第一章 空间向量与立体几何（复习课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

单元复习课件 第一章 空间向量与立体几何 人教A版2019选择性必修第一册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.复习回顾向量的概念，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，从而理解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算和数量积运算； 3.回顾并梳理运用空间向量研究立体几何问题的思路方法，通过具体题目的解答使学生掌握如何用向量法解决立体几何问题：立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题. 2. 理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示． 单元学习目标 空间向量的概念及其运算 空间向量基本定理与空间向量的坐标表示 用空间向量解决立体几何问题 空间向量的定义及其表示 空间向量的线性运算和数量积运算 空间向量运算的定义及其几何意义 空间向量运算的运算律 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 用空间向量表示点、直线、平面等元素 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 单元知识图谱 一、空间向量及其运算 （一）空间向量及其相关概念 1.空间向量的概念：空间中，既有大小又有方向的量. 2.空间向量的表示法： (1)有向线段 (2)字母 … (3)坐标表示：＝(x，y，z) 3.空间向量的模(长度)：空间向量的大小，记作||,||,… 4.零向量：长度为0的向量，记作:. 5.单位向量：长度为1的向量. 考点串讲 一、空间向量及其运算 （一）空间向量及其相关概念 6.相等向量：模相等，方向相同的向量.记作： 7.相反向量：模相等，方向相反的向量. 的相反向量是-；的相反向量是 8.共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作： 规定：零向量与任意向量共线. 考点串讲 一、空间向量及其运算 （二）空间向量的线性运算 1.空间向量的加法、减法以及数乘运算 (1) (2) (3) O A B C O A P Q N M 加法： 减法： 数乘： 考点串讲 一、空间向量及其运算 （二）空间向量的线性运算 2.空间向量线性运算的运算律(其中λ，μ∈R) 交换律： 结合律： 分配律： 考点串讲 一、空间向量及其运算 （二）空间向量的线性运算 3.直线的方向向量： O l 我们把与向量 平行的非零向量称为直线l的方向向量.这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.  如图, O是直线l上一点,在直线l上取非零向量 , 则对于直线l上任意一点P, 存在实数λ, 使得 . P 注意：(1)直线的方向向量一定是非零向量 (2)一条直线的所有方向向量都互相平行 考点串讲 一、空间向量及其运算 （二）空间向量的线性运算 4.共面向量： 如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量 平行于平面α. α l O A 如图，如果表示向量 的有向线段 所在的直线OA与直线 l 平行或重合，那么称向量 平行于直线l. 平行于同一平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors). 考点串讲 一、空间向量及其运算 （二）空间向量的线性运算 5.共面向量定理： 对空间任意两个不共线的向量，，向量与向量 共面充要条件是存在唯一的有序数对(x，y)，使 =x+y. A B P C 推论1 空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一有序实数对 (x, y), 使 推论2 对于不共线的三点A,B,C和平面ABC外一点O，空间一点P在平面ABC内的充要条件是 O 考点串讲 一、空间向量及其运算 （三）空间向量的数量积运算 1.空间向量的数量积 已知两个非零向量 ，把数量 叫做向量 的数量积(或内积)，记作 ，即 特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. ①“·”不能省略不写，也不能写成“×”. 注意: ②数量积的结果为实数，不是向量. （数量积运算是非线性运算） 考点串讲 一、空间向量及其运算 （三）空间向量的数量积运算 2.空间向量数量积的性质 设 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则 求向量的长度(模)的依据 证明两向量垂直的依据 求两向量夹角的依据 考点串讲 一、空间向量及其运算 （三）空间向量的数量积运算 3.投影向量： (1)向量 在向量 上的投影向量 (2)向量 在直线l上的投影向量： 考点串讲 一、空间向量及其运算 （三）空间向量的数量积运算 4.空间向量数量积的运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 交换律 分配律 考点串讲 二、空间向量基本定理 （三）空间向量的数量积运算 1.空间向量基本定理： 如果三个向量 ，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得＝x＋y＋z． 把{，，}叫做空间的一个基底，，，叫做基向量． 空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 考点串讲 2.单位正交基底 二、空间向量基本定理 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示. 3.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量 ,均可以分解为三个向量 使 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 考点串讲 三、空间向量及其运算的坐标表示 （一）空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系： 在空间选定一点O和一个单位正交基底{,,},以点O为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴,它们都叫做坐标轴. 这时我们建立了一个空间直角坐标系Oxyz x y z O ①点O叫做原点，向量,, 都叫做坐标向量. ②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面. 它们把空间分成8个部分. 考点串讲 （一）空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系： 三、空间向量及其运算的坐标表示 ③画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135(或45°)，∠yOz=90°. ④空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向， 则称该坐标系为右手直角坐标系. 考点串讲 （一）空间直角坐标系 三、空间向量及其运算的坐标表示 2.空间点的坐标： 在单位正交基底{, , }下，=x+y+z，则有序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标. 3.空间向量的坐标： 在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量，作=(如图)，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使=x+y+z. 把有序实数组(x, y, z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，简记作 ＝(x, y, z). 以坐标原点O为起点的向量的坐标和终点A的坐标相同。 考点串讲 （二）空间向量运算的坐标表示 三、空间向量及其运算的坐标表示 1.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ＋ ＋＝_______________________ 减法 － －＝_______________________ 数乘 λ λ＝______________，λ∈R 数量积 · ·＝________________ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1ￚb1，a2ￚb2，a3ￚb3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 考点串讲 （二）空间向量运算的坐标表示 三、空间向量及其运算的坐标表示 2.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有 ①当≠时，∥⇔＝λ⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)⇔ ②⊥⇔·＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； ③求模：； ④求夹角：cos<,>== 考点串讲 （二）空间向量运算的坐标表示 三、空间向量及其运算的坐标表示 3.设空间任意两点(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)，则 ①=(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； ②空间两点距离公式：= 【注】点A(x，y，z)到原点O的距离 向量坐标等于终点坐标减起点坐标. 考点串讲 （一）用空间向量研究直线、平面的位置关系 四、空间向量的应用 1.空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中的点、直线和平面的向量表达式 向量表达式 备注 点 点+位置向量 直线 平面 点+直线方向向量 点+两个不共线向量 点+一个平面法向量 考点串讲 （一）用空间向量研究直线、平面的位置关系 四、空间向量的应用 1.空间中点、直线和平面的向量表示 (2)直线的方向向量和平面的法向量的求法 向量名称 图 示 求 法 直线的方向向量 平面的法向量 ① 设平面α的法向量 ③ 列方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量. ① 找到l⊥α； ② l 的方向向量即为平面的法向量. ① 取两点； ② 定向量. ② 求平面α内的两个不共线向量 考点串讲 （一）用空间向量研究直线、平面的位置关系 四、空间向量的应用 2.空间中直线、平面的平行 常用方法：几何法、基底法、向量坐标法 1.线线平行： 2.证线面平行： 3.证面面平行： 两直线的方向向量共线(找λ) 法向量坐标法：直线的方向向量与平面的法向量垂直 直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面. 法向量坐标法：两平面的法向量共线 设直线l1与l2的方向向量分别为，，平面α与平面β的法向量分别为， 考点串讲 （一）用空间向量研究直线、平面的位置关系 四、空间向量的应用 3.空间中直线、平面的垂直 1.线线垂直： 2.证线面垂直： 3.证面面垂直： 两直线的方向向量数量积为0 直线的方向向量与平面的法向量平行 利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题 两个平面的法向量互相垂直 设直线l1与l2的方向向量分别为，，平面α与平面β的法向量分别为， 利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直问题 考点串讲 （二）用空间向量研究距离、夹角问题 四、空间向量的应用 1.空间中的距离问题 直线和平面间的距离 两个平行平面之间的距离 点到平面的距离 两个平行直线之间的距离 点到直线的距离 • • l d A 两点间的距离 考点串讲 （二）用空间向量研究距离、夹角问题 四、空间向量的应用 2.空间中的夹角问题 设直线l1与l2的方向向量分别为，，平面α与平面β的法向量分别为， 直线l1与l2所成角θ： 直线l1与平面α所成角θ： 平面α与β所成角θ： 求法：先求两向量夹角余弦值→设空间角为θ→下结论(取绝对值or定正负) 考点串讲 【题型一】空间向量的线性运算和数量积 【例1】 如图，在斜三棱柱 <m></m> 中，设向量 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，三个向量之间的夹角均为 <m></m> ，点 <m></m> 、 <m></m> 分别在 <m></m> 、 <m></m> 上，且 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . (1)用 <m></m> 表示向量 <m></m> ，并求 <m></m>； [解析] <m></m> . 因为 <m></m> ， 所以 <m></m> ， 所以 <m></m> . 题型剖析 【题型一】空间向量的线性运算和数量积 【例1】 如图，在斜三棱柱 <m></m> 中，设向量 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，三个向量之间的夹角均为 <m></m> ，点 <m></m> 、 <m></m> 分别在 <m></m> 、 <m></m> 上，且 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . (2)用 <m></m> 表示向量 <m></m>. [解析] 因为 <m></m> ，所以 <m></m> 为 <m></m> 的中点， 所以 <m></m> . 题型剖析 【训练1】正多面体也称柏拉图立体,是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），被誉为最有规律的立体结构,数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），分别为棱的中点,则 · ___. [解析] 在正八面体 中, , 因为 分别为棱的中点, 所以 , ， 则 . 针对训练 【题型二】利用空间向量证明平行、垂直问题 【例2】 如图所示，已知 <m></m> 平面 <m></m> ，四边形 <m></m> 为矩形， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 分别为 <m></m> ， <m></m> 的中点. (1)求证：<m></m> 平面 <m></m> ； [证明] 如图所示，以 <m></m> 为坐标原点<m</m> <m></m> <m></m>所在的直线分别为 <m></m> 轴， <m></m 轴， <m> 轴建立空间直角坐标系 <m></m> . 设<m></m></m> 则<</m><m></m><m></m>,,<m></m> <m</m> 因为<m></m><m></m>分别为 <m></m><m></m>的中点， 所以<m</m>,<m></m> ，所以 <m></m> ， 又因为 <m></m> ， <m></m> ， 所以 <m></m> . 又因为 <m></m> 平面 <m></m> ，所以 <m></m> 平面 <m></m> . 题型剖析 【题型二】利用空间向量证明平行、垂直问题 【例2】 如图所示，已知 <m></m> 平面 <m></m> ，四边形 <m></m> 为矩形， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 分别为 <m></m> ， <m></m> 的中点. (2)求证：平面 <m></m> 平面 <m></m> . [证明] 由(1)可知<m></m> <m</m> <m></m>. 设平面 <m></m> 的法向量为 <m></m> ， 则 <m></m> 即 <m></m> 令 <m></m> ，得 <m></m> , <m></m> ,则 <m></m> . 设平面 <m></m> 的法向量为 <m></m> ， 则 <m></m> 即 <m></m> 令 <m></m> ，得 <m></m> , <m></m> ,则 <m></m> . 因为 <m></m> ，所以 <m></m> ， 所以平面 <m></m> 平面 <m></m> . 题型剖析 【训练2】如图，在四棱锥m</m>中</m><</m><m></m>底面<m></m>，，，<m</m><m></m>为<m></m>的中点. (1)证明： <m></m> 平面 <m></m> ； [解析] 证明：以 <m></m> 为原点， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 所在直线分别为 <m></m> 轴、 <m></m> 轴、 <m></m> 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则 <m></m>，，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m> ， <m></m>，易知平面 <m></m> 的一个法向量为<m></m> ，则 <m></m> ，即 <m></m> ， 又 <m></m> 平面 <m></m> ， <m> </m> 平面 <m></m> . 针对训练 【训练2】如图，在四棱锥m</m>中</m><</m><m></m>底面<m></m>，，，<m</m><m></m>为<m></m>的中点. (2)平面 <m></m> 内是否存在一点 <m></m> ，使 <m></m> 平面 <m></m> ？若存在，确定 <m></m> 的位置；若不存在，说明理由. [解析] 假设平面 <m></m> 内存在一点 <m></m>,使 <m></m> 平面 <m></m>, 则 <m></m> <m></m> . 由（1）知 <m></m> ， <m></m> ， 设 <m></m> ，则 <m></m> ， 由 <m></m> 即 <m></m> 得 <m></m> ， ∴在平面 <m></m> 内存在一点 <m></m> ，使 <m></m> 平面 <m></m> . 针对训练 【题型三】用空间向量求空间距离 【例3】 在长方体 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 是 <m></m> 的中点， <m></m> 在线段 <m></m> 上，且 <m></m> ， <m></m> 是 <m></m> 的中点，求： (1)</m> <m>到直线 <m></m> 的距离； [解析] 如图，建立空间直角坐标系 <m></m> ， 则<</m>，m</m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>. 连接 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 在 <m></m> 上的投影向量的模 <m></m> . 故 <m></m> 到直线 <m></m> 的距离为 <m></m> . 题型剖析 【题型三】用空间向量求空间距离 【例3】 在长方体 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 是 <m></m> 的中点， <m></m> 在线段 <m></m> 上，且 <m></m> ， <m></m> 是 <m></m> 的中点，求： (2)</m> <m></m> 到平面 <m></m> 的距离. [解析] 设 <m></m> 是平面 <m></m> 的法向量， 则 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，∴ <m></m> 因此可取 <m></m> ，连接 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 到平面 <m></m> 的距离为 <m></m> . 题型剖析 【训练3】 在四棱锥<m></m>中，四边形<m></m>为正方形，<m></m>平面</m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>分别为<m></m>，<m></m>的中点. (1) 证明： <m></m> 平面 <m></m> ； [ 证明]：以 <m></m> 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， 设平面 <m></m> 的法向量为 <m></m> ， 则 <m></m> 令 <m></m> ，得 <m></m> , <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> ， <m></m> 平面 <m></m> . 针对训练 【训练3】 在四棱锥<m></m>中，四边形<m></m>为正方形，<m></m>平面</m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>分别为<m></m>，<m></m>的中点. (2)求点 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离. [解析] 由(1)知 <m></m> 平面 <m></m> ， ∴点 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离等于点 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离． 由(1)知平面 <m></m> 的一个法向量为 <m></m> , <m></m> ， ∴点 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离为 <m></m> ， ∴点 <m></m> 到平面 <m></m> 的距离为 <m></m> . 针对训练 【题型四】用空间向量求空间角 【例4】如图所示,在四棱柱 <m></m> 中,侧棱 <m></m> 底面 <m></m> <m></m> 平面 <m> <m></m> <m> <m> <m></m> <m></m> 为棱 <m></m> 的中点. (1)证明： <m></m> ； [ 证明] 如图所示，以 <m></m> 为原点， <m></m>， <m></m>，<m></m> 所在直线分别为 <m></m> 轴， <m></m> 轴， <m></m> 轴建立空间直角坐标系， 依题意得 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> ， 所以 <m></m> , <m></m> ， 因为 <m></m> ， 所以 <m></m> . 题型剖析 【题型四】用空间向量求空间角 【例4】如图所示,在四棱柱 <m></m> 中,侧棱 <m></m> 底面 <m></m> <m></m> 平面 <m> <m></m> <m> <m> <m></m> <m></m> 为棱 <m></m> 的中点. (2)求平面 <m></m> 与平面 <m></m> 夹角的正弦值； [解析] <m></m> ,设平面 <m></m> 的法向量为 <m></m> ， 所以 <m></m> 取 <m></m> ，可得 <m></m> ， <m></m> ,所以 <m></m> . 由（1）知 <m></m> ，又 <m></m> ，且 <m></m> , <m></m> , <m></m> 平面 <m></m> ， 所以 <m></m> 平面 <m></m> ， 故 <m></m> 为平面 <m></m> 的一个法向量， 所以 <m></m> , <m></m> ， 所以 <m></m> , <m></m> ， 故平面 <m></m> 与平面 <m></m> 夹角的正弦值为 <m></m> . 题型剖析 【题型四】用空间向量求空间角 【例4】如图所示,在四棱柱 <m></m> 中,侧棱 <m></m> 底面 <m></m> <m></m> 平面 <m> <m></m> <m> <m> <m></m> <m></m> 为棱 <m></m> 的中点. (3)设点 <m></m> 在线段 <m></m> 上，且直线 <m></m> 与平面 <m></m> 所成角的正弦值为 <m></m> ，求线段 <m></m> 的长. [解析] 易得 <m></m> , <m></m> ， 设 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> ， 易知 <m></m> 为平面 <m></m> 的一个法向量， 设 <m></m> 为直线 <m></m> 与平面 <m></m> 所成的角， 则 <m></m> , <m></m> m</m> ， 所以 <m></m> （负值舍去）， 则 <m></m> ， 所以 <m></m> .故 <m></m> 的长为 <m></m> . 题型剖析 【训练4】 如图所示的几何体是圆柱的一部分,它是由矩形(及其内 部)以 边所在的直线为旋转轴旋转得到的,是的中点,是上 一点,且 (1)求 的大小; [解析] 因为平面 , 所以平面 . 又平面,所以 又,所以 针对训练 【训练4】 如图所示的几何体是圆柱的一部分,它是由矩形(及其内部)以 边所在 的直线为旋转轴旋转得到的,是的中点,是上一点,且 (2)当时,求平面与平面 的夹角的大小. [解析] 以为坐标原点, 所在的直线分别为轴、轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得 , 则 , 设是平面 的法向量, 由得取 , 可得 针对训练 【训练4】 如图所示的几何体是圆柱的一部分,它是由矩形(及其内部)以 边所在 的直线为旋转轴旋转得到的,是的中点,是上一点,且 (2)当时,求平面与平面 的夹角的大小. 设是平面 的法向量, 由得取 , 可得,所以 . 因此平面与平面的夹角的大小为 针对训练 【题型五】空间向量在立体几何中的综合应用 【例5】 如图所示,在直角梯形 中,,四边形为矩形, ,平面平面 . (1)证明:平面 ; [证明]:以为原点,的方向为轴的正方向,过且平行于的直线为 轴,且的方向为轴的正方向,的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 , 设平面的法向量为 , 则即 令,可得 , , 平面平面 . 题型剖析 【题型五】空间向量在立体几何中的综合应用 【例5】 如图所示,在直角梯形 中,,四边形为矩形, ,平面平面 . (2)求平面与平面 夹角的余弦值; [解析] 由（1）得 , 设平面的法向量为 , 则即 取 , 设平面与平面的夹角为 , 则 , 平面与平面夹角的余弦值为 . 题型剖析 【题型五】空间向量在立体几何中的综合应用 【例5】 如图所示,在直角梯形 中,,四边形为矩形, ,平面平面 . (3)在线段上是否存在点,使得直线与平面 所成角的正弦 值为?若存在,求出线段 的长;若不存在,请说明理由. [解析] 假设在线段上存在满足题意的点.设, ,则 , 则 , 平面的一个法向量为 , , ,解得或 . 当时, 当时, 综上,存在满足题意的点 ,且线段BP的长为2. 题型剖析 【训练5】如图,在底面是正方形的四棱锥中, 平面 分别是 的中点. (1)证明:平面 ; [证明]因为四棱锥的底面是正方形,且 平面, 所以 两两垂直. 以点为坐标原点,所在直线分别为轴,轴, 轴,建立如图所示 的空间直角坐标系. 则 , 因为分别是的中点,所以 , 所以 , 所以 , 所以,又平面,所以 平面 . 针对训练 【训练5】如图,在底面是正方形的四棱锥中, 平面 分别是 的中点. (2)在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求出 的 值;若不存在,说明理由. [解析] 假设在线段上存在点,使得平面 . 因为是的中点,所以 设 , 则 因为平面平面,所以,又 , 所以·,解得 . 所以在线段上存在点,使得平面,且 . 针对训练 一、空间向量的概念及运算 1.空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础. 2.向量的运算过程较为繁杂， 要注意培养学生的数学运算能力. 课堂总结 二、利用空间向量证明位置关系 1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明. 2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 课堂总结 三、利用空间向量计算距离 1.空间距离的计算思路 课堂总结 三、利用空间向量计算距离 2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 课堂总结 四、利用空间向量求空间角 1.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2的夹角θ满足 cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β夹角θ满足 cos θ＝|cos〈m，n〉|. 2.通过利用向量计算空间的角，可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力. 课堂总结 感谢聆听! (1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图). (2)设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图). $$