年级20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： 【收集数据】 100 94 88 88 52 79 83 64 83 87 76 89 91 68 77 97 72 83 96 73 【整理数据】 该校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用表示） 等次 频数（人数） 频率 不合格 1 0.05 合格 a 0.20 良好 10 0.50 优秀 5 b 合计 20 1.00 【分析数据】 此组数据的平均数是82，众数是83，中位数是c； 【解决问题】 （1）填空： __________，__________，__________； （2）若该校七年级共有300名男生，估计体能测试能达到优秀的男生约有多少人？ （3）根据上述统计分析情况，写一条你的看法． 【答案】（1）4，0.25，83 （2）75人 （3）男生体能状况良好 【解析】 【分析】本题考查频数分布表和用样本估计总体： （1）利用频数=频率×数据总数可求出a的值；利用频率=频数÷数据总数可求出b，最后根据中位数定义可求出c； （2）用样本估计总体可得结论； （3）结合分析，得出看法 【小问1详解】 解：； ； 把20个数据按从小到大的顺序排列为：52，64，68，72，73，76，77，79，83，83，83，87，88，88，89，91，94，96，97，100， 最中间的两个数据为83，83， 所以，， 故答案为：4，0.25，83； 【小问2详解】 解：（人） 答：估计体能测试能达到优秀的男生约有75人； 【小问3详解】 解：从样本的平均数、中位数和众数可以看出，男生整体体能状况良好 18. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点 ，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点 坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【小问1详解】 解： 点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令 ，则 ， ∴记直线与 轴交点坐标为，连接 ， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， 由题意得：， ∴同底等高， ． 19. 如图，在 中，，． （1）尺规作图：作线段 的垂直平分线l，分别交 ， 于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接 ，若 ，求 的长． 【答案】（1） 如下直线l即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交 ， 于点D，E，作直线 ，则直线l即为所求． （2）连接 ，由线段垂直平分线的性质可得出 ，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出 为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 如下图： ∵ 为线段 的垂直平分线， ∴ ， ∴， ∴， ∴ 为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 20. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为 ．在 处测得桥塔顶部 的仰角（）为，测得桥塔底部 的俯角（）为，又在 处测得桥塔顶部 的仰角（）为． （1）求线段 的长（结果取整数）； （2）求桥塔 的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出 ，根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：设，由，得． ，垂足为 ， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段 的长约为． 【小问2详解】 在中，， ． ． 答：桥塔 的高度约为． 21. 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将 、 两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件 品种柑橘礼盒比 品种柑橘礼盒的售价少 元．且出售件 品种柑橘礼盒和件 品种柑橘礼盒的总价共元． （1）求 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ （2）已知加工 、 两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出 、 两种柑橘礼盒共盒，且 品种柑橘礼盒售出的数量不超过 品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排 、 两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】（1） 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 （2）要使农户收益最大，销售方案为售出 种柑橘礼盒盒，售出 种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设售出 种柑橘礼盒盒，则售出 种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，设收益为 元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为 元，b元，根据题意得， 解得： 答： 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； 【小问2详解】 解：设售出 种柑橘礼盒盒，则售出 种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得： 设收益为 元，根据题意得， ∵ ∴ 随的增大而减小， ∴当时， 取得最大值，最大值为（元） ∴售出 种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出 种柑橘礼盒盒，售出 种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 22. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时， 有最小值为 （2）解：∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时， 有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出 的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ； ∴； ②∵， ∴当时， 有最小值为； （2）略 （3）正确； ∵， ∴当时， 有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知 和 ，，，，．用等式写出线段 ， ， 的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线 和边 上，，．用等式写出线段 ， ，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线 上，点F在边 的延长线上，，．用等式写出线段 ， ，的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形， 是正方形的对角线， ∴， 平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交 的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交 的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $