精品解析：吉林省“BEST合作体”2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

吉林省“BEST合作体”2024-2025学年度下学期期末考试 高二数学试题 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据对数函数定义域得出集合A，再根据交集定义计算求解. 【详解】设集合，， 则. 故选：D. 2. 在等差数列中，为其前项的和，若，则为（ ） A. 42 B. 48 C. 60 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差数列的定义即可求解. 【详解】为等差数列，所以也为等差数列， 因为， 所以， 所以. 故选：. 3. 已知函数且，则（ ）. A. . B. . C. 2. D. 4. 【答案】D 【解析】 【分析】代入中求出的值，在利用分段函数代入求出即可. 【详解】由题可知， 解得，则. 故选：D. 4. 已知函数的导函数是，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求导公式求出，可计算，由此确定解析式，进而求值. 【详解】由得， 所以， 所以， 所以，故. 故选：A 5. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出函数的图象，由图象交点坐标，即可判断得出的大小关系. 【详解】分别画出函数的图象，如图所示， 由图象，可得. 故选：B. 6. 若函数为奇函数，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为奇函数，根据奇函数的性质得到，分别代入并列出关于的方程，即可求出的值. 【详解】由题意可得，，， ， 整理可得，对任意都成立，，. 故选：B 7. 设数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】由题意得数列为单调递增数列等价于对任意恒成立，则有，所以“”是“数列为单调递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查数列的性质、充要条件的判定，属于基础题. 8. 若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是奇函数可得，因为是的一个零点，代入得，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断可得答案. 【详解】因为是的一个零点，所以， 又因为f（x）为奇函数，所以， 所以，即. 所以， 故一定是的零点. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分） 9. （多选）如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 是的极小值点 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 是的极小值点 【答案】BC 【解析】 【分析】利用图像判断的正负，得到函数的单调性进而逐项判断 【详解】当时，，∴不是 的极值点，∴A错误； 当时，，当时，，∴ 在上单调递减，在上单调递增，∴是 的极小值点，∴B正确； 当时，，∴在上单调递减，∴是的极大值点，∴C正确，D错误． 故选：BC． 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B. 若不等式的解集为，则的取值范围为 C. 设集合，，则“”是“”的充分不必要条件 D. 若正实数，，满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举例说明判断A；按结合一元二次不等式恒成立求解判断B；利用充分不必要条件的定义判断C；利用“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，有且仅有2个子集，A错误； 对于B，当时，恒成立，则；当时，， 解得，因此的取值范围为，B正确； 对于C，当时，；当时，或，则或， 因此“”是“”的充分不必要条件，C正确； 对于D，由正实数满足，得， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BCD 11. 数列的前项和为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则数列的前5项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比满足 C. 已知等差数列的前项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等差数列的单调性判断A，根据等比数列的单调性判断B，根据等差数列前项和公式及下标和性质判断C，根据等差数列的通项公式为一次函数即可判断D. 【详解】对于A：令，即，即数列的前6项和最大，故A错误； 对于B：当时，等比数列也是递减数列，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：若为等差数列，则，所以数列也是等差数列，故D正确. 故选：AB. 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若数列满足，则数列前15项的和_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由，裂项相消求和即可 【详解】因为， 所以． 故答案为：3. 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先当时，可知，结合已知条件求出，然后利用函数奇偶性求的解析式即可. 【详解】解：当时，则， 因为当时，，且是定义在上的奇函数， 所以，即， 故时，的解析式为. 故答案为：. 14. 设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数在不同区间的单调性，进而求出极值，再结合函数在不同区间的表达式画出大致图象，最后根据函数图象与直线的交点个数来确定参数的取值范围． 【详解】 当时，，则. 由得，所以在上单调递减； 由得，所以在上单调递增. 当时，，当时，， 当时，， 当时，取得极小值. 又当时，，所以函数的大致图象如图. 由图可知，当时，函数的图象与直线有三个交点， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5道题，共77分） 15. 已知函数在处有极值，其图象经过点，且． （1）求函数的解析式； （2）求函数在处的切线方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题知，解方程并检验即可得答案； （2）结合（1）计算，，进而根据几何意义求解即可. 【详解】解：（1）因为，所以， 因为函数在处有极值，其图象经过点，且， 所以，解得， 此时，满足在处有极值， 所以. （2）由（1）知， 所以，， 所以函数在处的切线方程为，即 16. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，设面积为 （1）求关于的函数； （2）求面积的最大值以及所对应的值． 【答案】（1）（2），. 【解析】 【分析】 (1）设AB=x可得，利用勾股定理可求DP，即可求函数表达式； (2）利用基本不等式可得三角形面积的最大值. 【详解】（1）设，， ， 即. ，即 ， 解得 ， ， ，. 即，. （2）由（1）知，. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故面积的最大值为，此时. 17. 已知数列满足，数列满足. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求满足不等式的所有正整数的值. 【答案】（1）证明：由得， 又，得， 即得，故数列是等差数列； （2）2，3，4． 【解析】 【分析】（1）根据题干条件将表达式变形为：，即得，从而证得式是等差数列； （2）根据第一问的结论得到数列的通项，进而求和，解不等式即可． 解析： 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为数列是首项为，公差为的等差数列， 则，则， 从而有． 故， 则，由，得， 即，得． 故满足不等式的所有正整数n的值为2，3，4． 18. 已知函数，． （1）若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围； （2）记函数，若的最小值是，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知在区间内恒成立，由参变量分离法可得在区间内恒成立，利用导数求出函数在上的最大值，由此可得出实数的取值范围； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的最小值可求得实数的值. 【小问1详解】 解：因为，则， 由题意知在区间内恒成立， 所以，在区间内恒成立． 令，，因为恒成立， 所以在区间内单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围为． 【小问2详解】 解：，其中． 因为， ①当时，对任意的恒成立， 所以在区间内单调递增，此时，无最小值，不合题意； ②当时，令，则或（舍去）， 当时，；当时，. 所以，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增， 则是函数的极小值点，也是最小值点， 所以， 解得，合乎题意. 综上所述，. 19. 设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，，，. （1）求，的通项公式； （2）若数列{dn}满足，，且，试求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1），. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）通过已知条件运用基本量法求得，的通项公式即可； （2）通过已知条件求得，讨论为奇数和为偶数两种情况下的通项公式； （3）由已知条件求得通项公式，分为奇数和为偶数两种情况分别运用错位相减法和裂项相消法求和并相加求得数列的前项和. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为，则依题意有， 因为，，， 所以，解得或． 由于是各项都为正整数的等比数列，所以. 所以，. 所以的通项公式为，的通项公式为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，，两式相除：， 由，，得. 所以是以为首项，以为公比的等比数列； 是以为首项，以为公比的等比数列. 所以当为奇数时，， 当为偶数时， 所以的通项公式. 【小问3详解】 因为， 所以 当n为奇数时，， 错位相减得， 当n为偶数时，，裂项相消得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省“BEST合作体”2024-2025学年度下学期期末考试 高二数学试题 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共2页.考试时间为120分钟.考试结束后，只交答题卡. 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，为其前项的和，若，则为（ ） A. 42 B. 48 C. 60 D. 72 3. 已知函数且，则（ ）. A . B. . C. 2. D. 4. 4. 已知函数的导函数是，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 5. 若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数为奇函数，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 设数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分） 9. （多选）如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 是的极小值点 C. 在上单调递减，在上单调递增 D. 是的极小值点 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B. 若不等式的解集为，则的取值范围为 C. 设集合，，则“”是“”充分不必要条件 D. 若正实数，，满足，则 11. 数列的前项和为，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则数列的前5项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比满足 C. 已知等差数列的前项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若数列满足，则数列前15项的和_________． 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________． 14. 设函数，若函数图象与直线有三个交点，则实数的取值范围__________. 四、解答题（本题共5道题，共77分） 15. 已知函数在处有极值，其图象经过点，且． （1）求函数的解析式； （2）求函数在处切线方程． 16. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，设面积为 （1）求关于的函数； （2）求面积的最大值以及所对应的值． 17. 已知数列满足，数列满足. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求满足不等式的所有正整数的值. 18. 已知函数，． （1）若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围； （2）记函数，若的最小值是，求的值． 19. 设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，，，. （1）求，通项公式； （2）若数列{dn}满足，，且，试求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $