专题09 三角形（安徽专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题09 三角形（原卷版） 一、单选题 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 2．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 4．（2021·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    三、解答题 6．（2023·安徽·中考真题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．    (1)如图1，求的大小； (2)已知点和边上的点满足． （ⅰ）如图2，连接，求证：； （ⅱ）如图3，连接，若，求的值． 一、单选题 1．（2025·安徽合肥 一模）如图，在中，点在边上，，，若，，则的长为（　　） A．10 B． C．8 D． 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，于点D，若，，则的长为（   ） A． B． C．6 D．3 3．（2022·安徽·合肥 一模）如图，在锐角中，D为边上一点，，将绕点C顺时针旋转后得到，且点D，B的对应点分别为A，E，交于点O，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·安徽安庆·一模）如图，与是两个全等的等腰直角三角形，其中，点、、在同一条直线上，与相交于点，则以下判断错误的是（   ） A． B．为等边三角形 C． D． 5．（2025·安徽阜阳·一模）如图，在中，为边上一动点，，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D．2 6．（2025·安徽安庆·二模）在中，是边上的中线，于点，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在等腰三角形中，，，是上的动点，连接，以为斜边在右侧作，且点在下方，，，为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 8．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，的面积为，为的中点，点在上，且，，，于点．若，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D． 9．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽安庆·二模）如图，动点在等边的边上，，连接，于点，以为边在其右侧作等边，的延长线交于点，连接，则下列结论错误的是（　　） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是1 D．的最大值是2 二、填空题 11．（2025·安徽合肥·一模）如图，是等腰三角形，，，的顶点、、分别在边，，上，且，，． （1）中边上的高的长度为 ． （2）的长度为 ． 12．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，点、分别是边、上的点，连接并延长交延长线于点．若，则 13．（2025·安徽淮北·一模）如图，在中，，，，点P从点A出发沿方向运动，到点B时停止运动，连接，点A关于直线的对称点，连接，． （1）线段的长为 ； （2）在运动的过程中，点到直线距离的最大值是 ． 14．（2025·安徽安庆·一模）在中，，，平分交于点，平分交于点． （1） ； （2）若，则长为 ． 15．（2025·安徽合肥·二模）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点O，连接．若，则线段的长为 ． 16．（2025·安徽铜陵·三模）如图，在中，，，点，是上的点，沿，将折叠，使，叠合到处． （1）用的代数式表示，则 ； （2）若，，则的值是 三、解答题 17．（2023·安徽淮北·三模）已知和是有公共顶点的等腰直角三角形；且，.    (1)，在线段上，连接并延长交于F，如图1． ①求证：； ②求的长． (2)若，点B、D、E在一条直线上，F是中点，G是中点，连接、，如图2，求的值． 18．（2025·安徽合肥·二模）如图1，已知：中，，，点为边中点，点、分别在、边上，连接，和，，连接交于点． (1)求证：； (2)连接，若． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）如图2，当时，求的值． 19．（2025·安徽滁州·二模）如图1，分别为的高，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，F为上一点，连接并延长交的延长线于点G，且．若，求的长． 20．（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 三角形（解析版） 一、单选题 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出的度数，再利用中点得到线段关系，最后在中，结合含角的直角三角形性质及勾股定理求出的长 ． 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 2．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：．    3．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 【答案】A 【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示，    延长， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示，    设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，    此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    ∵，则 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，则， ∴是直角三角形，    在中， ∴当时，最短， ∵ ∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵ ∴四边形面积等于    ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． 4．（2021·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】由图可得 ∵， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 二、填空题 5．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．    【答案】 【分析】根据公式求得，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键． 三、解答题 6．（2023·安徽·中考真题）在中，是斜边的中点，将线段绕点旋转至位置，点在直线外，连接．    (1)如图1，求的大小； (2)已知点和边上的点满足． （ⅰ）如图2，连接，求证：； （ⅱ）如图3，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据旋转的性质得出，根据等边对接等角得出，在中，根据三角形内角和定理即得出，进而即可求解； （2）（ⅰ）延长交于点，证明四边形是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，，根据等腰三角形的性质，得出是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； （ⅱ）如图所示，过点作于点，由，得出，，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 在中， ∴ （2）证明：（ⅰ）证法一： 如图，延长，交于点，则，    ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点，， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，即， ∴，即点是斜边的中点． ∴． 证法二： ∵，是斜边的中点， ∴点在以为圆心，为直径的上．    ∵， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 证法三： ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点，， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． ∴． ∵，是斜边的中点， ∴点在以为圆心，为直径的上． ∴． （ⅱ）如图所示，过点作于点，    ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求正切，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 一、单选题 1．（2025·安徽合肥 一模）如图，在中，点在边上，，，若，，则的长为（　　） A．10 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据，得到垂直平分，继而得到，得到，结合，，得到，于是，解答即可． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，线段的和差，关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质． 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，于点D，若，，则的长为（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，根据，设，根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 3．（2022·安徽·合肥 一模）如图，在锐角中，D为边上一点，，将绕点C顺时针旋转后得到，且点D，B的对应点分别为A，E，交于点O，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质、平行线的证明、平行线分线段成比例定理对选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由题意知， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 故A项正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故B项正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故C项正确； 根据已知条件推不出，故D项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的旋转的性质，等边三角形的证明，平行线的证明，平行线分线段成比例定理，熟练掌握图形旋转前后对应边相等，对应角相等．平行线分线段成比例定理是解题的关键， 4．（2025·安徽安庆·一模）如图，与是两个全等的等腰直角三角形，其中，点、、在同一条直线上，与相交于点，则以下判断错误的是（   ） A． B．为等边三角形 C． D． 【答案】D 【分析】过点作，三线合一，结合斜边上的中线以及全等三角形的性质，得到，进而得到，求出，进而求出，推出，证明为等边三角形，求出，证明，推出，作作，设，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出长，求出，即可． 【详解】解：∵与是两个全等的等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点作， 则：， 在中，， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形，故选项B正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；故选项C正确，不符合题意； 作，设， ∵， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解题的关键． 5．（2025·安徽阜阳·一模）如图，在中，为边上一动点，，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】要想找到的最小值，需要先找到E的运动轨迹是一条射线，过程为先作平分，作，由题意易得，根据相似的性质可证，进而得到点E的运动轨迹是射线，根据点到线的距离中，垂线段最短即可求解； 【详解】如图，作平分，作，连接交于， ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， 又P为边上一动点，即点在与成夹角的射线上运动，的最小值为到的垂线段的长度，即的最小值为的长． ， ， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的相似的判定和性质，含直角三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识点，解决此题的关键是作出合理的辅助线． 6．（2025·安徽安庆·二模）在中，是边上的中线，于点，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，设，则，勾股定理求出，解直角三角形求出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出，即可解答． 【详解】解：设，则， 则， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：D． 7．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在等腰三角形中，，，是上的动点，连接，以为斜边在右侧作，且点在下方，，，为的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．作于点，连接，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，求得，，证得，求得，推出点在射线上，延长交于点，作点关于直线的对称点，当点共线时，有最小值，最小值为的长，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：作于点，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上，延长交于点，作点关于直线的对称点，连接，， ∵，， ∴， ∴点在上， ∴，， 此时点是的中点， ∵， ∴当点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵为的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 8．（2025·安徽马鞍山·三模）如图，的面积为，为的中点，点在上，且，，，于点．若，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作交于点，证明得，解得，由三角形的面积得，解出的值即可． 【详解】解：过点作交于点， ， ， ， ， 又， ， 的面积为， ， ， 为的中点， ， 故选：A． 9．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等腰直角三角形的性质与判定，先证明，得到，设，则，则，设，由折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，得，解得，则，，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点G， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设， ∴由折叠的性质可得， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 10．（2025·安徽安庆·二模）如图，动点在等边的边上，，连接，于点，以为边在其右侧作等边，的延长线交于点，连接，则下列结论错误的是（　　） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是1 D．的最大值是2 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，由垂线段最短可得，当时，最小，此时，再由勾股定理计算即可判断A；作于，连接、，由，可得当、、在同一直线上时，的值最小，即可判断B；证明、、、四点共圆，得出当取最大值时，等于直径，即可判断D；再由垂线最短结合解直角三角形即可判断C；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵动点在等边的边上， ∴当时，最小，此时， ∴的最小值为，故A正确，不符合题意； 如图：作于，连接、， 则，， ∵， ∴当、、在同一直线上时，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为，故B正确； 如图，连接、，作，交的延长线于， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴当取最大值时，等于直径，为，故D正确，不符合题意； 由垂线最短可得，当时，最小，此时，故C说法错误，符合题意； 故选：C． 二、填空题 11．（2025·安徽合肥·一模）如图，是等腰三角形，，，的顶点、、分别在边，，上，且，，． （1）中边上的高的长度为 ． （2）的长度为 ． 【答案】 / 【分析】（1）作于点，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求解即可； （2）求得，设，则，，证明和，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：（1）作于点， ∵，， ∴， ∴； ∴中边上的高的长度为； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 12．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，点、分别是边、上的点，连接并延长交延长线于点．若，则 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解决问题的关键是构造相似三角形． 延长并截取，连接，即可得出线段、、、的长，根据勾股定理得出的长，进而证明，根据相似三角形的性质，对应线段成比例，即可得解． 【详解】解：延长并截取，连接，如图所示， ，， ， ， ，，， ， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ； 故答案为：． 13．（2025·安徽淮北·一模）如图，在中，，，，点P从点A出发沿方向运动，到点B时停止运动，连接，点A关于直线的对称点，连接，． （1）线段的长为 ； （2）在运动的过程中，点到直线距离的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形的性质、圆的性质、轴对称的性质，较难的是题（2），正确找出点的运动轨迹是解题关键． （1）过点作于点，先根据含30度角的直角三角形的性质可得，解直角三角形可得，再解直角三角形可得，从而可得的长，然后根据轴对称的性质可得，由此即可得； （2）先确定点在以点为圆心、长为半径的圆的一段圆弧上，再根据圆的性质可得当时，点到直线的距离最大，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，由此即可得． 【详解】解：（1）如图，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由轴对称的性质得：， 故答案为：． （2）由轴对称的性质得：， ∴如图，点在以点为圆心、长为半径的圆的一段圆弧上， 由圆的性质可知，当时，点到直线的距离最大， 如图，，交于延长线于点，则即为所求， ∵在中，， ∴， ∴， 即在运动的过程中，点到直线距离的最大值是， 故答案为：． 14．（2025·安徽安庆·一模）在中，，，平分交于点，平分交于点． （1） ； （2）若，则长为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的性质定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，根据角平分线的定义得到，，由三角形内角和定理即可求解； （2）如图所示，延长交于点，过点作于点，，，在中，，，，，由此即可求解． 【详解】解：（1）在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， 在中，； （2）如图所示，延长交于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∵是角平分线，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①；②． 15．（2025·安徽合肥·二模）如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点O，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查垂直平分线的作法，勾股定理，由作法可知垂直平分，推出，，再利用勾股定理解求出即可． 【详解】解：由作法可知垂直平分， ，， 在中，， ， 故答案为：8． 16．（2025·安徽铜陵·三模）如图，在中，，，点，是上的点，沿，将折叠，使，叠合到处． （1）用的代数式表示，则 ； （2）若，，则的值是 【答案】 / 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，等边对等角，折叠的性质等等，熟知折叠的性质和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理得到，由翻折可知，，，据此由角的和差关系可得答案； （2）设，，根据（1）所求可得，则由折叠的性质和勾股定理可得，再证明，求出．同理，，据此可得答案． 【详解】解析：（1），， ． 由翻折可知，，， ； 故答案为：； （2）设，， ， ， 由翻折可知，，， ， ∵， ∴， 又∵， ， ，即 ． 同理，， ， 故答案为：． 三、解答题 17．（2023·安徽淮北·三模）已知和是有公共顶点的等腰直角三角形；且，.    (1)，在线段上，连接并延长交于F，如图1． ①求证：； ②求的长． (2)若，点B、D、E在一条直线上，F是中点，G是中点，连接、，如图2，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据题目条件和等腰三角形的性质可以找到两条对应边相等，又有夹角，可以根据证明三角形全等； ②根据全等，可以得到，然后证得：∽，，根据题目条件求出、的长，即可求出的长． （2）先求、的值，得到比值相等，然后证得，从而得到∽，然后根据相似对应边成比例，求出比值． 【详解】（1）①证明：∵在线段上，和是有公共顶点的等腰直角三角形， ∴  ， 又∵，， ∴； ②解：由①可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ，    ∴，   ， ∴； （2）解：连接，    ∵和是有公共顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵F是中点，G是中点， ∴， ∴，，， ∴，即． ∵ ∴， ， ∴． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等，解题的关键是找到全等和相似的关系． 18．（2025·安徽合肥·二模）如图1，已知：中，，，点为边中点，点、分别在、边上，连接，和，，连接交于点． (1)求证：； (2)连接，若． （ⅰ）当时，求的值； （ⅱ）如图2，当时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及三线合一性质得，，，证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）证明得， （ⅰ）当时，则，设，，根据四边形的一组对角为直角得四边形内接于直径为的圆，根据同弧或等弧所对的圆周角相等得，证明可得，继而得到，求即可； （ⅱ）当时，则，延长至点，使，设，，可得垂直平分，，，推出，，进一步可得四边形内接于直径为的圆，继而得到，证明得，可得，求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵点为边中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， （ⅰ）当时，则， 设，， ∵， ∴， ∴四边形内接于直径为的圆，如图， ∵圆周角、所对的弧为， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 整理，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴； （ⅱ）当时，则， 如图，延长至点，使，设，， ∵即， ∴垂直平分，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形内接于直径为的圆， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 整理，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形的判定和性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，的圆周角所对的弦是直径，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，一元二次方程的应用等知识点．掌握一组对角互补的四边形为圆内接四边形、相似三角形的判定和性质及锐角三角函数的定义是解题的关键． 19．（2025·安徽滁州·二模）如图1，分别为的高，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，F为上一点，连接并延长交的延长线于点G，且．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理； （1）证明，即可得到； （2）由得到，再根据，得到，整理即可得到； （3）由（1）（2）结论，结合可得，，则，连接，证明得到，求出，根据直角三角形斜边中线得到，，再证明，得到，代入求出，在中，求出，在中，，最后根据代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵分别为的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 整理得； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴，， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴中，， ∵中，， ∴． 20．（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$