第十四章 全等三角形（复习课件）数学人教版2024八年级上册

人教版 八年级上册 第十四章 全等三角形小结复习 学习目标 1.全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2.掌握全等三角形的判定条件，并能进行简单的证明和计算，掌握综合法证明的格式； 3.掌握角平分线的性质及判定，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明； 4.掌握常见的全等辅助线做法和全等模型. 1 思维导图 2 知识串讲 3 考点解析 5 布置作业 4 针对训练 思维导图 SI WEI DAO TU 全等三角形概念 全等三角形判定 判定 两个能够完全重合的三角形图形 性质 平移、翻折和旋转 直角三角形：SSS,SAS,ASA,AAS,HL 一般三角形：SSS,SAS,ASA,AAS 全等三角形 角平分线 对应边相等，对应角相等，对应的高线、中 线和角平分线相等，周长相等，面积相等 全等三角形性质 考点串讲 KAO DIAN CHUAN JIANG A B C 全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形,叫做全等三角形 E D F “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”. △ABC≌△DEF 几何语言 ∵△ABC≌△DEF（已知） ∴AB=DE, BC=FE, AC=DF（全等三角形的对应边相等） ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F（全等三角形的对应角相等） ; A B C 全等三角形性质： 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. 全等三角形面积相等，周长相等. E D F 考点串讲 KAO DIAN CHUAN JIANG 全等三角形判定：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(简写成“边角边”或“SAS”) 用几何语言表达为： 在△ABC与△DEF中 ∴ A B C E D F 考点串讲 KAO DIAN CHUAN JIANG 全等三角形判定：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”） 用几何语言表达为： 在△ABC与△DEF中 ∴ A B C E D F 考点串讲 KAO DIAN CHUAN JIANG 全等三角形判定：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 用几何语言表达为： 在△ABC与△DEF中 ∴ A B C E D F 考点串讲 KAO DIAN CHUAN JIANG 全等三角形判定：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 用几何语言表达为： 在△ABC与△DEF中 ∴ A B C E D F 考点串讲 KAO DIAN CHUAN JIANG 全等三角形判定：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL” 用几何语言表达为： 在Rt△ABC与Rt△DEF中 ∴ A B C E D F 考点串讲 KAO DIAN CHUAN JIANG 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何语言： ∵点P是∠AOB平分线上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等） P C 考点串讲 KAO DIAN CHUAN JIANG 角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE ∴OP是∠AOB的平分线(或∠AOC=∠BOC) P C 考点串讲 KAO DIAN CHUAN JIANG 角的平分线的性质 图形 已知条件 结论 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 考点串讲 KAO DIAN CHUAN JIANG 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点一、全等三角形的性质 例1．如图，，连接，与交于点，，，． (1)求的度数； 解(1)：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，∴． 两个三角形全等即可得角等，边等 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点一、全等三角形的性质 例1．如图，，连接，与交于点，，，． (2)求的度数． 解(2)：∵，，， ∴，， ∵，∴， ∴， 由（1）已得：， ∴． 考点剖析 KAO DIAN PO XI 例2.如图所示，已知于D． (1)判断与的位置关系，并说明理由． 解：，理由如下： ∵，∴， ∵，∴， 又∵， ， ∴，即 考点一、全等三角形的性质 考点剖析 KAO DIAN PO XI 方法点拨 凡遇问两直线位置关系：一般为平行和垂直两种情况； 证平行：同位角，内错角，同旁内角，多条平行线或者两条垂线; 证垂直：90° 此题模型：“8”字模型 考点一、全等三角形的性质 考点剖析 KAO DIAN PO XI 例2.如图所示，已知于D． (2)已知，求的长． 解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 考点一、全等三角形的性质 考点剖析 KAO DIAN PO XI 例3.如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，求点Q运动速度. 考点一、全等三角形的性质 考点剖析 KAO DIAN PO XI 【分析】(1)遇动点问题：有速度，设时间，表示路程； (2)用文字表示全等时，注意分类讨论 本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 考点一、全等三角形的性质 考点剖析 KAO DIAN PO XI 解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，∴， ∵， ∴或， 当时，，，∴，解得：， ∴，解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 考点一、全等三角形的性质 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 1.如图，已知，点D在边上，与交于点P，，． (1)求的度数； 解(1)： ，， ． ∵，， ，即， ． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 1.如图，已知，点D在边上，与交于点 (2)若，求与的周长之和． 解(2)：∵， ，， ∴与的周长之和， ． 2.如图，，点A、F、C、E在一条直线上，连接．若 ，求的度数 解：，， ， ， 平分，， 设，则 在中，根据三角形内角和定理，得， 解得：， 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.如图，在中，,将沿方向向右平移得到，交于 G，已知，求阴影部分的面积． 解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴，∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴，∴， ∵，∴， ∴梯形的面积=， ∴阴影部分的面积． 4.如图：在中，、分别是、两边上的高． (1)求证：； 解(1)：∵、分别是、两边上的高． ∴， ∵， ∴ ∴； 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 4.如图：在中，、分别是、两边上的高． (2)当时,与的位置关系如何,请说明理由． 解(2)：，理由如下： ∵，∴， ∵是两边上的高．∴， ∴， 即， ∴，∴． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 5.如图，在中，已知，,，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当t为时， ． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 解， ，，，， 如图，当点在射线上时，在上，， ，， ， ． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 如图，当点在的反向延长线上时， ，， ，， ， ． 综上所述，当或时， 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点二、全等三角形的判定 例1.根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（    ）． A．如图1，线段与相交于点O,,与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 C 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点二、全等三角形的判定 例2.如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，． 求证： (1) 证明（1）：∵， ∴． 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点二、全等三角形的判定 (2)． 证明（2）：∵， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴，∴． 例3.如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，．(1)求证：． 解（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点二、全等三角形的判定 (2)求证：G是线段的中点． 解（2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点二、全等三角形的判定 方法点拨： 1.两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角； 2.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角； 3.有公共边的，公共边一定是对应边；4.有公共角的，公共角一定是对应角. 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点二、全等三角形的判定 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 1.如图，∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由。 （1） （ ） （2） ( ） （3） （ ） （4） （ ） A B D C AD=BC ∠ DAB= ∠CBA BD=AC ∠ DBA= ∠ CAB HL HL AAS AAS 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2．如图，，，，图中全等的三角形共有_________对 4 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.如图，在中，，，为上一动点，连接,，垂足为.过点作于点． (1)如图1，连接，试说明． 证明：， ， ∵ ， ∵ ∴ ∴ 在和中， 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.如图，在中，，，为上一动点，连接,，垂足为.过点作于点 (1)如图1，连接，试说明． ， ， ， ， ， 即； 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN (2)如图2，连接，交于点，与全等吗？请说明理由． 解（2）全等，理由如下： 证明：，，， 在和中，， ； 例1.如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． (1)求证：； 解（1）点是的中点，， 在和中， ． 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点三、全等三角形的性质和判定 (2)求证：． 证明（2）， ， ，， ，． 在和中，，， ， ， ． 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点三、全等三角形的性质和判定 例2.如图①，在中，，的角平分线交于点D． (1)在的延长线上取一点E，使得，求证：； 证明(1)：∵的角平分线交于点D． ∴， 在和中，， ∴， ∴； 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点三、全等三角形的性质和判定 例2.(2)如图②，在（1）的条件下，在上取一点F，使，若，求； （2）∵，， ∴， ∵，∴， ∴， 在和中，， ∴，∴， ∴； 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点三、全等三角形的性质和判定 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点三、全等三角形的性质和判定 证明全等三角形，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线. 1..已知：如图，交于． (1)若，求证：． 证明(1)：，，， ，， 在和中，， ， ； 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2.如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； 证明（1）：∵在和中， ，∴， ∴， ∴平分； 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2.(2)若，求四边形的面积； 解（2）∵，∴， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积 ； 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2.(3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 解（3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N， 交于点M，示意图如图所示．(1)求证： 证明(1)：在中，∵，， ∴，又∵点D是的中点， ∴，且， ∴，又∵是直角三角尺， ∴，即，∴ 在和中 ∴,∴； 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.(2)连接，，如图所示，求证： （2）证明：∵ ∴，， ∴，且由于是含45°直角三角尺， ∴， ∴ 即 在和中 ∴， ∴； 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点四、角平分线的性质和判定 例1.如图，，点为与的平分线的交点，于，若，求与两平行线之间的距离 解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 方法点拨:遇角平分线问题,常做辅助线为角平分线上的点到角两边的距离; 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点四、角平分线的性质和判定 例2.如图，点E，F分别在，上，，．求证：平分． 证明：过点作于，于， ． ，且， ． 在和中，， ∴，． ，， 平分． 角平分线的判定:①直接证明角等; ②证明到角两边的垂线段相等; 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点四、角平分线的性质和判定 例3.如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； 证明（1）：∵是的平分线， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点四、角平分线的性质和判定 (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 解(2)：， 理由如下：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 方法点拨：证明线段的和差问题，重点是通过等线段代换法，将线段转化在同一直线上. 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 1.如图，在中，，平分，于点．若，求的面积 解：过作于， 平分，于点． ， 又，， 的面积为： 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求证：平分． 证明：， ， ，， ， ， ， 平分； 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN (2)求证：平分． 证明：如图，过点作于点 ，于点， 由（1）可得：是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 点在的平分线上， 平分； 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN (3)若，，，，求的面积． 解：设， 由（2）可得：， ，，， ， 即：， 解得：， ， ． 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 1、截长补短 证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一条短线段，然后证明剩下的线段等于另一条短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一条短线段，再证明延长后的线段等于长线段. 考点剖析 KAO DIAN PO XI 截长：例如a=b+c，将线段a截成两段，一段等于b，再证明另一段等于c。 截长法：在AC上截取AE=AB,链接DE 补短法：延长AB至点F，使得AF等于AC，连接DF 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 补短：例如a=b+c，通过延长或者旋转等方法，把b和c拼成一条线段，再证明和a相等。 考点剖析 KAO DIAN PO XI 例1.如图，在中，交于点D，平分，且．证明 E 法一、证明：在上截取，使得， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴，， ∵，∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，∴； 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 考点剖析 KAO DIAN PO XI 例1.如图，在中，交于点D，平分，且．证明 E 法二、证明：延长AB至点E，使得， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 该类题目中常出现等腰三角形、 角平分线等关键词，通过截长补 短法构造全等三角形，再利用全 等三角形的判定和性质进行解题。 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 例2.(1)如图1，四边形中，，是上一点，平分，平分，猜想并证明线段的长度满足的数量 ； 解：结论： 如图，过点有作， ，． 又，． 平分，． 又． ． ． 同理可得． ． 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 例2.(2)如图2，将(1)中的条件“°”改为“”，其他条件不变，(1)中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例； 解（2）成立，理由如下： 在上截取，连接，如图所示：  、分别平分、， ，， 在和中， ， ， ，，， 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 例2.(2)如图2，将(1)中的条件“°”改为“”，其他条件不变，(1)中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例； 在和中， ， ， ， ； 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 例2.(3)将(1)中的条件“”改为“”，其他条件不变，试探究线段之间的数量关系，并说明理由. 解（3），理由如下： 在上截取，， 连接，如图所示： 、分别平分、， ，， 在和中， ， ， 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 例2.(3)将(1)中的条件“”改为“”，其他条件不变，试探究线段之间的数量关系，并说明理由. 在和中， ，， ，， 为等边三角形 ， ； 1.如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证： 证明：， ， 、分别平分、， ， ， ， ， ， 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 1.如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证： 如图，在上截取，连接，   在和中，， ，， ， ，， 在和中，， ，， ，． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2.如图，在五边形中，，，，若，求的度数． 解：延长至点G，使，连接，． ∵，， ∴． ∵，，， ∴，∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴，∴． 又∵， ∴． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 3.如图2，在四边形中，已知，，，，，， ，求的长． 解：在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 3.如图2，在四边形中，已知，，，，，， ，求的长． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点五、构造全等常见辅助线做法—①截长补短 考点剖析 KAO DIAN PO XI 2、倍线中长法 当题目中出现中点或中线时，可以考虑延长中线变为原来的两倍，进而构造全等三角形。 如图：延长AD至点E，使得AD=DE，链接CE. 考点五、构造全等常见辅助线做法—②倍长中线 考点剖析 KAO DIAN PO XI 例3.在中，，求的中线取值范围． 解：如图，延长到F，使，连接，则； ∵为的中线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由三角形三边不等关系 得， 即， ∴， ∴． 考点五、构造全等常见辅助线做法—②倍长中线 例4.如图，是的中线，是的中线，， 求证(1)； (2) 解：如图2，延长至，使，连接 是中线，， 又，， ， ，， ，， ， 为中线，， ，， 又，， ，，， 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—②倍长中线 1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F． 求证：∠AEF=∠EAF． 证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM ∵D是BC边的中点∴BD=CD 在△ADC和△MDB中 ∴△ADC≌△MDB（SAS） ∴∠1=∠M，AC=MB ∵BE=AC∴BE=MB ∴∠M=∠3∴∠1=∠3 ∵∠3=∠2∴∠1=∠2即∠AEF=∠EAF 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点五、构造全等常见辅助线做法—②倍长中线 2.如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．求证：AD为△ABC的角平分线． 证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM ∵点E是BC的中点∴BE=CE 在△CFE和△BME中 ∴△CFE≌△BME（SAS） ∴CF=BM，∠F=∠M ∵BG=CF∴BG=BM ∴∠1=∠M∴∠1=∠F ∵AD∥EF∴∠3=∠F，∠1=∠2 ∴∠2=∠3,即AD为△ABC的角平分线 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点五、构造全等常见辅助线做法—②倍长中线 3.如图，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明： 证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点，， 又，， ，，， ，， 与互补， ， ， 又，， ，，； 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点五、构造全等常见辅助线做法—②倍长中线 考点剖析 KAO DIAN PO XI 3、半角旋转 当题目中出现过某个角的顶点引两条射线，使得这两条射线的夹角为这个角的一半。中间的“半角”等于旁边两个小角之和，通过旋转变换，将两个小角拼成和“半角”相等的角，构造全等三角形。 将三角形ADF绕点A顺时针旋转90°，AD与AB重合，F点旋转至点G。 考点五、构造全等常见辅助线做法—③半角旋转 例5.（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 考点剖析 KAO DIAN PO XI 解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到， 则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 考点五、构造全等常见辅助线做法—③半角旋转 例5.（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 考点剖析 KAO DIAN PO XI 在和中， ， ， ， 又， ． 考点五、构造全等常见辅助线做法—③半角旋转 考点剖析 KAO DIAN PO XI 例5.（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 解（2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到， 则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 考点五、构造全等常见辅助线做法—③半角旋转 1.如图，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．求证： 证明：将绕点顺时针旋转得到，  ，， ，，， ， 、、三点共线， ， ， ，，， ，． 考点五、构造全等常见辅助线做法—③半角旋转 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2.如图，在四边形中，分别是上的点，且．求证：． 证明：如图，延长至点G，使，连接． 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 考点五、构造全等常见辅助线做法—③半角旋转 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2.如图，在四边形中，分别是上的点，且．求证：． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 考点五、构造全等常见辅助线做法—③半角旋转 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，猜想并证明线段，，之间的关系 解：（1）延长到G，使，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，∴， ∴， ∵， ∴， 考点五、构造全等常见辅助线做法—③半角旋转 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.（2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 解（2）：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中，， ， ， 考点五、构造全等常见辅助线做法—③半角旋转 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.（2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． ， ， ， 在和中，， ，， ， ； 考点五、构造全等常见辅助线做法—③半角旋转 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.（3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 解（3）：（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中，， ∴，， 考点五、构造全等常见辅助线做法—③半角旋转 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.（3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． ∴， 又∵，， 在和中，， ， ， ，． 考点五、构造全等常见辅助线做法—③半角旋转 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 4、一线三等角 类型一、如图①，点P在线段AB上(同侧型)： →. 类型二、如图②，点P在线段AB的延长线上(异侧型)： →. 考点剖析 KAO DIAN PO XI 一般当时直角时，才会通过作垂线构造一线三等角 考点剖析 KAO DIAN PO XI 例6.在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； 证明（1）：①∵，∴， 因为于D，于E， ∴，， ∴， 在和中，，∴， ②由①知，∴，， ∴； 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角(作垂线) 考点剖析 KAO DIAN PO XI 例6.在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； 解（2） ：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 考点剖析 KAO DIAN PO XI 例6.在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 解（3） ：结论：． 与（2）同法可得， ∴，， ∴． 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 例7.如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，求点C的坐标． 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， 例7.如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，求点C的坐标． 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 例8.(1)如图1，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长． 解：（1）， ， ． ，． 在和中， ， ， ； 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 例8.（2）类比探究：如图2，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，已知：AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：CF+EF=BE； 证明（2）：， ， ， 在和中， ， ， ． 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 例8. （3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为27，则△ABE与△CDF的面积之和为？ 解（3）的面积为27，， 的面积是：， 由（2）中可知， 与的面积之和等于与的面积之和，即等于的面积是18． 1.如图，在中，．直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ 解：成立．理由如下： 设； ∴； ∴； 在和中, ∴；∴，； ∴；故成立． 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2.如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，求的度数． 解（1） ：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2.如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． (2)线段的长度为何值时，，请说明理由； 解（2）：当时，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴； 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2.如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 解（3）解：①当时， ∵， ∴， ∵， ∴点E和点C重合，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2.如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． ∵， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∵，∴， ∵，∴． 综上：或． 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 解（3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中，， ∴ ∴，， 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 考点五、构造全等常见辅助线做法—④一线三等角 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点剖析 KAO DIAN PO XI 5、手拉手模型 它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形． 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 如图，在△AOB中，OA=OB，OD=OE, →将△DOE绕点O旋转→△AOD≌△BOE. 考点剖析 KAO DIAN PO XI 例9.在中，，点D是线段上一点（不与B，C重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，若， ①试说明：； 解：①∵， ∴，即， 又∵，， ∴； 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 考点剖析 KAO DIAN PO XI ②判断与的位置关系_______，并说明理由； 解②，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即； 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 考点剖析 KAO DIAN PO XI 例9.(2)设，（如图2），则， 之间有怎样的数量关系?请直接写出结论． 解(2)：，理由如下： ∵ ∴，即， 在和中，， 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 考点剖析 KAO DIAN PO XI ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 例10.如图， 在四边形中，，， 连接． 若，求四边形面积. 解：过A作，交的延长线于E， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵， ∴， 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 在与中， ∴， ∴，的面积的面积， ∴四边形的面积的面积 ， 考点剖析 KAO DIAN PO XI 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 1.如图，在直线AB的同侧作△ABD和△BCE，△ABD和△BCE都是等边三角形，连接AE、CD，二者交点为H. 求证：（1）△ABE≌△DBC； （2）AE=DC； （3）∠DHA=60° 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 证明（1）：∵∠ABD=∠EBC=60°， ∴∠ABE=∠BCD， ∵BA=BD，BE=BC， ∴△ABE≌△DBC. （2）∵△ABE≌△DBC，∴AE=DC. （3）如图，∵△ABE≌△DBC，∴∠1=∠2， ∵∠DBH=∠AGB， ∴∠DHA=∠4=60°. 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 1.如图，在直线AB的同侧作△ABD和△BCE，△ABD和△BCE都是等边三角形，连接AE、CD，二者交点为H. 求证：（4）△AGB≌△DFB； （5）△EGB≌△CFB； （6）连接GF，则GF∥AC； 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 证明（4）如图，∵∠3=180°∠4∠CBE=60°， ∴∠4=∠3， ∵∠1=∠2，AB=DB，∴△AGB≌△DFB. （5）同理（4）可证△EGB≌△CFB. （6）如图①所示：连接GF，由（4）得，△AGB≌△CFB.∴BG=BF. 又∵∠5=60°，∴△BGF是等边三角形， ∴∠3=60°，∴∠3=∠4， ∴. 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 1.如图，在直线AB的同侧作△ABD和△BCE，△ABD和△BCE都是等边三角形，连接AE、CD，二者交点为H. 求证：（7）连接HB，则HB平分∠AHC. 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 证明（7）如图②所示： 过点B作BM⊥DC于M，过点B作BN⊥AE于点N. ∵△ABE≌△DBC， ∴S△ABE=S△DBC. ∴×AE×BN=×CD×BM， ∵AE=CD， ∴BM=BN. ∴点B在∠AHC的平分线上. ∴HB平分∠AHC. 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 2.(1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．求的度数； 解：，设与交于点O． ， 即． 在和中 ， ． ， ． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 2.(2)如图2，在和中，，， ，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； 解：① 证明如下：如图2 ， ， 即 在和中 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 2.(2)如图2，在和中，，， ，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； 解：② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 2.(3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 2.(3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． ，． 又， ，， ，． 又． ． ， 平分． ． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 3.在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接． (1)【观察发现】 如图①，猜想并证明与的数量关系； 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 证明：结论： ，理由如下 （1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 3.(2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； 考点五、构造全等常见辅助线做法—⑤手拉手旋转 解（2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则， ∴， 由（1）得， ∵∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． 针对训练 ZHEN DUI XUN LIAN 布置作业 P59-60 练习4，7，8，11 人教版 八年级上册 感谢您的聆听！ THANKS $$