专题12.2 公式法（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题12.2 公式法 教学目标 1. 能用公式法把整式进行因式分解； 2. 会综合用提公因式法和公式法把整式分解因式； 3. 掌握公式法因式分解的应用。 教学重难点 1.重点 （1）利用平方差公式、完全平方公式进行分解因式； （2）学会用公式法因式分解进行简便运算； （3）利用公式法因式分解求参数的值或代数式的值。 2.难点 （1）提取公因式法与公式法因式分解综合； （2）公式法因式分解的的综合应用。 知识点1 公式法—平方差公式 1.观察 a²-b²有什么特征? 由平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²,可得 a²-b²=(a+b)(a-b). 这就将a²-b²分解成两个整式的积. 平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解. 如果一个整式符合平方差公式的特征，那么就可以用平方差公式把它因式分解. 要点： （1）当整式的各项含有公因式时，通常先提取公因式，然后再考虑是否能进一步因式分解. （2）因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止. 【即学即练】 1．分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用平方差公式分解； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解； （3）利用平方差公式分解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法以及平方差公式的应用． 2．分解因式： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了根据平方差公式进行因式分解，解题的关键是掌握平方差公式． 3．下列能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方差公式，关键是熟练掌握平方差公式分解因式的整式的特点．根据能够运用平方差公式分解因式的整式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行判断即可． 【详解】解：A、是与1的和，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； B、共有三项，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； C、两项的符号不相反，不能用平方差公式进行分解，故此选项错误； D、符合平方差公式特点，能用平方差公式进行分解，故此选项正确； 故选：D． 4．若，则代数式的值等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查整式的化简求值，先根据平方差公式化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴原式， 故答案为：4． 5．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）平方差法因式分解； （2）平方差法因式分解； （3）平方差法因式分解； （4）平方差法因式分解； （5）先提公因式，再用平方差法因式分解． 【详解】（1）解：； （2）； （3） （4） ； （5）． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握因式分级的方法，是解题的关键． 知识点2 公式法—完全平方公式 1.观察 a²+2ab+b²、a²-2ab+b²有什么特征? 由完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²,(a-b)²=a²-2ab+b²,可得a²+2ab+b²=(a+b)²,a²-2ab+b²=(a-b)². 这就将a²+2ab+b²与a²-2ab+b²分别分解成两个相同的整式的积. 完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²,(a-b)²=a²-2ab+b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解.如果一个整式符合完全平方公式的特征，那么就可以用完全平方公式把它因式分解. 2.举例分析： 因式分解：9x²-12x+4 要点： （1）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （2）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. 3.公式法：根据因式分解和整式乘法的关系，可以用平方差公式和完全平方公式将具有特殊形式的整式因式分解．像这样，根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法叫作公式法． 4.因式分解步骤 （1）如果整式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 5.因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是整式； （2）最终把整式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【即学即练】 1．下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，掌握是解题的关键． 【详解】解：A.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意； B.符合完全平方公式的特征，故符合题意； C.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意； D.，不符合完全平方公式的特征，故不合题意； 故选：B． 2．将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）用完全平方公式因式分解； （2）用完全平方公式因式分解； （3）用完全平方公式因式分解； （4）用完全平方公式因式分解； 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟悉完全平方公式. 3． 【答案】 【分析】把原式看成“1”和“3（a-1）”的完全平方式，再利用公式法因式分解． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查公式法因式分解，把“”看成“”是解题关键． 4．因式分解： 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行分解因式即可得答案． 【详解】 = = =． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 5．若，则 ． 【答案】1 【分析】先将变形为，再整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键． 6．若，则的值为(   ) A．12 B．6 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式因式分解，将整体代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 题型01 运用平方差公式进行因式分解 【典例1】．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用平方差公式因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式1】．将下列整式分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键． （1）整理后利用平方差公式进行因式分解即可； （2）整理后利用平方差公式进行因式分解即可； （3）整理后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式2】．分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查公式法分解因式．根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）先用平方差公式进行因式分解，再用完全平方公式进一步分解． 【详解】（1）解：； （2）解： 题型02 判断能否运用平方差公式进行因式分解 【典例1】．下列整式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式，准确判断是解题的关键． 【详解】解：A、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； B、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意； C、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意； D、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意， 故选：C． 【变式1】．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】．判断下列不能运用平方差公式因式分解的是（　　） A．﹣m2+4 B．﹣x2–y2 C．x2y2﹣1 D．（m﹣a）2﹣（m+a）2 【答案】B 【分析】根据平方差公式：进行逐一求解判断即可． 【详解】解：A、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，不能用平方差公式分解因式，符合题意； C、，能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、能用平方差公式分解因式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平方差公式分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式． 题型03 运用完全平方公式进行因式分解 【典例1】．分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 【变式3】．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式： （1）利用完全平方公式进行因式分解，即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： 题型04 利用完全平方公式因式分解进行简便运算 【典例1】．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)90000 (2)1000 【分析】本题主要考查了完全平方公式： （1）运用完全平方公式计算，即可求解； （2）运用完全平方公式计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式1】．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)80 【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活运用，熟记完全平方公式的特点是解本题的关键； （1）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； （2）把原式化为，再利用完全平方公式进行计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． 题型05 判断能否运用完全平方公式进行因式分解 【典例1】．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查用完全平方公式进行因式分解，熟练运用完全平方公式.是解题的关键 利用完全平方公式逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，不能用完全平方公式进行因式分解； B、，不能用完全平方公式进行因式分解； C、，不能用完全平方公式进行因式分解； D、，能用完全平方公式进行因式分解； 故选：D． 【变式1】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】略 题型06 判断能否运用公式法进行因式分解 【典例1】．下列整式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A、不能用公式法因式分解，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】．下列整式不能用公式法因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的因式分解．A、B选项考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不是平方差的形式，不能运用公式法因式分解，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 【变式2】．运用公式法将下列各式因式分解，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 题型07 因式分解—公式法及其与提取公因式法综合 【典例1】．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解： （1）提公因式结合平方差公式进行因式分解即可； （2）提公因式结合平方差公式进行因式分解即可； （3）利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式1】．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解： （1）提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （4）利用平方差公式、完全平方公式分解因式 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】．因式分解： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据平方差公式与完全平方公式因式分解即可； （3）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可； （4）根据提公因式法与平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） = = （2） = = = （3） = = = （4） = = = = 【点睛】本题考查了提公因式法、平方差公式和完全平方公式，解决此题的关键是熟练掌握因式分解的基本方法． 【变式3】．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】根据分解因式的方法求解即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． （5）原式 ． （6）原式 ． （7）原式 ． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 题型08 利用公式法因式分解求代数式的值 【典例1】．若，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查分解因式的应用，先得到，然后代入合并，然后再提取公因式即可解题． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：4． 【变式1】．若，则代数式的值为 ． 【答案】81 【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．先计算的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将的值代入化简计算，然后再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：81． 【变式2】．若，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的综合运用及整体代入思想，正确进行因式分解是解决问题的关键．将代数式因式分解然后整体代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ． 故答案为：． 【变式3】．先因式分解，然后计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解以及代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键； （1）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，再将字母的值代入，即可求解； （2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】（1）解： 当，时， 原式. （2）， . 当，时， 原式. 题型09 利用公式法因式分解求参数的值 【典例1】．如果能分解为，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，完全平方公式，由完全平方公式计算，由因式分解定义得到k的值，正确理解因式分解定义是解题的关键 【详解】解： ∵能分解为， ∴ ∴ 故答案为： 【变式1】．若整式能用完全平方公式因式分解，则n的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解－运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵整式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 【变式2】．若将分解成，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．解题时连续利用平方差公式计算，即可求出的值． 【详解】解： ， 所以． 故答案为：4． 题型10 配方法求最值 【典例1】．【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 【知识应用】 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)用配方法因式分解：； (3)求的最小值． 【答案】(1)16 (2) (3)3 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将16化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴横线上添上一个常数项16使之成为完全平方式； 故答案为：16 （2）解： ； （3）解：， ， ∵是非负数， ∴， ∴， 即的最小值为1， ∴的最小值为3． 【变式1】．我们把整式 和 叫作完全平方式．如果一个整式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的整式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 例如：求整式 的最小值，由 可知，当时，整式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，整式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，整式 有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)当，时，原式有最小值，最小值为5 (3)当时，原式有最小值，最小值为23． 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法将整式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将整式转化为，然后利用非负数的性质解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴当，时，有最小值，最小值为5． 即，时，原式有最小值，最小值为5． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，即当时，原式有最小值，最小值为23． 题型11 公式法因式分解难点分析 【典例1】．已知满足，则的值为（        ） A．1 B．－5 C．－6 D．－7 【答案】A 【分析】三个式子相加，化成完全平方式，得出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴（a2+2b）+（b2-2c）+（c2-6a）=7+（-1）+（-17）， ∴a2+2b+b2-2c+c2-6a=-11 ∴（a2-6a+9）+（b2+2b+1）+（c2-2c+1）=0， ∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0 ∴a-3=0，b+1=0，c-1=0， ∴a+b-c=3-1-1=1． 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式求值和完全平方公式，解题关键是通过等式变形化成完全平方式，根据非负数的性质求出的值，准确进行计算． 【变式1】．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键． 先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 【变式2】．已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， A. ，结论错误，不符合题意； B. ，结论错误，不符合题意； C. ，结论错误，不符合题意； D. ，结论正确，符合题意． 故选：D． 一、单选题 1．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x+1 【答案】C 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：多项x2+x+1，x2+2x-1，x2-2x+1都不能用平方差公式进行因式分解， 能用平方差公式进行因式分解的是x2-1， 故选：C． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 2．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D．C． 【答案】A 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式，逐一验证各选项是否符合公式结构． 【详解】选项A：，故符合； 选项B：，无法通过完全平方公式分解，故不符合； 选项C：，无法通过完全平方公式分解，故不符合； 选项D：，无法通过完全平方公式分解，故不符合； 故选：A． 3．下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法因式分解，正确应用乘法公式是解题关键． 利用提取公因式，公式法分解得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A. ，原因式分解正确，故此选项不符合题意； B. ，原因式分解正确，故此选项不符合题意； C. ，原因式分解错误，故此选项符合题意； D. ，原因式分解正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．因式分解（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】． 故选C． 【点睛】本题考查运用公式法进行因式分解，解题关键在于对公式的熟练掌握与应用，题目比较简单． 5．已知能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（  ） A．12 B． C．24 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键．根据题意可知，由此即可得到答案． 【详解】解：能运用完全平方公式因式分解， ∴， ∴， 故选D． 6．已知，则的值为（    ） A．8 B．16 C．50 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出，再把所求式子先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 7．李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（  ） A．美丽中国 B．我爱中国 C．我爱美 D．我爱美丽 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用． 先提取公因式，再提根据完全平方公式分解因式，再根据对应的汉字判断即可． 【详解】解： ， ∵对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， ∴组合结果只有B“我爱中国”符合， 故选：B． 8．已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解：，，， ，，， ， 故选：C． 二、填空题 9．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟记平方差公式是解答的关键．先提公因式3，再利用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．利用平方差公式计算：= ． 【答案】8016 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算． 【详解】解：， 故答案为：8016． 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式法，进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟悉完全平方公式和因式分解的概念，是解题的关键．根据完全平方公式分解因式，即可． 【详解】解： 故答案为：． 13．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查利用提公因式、平方差公式进行因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式解题即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 14．已知正方形的面积是，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及完全平方和公式因式分解，设正方形的边长为，由题意列出等式，因式分解求解即可得到答案．熟练掌握完全平方和公式因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 由正方形的面积是可得，， ， ，则正方形的边长， 故答案为：． 15．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了公式法因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 由平方差公式进行因式分解，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 16．已知，，且，，则，的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小的比较，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、作商法比较．利用作差法比较、的大小即可． 【详解】解： ，， ， ． 故答案为：． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】根据分解因式的方法求解即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． （5）原式 ． （6）原式 ． （7）原式 ． 【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 18．计算下列各式的值，其中， (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用，完全平方公式的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式的应用是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用公式法因式分解得，再将，代入求解即可； （2）利用完全平方公式的变形得，再将，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵，， ∴原式； （2）解： ， ∵，， ∴原式． 19．阅读下面材料，并仿照其解题方法解决问题． 因式分解：． 解：将“”看成整体，令． 原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． (1)因式分解：； (2)说明：若n为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）先用完全平方公式，得到，将看成整体，再利用平方差公式因式分解即可； （2）将看成整体，再利用完全平方式因式分解即可； 本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是运用整体思想和完全平方公式、平方差公式因式分解的能力． 【详解】（1）解：∵， 将看成整体， 令， 原式， 再将“A”还原， 原式 （2）将“”看成整体， 令， 原式 ∵n为正整数， ∴也为正整数， ∴的值一定是某个整数的平方． 20．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次整式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的整式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 【答案】(1) (2)1314 【分析】本题考查了因式分解，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 的最大值1314． 21．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． (2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 【答案】(1)， ， (2)作图见解析， 【分析】本题考查几何背景下的整式的乘法与因式分解，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）图2可看作是边长为的正方形，也可以看作4个部分组成，可分别表示出面积，再根据二者面积相等，即可作答； （2）拼成的大长方形需要2张A种纸片，1张B种纸片，3张C种纸片，据此即可作图，再由面积关系即可解答． 【详解】（1）解：图2大正方形的面积既可以表示为，又可以表示为，所以可得等式． 故答案为： ， ， ． （2）解：如图， 由图可知，拼成的大长方形的长为，宽为，即， ∴可将因式分解为． 故答案为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.2 公式法 教学目标 1. 能用公式法把整式进行因式分解； 2. 会综合用提公因式法和公式法把整式分解因式； 3. 掌握公式法因式分解的应用。 教学重难点 1.重点 （1）利用平方差公式、完全平方公式进行分解因式； （2）学会用公式法因式分解进行简便运算； （3）利用公式法因式分解求参数的值或代数式的值。 2.难点 （1）提取公因式法与公式法因式分解综合； （2）公式法因式分解的的综合应用。 知识点1 公式法—平方差公式 1.观察 a²-b²有什么特征? 由平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²,可得 a²-b²=(a+b)(a-b). 这就将a²-b²分解成两个整式的积. 平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解. 如果一个整式符合平方差公式的特征，那么就可以用平方差公式把它因式分解. 要点： （1）当整式的各项含有公因式时，通常先提取公因式，然后再考虑是否能进一步因式分解. （2）因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止. 【即学即练】 1．分解因式： (1)； (2)； (3)． 2．分解因式： (1)． (2) 3．下列能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．若，则代数式的值等于 ． 5．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 知识点2 公式法—完全平方公式 1.观察 a²+2ab+b²、a²-2ab+b²有什么特征? 由完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²,(a-b)²=a²-2ab+b²,可得a²+2ab+b²=(a+b)²,a²-2ab+b²=(a-b)². 这就将a²+2ab+b²与a²-2ab+b²分别分解成两个相同的整式的积. 完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²,(a-b)²=a²-2ab+b²从左到右的变形是整式的乘法，从右到左的变形是因式分解.如果一个整式符合完全平方公式的特征，那么就可以用完全平方公式把它因式分解. 2.举例分析： 因式分解：9x²-12x+4 要点： （1）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （2）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. 3.公式法：根据因式分解和整式乘法的关系，可以用平方差公式和完全平方公式将具有特殊形式的整式因式分解．像这样，根据常用的乘法公式将整式因式分解的方法叫作公式法． 4.因式分解步骤 （1）如果整式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． 5.因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是整式； （2）最终把整式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【即学即练】 1．下列各式能够用完全平方公式因式分解的是（ ） A． B． C． D． 2．将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 3． 4．因式分解： 5．若，则 ． 6．若，则的值为(   ) A．12 B．6 C．3 D．0 题型01 运用平方差公式进行因式分解 【典例1】．因式分解： ． 【变式1】．将下列整式分解因式： (1) (2) (3) 【变式2】．分解因式：． 【变式3】．因式分解： (1)； (2)． 题型02 判断能否运用平方差公式进行因式分解 【典例1】．下列整式中，能运用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．判断下列不能运用平方差公式因式分解的是（　　） A．﹣m2+4 B．﹣x2–y2 C．x2y2﹣1 D．（m﹣a）2﹣（m+a）2 题型03 运用完全平方公式进行因式分解 【典例1】．分解因式： ． 【变式1】．因式分解： 【变式2】．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】．分解因式： (1)； (2)． 题型04 利用完全平方公式因式分解进行简便运算 【典例1】．用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式1】．用简便方法计算： (1)； (2)． 题型05 判断能否运用完全平方公式进行因式分解 【典例1】．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（       ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式进行因式分解的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型06 判断能否运用公式法进行因式分解 【典例1】．下列整式中，不能用公式法进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列整式不能用公式法因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．运用公式法将下列各式因式分解，错误的是（    ） A． B． C． D． 题型07 因式分解—公式法及其与提取公因式法综合 【典例1】．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【变式1】．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．因式分解： (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式3】．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 题型08 利用公式法因式分解求代数式的值 【典例1】．若，则的值是 ． 【变式1】．若，则代数式的值为 ． 【变式2】．若，，则代数式的值是 ． 【变式3】．先因式分解，然后计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，． 题型09 利用公式法因式分解求参数的值 【典例1】．如果能分解为，那么 ． 【变式1】．若整式能用完全平方公式因式分解，则n的值是 ． 【变式2】．若将分解成，则的值是 ． 题型10 配方法求最值 【典例1】．【阅读材料】 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 【知识应用】 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)用配方法因式分解：； (3)求的最小值． 【变式1】．我们把整式 和 叫作完全平方式．如果一个整式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的整式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 例如：求整式 的最小值，由 可知，当时，整式 有最小值，最小值是-8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________． (2)当a，b为何值时，整式 有最小值？并求出这个最小值． (3)当a，b为何值时，整式 有最小值？并求出这个最小值． 题型11 公式法因式分解难点分析 【典例1】．已知满足，则的值为（        ） A．1 B．－5 C．－6 D．－7 【变式1】．已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【变式2】．已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 一、单选题 1．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x+1 2．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D．C． 3．下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．因式分解（    ） A． B． C． D． 5．已知能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（  ） A．12 B． C．24 D． 6．已知，则的值为（    ） A．8 B．16 C．50 D．32 7．李明喜欢密码编译，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，4，，分别对应下列六个字：国，爱，美，我，中，丽，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（  ） A．美丽中国 B．我爱中国 C．我爱美 D．我爱美丽 8．已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 二、填空题 9．因式分解： 10．利用平方差公式计算：= ． 11．分解因式： ． 12．因式分解： 13．因式分解： ． 14．已知正方形的面积是，则正方形的边长为 ． 15．若，，则的值为 ． 16．已知，，且，，则，的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 18．计算下列各式的值，其中， (1) (2) 19．阅读下面材料，并仿照其解题方法解决问题． 因式分解：． 解：将“”看成整体，令． 原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． (1)因式分解：； (2)说明：若n为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 20．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次整式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的整式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 21．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)图2大正方形的面积既可以表示为 ，又可以表示为 ，所以可得等式 ． (2)请利用A型，B型，C型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图3的方框中画出示意图．研究拼图发现可将因式分解为 ． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$