精品解析： 吉林省吉林市第十三中学2024-2025学年八年级下学期期末测试数学试题

吉林市第十三中学2024-2025学年度期末质量检测 数学试卷 （试卷满分：120分；时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列线段的长不能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 2，3， C. 4，7，5 D. 1，， 3. 如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 4. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，不等式kx+b＞0的解集是（　　） A. x＞2 B. x＞4 C. x＜2 D. x＜4 5. 数据1，2，3，3，5，5，5的众数和中位数分别是（ ） A. 5，4 B. 3，5 C. 5，5 D. 5，3 6. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C所表示的实数为_____． 8. 若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是___________． 9. 从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是s甲2＝3.83，s乙2＝2.71，s丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是_____． 10. 如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝_____°． 11. 如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是________． 三、解答题（共87分） 12. 计算：． 13. 解方程：． 14. 已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求一次函数的解析式． 15. 已知：，，求的值． 16. 如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知P，Q分别是BG，CG的中点． （1）求证：四边形EFPQ是平行四边形； （2）请判断BG与GE的数量关系，并证明． 17. 2020年为“扶贫攻坚”决胜之年．某校八年级（1）班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图书．全班捐书情况如图，请你根据图中提供的信息解答以下问题， （1）该班共有__________名学生； （2）本次捐赠图书册数的中位数为__________册，众数为___________册； （3）该校八年级共有320名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数． 18. 如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，作，作，连接交于点O． （1）求证：； （2）若四边形是菱形，求菱形的面积． 19. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在BC上，且四边形AEFD是平行四边形． （1）AD与BC有何等量关系？请说明理由； （2）当AB=DC时，求证：四边形AEFD是矩形． 20. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线OBCDA表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地　 　千米； （2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值； （3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值． 21. 如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2． （I）写出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； （Ⅱ）当该矩形菜园的面积为72m2时，求边AB的长； （Ⅲ）当边AB的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 22. 如图①，在中，．动点沿边以每秒个单位长度的速度从点向终点运动．设点运动的时间为秒． （1）线段的长为____________（用含的代数式表示）． （2）当平分时，求的值． （3）如图②，另一动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在上往返运动．、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第十三中学2024-2025学年度期末质量检测 数学试卷 （试卷满分：120分；时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的基本形式是解题的关键． 根据二次根式的定义（形如，的式子），逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】解：A、的根指数为3，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为2，且，故，被开方数恒正，一定是二次根式，符合题意 C、的被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； D、，当时，无意义或为负数，故不一定是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列线段的长不能构成直角三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 2，3， C. 4，7，5 D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项错误； B、∵22+()2=32，∴能构成直角三角形，故本选项错误； C、∵42+52≠72，∴不能构成直角三角形，故本选项正确； D、∵12+=，∴能构成直角三角形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 3. 如图，菱形的对角线相交于点O，E为的中点．若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质．解题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，是解决问题的关键． 直接利用菱形的性质得出的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用直角三角形中线的性质得出答案． 【详解】∵菱形的对角线相交于点O， ，， ∴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 故选：D． 4. 一次函数y=kx+b的图象如图所示，不等式kx+b＞0的解集是（　　） A. x＞2 B. x＞4 C. x＜2 D. x＜4 【答案】C 【解析】 【详解】kx+b＞0即是一次函数的图象在x轴的上方，由图象可得x＜2，故选C. 5. 数据1，2，3，3，5，5，5的众数和中位数分别是（ ） A. 5，4 B. 3，5 C. 5，5 D. 5，3 【答案】D 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），据此求解即可． 【详解】解：数据1，2，3，3，5，5，5中，5出现了3次，出现的次数最多，故众数是5．最中间的数是3，故中位数是3． 6. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 7. 如图，从数轴的原点O向右数出4个单位，记为点A，过点A作数轴的垂线并截取AB为1个单位长度，连接OB，以点O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C所表示的实数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理，在Rt△OAB中，可求得OB的长，从而得出点C所代表的实数． 【详解】在Rt△OAB中，根据勾股定理：OB＝＝， ∴点C所表示的实数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，只需在Rt△OAB中求解出OB的长度即可． 8. 若二次函数的图像与轴没有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与x轴的交点，解题的关键在于掌握：的图象与x轴没有交点，即无解． 由二次函数的图象与x轴没有交点，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图像与轴没有公共点， ∴， 解得． 故答案为： ． 9. 从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是s甲2＝3.83，s乙2＝2.71，s丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是_____． 【答案】丙 【解析】 【分析】根据方差表示数据的波动大小的量即可解答． 【详解】解：∵平均成绩都是87.9分，s甲2＝3.83，s乙2＝2.71，s丙2＝1.52， ∴s丙2＜s乙2＜s甲2， ∴选手丙的成绩更稳定，即适合参加比赛的选手是丙． 故答案为：丙． 【点睛】本题考查了方差的意义，理解方差是表示数据波动大小的量是解答本题的关键． 10. 如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD＝_____°． 【答案】45 【解析】 【详解】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°． 11. 如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线y＝x＋b中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围． 【详解】解：直线y＝x＋b经过点B，将B(3，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 直线y＝x＋b经过点A，将A(1，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 直线y＝x＋b经过点C，C(2，2)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 故b的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是应用数形结合思想，属于中考常考题型． 三、解答题（共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则和运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 13. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法即可得出结果． 【详解】解： ， 分解因式得：， 可得或， 解得：． 14. 已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求一次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线的平行问题，利用好平行直线的解析式中的k值相等是解题的关键．根据两平行直线的解析式中k值相等，再把点代入进行计算求出b值，即可得到解析式． 【详解】解：设一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象平行于直线， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ， ∴， ∴一次函数的解析式为． 15. 已知：，，求的值． 【答案】7+4 【解析】 【详解】试题分析：根据x、y的值可以求得x-y的值和xy的值，从而可以解答本题． 试题解析：∵x＝1－，y＝1＋， ∴x－y＝(1－)－(1＋)＝－2， xy＝(1－)(1＋)＝－1， ∴x2＋y2－xy－2x＋2y ＝(x－y)2－2(x－y)＋xy ＝(－2)2－2×(－2)＋(－1) ＝7＋4. 16. 如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知P，Q分别是BG，CG的中点． （1）求证：四边形EFPQ是平行四边形； （2）请判断BG与GE的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）BG＝2GE. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据BE，CF是△ABC的中线可得EF是△ABC的中位线，P，Q分别是BG，CG的中点可得PQ是△BCG的中位线，根据三角形中位线定理可得EF∥BC且EF=BC，PQ∥BC且PQ=BC，进而可得EF∥PQ且EF=PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论； （2）根据平行四边形的性质可得GE=GP，再根据P是BG的中点可得BG=2PG，利用等量代换可得答案． 试题解析：（1）∵BE、CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC且EF＝BC， ∵P、Q分别是BG、CG的中点，∴PQ是△BCG的中位线， ∴PQ∥BC且PQ＝BC， ∴EF∥PQ且EF＝PQ， ∴四边形EFPQ是平行四边形； （2）BG＝2GE， ∵四边形EFPQ是平行四边形，∴GP＝GE， ∵P是BG中点，∴BG＝2PG， ∴BG＝2GE. 17. 2020年为“扶贫攻坚”决胜之年．某校八年级（1）班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图书．全班捐书情况如图，请你根据图中提供的信息解答以下问题， （1）该班共有__________名学生； （2）本次捐赠图书册数的中位数为__________册，众数为___________册； （3）该校八年级共有320名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数． 【答案】（1）40；（2）7，8；（3）96 【解析】 【分析】（1）用捐书7册的人数及其百分比可得该班的学生数； （2）根据中位数的定义找出中位数，找出捐书最多的数目确定出众数即可； （3）用总人数分别乘以捐书7册的百分比即可得． 【详解】解：（1）该班共有学生数是：12÷30%=40（名）； 故答案为：40； （2）捐献4册的人数有：40×10%=4名，捐献8册的人数有：40×35%=14名， 按从小到大的顺序排列得到第20，21个数均为7册，所以中位数为7册． 出现次数最多的是8册，所以众数为8册． 故答案为：7，8； （3）该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数：320×30%=96（名）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及中位数、众数，，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．弄清题意是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，点D是边上的一个动点，连接，作，作，连接交于点O． （1）求证：； （2）若四边形是菱形，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）证明四边形是平行四边形，即可求证； （2）根据菱形的性质可得，设，则，在中，根据勾股定理求出x的值，再利用菱形的性质计算出面积即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， 解得： 即， ∴菱形的面积为． 19. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在BC上，且四边形AEFD是平行四边形． （1）AD与BC有何等量关系？请说明理由； （2）当AB=DC时，求证：四边形AEFD是矩形． 【答案】(1)，理由见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由四边形AEFD是平行四边形可得AD=EF，根据条件可证四边形ABED是平行四边形， 四边形AFCD是平行四边形，所以AD=BE，AD=FC，所以AD=BC； （2）根据矩形的判定和定义，对角线相等的平行四边形是矩形．只要证明AF=DE即可得出结论． 【详解】证明：（1）AD=BC 理由如下： ∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC， ∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形． ∴AD=BE，AD=FC， 又∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AD=EF． ∴AD=BE=EF=FC． ∴； （2）证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形， ∴DE=AB，AF=DC． ∵AB=DC， ∴DE=AF． 又∵四边形AEFD是平行四边形， ∴平行四边形AEFD是矩形． 20. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线OBCDA表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地　 　千米； （2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值； （3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值． 【答案】（1）30；（2）当x＝3.9时，轿车与货车相遇；（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时． 【解析】 【分析】（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：300﹣270＝30千米； （2）先求出线段CD对应的函数关系式，再根据两直线的交点即可解答； （3）分两种情形列出方程即可解决问题． 【详解】解：（1）根据图象信息：货车的速度V货＝， ∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时， ∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60＝270（千米）， 此时，货车距乙地的路程为：300﹣270＝30（千米）． 所以轿车到达乙地后，货车距乙地30千米． 故答案为30； （2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）． ∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上， ，解得， ∴CD段函数解析式：y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）； 易得OA：y＝60x， ，解得， ∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇； （3）当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20， 由题意60x﹣（110x﹣195）＝20或110x﹣195﹣60x＝20， 解得x＝3.5或4.3小时． 答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题中路程＝速度×时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是解题的关键． 21. 如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2． （I）写出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； （Ⅱ）当该矩形菜园的面积为72m2时，求边AB的长； （Ⅲ）当边AB的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（Ⅰ）S＝﹣2x2+30x（6≤x＜10）；（Ⅱ）AB的长为12米；（Ⅲ）当x＝7.5时，S有最大值，S最大＝112.5. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设菜园的宽AB为xm，则BC为（30﹣2x）m，由面积公式写出S与x的函数关系式，进而求出x的取值范围； （Ⅱ）令s＝72求得x的值即可； （Ⅲ）利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积． 【详解】解：（Ⅰ）∵AB＝CD＝xm， ∴BC＝（30﹣2x）m， 由题意得S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x（6≤x＜10）； （Ⅱ）令s＝72得：﹣2x2+30x＝72， 解得：x＝3或x＝12， 当x＝3时，30﹣2x＝24＞18， ∴x取12， 答：AB的长为12米． （Ⅲ）∵S＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5， ∴当x＝7.5时，30﹣2x＝15<18，，S有最大值，S最大＝112.5， 【点睛】此题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，难度一般，应注意配方法求最大值在实际中的应用． 22. 如图①，在中，．动点沿边以每秒个单位长度的速度从点向终点运动．设点运动的时间为秒． （1）线段的长为____________（用含的代数式表示）． （2）当平分时，求的值． （3）如图②，另一动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，在上往返运动．、两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】（1） （2） （3）t的值为 或8或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由平行线的性质和角平分线的性质可得 ，可求解； （3）根据题意得：，利用平行四边形的性质分四种情况：当点Q没有到达点B时；当点Q到达点B后，返回时；当点Q到达点C后，返回时；当点Q第二次到达点B后，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，， ∴， 当点Q没有到达点B时， ， ∴（不合题意舍去）， 当点Q到达点B后，返回时， ， ∴， 当点Q到达点C后，返回时， ， ∴， 当点Q第二次到达点B后， ， ∴． 综上所述：t的值为或8或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $