精品解析：2025年河南省驻马店市确山县九年级中考三模数学试题

2025年河南中考5月质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点表示的数的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 如图，一棵树生长在的山坡上，树干与山坡所成的锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 2024年河南企业100强发展态势持续稳定向好，入选100强榜单企业合计实现营收超万亿元．数据“万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某正方体的每个面上都有一个汉字．如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“喜”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 多 B. 乐 C. 长 D. 安 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 小航在观看2025年春晚中的魔术表演时，把“勺子”“杯子”“筷子”按照从左到右的顺序随机摆放，最右边是“杯子”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，将沿折叠，点落在点处，且，，三点共线．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是正方形的外接圆，以点为圆心，的长为半径在内画弧．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿直线运动到菱形的中心，再从该点沿直线运动到顶点．设点的运动路径总长为，．图2是点运动时随变化的关系图象，则菱形的周长为（ ） A. 4 B. 16 C. 5 D. 20 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个多项式：________． 12. 不等式组的解集为______． 13. 年月，西藏日喀则市定日县发生地震后，某校组织师生进行献爱心活动，积极向灾区捐款，捐款情况如图，图所示，则捐款的众数为______元． 14. 如图，在中，以为直径的交于点，与相切，且于点．若，，则的长为______． 15. 如图，等边三角形中，，线段绕点在平面内旋转，为的中点．若，则的最大值为________，最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 2025年2月7日，第九届亚洲冬季运动会在黑龙江省哈尔滨市盛大开幕．学校要从甲、乙两名同学中挑选一名参加志愿者工作，要求在普通话、体育知识和旅游知识等方面表现突出．为此，学校组织10名评委对两名同学进行评价，并整理、描述、分析如下： a．普通话得分 b．体育知识得分 甲：6 6 7 7 8 8 8 9 9 10 乙：6 7 7 7 8 8 8 8 9 10 c．普通话和体育知识得分统计表 项目 同学 普通话得分 体育知识得分 平均数 方差 平均数 中位数 甲 0.81 7.8 8 乙 8.7 1.61 7.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________，________； （2）请从普通话得分方面分析，甲、乙两名同学谁的表现更好； （3）为了从中选出更合适的人选，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 18. 如图，正方形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）将正方形向右平移使点的对应点落在反比例函数图象上； ①点到轴的距离为________； ②线段扫过的面积为________． 19. 如图，在中，平分，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 20. 法王寺塔，是中国最早的佛寺之一，约建于唐代盛期，是唐代甚至中国最优美的古塔，现为全国重点文物保护单位，某科技小组打算利用无人机来测量法王寺塔的高度．如图，无人机在距地面70米的空中水平飞行，当飞行到点A时测得塔尖C的俯角为37°，无人机飞过塔顶到达点B时，测得塔尖C的俯角为45°，已知A，B间的距离为85米，且点A，B，C，D在同一平面内．求法王寺塔的高度CD．（结果精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 21. 为庆祝中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，某商店计划购进，两种纪念币若干，已知购进种纪念币枚和种纪念币枚共需元；购进种纪念币枚和种纪念币枚共需元． （1）求枚种纪念币和枚种纪念币的进价各是多少元． （2）若该商店计划购进，两种纪念币共枚，种纪念币不超过种纪念币的，并将，两种纪念币分别以元枚和元枚的价格全部售出，请求该商店所获最大利润，并写出此时的进货方案． 22. 一次排球比赛中，排球被垫起后飞行路线可以看作抛物线．为了进行技术分析，教练员提供了排球飞行高度和飞行时间的几组对应关系数据如下表： 飞行时间 0.2 0.6 0.8 1 1.2 1.4 n 飞行高度 1.8 4.2 m 5 4.8 4.2 1.8 （1）填空：________，________； （2）根据表格，请确定抛物线的函数表达式； （3）已知某运动员在高度时扣球效果最佳，请问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳? 23. 综合与实践 对于几何图形，通常从它的定义、性质、判定、应用等方面进行研究，且从组成图形的要素及相关要素之间的关系展开．请运用已有的经验对“筝形”进行研究． 定义：有两组邻边相等的四边形叫做筝形． 操作判断 （1）用分别含有和的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是等形的有________（填序号）． 性质探究 （2）根据定义可得出筝形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是筝形，，． ①连接，，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求等形的面积（用含，的式子表示）． 拓展应用 （3）如图3，在中，，，，分别在，上取点，，使四边形是筝形，请直接写出筝形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南中考5月质量检测 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，数轴上点表示的数的相反数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，以及相反数，根据数轴得出数轴上点表示的数为，结合相反数的定义：只有符合不同的两个数互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：数轴上点表示的数为， 则的相反数是2， ∴数轴上点表示的数的相反数是2， 故选A． 2. 如图，一棵树生长在的山坡上，树干与山坡所成的锐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，平行线的性质，根据平行线的性质得出，根据，计算即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴，即树干与山坡所成的锐角为， 故选：C． 3. 2024年河南企业100强发展态势持续稳定向好，入选100强榜单企业合计实现营收超万亿元．数据“万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法． 根据科学记数法的定义表示即可． 【详解】解：万亿， 故选：C． 4. 某正方体的每个面上都有一个汉字．如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“喜”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 多 B. 乐 C. 长 D. 安 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：在正方体的展开图中，相邻的两个面不可能相对，只有中间隔一个面的两个面才能相对， 图中与“喜”隔一个字的是“安”字， “喜”字所在面相对的面上的汉字是“安”字，． 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，合并同类项，二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 逐一验证各选项的运算是否正确即可． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B正确； C：与非同类二次根式，无法化简为，故C错误； D：，故D错误； 故选：B． 6. 下列一元二次方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 通过计算每个一元二次方程根的判别式，判断其是否有实数根即可． 【详解】解： A：，方程有两个相同实数根，不符合题意； B：，方程有两个不同实数根，不符合题意； C：，方程有两个不同实数根，不符合题意； D：，方程无实数根，符合题意； 故选：D． 7. 小航在观看2025年春晚中的魔术表演时，把“勺子”“杯子”“筷子”按照从左到右的顺序随机摆放，最右边是“杯子”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率． 根据树状图确定所有可能的排列情况，再计算符合条件的情况数占总情况数的比例即可． 【详解】解：作树状图如图所示： 可知共6种情况，其中最右边是“杯子”的情况有2种， ∴最右边是“杯子”的概率为， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，将沿折叠，点落在点处，且，，三点共线．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用，先证明，进而得出，根据求出即可． 【详解】解：如图标注点．由题意可知，， 在中，由勾股定理，得． 由折叠，得，． ， ， ∵， ， ． 又，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， 点的坐标为． 故选A． 9. 如图，是正方形的外接圆，以点为圆心，的长为半径在内画弧．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，，为等腰直角三角形，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是正方形的外接圆， ∴，，为等腰直角三角形， ∴是直径． ， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了扇形面积公式，圆周角定理，正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的知识是解答本题的关键． 10. 如图1，点从菱形的顶点出发，沿直线运动到菱形的中心，再从该点沿直线运动到顶点．设点的运动路径总长为，．图2是点运动时随变化的关系图象，则菱形的周长为（ ） A. 4 B. 16 C. 5 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是根据函数的图象求出有关的线段的长度． 设菱形中心为，依据图象与菱形对角线垂直平分性质，得出、，再由勾股定理算得边长为，最后根据菱形周长公式求出周长即可． 【详解】解：设菱形的中心为． 当点从运动到中心时，， 所以， 所以在上（是的垂直平分线）． 由图2知，当时，点在的垂直平分线上运动． 所以，到的距离， 当时，逐渐为0，且点运动的两段路径均为直线， 经到的总路径长为，则到的距离． 因为菱形对角线互相垂直平分， 所以， 又，且， 根据勾股定理，菱形边长． 所以菱形周长为边长，即． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个多项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查多项式定义．根据题意直接写出一个多项式即可． 【详解】解：多项式． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出每一个不等式解集，然后求公共部分即可，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：解，得， 解，得， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 13. 年月，西藏日喀则市定日县发生地震后，某校组织师生进行献爱心活动，积极向灾区捐款，捐款情况如图，图所示，则捐款的众数为______元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图，众数，利用捐款元的人数及其百分比求出捐款总人数，进而求出捐款元的人数即可求解，掌握众数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴捐款总人数为人， ∴捐款元的有人， ∵， ∴捐款元的人数最多， ∴捐款的众数为元， 故答案为：． 14. 如图，在中，以为直径的交于点，与相切，且于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接，，由勾股定理求出，又，即，则，然后通过切线的性质得，从而有，等腰三角形的判定与性质得出，从而即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 在中，，，   ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∴，即， ∴， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，等边三角形中，，线段绕点在平面内旋转，为的中点．若，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、三角形的中位线、勾股定理等，解题的关键是识别出隐圆模型，作出合适的辅助线． 取的中点，连接，，根据三角形中位线的性质确定，再根据等边三角形的性质和勾股定理得出的值，当点在同一条直线上时，出现最大值和最小值． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， 则为的中位线， ． 是等边三角形， ． 又是的中点， ． 在中，由勾股定理， 得， 当点在同一条直线上时，出现最大值和最小值． 的最大值为，的最小值为． 故答案为；． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式除法，零指数幂运算法则进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则，是解题的关键． 【详解】解：（1） ． （2） ． 17. 2025年2月7日，第九届亚洲冬季运动会在黑龙江省哈尔滨市盛大开幕．学校要从甲、乙两名同学中挑选一名参加志愿者工作，要求在普通话、体育知识和旅游知识等方面表现突出．为此，学校组织10名评委对两名同学进行评价，并整理、描述、分析如下： a．普通话得分 b．体育知识得分 甲：6 6 7 7 8 8 8 9 9 10 乙：6 7 7 7 8 8 8 8 9 10 c．普通话和体育知识得分统计表 项目 同学 普通话得分 体育知识得分 平均数 方差 平均数 中位数 甲 0.81 7.8 8 乙 8.7 1.61 7.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的________，________； （2）请从普通话得分方面分析，甲、乙两名同学谁的表现更好； （3）为了从中选出更合适的人选，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 【答案】（1）8.7，8 （2）甲、乙两名同学的平均成绩相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲同学在普通话方面表现更好 （3）还应收集他们的旅游知识 【解析】 【分析】本题考查数据统计分析中的平均数，方差和中位数，解题关键是熟练掌握各个评价指标的计算方法及含义． （1）按照平均数计算公式：，直接计算，中位数依据：先排序，再根据总个数是奇数个的取最中间的那个数，总个数是偶数个的取最中间两个数的平均数，即可求解； （2）方差大小反映数据的离散程度，根据方差小说明更稳定，即可判断； （3）开放性问题，结合题意，如收集他们的旅游知识等． 【小问1详解】 解：由甲的普通话得分信息，可得，由中位数定义可知，乙的体育知识得分， 故，． 【小问2详解】 根据表格知，甲、乙两名同学的平均成绩相同，但甲的方差小于乙的方差，说明更稳定，所以甲同学在普通话方面表现更好． 【小问3详解】 由题意，还应收集他们的旅游知识的相关信息． 18. 如图，正方形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）将正方形向右平移使点的对应点落在反比例函数图象上； ①点到轴的距离为________； ②线段扫过的面积为________． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，点到坐标轴的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）将点代入反比例函数，即可解答． （2）①根据平移的性质可得的纵坐标为5，将代入反比例函数，求出，即可解答． ②根据平移的性质可知，线段扫过的图形为平行四边形，扫过的距离为：，高为4，利用平行四边形的面积公式计算，即可解答． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， ． 【小问2详解】 ①∵， ∴反比例函数的解析式为， 由图象可知、点的坐标为，当点的对应点落在反比例函数图象上时，令，则， ∴， 点到轴的距离为． 故答案为：． ②线段扫过的面积为∶． 故答案为：． 19. 如图，在中，平分，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：． 【答案】（1） 如图所示． （2） 证明：由（1）知，，， ，． ， ． 平分， ． 又， ， ，， ． 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段的垂直平分线交于点,点即为所求； （2）证明可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 法王寺塔，是中国最早的佛寺之一，约建于唐代盛期，是唐代甚至中国最优美的古塔，现为全国重点文物保护单位，某科技小组打算利用无人机来测量法王寺塔的高度．如图，无人机在距地面70米的空中水平飞行，当飞行到点A时测得塔尖C的俯角为37°，无人机飞过塔顶到达点B时，测得塔尖C的俯角为45°，已知A，B间的距离为85米，且点A，B，C，D在同一平面内．求法王寺塔的高度CD．（结果精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【答案】约为34米 【解析】 【分析】延长DC交AB于点E，设米，则，，根据得，解得，则，根据，即可求解． 【详解】解：延长DC交AB于点E，如解图所示． 由题意，得，，，米，米． 设米， 在中，∵，∴米． 在中，∵，，∴． ∵，∴，解得． ∴（米）． 答：法王寺塔的高度CD约为34米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 21. 为庆祝中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，某商店计划购进，两种纪念币若干，已知购进种纪念币枚和种纪念币枚共需元；购进种纪念币枚和种纪念币枚共需元． （1）求枚种纪念币和枚种纪念币的进价各是多少元． （2）若该商店计划购进，两种纪念币共枚，种纪念币不超过种纪念币的，并将，两种纪念币分别以元枚和元枚的价格全部售出，请求该商店所获最大利润，并写出此时的进货方案． 【答案】（1）枚种纪念币的进价为元，枚种纪念币的进价为元； （2）该商店所获最大利润为元，此时的进货方案为：购进种纪念币枚，购进种纪念币枚． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （）设枚种纪念币的进价为元，枚种纪念币的进价为元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设购进种纪念币枚，则购进种纪念币枚，设商店所获利润为元，根据题意得，求出的范围，根据题意得，然后通过一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设枚种纪念币的进价为元，枚种纪念币的进价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：枚种纪念币的进价为元，枚种纪念币的进价为元； 【小问2详解】 解：设购进种纪念币枚，则购进种纪念币枚， 根据题意，得， ∴， 设商店所获利润为元， 根据题意，得， ∵， ∴的值随的增大而增大， ∴当时，取最大值，此时（元）， ∴（枚）， 答：该商店所获最大利润为元，此时的进货方案为：购进种纪念币枚，购进种纪念币枚． 22. 一次排球比赛中，排球被垫起后飞行路线可以看作抛物线．为了进行技术分析，教练员提供了排球飞行高度和飞行时间的几组对应关系数据如下表： 飞行时间 0.2 0.6 0.8 1 1.2 1.4 n 飞行高度 1.8 4.2 m 5 4.8 4.2 1.8 （1）填空：________，________； （2）根据表格，请确定抛物线的函数表达式； （3）已知某运动员在高度时扣球效果最佳，请问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳? 【答案】（1）4.8；1.8 （2） （3）该运动员在排球被垫起后或扣球最佳 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，（1）根据表中数据求得对称轴为，再利用对称性求解即可； （2）设抛物线的函数表达式为，把代入解析式求解即可； （3）把代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：根据表中数据，可知当和时的函数值相等， ∴对称轴为， ，． 故答案为：4.8，1.8； 【小问2详解】 解：设抛物线的函数表达式为． 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问3详解】 解：当时，得， 解得或． 答：该运动员在排球被垫起后或扣球最佳． 23. 综合与实践 对于几何图形，通常从它的定义、性质、判定、应用等方面进行研究，且从组成图形的要素及相关要素之间的关系展开．请运用已有的经验对“筝形”进行研究． 定义：有两组邻边相等的四边形叫做筝形． 操作判断 （1）用分别含有和的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是等形的有________（填序号）． 性质探究 （2）根据定义可得出筝形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是筝形，，． ①连接，，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，求等形的面积（用含，的式子表示）． 拓展应用 （3）如图3，在中，，，，分别在，上取点，，使四边形是筝形，请直接写出筝形的面积． 【答案】（1）①③； （2）①垂直平分，理由如下： ，， ，在的垂直平分线上， 垂直平分； ②； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据含有和角的直角三角形的角度，即可解决问题； （2）①根据筝形的定义得，，进而可得，在的垂直平分线上，垂直平分； ②根据三角形的面积公式计算，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当，时；②当，时，分别求得对角线长，进而根据面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是筝形的有①③， 故答案为：①③； （2）①略 ②如图1，设与的交点为点， ， ； （3）分以下两种情况讨论： ①如图2，当，时， ， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ②如图3，当，时， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 平分， ， 如图3，过点作于点，则为等腰直角三角形，， 设，则， ， ， ， 解得， ， ． 综上，筝形的面积是或． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了新定义，垂直平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $