精品解析：黑龙江省大庆市大庆中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

大庆中学2024-2025学年度下学期期末考试 高二年级数学试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 若复数的实部为1，则（ ） A. 1 B. 2 C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据共轭复数概念及复数加法法则得到答案. 【详解】设，则， 故. 故选：B 2. 已知集合，则的整数元素的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求出集合，再利用并集运算求出，得解. 【详解】由题意得，则， 所以的整数元素为，共6个. 故选：B. 3. 已知向量满足与的夹角为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积定义及数量积的运算律求解. 【详解】由与的夹角为，得， 所以. 故选：B. 4. 通过随机抽样，收集了若干朵鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的回归方程为，根据以上信息，下列命题正确的是（ ） A. 花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm B. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642 C. 花瓣长度和花萼长度负相关 D. 花瓣长度和花萼长度存在一次函数关系 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图的特点及回归方程可判断ACD选项，根据相关系数的定义可以判断B选项. 【详解】当时，，故A正确， 部分数据的相关系数未必和总体相同，故B错误； 从散点图可以看出花瓣长度和花萼长度正相关，故C错误； 花瓣长度和花萼长度之间不存在函数关系，为相关关系，只是用一次函数近似拟合它们的关系， 故D错误． 故选：A. 5. 已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数取值范围是. 故选：A. 6. 设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，与C的准线交于点M．若，点F为C的焦点，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，由此即可得解. 【详解】 如图，分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为， 则，， 抛物线的焦点， 直线过定点， 因为，， 所以， 所以. 故选：B. 7. 已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式，结合对称轴可求解析式，再利用平移可得，利用正弦值等于在区间内内恰有3个解,可得到动区间端点的取值范围，即可求解. 【详解】由的图象关于直线对称， 则，又因为，所以， 即 由的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 由可得：， 因为，所以， 根据在区间内恰有3个解， 则，解得：， 故选：D. 8. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意有，又，即可推出，进而判断A，作出在的图像，结合周期即可判断B，利用单调性即可判断C，先求一个周期的和，最后利用周期即可求，进而判断D. 【详解】由为奇函数有：，即，又，所以，所以， 即，所以，所以，故A正确； 由有的图像关于对称，又，所以的图像关于对称， 当时，，作出函数的图像： 由图可知在单调递减，又，所以是以4为周期的周期函数，所以， 所以当，，即在的图像与的图像一致，所以在单调递减，故B正确； 由，又，在单调递减，所以，故C错误； 由于，，，， 所以，且是以4为周期的周期函数，所以，故D正确， 故选：C. 二、多选题 9. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出数列的通项公式，再作差可判断A选项；结合二次函数可判断B选项；利用降标作差可判断C选项；利用等比数列的定义可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 故数列为递减数列，故A正确； 因二次函数的对称轴为，且开口朝下， 则当或时，取得最大值，故B错误； 当时，， 则， 又，符合上式，故，故C正确； 令，则，则是等比数列，故D正确. 故选：ACD 10. 如图，在正四棱锥（底面为正方形，在底面的投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（ ） A. B. 与所成角等于与所成角 C. 若平面平面，则 D. 点在平面的射影一定在内部 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于项，由平面，可得；对于项，利用与所成角为，与所成角为，可判断正误；对于项，证明平面，可得 ，可得正确；将正四棱锥放在一个长方体内，从而可对D项判断求解. 【详解】:连结，与交于点，则，又知平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，故正确； ：与所成角为，与所成角为， 因为与全等，所以，故正确； ：由于，所以平面，平面，平面平面，所以 ，故正确； ：将将正四棱锥放在一个长方体内，如下图， 过点作直线，且交于点，交于点，连接，； 则平面与平面为同一平面， 作，且交于点，又因为平面，平面， 所以，又因为，平面， 所以平面，所以点就是点在平面上的射影， 又因为点在的外部，故D项错误. 故选：ABC. 11. 对于函数，和，，下列结论正确的有（ ） A. 与在时有相同的函数值 B. 与最小值不同 C. 与的图象有相同的对称中心 D. 与在区间都为增函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦型函数的性质求函数的单调性与最值，利用导数研究函数的单调性与最值，然后结合选项得答案． 【详解】函数的周期为，令得， 又，所以的对称中心为． 因为，所以，所以， 令得， 因为，所以和， 所以的增区间为和； 由，得，， 满足，故函数的图象的对称中心也为，故选项C正确； 对于A：，，满足，正确； 对于B：在上的最小值为， ，， 由，得或，由，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 可知在上的最小值为，与的最小值不同，正确； 对于D：由B选项可知单调递减，在上单调递增， 在单调递增，错误． 故选：ABC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 在中，角的对边分别为，已知，的周长为7，则边长为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据正弦定理得，由周长得，最后利用余弦定理列方程求得，即可得解. 【详解】由及正弦定理得，由的周长为7得， 故由及余弦定理得， 所以， 化简得，解得或（舍去），所以. 故答案为：3 13. 已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同安排方法有________种． 【答案】 【解析】 【分析】分甲学校有2名师范生实习和1名师范生实习两种情况求解，结合分类加法计数原理计算即可. 【详解】因为A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习， 所以有一所学校必然有2名师范生实习. 若甲学校有2名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生平均分配到甲、乙、丙3所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 若甲学校只有1名师范生实习，而A一定去甲学校实习， 则B，C，D共3名师范生按照分配到乙、丙2所学校实习， 此时共有种不同的安排方法. 综上，不同的安排方法有种. 故答案为：. 14. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.题图为“杨辉三角”的一部分（如图），记第n行的第i个数为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的性质，得到，结合，即可求解. 【详解】由题意，根据二项展开式的性质，可得， 则. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，. （1）若，求； （2）若，且数列为递增数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过已知条件建立等差数列公差与等比数列公比的方程组，解出后计算即可； （2）利用求出公比，结合数列为递增数列，求出公差即可求. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为，则，. 由，得.① 由，得，② 联立①②，解得（舍去），， 因此 【小问2详解】 由，，得， 解得，或 由于数列为递增数列，所以， 当时，由①得（舍）； 当时，由①得 则. 16. 为了调查学生喜欢游泳是否与性别有关，某学校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 80 女生 20 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的概率为0.6． （1）请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析喜欢游泳是否与性别有关； （2）从上述不喜欢游泳的学生中用分层随机抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）表格见解析，喜欢游泳与性别无关． （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用给定概率完善列联表，计算的观测值与临界值比对即可. （2）求出X的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 依题意，从200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的概率为0.6， 则喜欢游泳的有（人），不喜欢游泳的有（人）． 补全列联表如下： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 80 60 140 女生 40 20 60 合计 120 80 200 零假设：喜欢游泳与性别无关， 计算得到 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断，不成立， 所以认为成立，即喜欢游泳与性别无关． 【小问2详解】 按分层随机抽样，设女生x名，男生y名，则，解得，， 从不喜欢游泳的学生中抽取女生2名，男生6名，随机变量X的可能取值为0，1，2， ，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望. 17. 已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，已知点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两个不同的点，（均异于点）.若直线，的斜率互为相反数，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式求解. 【小问1详解】 由椭圆过点，则， 由椭圆的离心率为，得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率存在，设方程为， 由消去得，显然， 设，则， 直线的斜率分别为，由， 得，即， 整理得， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 18. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用中位线证明线线平行，再证明线面平行即可； （2）利用正三棱柱的性质如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求线面角的正弦值； （3）利用设未知量，来表示空间向量，借助空间向量法来求点到面的距离，从而解决问题. 【小问1详解】 如图，连接交于点O，连接， 则点O为的中点，且D是的中点， 则为的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为在正中，D是的中点，故， 以D为坐标原点，取的中点F，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，． 故，，， 设平面的法向量为， 则取． 设直线与平面所成角, 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 存在点E，理由如下： 设，其中， 所以，， 设平面ADE的法向量为， 则取． 且， 则点到平面ADE的距离， 化简得，解得或（舍去）． 综上，存在点E使得点到平面ADE的距离为．此时． 19. 已知函数，. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若，求在内的极值； （3）设，若有2个零点，，且，求证：. 【答案】（1） （2）有极大值，无最小值 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，求出，，，再由导数的几何意义求解即可； （2）当，对求导，求出的单调性，结合极值点的定义即可得出答案； （3）对求导，研究单调性和极值可知要使有2个零点，则需，由此求出的范围，要证，只需证，由此构造，，对求导，证明即可. 【小问1详解】 当时，，则， 因为，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，有， 由可得，即， 当时，，，即， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 有极大值，无最小值. 【小问3详解】 ，则. 若，则，单调递增，不可能有两个零点. 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以为的极小值点， 要使有2个零点，则需，即. 因为的2个零点为，，，所以. 要证，只需证， 因为，在上单调递增， 所以只需证， 因为，所以只需证， 即只需证，， 令，， 则， 设，则， 则在上单调递减， 又因为， 所以当时，，所以在上单调递增， 又因为， 所以当时，，即在上单调递减， 又因为，所以， 即，， 所以原命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆中学2024-2025学年度下学期期末考试 高二年级数学试题 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 若复数的实部为1，则（ ） A 1 B. 2 C. i D. 2. 已知集合，则的整数元素的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知向量满足与的夹角为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 通过随机抽样，收集了若干朵鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的回归方程为，根据以上信息，下列命题正确的是（ ） A. 花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm B. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8642 C. 花瓣长度和花萼长度负相关 D. 花瓣长度和花萼长度存在一次函数关系 5. 已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6. 设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，与C的准线交于点M．若，点F为C的焦点，则与的面积之比为（ ） A B. C. D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，且为奇函数，已知当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. D. 二、多选题 9. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列递减数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 是等比数列 10. 如图，在正四棱锥（底面为正方形，在底面的投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（ ） A B. 与所成角等于与所成角 C. 若平面平面，则 D. 点在平面的射影一定在内部 11. 对于函数，和，，下列结论正确的有（ ） A. 与在时有相同的函数值 B. 与最小值不同 C. 与的图象有相同的对称中心 D. 与在区间都为增函数 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 在中，角对边分别为，已知，的周长为7，则边长为______. 13. 已知A，B，C，D共4名师范生需要去甲、乙、丙3所学校实习，要求每名同学只去一所学校实习，且每所学校都有学生去实习，如果A一定去甲学校实习，则不同的安排方法有________种． 14. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.题图为“杨辉三角”的一部分（如图），记第n行的第i个数为，则______. 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，. （1）若，求； （2）若，且数列为递增数列，求数列的前项和. 16. 为了调查学生喜欢游泳是否与性别有关，某学校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的列联表： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 80 女生 20 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的概率为0.6． （1）请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析喜欢游泳是否与性别有关； （2）从上述不喜欢游泳的学生中用分层随机抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，已知点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两个不同的点，（均异于点）.若直线，的斜率互为相反数，求直线的方程. 18. 如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若，求在内的极值； （3）设，若有2个零点，，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $