21.2.2 公式法 暑期衔接讲义 2025—2026学年人教版数学九年级上册

21.2.2 公式法 暑期衔接讲义 2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、求根公式 1. 公式推导基础：基于配方法推导而来，适用于所有一元二次方程 2. 标准公式： 3. 公式意义：直接用方程系数计算根，避免重复配方过程 二、根的判别式 1. 定义：用于判断一元二次方程根的情况 2. 三种情况： 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根（有两个共轭复数根） 3. 注意事项：判别式使用前提是将方程化为一般形式 三、公式法解题步骤 1. 化一般式：将方程整理为 2. 算判别式：计算 3. 定根情况：根据 4. 代公式算：当 四、典型例题解析 例1：用公式法解方程 解： 3. 代入求根公式： 例2：判断方程 解： 五、易错点提示 1. 符号错误： 2. 公式混淆：区分求根公式与配方法的表达式 3. 计算失误：判别式和根号内数值计算容易出错，建议分步计算 4. 条件忽略：使用公式前必须确保方程是一元二次方程 巩固练习 一、选择题 1．方程 的整数解有(　　)组. A．6 B．5 C．4 D．3 2．对于任意实数，关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 3．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．如果关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是(　　). A． B． 且k≠0 C． D． 且k≠0 5．若实数k使得关于x的方程 恰有三个不同的实数根，则称k为“好数”，这样的好数 k 有(　　)个. A．1 B．2 C．3 D．4 6．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为（　　）． A．6，5，1 B．3，5， C．3，5，1 D．3，，1 7．亮亮在解一元二次方程＋▢＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是 （　　） A．7 B．12 C．16 D．18 8．设 、 、 是 三边，并且关于 的方程 有两个相等的实数根，判断 的形状，正确的结论是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 二、填空题 9．已知代数式x2-3与代数式的值互为相反数，那么x的值为　 　． 10．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　 　． 11．小亮在解一元二次方程时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个相等的实数根，则丢掉的常数项为　 　． 12．若关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第　 　象限． 13．关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=4，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m-3）2+b=0的根是　 　． 14．已知一元二次方程3x2+2x■＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是　 　．（只需填满足条件的任意一个整数即可） 三、解答题 15．解方程： （1）； （2）． 16．已知关于x的方程 （1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根. （2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长. 17．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围． 18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）如果此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根． 19．已知关于 的一元二次方程 . （1）求证：这个方程一定有实根； （2）若这个方程有一根为-3，试求 的值. 20．定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.2 公式法 暑期衔接讲义 2025—2026学年人教版数学九年级上册 思维导图 知识梳理 一、求根公式 1. 公式推导基础：基于配方法推导而来，适用于所有一元二次方程 2. 标准公式： 3. 公式意义：直接用方程系数计算根，避免重复配方过程 二、根的判别式 1. 定义：用于判断一元二次方程根的情况 2. 三种情况： 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程没有实数根（有两个共轭复数根） 3. 注意事项：判别式使用前提是将方程化为一般形式 三、公式法解题步骤 1. 化一般式：将方程整理为 2. 算判别式：计算 3. 定根情况：根据 4. 代公式算：当 四、典型例题解析 例1：用公式法解方程 解： 3. 代入求根公式： 例2：判断方程 解： 五、易错点提示 1. 符号错误： 2. 公式混淆：区分求根公式与配方法的表达式 3. 计算失误：判别式和根号内数值计算容易出错，建议分步计算 4. 条件忽略：使用公式前必须确保方程是一元二次方程 巩固练习 一、选择题 1．方程 的整数解有(　　)组. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解析】【解答】解：原方程整理得 即 ， 解之：-1≤y≤3， ∴整数y的值为-1，0，1，2，3， 当x=-1时，y2-4y+4=0，解之：y1=y2=2； 当x=0时，y2-3y=0，解之：y1=0，y2=3； 当x=1时，y2-2y-2=0，y的解不是整数； 当x=2时，y2-y-2=0，解之：y1=2，y2=-1； 当y=3时，y2=0，解之：y1=y2=0； ∴原方程的整数解有6组. 故答案为：A 【分析】将原方程转化为 ，利用b2-4ac≥0，可得到y的取值范围，从而可求出整数y的值，然后求出整数x的值，即可得到原方程的整数解的组数. 2．对于任意实数，关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不等的实数根 B．无实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【解析】【解答】解：， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，即可求解. 3．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】【解答】解：， ∴ ∴， 故选：D． 【分析】根据公式法及二次方程各项的定义即可求出答案. 4．如果关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是(　　). A． B． 且k≠0 C． D． 且k≠0 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，， ∴，且k≠0 故答案为：D. 【分析】根据一元二次方程根的判别式，列出不等式，解不等式即可. 5．若实数k使得关于x的方程 恰有三个不同的实数根，则称k为“好数”，这样的好数 k 有(　　)个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】【解答】解：x=±1为方程的根，若x=1为方程 的根，得k=14，另一根为 若x=-1为方程①的根，得k=2，另一根为-4； 若x=±1不为方程①的根，当k=0时，方程①的根为 当k≠0时，由△=0，得 故答案为：D. 【分析】将多项式分解为更简单因式的乘积，再根据一元二次方程根的判别式，判断一元二次方程根的情况；然后再分类讨论即可. 6．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为（　　）． A．6，5，1 B．3，5， C．3，5，1 D．3，，1 【答案】C 【解析】【解答】解：∵方程的解为：， ∴b=5，a=3， 而b2-4ac=13=52-4×3×c， ∴c=1. 故答案为：C. 【分析】根据方程的根并结合一元二次方程的求根公式即可求解. 7．亮亮在解一元二次方程＋▢＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是 （　　） A．7 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【解析】【解答】解：∵一元二次方程＋▢＝0有实数根， ∴ 解得；c≤16 则丢掉的常数项的最大值是16 故答案为：C. 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与a，b，c的关系。，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根；，一元二次方程有实数根。 8．设 、 、 是 三边，并且关于 的方程 有两个相等的实数根，判断 的形状，正确的结论是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【答案】B 【解析】【解答】由题可得： ， 整理得： ， 满足勾股定理的逆定理，则 为直角三角形， 故答案为：B． 【分析】根据根的判别式得出△，化简后得出，根据勾股定理的逆定理得出即可。 二、填空题 9．已知代数式x2-3与代数式的值互为相反数，那么x的值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意知x2-3+(-x)=0， 整理，得：x2-x-3=0， ∵，，， ∴， ∴x=. 故答案为：. 【分析】根据相反数的概念结合题意可得x2-3+(-x)=0，整理可得x2-x-3=0，求出判别式的值，然后利用求根公式可得x. 10．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　 　． 【答案】-4 【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，∴， 故答案为：-4. 【分析】根据根的判别式列出关于的方程求解. 11．小亮在解一元二次方程时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个相等的实数根，则丢掉的常数项为　 　． 【答案】9 【解析】【解答】解：设常数项为，由题意得 ， 一元二次方程有两个相等的实数根， ， 即： 解得：， 丢掉的常数项为； 故答案：． 【分析】设常数项为，根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案. 12．若关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第　 　象限． 【答案】三 【解析】【解答】解：∵a＝n，b＝﹣2，c＝﹣1，方程无实数根， ∴b2﹣4ac＜0 ∴（﹣2）2﹣4×（﹣1）×n＜0 ∴n＜﹣1 ∴n+1＜0，﹣n＞0 ∴一次函数y＝（n+1）x﹣n中，一次项的系数小于0，常数项大于0，其图象不经过第三象限． 故答案为：三． 【分析】先求出n+1＜0，﹣n＞0，再利用一次函数的图象与系数关系求解即可。 13．关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=4，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m-3）2+b=0的根是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：解方程a（x+m）2+b=0得x=-m±， ∵方程a（x+m）2+b=0（a，m，b均为常数，a≠0）的根是x1=4，x2=-6， ∴-m+=4，-m-=-6， ∵解方程a（x+m-3）2+b=0得x=3-m±， ∴x1=3-6=7，x2=3+4=-3． 故答案为：. 【分析】利用求根公式可得方程a(x+m)2+b=0的解，结合题意可得-m+=4，-m-=-6，方程a(x+m-3)2+b=0的根为x=3-m±，据此求解. 14．已知一元二次方程3x2+2x■＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是　 　．（只需填满足条件的任意一个整数即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】【解答】解：由题意，设一元二次方程为 则 ，解得 所以，被污染的常数项可以为0 故答案为0（答案不唯一） 【分析】设一元二次方程为 ，由于方程有实数根，可得△≥0，据此求出c的范围，即可得解（答案不唯一）. 三、解答题 15．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解： 开平方得，， 解得，； ​​​​​​ （2）解： ， ， ， ． 【解析】【分析】本题考查开平方法和公式法解一元二次方程． （1）直接开平方可得：，据此可求出一元二次方程的解； （2）先找出，进而可求出，利用公式法可求出一元二次方程的解. （1）解： 开平方得，， 解得，； （2）解： ， ， ， ． 16．已知关于x的方程 （1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根. （2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长. 【答案】（1）证明：∵Δ=b2-4ac=(k+2)2-8k=(k-2)2≥0， ∴无论k取任意实数值，方程总有实数根 （2）解：①b=c时， ∵方程x2-(k+2)x+2k=0有两个相等的实数根， ∴Δ=b2-4ac=(k-2)2=0，解得k=2， ∴此时方程为x2-4x+4=0，解得x1=x2=2， ∴△ABC周长为5； ②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1， ∵把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得 1-(k+2)+2k=0， 解得k=1， ∴此时方程为x2-3x+2=0， 解得x1=1，x2=2， ∴方程另一根为2， ∵1、1、2不能构成三角形， ∴所求△ABC的周长为5 【解析】【分析】(1)把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出Δ≥0可知方程总有实数根； (2)根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长. 17．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求k的取值范围． 【答案】（1）证明：由一元二次方程 x2﹣（k+3）x+2k+2＝0， 可得△＝[﹣（k＋3）]2﹣4×1×（2k＋2）＝k2﹣2k＋1＝（k﹣1）2≥0， 所以方程总有两个实数根； （2）解：因为x2﹣（k＋3）x＋2k＋2＝0，即（x﹣2）[x﹣（k＋1）]＝0， 解得x1＝2，x2＝k＋1， 因为方程有一个根小于0，可得k＋1＜0，解得k＜﹣1， 所以k的取值范围为k＜﹣1. 【解析】【分析】（1）由一元二次方程系数，求得，根据根与判别式的关系，得到方程总有两个实数根； （2）通过因式分解法求出两根，可得其中一个为实数2、一个为k＋1，根据方程一根小于0，得到不等式，进而求得k的取值范围. 18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）如果此方程有两个相等实数根，请求出这个实数根． 【答案】（1）方程整理为， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 又，， 解得， 且； （2）根据题意知， 解得， 则方程为，即， 则， ， 解得． 【解析】【分析】（1）先根据方程有两个不相等的实数根知Δ＞0，据此求出k的范围，再结合一元二次方程定义和二次根式有意义的条件可得答案； （2）由方程有两个相等实数根知Δ＝0，据此求出k的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得． 19．已知关于 的一元二次方程 . （1）求证：这个方程一定有实根； （2）若这个方程有一根为-3，试求 的值. 【答案】（1）证明： ， ∴ ∴这个方程一定有实根． （2）解：把 代入这个方程，得 ， 解得： ． 【解析】【分析】（1）根据根的判别式直接可求解；（2）将方程的解直接代入可求k的值． 20．定义新运算：对于任意实数m、n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2=（﹣3）2×2+2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x2﹣bx+a=0的根的情况． 【答案】解：∵2☆a的值小于0，∴22a+a=5a＜0，解得：a＜0．在方程2x2﹣bx+a=0中，△=（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0，∴方程2x2﹣bx+a=0有两个不相等的实数根． 【解析】【分析】由2☆a的值小于0，可得出a的取值范围，再求出一元二次方程根的判别式b2-4ac，再根据a的取值范围得出b2-4ac的值的情况，就可判断2x2﹣bx+a=0的根的情况。 学科网（北京）股份有限公司 $$