函数的奇偶性专练-2026届高三数学一轮复习

黄金考点11 函数的奇偶性 （考点总动员） 考法一 函数奇偶性的判断 【十年真题*精选】 真题1-1 （2024·天津·高考真题） 1．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 真题1-2 （2021·全国·高考真题） 2．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1 （2025·上海·三模）下 3．下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 模拟1-2 （2025·江西·二模） 4．已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 模拟1-3 （2025·山东济宁·模拟预测） 5．已知函数，则下列是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： （1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数. （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立. 考法二 求解析式、函数值 【十年真题*精选】 真题2-1 （2025·全国一卷·高考真题） 6．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 真题2-2 （2021·全国·高考真题） 7．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 真题2-3 （2019·全国·高考真题） 8．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)= A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1 （2024·江西景德镇·三模） 9．已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 模拟2-2 （2024·山东泰安·模拟预测） 10．设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 模拟2-3 （2025·云南曲靖·模拟预测） 11．函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则的最小值为 ． 【解题规律*总结】 利用函数的奇偶性可求解析式或函数值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数解析式或函数值. 考法三 由函数奇偶性求参数 【十年真题*精选】 真题3-1 （2023·全国·高考真题） 12．已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 真题3-2 （2023·全国·高考真题） 13．若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 真题3-3 （2022·全国·高考真题） 14．若是奇函数，则 ， ． 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1 （2024·陕西安康·模拟预测） 15．若函数是奇函数，则实数的值是（    ） A．2 B． C． D． 模拟3-2 （2025·安徽安庆·模拟预测） 16．函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 模拟3-3 （24-25高三下·江苏南京·阶段练习） 17．若是偶函数，则 【解题规律*总结】 利用函数的奇偶性可求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶函数定义域的对称性、奇偶函数定义或图象的对称性，得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 考法四 抽象函数的奇偶性问题 【十年真题*精选】 真题4-1 （2022·全国·高考真题） 18．已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 真题4-2 （2021·全国·高考真题） 19．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 真题4-3 （2021·全国·高考真题） 20．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1 （2024·宁夏银川·一模） 21．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 模拟4-2 （24-25高三下·云南·阶段练习） 22．已知定义在上的函数满足：关于对称，为奇函数，，则（    ） A．-3 B．3 C．-1 D．1 模拟4-3 [山东济宁2024期中] 23．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【解题规律*总结】 常见思路： 1.利用赋值法探求函数的性质，如奇偶性、周期性等； 2.特例法：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，如真题4-1. 考法五 与单调性结合解不等式问题 【十年真题*精选】 真题5-1 （2020·山东·高考真题） 24．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 真题5-2 （2017·全国·高考真题） 25．函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟5-1 （2024·江西南昌·模拟预测） 26．函数的图象经过点，则关于的不等式解集为（   ） A． B． C． D． 模拟5-2 （2025·广西河池·二模） 27．设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 模拟5-3 （2025高三·全国·专题练习） 28．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 . 【解题规律*总结】 1.重要结论：（1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. （2）函数是奇函数图象关于原点对称； （3）函数是偶函数图象关于y轴对称 2.分类讨论法：分类转化为对应自变量不等式. 3.等价转化法：解抽象函数不等式，先把不等式转化为f（g（x））＞f（h（x）），利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式（组）. 4.为偶函数. 考法六 比较函数值的大小 【十年真题*精选】 真题6-1 （2017·天津·高考真题） 29．已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D． 真题6-2 （2017·天津·高考真题） 30．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟6-1 （2024·陕西榆林·模拟预测） 31．已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，在上单调递减，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 模拟6-2 （2025·天津武清·模拟预测） 32．已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 模拟6-3 （2024·全国·模拟预测） 33．已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. 考法七 奇偶性与函数图象 【十年真题*精选】 真题7-1 （2025·天津·高考真题） 34．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 真题7-2 （2023·天津·高考真题） 35．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 真题7-3 （2022·天津·高考真题） 36．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【三年模拟*荟萃】 模拟7-1 （2025·天津武清·模拟预测） 37．已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 模拟7-2 （2025·安徽合肥·模拟预测） 38．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 模拟7-3 （2024秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习） 39．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【解题规律*总结】 识图的三种常用方法 1．抓住函数的性质，定性分析： （1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（可应用导数研究） （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． 3．根据实际背景、图形判断函数图象的方法： （1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）； （2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）. 考法八 与导数相关的函数综合问题 【十年真题*精选】 真题8-1 （2024·全国·高考真题） 40．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 真题8-2 （2023·全国·高考真题） 41．已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 真题8-3 （2022·全国·高考真题） 42．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 真题8-4 （2025·全国二卷·高考真题） 43．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【三年模拟*荟萃】 模拟8-1 （2024·辽宁·模拟预测） 44．已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 模拟8-2 （2025·广东深圳·二模） 45．已知函数（a为常数），则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为增函数 D．为减函数 模拟8-3 （24-25高三下·重庆北碚·阶段练习） 46．定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（   ） A．50 B．51 C．100 D．101 【解题规律*总结】 此类问题，往往综合考查函数的性质、导数的运算法则及常见函数的导数公式，必要时可构造函数.对于抽象函数问题，赋值法往往很奏效. 考法九 函数的奇偶性与函数零点问题 【十年真题*精选】 真题9-1 （2025·上海·高考真题·节选） 47．已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【三年模拟*荟萃】 模拟9-1 （24-25高三上·江苏·期末） 48．已知曲线与只有唯一交点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 模拟9-2 （2025·广西南宁·三模） 49．设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数（   ） A． B．0 C．1 D．2 模拟9-3 （2025·河南·模拟预测） 50．已知函数恰有一个零点，则实数（   ） A．1 B． C．0 D． 【解题规律*总结】 注意应用奇偶性与零点的关系： （1）奇函数如果在x=a有零点，则在x=-a也必有零点（f（a）=0 ⇒ f（-a）=-f（a）=0） （2）偶函数如果在x=a有零点，则在x=-a也必有零点（f（a）=0 ⇒ f（-a）=f（a）=0） 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数奇偶性的考查，一直是一个命题热点.除独立考查奇偶性，如判断函数的奇偶性、根据函数奇偶性求参数等，常常将奇偶性、单调性、周期性综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、多选题、填空题的形式呈现，命题难度有容易、中等或中等以上等多种可能.且主要有以下几种命题角度： （1）考查函数的奇偶性、定义域的对称性、函数图象的对称性，如判断、识图、求参数等. （2）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （3）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （4）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. （5）与导数相关的函数综合问题，成为一种新的趋势. 【考点预测*展望】 （根据解析式直接判断函数的单调性、奇偶性及零点） （2025·江西·模拟预测） 51．已知函数同时满足以下三个条件：①在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③在内单调递增．函数可以是（    ） A． B． C． D． （结合对数函数、根据函数奇偶性求参数） （24-25高三下·广西·期中） 52．若为奇函数，则实数的值等于（    ） A．－1 B． C． D．1 （抽象函数、导数、奇偶性、解不等式综合问题） 53．设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （抽象函数、具体函数构成“和函数”的综合问题） 54．已知定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则（    ） A． B．函数的一个周期为4 C． D． （抽象函数背景下，综合考查函数的单调性、奇偶性、零点及最值） （2025高三·全国·专题练习） 55．已知函数的定义域为R，且，，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．的最小值为 D．方程的所有根的和为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 黄金考点11 函数的奇偶性 （考点总动员） 考法一 函数奇偶性的判断 【十年真题*精选】 真题1-1 （2024·天津·高考真题） 1．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于A，通过比较与进行判断，对于B，利用偶函数的定义分析判断，对于C，由函数的定义域是否关于原点对称进行判断，对于D，利用偶函数的定义分析判断. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为 ，则为奇函数，不是偶函数，故D错误. 故选：B 真题1-2 （2021·全国·高考真题） 2．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 【三年模拟*荟萃】 模拟1-1 （2025·上海·三模）下 3．下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，即取时的函数值不互为相反数，A不是； 对于B，，即取时的函数值不互为相反数，B不是； 对于C，是偶函数，且，即不恒为0，C不是； 对于D，函数的定义域为，而， 函数是奇函数，D是. 故选：D 模拟1-2 （2025·江西·二模） 4．已知函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数性质判断选项 【详解】根据得 可得，故为奇函数 故选：A 模拟1-3 （2025·山东济宁·模拟预测） 5．已知函数，则下列是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求得定义域，由定义域不关于原点对称，可判断AC；BD定义域关于原点对称，进而令，利用奇函数的定义计算可判断B，令，利用奇函数的定义计算可判断D. 【详解】因为， 对于A，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故A错误； 对于B，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ，所以B正确； 对于C，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故C错误； 对于D，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ， 所以不是奇函数，所以D不正确； 故选：B. 【解题规律*总结】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： （1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数. （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立. 考法二 求解析式、函数值 【十年真题*精选】 真题2-1 （2025·全国一卷·高考真题） 6．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 真题2-2 （2021·全国·高考真题） 7．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 真题2-3 （2019·全国·高考真题） 8．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)= A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得. 【详解】是奇函数， 时，． 当时，，，得．故选D． 【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题． 【三年模拟*荟萃】 模拟2-1 （2024·江西景德镇·三模） 9．已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用时，和可求得的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数，所以，即，. 即. 故选：C 模拟2-2 （2024·山东泰安·模拟预测） 10．设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【分析】由题意求出函数的周期，再利用奇偶性代入求值即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且， 则，所以， 所以函数的周期为， 所以. 故选：D. 模拟2-3 （2025·云南曲靖·模拟预测） 11．函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先根据已知条件列出相关等式求出的表达式，然后根据基本不等式的性质和对数运算即可求得最小值. 【详解】由题意，① 则，② 所以两式相加得：， 则， 又，当且仅当时取等号， 所以． 故答案为：. 【解题规律*总结】 利用函数的奇偶性可求解析式或函数值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数解析式或函数值. 考法三 由函数奇偶性求参数 【十年真题*精选】 真题3-1 （2023·全国·高考真题） 12．已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 真题3-2 （2023·全国·高考真题） 13．若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 真题3-3 （2022·全国·高考真题） 14．若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 【三年模拟*荟萃】 模拟3-1 （2024·陕西安康·模拟预测） 15．若函数是奇函数，则实数的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到的方程求解即可 【详解】，因为是奇函数，所以有， ，， 因此， 故选：C． 模拟3-2 （2025·安徽安庆·模拟预测） 16．函数.若存在，使得为奇函数，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算，存在使得函数为奇函数，则或，根据为奇函数，即可得解. 【详解】由题意可得，函数， 且， 存在，函数为奇函数， 则或， 当时，所以为奇函数， 可得， 所以, 当时，D满足条件，ABC不满足； 当时，， 此时或， 当且仅当时为奇函数，不符合，不合题意. 故选：D. 模拟3-3 （24-25高三下·江苏南京·阶段练习） 17．若是偶函数，则 【答案】0或2 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称可求，再证明为奇函数，由此可得函数为奇函数，结合正弦函数性质可求，由此可得，再求结论即可. 【详解】因为是偶函数，所以它的定义域关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以不等式的解集关于原点对称， 所以方程的根互为相反数， 所以，此时定义域为， 设，则函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以， 所以，所以函数为奇函数，又是偶函数， 所以恒成立， 所以是奇函数，于是， 此时，于是或. 故答案为：0或2 【解题规律*总结】 利用函数的奇偶性可求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶函数定义域的对称性、奇偶函数定义或图象的对称性，得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 考法四 抽象函数的奇偶性问题 【十年真题*精选】 真题4-1 （2022·全国·高考真题） 18．已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 真题4-2 （2021·全国·高考真题） 19．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 真题4-3 （2021·全国·高考真题） 20．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键. 【三年模拟*荟萃】 模拟4-1 （2024·宁夏银川·一模） 21．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 【答案】A 【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解. 【详解】由题意，所以的周期为4， 且关于直线对称， 而， 所以. 故选：A. 模拟4-2 （24-25高三下·云南·阶段练习） 22．已知定义在上的函数满足：关于对称，为奇函数，，则（    ） A．-3 B．3 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】根据两个对称性得出，再根据对称性和周期性即可求出. 【详解】关于对称，则有， 由为奇函数，则有， 则，即，则， 故，故以4为周期， 又，则，故. 故选：B. 模拟4-3 [山东济宁2024期中] 23．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【分析】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的定义逐项判断. 【详解】在函数中，2023， 当时，，解得， 若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，B错误； 当时，，解得， 无法得到，A错误； 在函数中，， 因此是奇函数，C错误，D正确. 故选：D 【解题规律*总结】 常见思路： 1.利用赋值法探求函数的性质，如奇偶性、周期性等； 2.特例法：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，如真题4-1. 考法五 与单调性结合解不等式问题 【十年真题*精选】 真题5-1 （2020·山东·高考真题） 24．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 真题5-2 （2017·全国·高考真题） 25．函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数，， 即 则有 ，解得 ，故选D. 【三年模拟*荟萃】 模拟5-1 （2024·江西南昌·模拟预测） 26．函数的图象经过点，则关于的不等式解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象经过点得到解析式，再判断函数单调性及奇偶性，由此求解不等式即可. 【详解】由函数的图象经过点，得，则， 函数在上单调递减，在上单调递减，则在R上单调递减， 又，即函数是奇函数， 不等式，则， 即，解得，所以原不等式的解集为. 故选：B 模拟5-2 （2025·广西河池·二模） 27．设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据偶函数可将不等式转化为，再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围. 【详解】由于是偶函数，根据偶函数的定义，. 因此，不等式可以转化为. 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得或. 故选：C. 模拟5-3 （2025高三·全国·专题练习） 28．已知是定义在上的奇函数，，若在上单调递增，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义及性质分段求解不等式. 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 是上的偶函数，由，得， 则，由在上递增，得在上递减， 当时，，不等式成立，因此； 当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【解题规律*总结】 1.重要结论：（1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. （2）函数是奇函数图象关于原点对称； （3）函数是偶函数图象关于y轴对称 2.分类讨论法：分类转化为对应自变量不等式. 3.等价转化法：解抽象函数不等式，先把不等式转化为f（g（x））＞f（h（x）），利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式（组）. 4.为偶函数. 考法六 比较函数值的大小 【十年真题*精选】 真题6-1 （2017·天津·高考真题） 29．已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数， ， ，又，则，所以即， ， 所以，故选C． 【考点】指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 真题6-2 （2017·天津·高考真题） 30．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意：， 且：， 据此：， 结合函数的单调性有：， 即. 本题选择C选项. 【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 【三年模拟*荟萃】 模拟6-1 （2024·陕西榆林·模拟预测） 31．已知是定义在R上的奇函数，是定义在R上的偶函数，且，在上单调递减，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】D 【分析】由函数奇偶性的定义判断AB，由函数单调性判断CD. 【详解】由，得是奇函数，且定义域（全体实数）关于原点对称， 由，且定义域（全体实数）关于原点对称，得为偶函数，故A，B选项均错误． 由题易知函数在R上单调递减，函数在上单调递增， 由，得，从而，即C选项错误． 由，得，从而，即D选项正确． 故选：D. 模拟6-2 （2025·天津武清·模拟预测） 32．已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解. 【详解】，定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以， 又， 任取，且，则，则， 故在上单调递增， 又由对数函数的单调性可得， 所以，即. 故选：D 模拟6-3 （2024·全国·模拟预测） 33．已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由得函数为奇函数，且在单调递增，不妨设，设点，则的直线方程为，故，两式相加得，再由函数的奇偶性得即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，且在单调递增，如图所示， 因为， 所以不妨设， 设点， 则的直线方程为， 如图，因为， 所以两式相加得， 又因为， 所以， 所以， 即. 故选：C. 【解题规律*总结】 比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. 考法七 奇偶性与函数图象 【十年真题*精选】 真题7-1 （2025·天津·高考真题） 34．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 真题7-2 （2023·天津·高考真题） 35．已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 真题7-3 （2022·天津·高考真题） 36．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为， 且， 函数为奇函数，CD选项错误； 又当时，，B选项错误. 故选：A. 【三年模拟*荟萃】 模拟7-1 （2025·天津武清·模拟预测） 37．已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的奇偶性及特值法可判断. 【详解】对于A，令，由，则，， 所以是非奇非偶函数，由图象不符，故A错误； 对于B，令，由，则，， 所以是非奇非偶函数，由图象不符，故B错误； 对于D，，当时，，与图象不符，排除D，故C正确. 故选：C. 模拟7-2 （2025·安徽合肥·模拟预测） 38．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定. 【详解】由已知，定义域为，且， 所以函数为偶函数， 故图象关于轴对称， 又，排除B，D选项； 当时，，排除C，故A正确． 故选：A． 模拟7-3 （2024秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习） 39．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象得出函数的奇偶性以及特殊点，逐项验证，可得答案. 【详解】由图可知，函数为奇函数，且，. 对于A，，则该函数为偶函数，故A错误； 对于B，，则该函数为奇函数， ，，故B错误； 对于C，，则该函数为偶函数，故C错误； 对于D，，则该函数为奇函数， 且，，故D正确. 故选：D. 【解题规律*总结】 识图的三种常用方法 1．抓住函数的性质，定性分析： （1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（可应用导数研究） （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． 3．根据实际背景、图形判断函数图象的方法： （1）根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象（定量分析）； （2）根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象（定性分析）. 考法八 与导数相关的函数综合问题 【十年真题*精选】 真题8-1 （2024·全国·高考真题） 40．设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 真题8-2 （2023·全国·高考真题） 41．已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 真题8-3 （2022·全国·高考真题） 42．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 真题8-4 （2025·全国二卷·高考真题） 43．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 【三年模拟*荟萃】 模拟8-1 （2024·辽宁·模拟预测） 44．已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为奇函数及为偶函数可求，利用导数可判断为上的减函数，从而可求不等式的解. 【详解】因为，故， 故， 因为是定义在上的奇函数，故， 故，故，故， 此时，故为上的减函数， 而等价于， 即即，故或 故选：A . 模拟8-2 （2025·广东深圳·二模） 45．已知函数（a为常数），则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为增函数 D．为减函数 【答案】B 【分析】通过对函数进行相应的运算，结合奇偶性的定义判断奇偶性；对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性. 【详解】对于A，首先求：已知， 若为奇函数，则恒成立，即恒成立. 因为恒成立，所以，解得，所以为奇函数，选项A错误. 对于B，接着求：已知， 若为偶函数，则恒成立，即恒成立. 因为不恒为，所以，解得，所以为偶函数，选项B正确.   对于C，D，对求导得. 当时，，，所以，则为增函数. 当时，令，即，则，，解得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以选项C、D错误.   故选：B. 模拟8-3 （24-25高三下·重庆北碚·阶段练习） 46．定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（   ） A．50 B．51 C．100 D．101 【答案】D 【分析】由得（为常数），又即，令即可求，推出函数的周期即可求解. 【详解】由有（为常数）， 又有， 所以，令得，解得， 所以，即， 又由得， 即，所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数， 由，令得，令得， 由，令有，即， 所以， 所以， 故选：D. 【解题规律*总结】 此类问题，往往综合考查函数的性质、导数的运算法则及常见函数的导数公式，必要时可构造函数.对于抽象函数问题，赋值法往往很奏效. 考法九 函数的奇偶性与函数零点问题 【十年真题*精选】 真题9-1 （2025·上海·高考真题·节选） 47．已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】，证明见解析. 【分析】根据题意任意，因为其是偶函数则可求解解析式；结合题意分情况讨论的情况，再利用数型结合从而可求解. 【详解】对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：    其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点，    当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点；    当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点；    当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点.    综上，零点不超过9个. 【三年模拟*荟萃】 模拟9-1 （24-25高三上·江苏·期末） 48．已知曲线与只有唯一交点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性，结合函数图象的性质来求解的值. 【详解】函数与，定义域均为，且都是偶函数，图象关于轴对称， 若两曲线在时有交点，根据对称性，在时，则有其关于轴对称的另一交点， 由于两曲线只有唯一交点，所以唯一交点必在处. 则有，即，解得. 故选：A. 模拟9-2 （2025·广西南宁·三模） 49．设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】通过构造函数，得到奇偶性，根据零点个数得到，计算即可. 【详解】令，定义域为R, 且，则为偶函数, 由于曲线与恰有一个交点,则只有唯一的零点，即，解得. 故选：D. 模拟9-3 （2025·河南·模拟预测） 50．已知函数恰有一个零点，则实数（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性，由偶函数且恰有一零点可得，求出后再检验即可得解. 【详解】由得， 而， 故为偶函数. 由对称性，，从而 当时， 当时，，即无零点， 由对称性，时，也无零点，从而仅有一解，即满足题意. 故选：A 【解题规律*总结】 注意应用奇偶性与零点的关系： （1）奇函数如果在x=a有零点，则在x=-a也必有零点（f（a）=0 ⇒ f（-a）=-f（a）=0） （2）偶函数如果在x=a有零点，则在x=-a也必有零点（f（a）=0 ⇒ f（-a）=f（a）=0） 【命题规律*总结】纵观近几年高考命题，对函数奇偶性的考查，一直是一个命题热点.除独立考查奇偶性，如判断函数的奇偶性、根据函数奇偶性求参数等，常常将奇偶性、单调性、周期性综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、多选题、填空题的形式呈现，命题难度有容易、中等或中等以上等多种可能.且主要有以下几种命题角度： （1）考查函数的奇偶性、定义域的对称性、函数图象的对称性，如判断、识图、求参数等. （2）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （3）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （4）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. （5）与导数相关的函数综合问题，成为一种新的趋势. 【考点预测*展望】 （根据解析式直接判断函数的单调性、奇偶性及零点） （2025·江西·模拟预测） 51．已知函数同时满足以下三个条件：①在定义域内是奇函数或偶函数；②有奇数个零点；③在内单调递增．函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各个选项的图像画出即可选出正确答案. 【详解】选项中的四个函数对应的大致图象如图下图所示．    对于选项A：在区间不单调，故A错误； 对于选项B：没有零点，故B错误； 对于选项C：是奇函数，有3个零点，在上单调递增，故C正确； 对于选项D：有2个零点，故D错误. 故选：C （结合对数函数、根据函数奇偶性求参数） （24-25高三下·广西·期中） 52．若为奇函数，则实数的值等于（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】由函数解析式求其定义域，根据奇函数的性质，可得参数的值，利用奇函数的定义进行检验，可得答案. 【详解】，由，得或， 所以函数的定义域为， 因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，则，此时， ， 即，函数为奇函数，所以． 故选：C． （抽象函数、导数、奇偶性、解不等式综合问题） 53．设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先令，判断的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【详解】因为为偶函数， 所以，所以， 令， 因为为偶函数， 则，即， 即， 所以， 当时，，即在上单调递减，则在上单调递增， 由，即， 所以，即，解得或， 即实数的取值范围是． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令，从而推导出，即可得到函数的单调性. （抽象函数、具体函数构成“和函数”的综合问题） 54．已知定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则（    ） A． B．函数的一个周期为4 C． D． 【答案】BC 【分析】根据奇函数的性质得到，利用赋值法判断A，令，结合，即可得到为偶函数，推出的周期，即可判断B、C，再由利用并项求和判断D. 【详解】因为为定义域为R上奇函数，所以，即， 在，令，可得，故A错误； 令，因为，所以，即， 所以为偶函数， 又为奇函数，所以， 即，所以， 所以，即， 所以，则，所以， 所以是以为周期的周期函数， 所以，则，故B、C正确； 由与得， 所以， 所以，，， ，， ，， ，， ， 所以 ，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令，利用赋值法及所给条件一一计算. （抽象函数背景下，综合考查函数的单调性、奇偶性、零点及最值） （2025高三·全国·专题练习） 55．已知函数的定义域为R，且，，则（    ） A．为偶函数 B．在上单调递减 C．的最小值为 D．方程的所有根的和为 【答案】BCD 【分析】通过对给定等式操作判断函数奇偶性、求解析式、借助导数分析单调性及求解方程根.逐个计算验证即可. 【详解】对于A，由题知，令，得，所以． 令，得，所以，故为奇函数，故A错误． 对于B，两边同时除以，可得， 设，则（*）． 令（C为任意常数），由（*）式得，对等式两边同时求导， 得，因为C为任意常数，所以，为定值，即图象上任意一点处的切线斜率均相等，显然的图象是一条直线． 令（m，t为常数），则，即，由，得，所以，所以． 所以，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故B正确． 对于C，由B知，，故C正确． 对于D，由，可得，解得或，所以的所有根的和为，故D正确． 故选：BCD． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$