精品解析：湖南省娄底市部分普通高中2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

娄底市部分普通高中2025年上学期期末考试高二数学试卷 命题人：吴佳晴 审题人：吴课朋 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题p：∃m0∈R，使方程x2+m0x+1=0有实数根，则非p形式的命题是（ ） A. ∃m0∈R，使得方程x2+m0x+1=0无实根 B. 对∀m∈R，方程x2+mx+1=0无实根 C. 对∀m∈R，方程x2+mx+1=0有实根 D 至多有一个实数m，使得方程x2+mx+1=0有实根 3. 若，且，则的值为　　 A. B. C. D. 4. 如图，，分别是正方体的棱与的中点，则下列判断正确的是（ ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与互相平行 C. 直线与互相垂直 D. 直线与是异面直线 5. 函数的大致图像如图所示，则它的解析式是 A. B. C. D. 6. 如图所示的方格纸中有定点O、P、Q、E、F、G、H，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 8. 已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立是（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则下列说法错误的是（ ）. A. 在复平面内对应的点位于第二象 B. C. D. 的共轭复数 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量在向量方向上的投影是 D. 向量的单位向量是 11. 如图，在棱长为1的正方体中（ ） A. 与的夹角为 B. 二面角，正弦值为 C. 与平面所成角的正切值为 D. 点到平面距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中，项的系数是________．（用数字填写答案） 13. 函数的定义域为_______． 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球､定点高远球､吊球､杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数； （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在）内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若平面向量，其中，． （1）求角B的大小； （2）若，求的最大值． 17. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上. （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的右焦点为，点，斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点，，且为线段的中点，若，求直线的方程. 19. 已知函数. （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 娄底市部分普通高中2025年上学期期末考试高二数学试卷 命题人：吴佳晴 审题人：吴课朋 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由阴影部分可知对应的集合为，即可得到结论. 【详解】阴影部分对应的集合为， ∵全集，集合， ∴. 故选：D. 2. 命题p：∃m0∈R，使方程x2+m0x+1=0有实数根，则非p形式的命题是（ ） A. ∃m0∈R，使得方程x2+m0x+1=0无实根 B. 对∀m∈R，方程x2+mx+1=0无实根 C 对∀m∈R，方程x2+mx+1=0有实根 D. 至多有一个实数m，使得方程x2+mx+1=0有实根 【答案】B 【解析】 【分析】用全称量词对命题进行否定即可写出. 【详解】由存在量词命题的否定可知，命题的否定为“对∀m∈R，方程x2+mx+1=0无实根”. 故选：B. 3. 若，且，则的值为　　 A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用二倍角公式，求得sin2α的值． 【详解】解：，且， ，则， 故选A． 【点睛】本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题． 4. 如图，，分别是正方体的棱与的中点，则下列判断正确的是（ ） A. 直线与是相交直线 B. 直线与互相平行 C. 直线与互相垂直 D. 直线与是异面直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线性质判断A，B，应用正方形特征判断C，应用线线平行共面判断D. 【详解】由题知，平面，与平面交于点，，所以直线与是异面直线，故A错误； 平面，与平面交于点，，所以直线与是异面直线，故B错误； 正方体各个表面均为正方形，所以直线与互相垂直，故C正确； 因为，分别是正方体的棱与的中点，所以， 因为所以是平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面，所以直线与不是异面直线，故D错误. 故选：C. 5. 函数的大致图像如图所示，则它的解析式是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由图易知：函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，排除A，B； 的图象为开口向上的抛物线，显然不适合， 故选D 点睛：识图常用方法 (1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题； (2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； (3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 6. 如图所示方格纸中有定点O、P、Q、E、F、G、H，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算法则计算可得； 【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则，，，，，，所以，，，，， 所以，所以； 故选：C 7. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用，可得答案. 【详解】，当且仅当时等号成立. 答案：C. 8. 已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，分别表示出，构造函数，利用函数图象比较大小. 【详解】设，，则，，， 在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，如图， 当时，；当时，；当时，. 故选:D. 【点睛】本题考查利用函数的图象比较大小，构造函数，画出图象是关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则下列说法错误的是（ ）. A. 在复平面内对应的点位于第二象 B. C. D. 的共轭复数 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，直接判断出位于第四象限； B选项，根据复数模的公式直接求出； C选项，根据复数的乘方运算直接求出； D选项，根据共轭复数的概念直接求出. 【详解】A选项，在复平面内对应的点为，位于第四象限.故A错误； B选项，.故B错误； C选项，.故C错误； D选项，.故D正确. 故选：ABC 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量在向量方向上的投影是 D. 向量的单位向量是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：利用向量垂直的条件判断；对于B：利用模的计算公式；对于C：利用投影的计算公式；对于D：直接求单位向量即可. 【详解】， 对于A：，，，故A正确； 对于B：，，故B正确； 对于C：向量在向量方向上的投影是，故C错误； 对于D：，所以向量的单位向量是，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中（ ） A. 与的夹角为 B. 二面角，的正弦值为 C. 与平面所成角的正切值为 D. 点到平面的距离为 【答案】CD 【解析】 【分析】本题根据线面垂直的判定判断得出线线垂直，通过作辅助线找到二面角再通过余弦定理计算其余弦值，根据线面角的定义找到线面夹角再进行计算，根据点到平面的计算公式结合前面所得夹角正弦值即可算出距离. 【详解】对A，，且平面，所以平面，又平面，，故A错误； 对B，过作垂线，垂足为H，连接，易知H为中点，在等边三角形中，，所以为二面角的平面角， ．故B错误； 对C，易知平面，设直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，则，故C正确； 对D，由C知，，所以到的距离为．故D正确． 故选：CD. 【点睛】本题考查知识点十分综合，涉及到线面垂直的判定，异面直线夹角，点到平面的距离，二面角等等，需要我们对知识点能够融会贯通. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中，项的系数是________．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，得， 所以项的系数是. 故答案为： 13. 函数的定义域为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的真数及被开方数，以及分母不为0的条件来求解即可得定义域. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可. 【详解】已知函数， 当时，单调递增，所以最大值为； 当且时，在上单调递增； 所以要使函数在上单调递增， 则，解得或(舍去). 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球､定点高远球､吊球､杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数； （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在）内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和为1求出的值，根据百分位数的定义列出方程，求解即得； （2）利用分层抽样方法确定从两组中应抽取的数目，设出样本点，列出试验所含的样本空间和事件包含的样本点，根据古典概型概率公式计算即可. 【小问1详解】 由题意得：，解得， 因为， ， 设第60百分位数为，则， 解得，即第60百分位数为85. 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为， 在的有人，设为. 则“从中挑出两人进行试课”这个试验的样本空间为： ，， 设事件“两人得分分别来自和”， 则， 因此 所以两人得分分别来自和的概率为. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若平面向量，其中，． （1）求角B的大小； （2）若，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算和正弦定理即可得到，再求解即可； （2）首先利用余弦定理和基本不等式得到，将转化为，再利用换元法求解即可. 【小问1详解】 因为，则，又，， 所以，由正弦定理得， 即，又A是内角，则， 所以，即， 又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 所以（当且仅当时取等号）， 所以， 又，所以， 所以， 令，， ，则在上单调递增， 所以，即，即， 所以的最大值为. 17. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，再利用线面平行的判定定理即可； （2）取的中点为，以为原点建系，求出平面的法向量，再根据向量夹角与线面角的关系即可求出. 【小问1详解】 取的中点，连接，， ∵为的中点，∴且， 又，，则且， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 取的中点为，连接，因，则， 因平面平面，平面平面，平面， 则平面，又面，则， 又，，，则，故，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由是边长为4的等边三角形，得， ∴，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即平面的一个法向量为； ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上. （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线右焦点为，点，斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点，，且为线段的中点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线得，再结合点在双曲线上得基本量，故可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，，联立直线方程和双曲线方程消元后得中点坐标，结合垂直关系可求，故可得直线方程. 【小问1详解】 双曲线的一个渐近线方程为， 得，即， 因为点在双曲线上，所以，即， 解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1），得. 设直线的方程为，，， 联立消去，得，， 所以，，即. 因为，所以，又，， 所以，即，解得， 所以直线的方程为，即. 19. 已知函数. （1）若，，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极大值点，求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若，，求出解析式，利用导函数求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）根据定义域为，利用极值点求出，可得，分类讨论，，，是否满足是的极大值点，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 若，，则，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意，得的定义域为，， 则，即，所以. 当时，在时，，单调递减； 在和时，，单调递增， 所以是的极大值点，满足条件. 当时，，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件. 当时，在时，，单调递减； 在和时，，单调递增， 所以是的极小值点，不满足条件. 当时，在时，，单调递减；在时，，单调递增， 所以是的极小值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $