专题03 绝对值的几何意义与最值训练8大题型（专项训练）数学北京版2024七年级上册

专题03 绝对值的几何意义与最值训练（8大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两个绝对值的和的最值 1 题型二、两个绝对值的差的最值 2 题型三、多个绝对值的和的最值 3 题型四、绝对值中最值问题的应用 5 题型五、已知范围的绝对值化简 6 题型六、未知范围的绝对值化简 8 题型七、绝对值化简的新定义问题 8 题型八、绝对值化简问题综合 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一：两个绝对值的和的最值 1．我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，即可求解． （2）结合图形可得，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，表示的点与的点之间的距离表示为， 故答案为：． （2）解：可以表示的点与表示1的点的距离，跟表示的点与表示的点之间的距离的和，如图所 当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为， 即的最小值是，且此时的值为． 故答案为：，． 2．已知M、N在数轴上分别表示m、n． (1)对照数轴填写下表： m 6 -4 -6 -8 -1.5 n 4 -1 2 3 -1.5 M、N两点的距离 2 0 (2)若M、N两点间的距离记为S，则S和m、n（m＜n）数量关系是　； (3)当数x满足时，取得的值最小． 【答案】(1)3；8；11 (2) (3)3 【分析】（1）首先要明确两点间的距离，即为两数差的绝对值得出即可； （2）明确两点间的距离，即为两数差的绝对值（d=|m-n|）； （3）当-2≤x≤1时，有最小值，依此得出即可． 【详解】（1）解： |-4-（-1）|=3； |-6-2|=8； |-8-3|=11． 故答案为：3；8；11； （2）解：若M、N两点间的距离记为S，则S和m、n（m＜n）数量关系是 S=|m-n|． 故答案为：S=|m-n|； （3）解：|1-x|表示点x到点1的距离，|x+2|表示点x到点-2的距离， 当点x在点1和点-2之间时，即-2≤x≤1时，|1-x|+|x+2|的值最小， 其最小值为：3． 【点睛】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的两点的距离公式． 3．已知A、B在数轴上分别表示a，b． （1）对照数轴填写下表： a 6 -6 2 -1.5 b 4 4 -10 -1.5 A、B两点的距离 （2）若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系？ （3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和； （4）找出（3）中满足到5和-5的距离之差大于1而小于5的整数的点P ； （5）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x＋1|＋|x-2|取得的值最小 ？并求出最小值 ． 【答案】（1）见表格；（2）d=|a-b|；（3）P点的取值为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5，所有这些整数的和为0；（4）-2、-1、1、2；（5）点C在-1到2之间时，最小值是3． 【分析】（1）根据各数据分别计算即可得解； （2）根据绝对值的意义即可得到结果； （3）求出5到-5的距离正好等于10可知-5到5之间的所有整数点都可以，然后求解即可； （4）将（3）中的P点依次尝试即可得到答案； （5）根据数轴，求出-1到2的距离即为所取得的最小值． 【详解】解：（1）数轴为： 填表如下： a 6 -6 2 -1.5 b 4 4 -10 -1.5 A、B两点的距离 2 10 12 0 （2）根据绝对值的意义可知，d和a、b的数量关系为：d=|a-b|； （3）如图，∵5-（-5）=5+5=10， 因此从-5到5范围内所有的整数点都可以使它到5和-5的距离之和为10， P点的取值为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5， ， 所有这些整数的和为0； （4）在（3）中满足到5和-5的距离之差大于1且小于5的整数只有-2、-1、1、2， 故答案为：-2、-1、1、2； （5）|x+1|+|x-2|=|x-（-1）|+|x-2| ∵-1到2的距离是2-（-1）=2+1=3， ∴点C在-1到2之间时，|x+1|+|x-2|取得的值最小，最小值是3． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 4．如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：    (1)到广济街的距离等于两站的地方是________． (2)如果用表示数轴上的点表示的数，那么表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题： ①当满足________时，则的值最小，最小值是________； ②当满足________时，则的值最大，最大值是________． ③若，则满足条件的所有站地表示的数为________． (3)到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？若不存在，请说明理由． 【答案】(1)西门和端履门； (2)①1；②1；③满足条件的所有站地表示的数为，0，1或2； (3)到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16； 【分析】（1）观察图形可直接得出答案， （2）表示的是：表示a的点分别到点1和点2的距离的和；表示的是：表示a的点分别到点和点的距离的差；分情况讨论：当时，当时，当时，去绝对值化简即可； （3）根据这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是位于中间的两个可求得答案． 【详解】（1）解：由图可知，到广济街的距离等于两站的地方是西门和端履门； （2）解：①在数轴上表示的是：表示a的点分别到点1和点2的距离的和， ∴当a在点1和点2之间（包括1和2），即时，的值最小，最小值为； 解：②在数轴上表示的是：表示a的点分别到点和点的距离的差， ∴当时，的值最大，最大值为1； 解：③∵， ∴当时，， ∴； 当时，满足条件的所有站地表示的数为0或1； 当时，， ∴； 综上，满足条件的所有站地表示的数为，0，1或2； （3）解：这8个站间隔相等，距离之和最小的站地应该是是位于中间的两个，即广济站和钟楼站， 最小值是：， ∴到这8个站距离之和最小的站地存在，是广济站和钟楼站，最小值是16； 【点睛】本题考查了数轴上的点之间的距离及绝对值的化简法则等知识点，数形结合并分类讨论是解题的关键． 题型二：两个绝对值的差的最值 5．当 时，的值最大，最大值为 ． 【答案】 1 5 【分析】分、和三种情况讨论求出，问题随之得解． 【详解】当时，， 即， ∵， ∴； 当时，， 即； 当时，， 即， ∵， ∴， ∴； 综上：，当且仅当时，有最大值，最大值为5， 故答案为：1，5． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简求值，注重分类讨论的思想，是解答本题的关键． 6、学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 【答案】(1)原式 (2) 【分析】（1）根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可； （2）分别求出当，时式子的最值，即可得出结果； 【详解】（1）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； （2）当时，原式的最大值； 当时，原式的最大值； ∴的最大值为． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 7、阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简代数式． (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）零点值x=-2和x=4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：、和．分该三种情况找出|x+2|+|x-4||的值即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值． 【详解】（1）分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式 ； （2）当时，原式， 当时，原式，， 当时，原式， 则的最大值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用． 8、已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 【答案】(1)填表见解析； (2)； (3)当，的值总是一个固定值，为； (4)的最大值为，当时，的值最小，最小值为3． 【分析】（1）用较大的数减较小的数或作差加绝对值即可； （2）根据数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值即可得到答案； （3）读懂表示到和的距离之和，该问需要进行分类讨论； （4）根据可表示为到表示和1的点的距离之差最大，根据表示到和的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 15 3.5 （2）解：到表示6和的点的距离之和为12的点所表示的整数在和之间的整数有；； （3）解：根据的几何意义是，到的距离之和， 如果值总是一个固定值，则， 这个固定值为：； （4）解：当时，， 当时，， 当时，， 故的最大值为； 根据可表示为到表示1和的点的距离之和，根据两点之间，线段最短， 即当时 得到的值最小为3． 【点睛】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值． 题型三：多个绝对值的和的最值 9．课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用 （5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 【答案】（1）；（2）7；（3）或3；（4）或；结论：7，；（5）1，7；（6）若n为偶数，当时，取得最小值；若n为奇数，当时，取得最小值． 【分析】本题考查了绝对值的性质，数轴的性质，理解绝对值的几何意义是解答关键． （1）根据数轴上两点间的几何意义来求解． （2）根据题意得到，进而求得，，再利用绝对值的非负性求解． （3）分分三种情况：当时， 当， 当时来求解． （4）根据表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数来求解，再结合数轴上两点间距离的几何意义求解． （5）根据绝对值的几何意义，求出当为何值时，有最小值，然后求出最小值即可． （6）根据绝对值的几何意义，求出当为何值时 有最小值即可． 【详解】解：（1），即、两点的距离等于，两数之差的绝对值， 的意义可理解为数轴上有理数和-5这两点的距离． 故答案为：-5． （2）数轴上表示的点位于与2之间， ， ，， ． 故答案为：7． （3）若， 分三种情况： ①当时， ， ； ②当，， 此时方程无解； ③当时，， ． 故答案为：或3． （4）表示数轴上-5与2的点的距离和大于7的数， 或． 表示数轴上有理数和-5这两点的距离，表示数轴上有理数和2这两点的距离， 表示数轴上有理数的到-5及与2的距离之和， 当时，最小值为7． 故答案为：或；结论：7，． （5）表示数轴上表示的点到-5，-2，1三点的距离之和， 当时， 有最小值，最小值为7． 故答案为：1，7． （6）当为奇数时，中间的点为， 则当时，有最小值； 当为偶数时，中间的点为和， 则当或时，有最小值． 10．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)若，则等式表示的几何意义是什么？直接写出的值； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】(1)数轴上表示数和2的两点之间的距离为3，或 (2)6 (3)当时，代数式的值最小为4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、化简绝对值： （1）根据题中给出的数轴上两点之间的距离的计算公式即可求解； （2）根据当时化简绝对值即可求解； （3）利用数形结合思想即可求解； 熟练掌握数轴上两点之间的距离公式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：等式表示的几何意义是数轴上表示数和数2的两点之间的距离为3， 由得：， 当时，则， 当时，则． （2）依题意得： 当时， ． （3）代数式表示数轴上表示数的点与数1、数3和数5的点的距离之和， 如图所示：    当表示数的点在点B处时，代数式有最小值， 即当时，代数式的值最小为4． 11．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题 (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ； 表示和2的两点之间的距离是 ； 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于； (2)数轴上表示a和3的两点之间的距离表示为 ； 数轴上表示a和的两点之间的距离表示为 ； (3)数轴上表示a和的两点之间的距离是5，则 ； (4)数轴上表示a的点位于与2之间，则 ； (5)若数a满足，则 ； (6)当 时，的值最小，最小值是 ． 【答案】(1)3，5 (2)， (3)或 (4)7 (5)或 (6)2，7 【分析】（1）直接根据数轴上两点之间距离的表示方法计算即可； （2）直接根据数轴上两点之间距离的表示方法计算即可； （3）根据a和之间的距离是5列出方程，解之即可； （4）根据a的范围化简绝对值，再合并； （5）分，，三种情况，化简绝对值，解方程即可； （6）分析表示的意义，结合数轴解答即可． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是， 表示和2的两点之间的距离是； （2）数轴上表示a和3的两点之间的距离表示为， 数轴上表示a和的两点之间的距离表示为； （3）∵数轴上表示a和的两点之间的距离是5， ∴， 解得：或； （4）∵数轴上表示a的点位于与2之间， ∴， ∴； （5）当时，， 解得：； 当时，， 无解； 当时，， 解得：； 故a的值为或； （6）表示数轴上与，2和7的距离之和， ∴当时，的值最小， 最小值为． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，小问较多，解题的关键是理解绝对值的意义，按顺序逐步解答． 12．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 【答案】（1）；（2）①、4；②4；不小于0且不大于2，2；（3）6 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值化简，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据题意表示出式子即可； （2）①根据题意得到，再由数轴观察求解，即可解题； ②根据当x的值取在不小于且不大于3的范围时，结合绝对值性质化简求解，即可得到p的最小值，同理即可得到x的值取值范围，以及最小值； （3）根据材料2的方法，类比求解，即可解题． 【详解】解：（1）根据题意可知A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； （2）①， 由数轴观察可知，满足的x的所有值是、4； 故答案为：、4． ②当x的值取在不小于且不大于3的范围时， 即， 整理得， 所以这个最小值是； 同理，当时 ， 即最小值是； 故答案为：4；不小于0且不大于2；2； （3） 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，且最小值是；要使的值最小，x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数，且最小值是；显然x的值只要取到2之间（包括、2）的任意一个数能同时满足要求，且的最小值为． 题型四：绝对值中最值问题的应用 13．若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．    (1)已知点在数轴上表示的数分别为，且． ①______，______． ②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？ 【答案】(1)①，；②3 (2)点在之间（包含在点或上）时，的值最小，最小值为400米 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，绝对值的意义， （1）①根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0可求出a，b， ②由的几何意义可求其最小值； （2）本题考查了数轴上两点间的距离，判断出点P在之间时，取最小值，设表示的数为，有最小值，得到当时求解即可． 【详解】（1）①∵ ∴， ∴，； ②表示在数轴上对应的到两点之间的距离之和． 当在左边时，． 当在2右边时，． 当在之间时（包含在和2这两个点上时），． ∴的最小值是3． （2）由（1）②可知，点在之间（包含在点或上）时，的值最小， 设表示的数为，则有当在0至150（包含0和150）时，有最小值， 当时， 原式（米） 答：的最小值为400米． 14．小张、小潘、小王和小吴住在同一条东西走向的街上，分别记为A、B、C和D四点，规定向东为正，以B为原点画成如下图所示的数轴．“十一”假期，他们准备结伴去温州乐园，现有网约车来载他们去． (1)从数轴看，点C表示的数是 　　，点D表示的数是 　　． (2)如果网约车从原点出发，依次接上小潘、小王和小吴后，再向西行驶2000个单位长度接到小张．请问小张家的位置在数轴上表示的数是多少？并将其在数轴上表示出来． (3)如果网约车先接小张、小潘和小王，车应停在哪里使他们三人走的路程之和最小？最小路程是多少？ (4)触类旁通：的最小值是 　　．（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2)，数轴见解析； (3)车应停在B处，使他们三人走的路程之和最小，最小路程是1500； (4)8． 【分析】（1）看数轴即可得点C和点D表示的数； （2）根据题意列式求解即可； （3）根据题意可得他们三人走的路程之和为：，分，，，四种情况化简式子即可得结果； （4）由（3）可得，当时，取得最小值，代入计算即可． 【详解】（1） 解：由数轴可得， 点C表示的数是：，点D表示的数是：， 故答案为：，； （2） （2）由题意可得， 小张家的位置在数轴上表示的数是：， 在数轴上表示如下图所示， ； （3） （3）设车停的位置在数轴上对应的数为x， 则他们三人走的路程之和为：， 当时，， 当时，，则， 当时，，则 ， 当时，， 由上可得，当车停的位置在数轴上对应的数为0时，他们三人走的路程之和最小， 答：车应停在B处，使他们三人走的路程之和最小，最小路程是1500； （4） （4）由（3）可得， 当时，取得最小值， 此时， 故答案为：8． 【点睛】本题考查数轴与绝对值的综合题，懂得用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． 15．【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 【答案】（1）3；（2）；（3）8；（4）；（5）2；（6） 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）由两点间距离直接求解即可； （3）根据绝对值的性质化简绝对值，再计算即可； （4）由两点距离的意义进行求解即可； （5）当时代数式的值最小，即可得到答案； （6）取最中间点即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （3）， ； （4）①如图1，当时，， ②如图2，当时，， ③如图3，当时，， ∴当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （5）∵表示在数轴上数的点与表示数、和3的点的距离之和， ∴当时，取最小值，且最小值为： ； （6）为了使 2023 户居民到快餐店的距离总和最小，快餐店应建在中间位置，即第1012户居民处，即． 16．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的性质进行去绝对值即可； （2）①根据当在和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解；②根据题意得，即可求解； （3）、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为，根据题意可知，当在线段上时，、、、到的距离之和最小，则、、、到的最小距离之和为： ，即可求解． 【详解】（1）解：当点在线段上时，有最小值，最小值是， 故答案为：； （2）①表示到和的距离之和，当在和之间时，有最小值， 的最小值为， 故答案为：； ②代数式的最小值是， ， 解得：或； （3）如图所示，、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为， 由题意得：当在线段上时，、到的距离之和最小，当在线段上时，、到的距离之和最小， 当在线段上时，、、、到的距离之和最小， 、、、到的最小距离之和为： 当在线段上时，、、、到的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 题型五：已知范围的绝对值化简 17．如图所示，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a，b，c，化简（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由数轴判断式子的大小． 由数轴可知：，进而判断出，，，化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴， 故选：A． 18．有理数，，的位置如图所示，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，正确根据数轴得到，是解题的关键．根据数轴上点的位置得到，由此化简绝对值即可． 【详解】由数轴可知，， 得， 则 ， 故答案为：． 19．已知、在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】先判断，后化简计算即可． 本题考查了数轴上字母表示数，绝对值的化简，熟练掌握实数的大小比较，绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解：由已知图形可知：， ∴， ∴ ， ． 20．已知为实数，且它们在数轴上对应的点的位置如下图所示． (1)______，______，______；（填“”，“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，实数比较大小，绝对值的化简，根据数轴得到是解题的关键． （1）根据数轴得到，进而得出，，，即可得到答案； （2）去掉绝对值符号，再化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知，， ，，， 故答案为：； （2）解： ，，， ． 题型六：未知范围的绝对值化简 21．若，则的值是（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题．解此题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式， 故选：D． 22．若且，则值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的加法和除法，应用“分类讨论”的数学思想是关键．根据且可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可． 【详解】由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正． 当a，b，c为两正一负时， 当a，b，c为两负一正时，， 故答案为：1或 23．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简，熟练掌握是解答本题的关键． 根据，判断出，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出，，的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】解：， ，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①，，都是负数，即时， 则， ②当，，中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设， 则， 综上所述，值为或． 24．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或0或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟悉绝对值的化简方法是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （2）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （3）先分同号和异号两种情况求绝对值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴． （2）解：当时， ， ∴． （3）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴的值为2或0或． 题型七：绝对值化简的新定义问题 25．下列说法正确的序号是 ． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 【答案】②③④ 【分析】本题考查绝对值的意义、等式的性质等知识点，理解绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义以及题中条件逐个分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴a、b、c两个为正一个为负， 当a、b、c两个为正一个为负时，不防设， ∴； 综上，则的值为，即①错误； ②∵， ∴都加2023得：，即， ∴最小的数是w，最大的数是z，即②正确； ③适合的整数x，为范围内的整数，即，共7个，即③正确； ④当时， ∴a、b异号， 又∵，     ∴负数的绝对值大于正数得绝对值， 又∵， ∴， ∴， 根据， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 26．阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为时，点P，Q之间的距离（P，Q两点之间的距离用表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)式子表示的意义为 ． 【答案】(1)15 (2)点M到A，B两点的距离之和 【分析】此题考查了数轴的有关知识、绝对值的化简和数轴上两点间距离． （1）代入两点间的距离公式即可求得的长； （2）根据表示的意义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，10， ∴； 故答案为：15； （2）解：式子表示的意义为：点到A，B两点的距离之和； 故答案为：点到A，B两点的距离之和． 27．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示． ①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 【答案】(1)① ，②或 (2)或 【分析】本题考查了数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解两点的绝对距离的定义． （1 ）①根据两点的绝对距离的定义即可求解； ②先根据得到，再根据两点的绝对距离的定义即可求解； （2 ）根据两点间的距离公式，以及，即可写出点M表示的数． 【详解】（1）解：（1）①，两点的绝对距离为； ②∵，， ∴，即， ∴， ∴点表示的数为或； 故答案为：①，②或； （2）解：∵，，点在点左边， ∴点在点，N之间，，， ∴，； ∴点M表示的数为或 故答案为：或 28．对于有理数、，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 【答案】(1) (2) (3)不一定，举例见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题中的新定义计算即可得到答案； （2）根据、在数轴上的位置判断正负进行化简即可； （3）根据题意进行举例即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意可得， 故； （3）解：不一定， 时，即， 当时， 此时，等式成立，但， 故不一定有或者． 题型八：绝对值化简问题综合 29．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（）根据数轴解答即可求解； （）由可得式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，根据可得数不可能在与之间，再分在左侧和在右侧两种情况解答即可求解； （）由数轴可得，，进而得到，，，，再根据绝对值的性质化简合并即可； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和， ∵， ∴数不可能在与之间， 当在左侧时，则， 解得； 当在右侧时，则， 解得； ∴或， 故答案为：或； （3）解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴原式 ． 30．已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 【详解】解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 31．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答； （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可； （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 【详解】（1）解：分别令和，分别求得和， 所以和的零点值分别为和； （2）解：当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上讨论，原式； （3）解：当时，，解得； 当时，，解得， 所以原方程的解为或． 32．数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 【答案】(1)3，7 (2)2或 (3)c的值为或或或 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，化简绝对值，绝对值方程．熟练掌握化简绝对值，并分类讨论是解题的关键． （1）将值代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值，计算求解即可； （3）由题意知，当时，，，然后分当时；当时；当时；三种情况化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：3，7； （2）解：由题意知，当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 故答案为：2或； （3）解：当时，，， 当时，，则， 解得，； 当时，，则， 解得，； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，c的值为或或或 ． 1．（2024·安徽淮南·一模）表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图，则代数式|a－b|＋|a－c|－|b＋c| 的值等于 .    【答案】－2a 【分析】根据数轴求出a-b＜0，a-c＜0，b+c＞0，去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】解：∵从数轴可知：a＜0＜c＜b，|a|＞|b|， ∴a-b＜0，a-c＜0，b+c＞0， ∴|a-b|+|a-c|-|b+c| =b-a+c-a-b-c =-2a， 故答案为－2a. 【点睛】本题考查了绝对值，数轴，整式的加减的应用，主要考查计算和化简能力． 2．（2024·江苏苏州·一模）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是 ． 【答案】3 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果． 【详解】由数轴可知b＜-1，a＞1，且|a|＞|b|， 所以a-b＞0，a-2＜0，b+1＜0， 则|a-b|+|a-2|-|b+1|=a-b+2-a+b+1=3． 故答案为3． 【点睛】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键． 3．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）若有理数满足，则的最大值是 . 【答案】2 【分析】首先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，然后注意讨论结果有正负之分． 【详解】解：∵有理数x，y满足xy≠0， ∴=±1，=±1， ∴m=的最大值是m=1+1=2． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了实数的运算和绝对值的定义，也同时考查分类讨论思想． 4．（2024·广东珠海·一模）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b． (1)对照数轴填写下表： a 4 b 6 0 2 A、B两点的距离 2 0 (2)若A，B两点间的距离记为d，试写出d和a，b（）的数量关系___________； (3)写出数轴上到和1的距离之和为2的所有整数___________； (4)若x表示一个有理数，则的最小值为___________． 【答案】(1)6，2，12 (2) (3)，0，1 (4)4 【分析】（1）由即可求解； （2）由，又知，化简可得； （3）设数轴上一点为x，由与1的距离为2，可确定，求出符合条件的整数x即可； （4）由1与的距离为4，即可求的最小值为4． 【详解】（1）解：，则， ，则， ，则， 故答案为：6，2，12； （2）解：∵， ∴； 故答案为：； （3）解：设数轴上一点为x， ∵数轴上点x到和1的距离之和为2， ∴， ∵与1的距离为2， ∴， ∵x是整数， ∴x=，0，1， ∴数轴上到和1的距离之和为2的整数有，0，1； 故答案为：，0，1； （4）解：表示数轴上点x到1和的距离和最小， ∵1与的距离为4， ∴的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查绝对值与数轴，理解绝对值的意义，掌握数轴上两点间距离的求法是解题的关键． 5．（2024·河北唐山·二模）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题： (1)数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是　 　，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是　 　； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为　 　； (3)若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)4， (2)或 (3)有最小值，6 【分析】（1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，即可得解． 【详解】（1）解：， 故答案为：4，． （2）解：∵ ∴或， 故答案为：或． （3）在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到﹣2及到4的距离之和，所以当时，它的最小值为6． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用． 6．（2024·江苏无锡·一模）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 　 　；表示和2两点之间的距离是 　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 　 　． (2)如果，那么x＝　 　； (3)若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 　 　，最小距离是 　 　． (4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使，则x=　 　． (5)已知，求 的最大值和最小值． 【答案】(1)3，5， (2)2或 (3)8，2 (4)或 (5)最大值为7，最小值为． 【分析】（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）根据题意可得方程 或，求出x的值即可求解； （3）由题意可得或，或，分别求出a、b的值，再求解即可； （4）根据绝对值的几何意义可知，当时，，当时，，当x＞5时，； （5）根据绝对值的几何意义可知，当时，的最小值为3，当时，的最小值为3，当时，的最小值为4，再由已知可得，根据x、y、z的范围求的最大值和最小值即可． 【详解】（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2两点之间的距离是； 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于； 故答案为：3，5，； （2）∵， ∴或 ， 解得x=2或 ， 故答案为：2或； （3）∵， ∴或， 解得a=5或a=1， ∵， ∴或， 解得或， 当时，A、B两点间的最大距离是8， 当时，A、B两点间的最小距离是2， 故答案为；8，2； （4）∵表示数轴上有理数x所对应的点到-2和5所对应的点的距离之和， ∴当时，， ∵， 当x＜时， ， 解得， 当x＞5时，， 解得， ∴x的值为或， 故答案为：或； （5）当时，的最小值为3， 当时，的最小值为3， 当时，的最小值为4， ∵， ∴， 当x=2，y=2，z=3时，有最大值7， 当时，有最小值． 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． 7．（2024·河北保定·一模）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c．b是最小的正整数，且a、b满足． （1）填空：　 　，　 　． （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与C之间的距离表示为．则　 　．（用含t的代数式表示） （3）请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1），1；（2）；（3）不变，理由见解析. 【分析】本题主要考查了非负数的性质、数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． （1）利用，得，，解得a，c的值，由b是最小的正整数，可得； （2）利用题意结合数轴表示出B、C两点表示的数，进而可得的长； （3）利用题意结合数轴表示出A、B两点表示的数，进而可得的长，由求解即可． 【详解】（1）∵， ∴，， 解得，， ∵b是最小的正整数， ∴； 故答案为：，1； （2）解：t秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∴； 故答案为：； （3）不变． ， ， 故不变，始终为12． 8．（2024·广东汕头·一模）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离；即；这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用： 例1：解方程． 容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的±4； 例2：解方程． 由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的对应的点在2的右边或在-1的左边．若对应的 点在2的右边，如图可以看出；同理，若对应点在-1的左边，可得．所以原方程的解是或． 例3：解不等式． 在数轴上找出的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的值就满足，所以的解为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程的解为　 　； （2）方程的解为　 ； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）x=2或x=-8（2）x=-2或x=2018（3）x≥5或x≤-6 【详解】试题分析：1）分类讨论：x<-3，x≥-3，可化简绝对值，根据解方程，可得答案； （2）分类讨论：x<-1，-1≤x<2017，x≥2017，根据绝对值的意义，可化简方程，根据解方程，可得答案； （3）表示的几何意义分情况讨论即可求解. 试题解析：（1）当x<−3时，原方程等价于−x−3=5.解得x=−-8； 当x⩾−3时，原方程等价于x+3=5，解得x=2， 故答案为x=2或x=-8； （2）当x<−1时，原方程等价于−x+2017−x-1=2020，解得x=−2， 当−1⩽x<2017时，原方程等价于−x+2017−+x+1=2020，不存在x的值； 当x⩾2017时，原方程等价于x−2017+x+1=2020，解得x=2018， 综上所述：x=-2或x=2018是方程的解； （3）∵表示的几何意义是在数轴上分别与-4和3的点的距离之和， 而-4与3之间的距离为7， 当在-4和3时之间， 不存在，使成立， 当在3的右边时， 如图所示， 易知当时，满足， 当在-4的左边时， 如图所示，易知当时，满足， 所以的取值范围是或． 点睛：本题主要考查了绝对值，通过阅读材料，理解绝对值的几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目.. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 绝对值的几何意义与最值训练（8大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、两个绝对值的和的最值 1 题型二、两个绝对值的差的最值 2 题型三、多个绝对值的和的最值 3 题型四、绝对值中最值问题的应用 5 题型五、已知范围的绝对值化简 6 题型六、未知范围的绝对值化简 8 题型七、绝对值化简的新定义问题 8 题型八、绝对值化简问题综合 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一：两个绝对值的和的最值 1．我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 2．已知M、N在数轴上分别表示m、n． (1)对照数轴填写下表： m 6 -4 -6 -8 -1.5 n 4 -1 2 3 -1.5 M、N两点的距离 2 0 (2)若M、N两点间的距离记为S，则S和m、n（m＜n）数量关系是　； (3)当数x满足时，取得的值最小． 3．已知A、B在数轴上分别表示a，b． （1）对照数轴填写下表： a 6 -6 2 -1.5 b 4 4 -10 -1.5 A、B两点的距离 （2）若A、B两点间的距离记为d，试问：d和a，b有何数量关系？ （3）在数轴上标出所有符合条件的整数点P，使它到5和-5的距离之和为10，并求所有这些整数的和； （4）找出（3）中满足到5和-5的距离之差大于1而小于5的整数的点P ； （5）若点C表示的数为x，当点C在什么位置时，|x＋1|＋|x-2|取得的值最小 ？并求出最小值 ． 4．如图，小亮把东、西大街表示成一条数轴，把公交站的位置用数轴上的点表示出来，其中鼓楼站的位置记为原点，正东方向为正方向，公交车的一站地为一个单位长度（假设每站距离相同）．请你根据图形回答下列问题：    (1)到广济街的距离等于两站的地方是________． (2)如果用表示数轴上的点表示的数，那么表示这个点与1对应点的距离为2，请你根据以上信息回答下面问题： ①当满足________时，则的值最小，最小值是________； ②当满足________时，则的值最大，最大值是________． ③若，则满足条件的所有站地表示的数为________． (3)到这8个站距离之和最小的站地是否存在？若存在，是哪个站地？最小值是多少？若不存在，请说明理由． 题型二：两个绝对值的差的最值 5．当 时，的值最大，最大值为 ． 6、学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 7、阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简代数式． (2)求的最大值． 8、已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 题型三：多个绝对值的和的最值 9．课本再现 课堂上，通过探究我们发现：在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则点A，B之间的距离等于． （1）的意义可理解为数轴上表示数x和_________这两点的距离． 继续探究 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （2）数轴上表示x的点位于与2之间，则__________； （3）若数x满足，则__________； （4），则x的取值范围是__________； 结论：的最小值是__________，此时x的范围是__________． 拓展应用 （5）当__________时，的值最小，最小值是__________； （6）当x满足什么条件时，（其中且n为正整数）取得最小值？ 10．一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)若，则等式表示的几何意义是什么？直接写出的值； (2)若数轴上表示数的点位于与2之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 11．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题 (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ； 表示和2的两点之间的距离是 ； 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于； (2)数轴上表示a和3的两点之间的距离表示为 ； 数轴上表示a和的两点之间的距离表示为 ； (3)数轴上表示a和的两点之间的距离是5，则 ； (4)数轴上表示a的点位于与2之间，则 ； (5)若数a满足，则 ； (6)当 时，的值最小，最小值是 ． 12．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料1：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）． 问题（2）：利用数轴探究：①找出满足的x的所有值是 ，②设，当x的值取在不小于且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，最小值是 ． 材料2：求的最小值． 分析： 根据问题（2）中的探究②可知，要使的值最小，x的值只要取到3之间（包括、3）的任意一个数，要使的值最小，x应取2，显然当时能同时满足要求，把代入原式计算即可． 问题（3）：利用材料2的方法求出的最小值． 题型四：绝对值中最值问题的应用 13．若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．    (1)已知点在数轴上表示的数分别为，且． ①______，______． ②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？ 14．小张、小潘、小王和小吴住在同一条东西走向的街上，分别记为A、B、C和D四点，规定向东为正，以B为原点画成如下图所示的数轴．“十一”假期，他们准备结伴去温州乐园，现有网约车来载他们去． (1)从数轴看，点C表示的数是 　　，点D表示的数是 　　． (2)如果网约车从原点出发，依次接上小潘、小王和小吴后，再向西行驶2000个单位长度接到小张．请问小张家的位置在数轴上表示的数是多少？并将其在数轴上表示出来． (3)如果网约车先接小张、小潘和小王，车应停在哪里使他们三人走的路程之和最小？最小路程是多少？ (4)触类旁通：的最小值是 　　．（直接写出答案） 15．【阅读理解】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为：表示在数轴上数对应点之间的距离．例如：数轴上表示数和的两点的距离等于． 参考阅读材料，解答下列问题． （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； 【问题探究】 （3）若数轴上表示数的点位于与5之间，化简：； （4）利用数轴探究，当的值最小时，相应的数的取值范围； 【实际应用】 （5）请利用问题探究中的结论，求出的最小值； （6）问题：某直线路一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在 ，才能使这2023户居民到点的距离总和最小．（填住户标记字母） 16．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 题型五：已知范围的绝对值化简 17．如图所示，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a，b，c，化简（    ） A．0 B． C． D． 18．有理数，，的位置如图所示，化简 ． 19．已知、在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 20．已知为实数，且它们在数轴上对应的点的位置如下图所示． (1)______，______，______；（填“”，“”或“”） (2)化简：． 题型六：未知范围的绝对值化简 21．若，则的值是（　　） A． B． C．2 D．1 22．若且，则值为 ． 23．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 24．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 题型七：绝对值化简的新定义问题 25．下列说法正确的序号是 ． ①已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为1或； ②四个数w、x、y、z满足，则最小的数是w，最大的数是z； ③适合的整数x的值有7个 ④如果定义，当，，时，的值为． 26．阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为时，点P，Q之间的距离（P，Q两点之间的距离用表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)式子表示的意义为 ． 27．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示． ①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 28．对于有理数、，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 题型八：绝对值化简问题综合 29．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 30．已知关于的方程有四个解，化简． 31．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和（称，分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简代数式； (3)解方程． 32．数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 1．（2024·安徽淮南·一模）表示a，b，c三个数的点在数轴上的位置如图，则代数式|a－b|＋|a－c|－|b＋c| 的值等于 .    2．（2024·江苏苏州·一模）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是 ． 3．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）若有理数满足，则的最大值是 . 4．（2024·广东珠海·一模）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b． (1)对照数轴填写下表： a 4 b 6 0 2 A、B两点的距离 2 0 (2)若A，B两点间的距离记为d，试写出d和a，b（）的数量关系___________； (3)写出数轴上到和1的距离之和为2的所有整数___________； (4)若x表示一个有理数，则的最小值为___________． 5．（2024·河北唐山·二模）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题： (1)数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是　 　，数轴上表示x和-2的两点之间的距离是　 　； (2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为　 　； (3)若x表示一个有理数，则|x+2|+|x-4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 6．（2024·江苏无锡·一模）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 　 　；表示和2两点之间的距离是 　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 　 　． (2)如果，那么x＝　 　； (3)若，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 　 　，最小距离是 　 　． (4)利用数轴，找出所有符合条件的x，使，则x=　 　． (5)已知，求 的最大值和最小值． 7．（2024·河北保定·一模）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c．b是最小的正整数，且a、b满足． （1）填空：　 　，　 　． （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为，点A与点C之间的距离表示为，点B与C之间的距离表示为．则　 　．（用含t的代数式表示） （3）请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由；若不变，请求其值． 8．（2024·广东汕头·一模）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离；即；这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用： 例1：解方程． 容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的±4； 例2：解方程． 由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的对应的点在2的右边或在-1的左边．若对应的 点在2的右边，如图可以看出；同理，若对应点在-1的左边，可得．所以原方程的解是或． 例3：解不等式． 在数轴上找出的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的值就满足，所以的解为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程的解为　 　； （2）方程的解为　 ； （3）若，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$