21.1 一元二次方程 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.1 一元二次方程 暑期预习讲义 思维导图 知识梳理 1. 一元二次方程的定义 知识点：形如 （）的方程，称为一元二次方程。 （1）"一元"：方程中只有一个未知数（通常用 表示）。 （2）"二次"：未知数的最高次数是 2（即 项必须存在）。 易错点： 1.忽略 的条件：例如，方程 是一元二次方程，必须满足 ，即 。 2.误判方程类型：如 不是一元二次方程，因为含有分式，不是整式方程。 2. 一元二次方程的一般形式 知识点：标准形式：（），其中： （1） 是二次项系数。 （2） 是一次项系数。 （3） 是常数项。 易错点： 1.未化为标准形式导致系数错误：如方程 应整理为 ，此时 ，，。 2.忽略系数符号：如 中，，而不是 2。 3. 一元二次方程的根（解） 知识点： （1）根（解）：使方程成立的未知数的值。例如， 是方程 的一个根，因为代入后等式成立。 （2）根的个数：一元二次方程最多有 2 个实数根（可能 1 个或无实数根）。 易错点： 1.混淆"根"与"解"：在方程中，"根"和"解"是同一个概念。 2.忘记检验增根：如从分式方程变形为整式方程时，可能产生不符合原方程的根，需代入验证。 4. 根据实际问题列一元二次方程 知识点： （1）审题：明确已知量和未知量。 （2）设未知数：通常设要求的量为 。 （3）找等量关系：根据题意建立方程。 易错点： 1.单位不统一：如长度用 cm，面积用 m²，会导致计算错误。 2.忽略实际意义：如解出 ，但边长不能为负数，需舍去。 5. 易混淆点补充 （1）判断方程类型：必须化为标准形式 再判断。 ①如 是一元二次方程（标准形式为 ）。 ②但 不是，因为最高次是 3。 （2）特殊情况： ①当 ，如 ，仍然是一元二次方程。 ②当 ，如 ，仍然是一元二次方程。 巩固练习 一、选择题 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，2，1 B．1，，1 C．0，， D．0，，1 3．若一元二次方程的二次项系数是2，则常数项是（　　） A． B． C．5 D．4 4．已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（　　） A．4 B．5 C． D． 5．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．m为任何实数 6．已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D． 7．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程没有一次项，则的值等于（　　） A．或 B． C． D． 二、填空题 9．已知一元二次方程的二次项系数是2，一个根是3，另一个根是，则这个方程为　 　． 10．把一元二次方程化成一般形式为　 　． 11．x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则2a﹣4b的值为 　 　． 12．在一次同学聚会上，见面时两两握手一次，共握36次手，设共有名同学参加聚会，则可列方程为　 　． 13．方程是关于的一元二次方程，则　 　． 三、解答题 14．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． 15．若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值． 16． 已知是方程的根，求代数式的值． 17．已知关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+3m﹣1＝0． （1）当m为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当m为何值时，该方程是一元一次方程？ 参考答案 1．D 2．B 3．B 4．D 5．A 6．B 7．A 8．C 9． 10． 11．－2 12． 13． 14．解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0， 它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1． 15．解：∵关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4=0的常数项为0， ∴m2﹣3m﹣4=0，即（m﹣4）（m+1）=0， 解得：m=4或m=﹣1， 当m=﹣1时，方程为5x=0，不合题意； 则m的值为4． 16．解：是方程的根， ， ， ． 17．（1）解：∵ 该方程是一元二次方程， ∴m2﹣4≠0， 解得：m≠±2， 当m≠±2时，该方程是一元二次方程； （2）根据题意，m2﹣4＝0且m+2≠0， 解得：m＝2， 故当m＝2时，该方程是一元一次方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$