专题20 项目化问题（安徽专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题 20 项目化问题（原卷版） 1．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 2．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 1．（2025·安徽合肥·一模）【项目背景】 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，为了解甲，乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计，为软件的使用选择提供参考． 【数据收集与整理】数学兴趣小组从该校甲、乙两款软件体验者中各随机抽取20名，记录体验者对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度（满分10分） b．信息识别准确度（满分10分） c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 统计量类别 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7 9 5.6 4.84 乙 7.65 7 5.6 5.64 【数据分析与应用】根据所给信息，完成以下任务． (1)[任务1]表格中__________；___________； (2)[任务2]综合表中的统计量，下列结论正确的是___________；（填正确结论的序号） ①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多； ②两款软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差相等； ③由信息识别准确度得分的折线统计图可知，甲款软件的得分更稳定 (3)[任务3]若该校共有350名甲款软件的体验者，请估计该校对本款软件信息识别准确度打分不低于7分人数． 2．（2025·安徽合肥·一模）数学兴趣小组开展了一项探究活动，主题是“两个相邻奇数/偶数的平方差”．相关内容如下表所示： 类型 两个相邻奇数的平方差 两个相邻偶数的平方差 表示结果 ___________ ．．．．．． ．．．．．． 一般结论 ___________      (1)完成上述表格内容； (2)兴趣小组发现：这些形如（是正整数）的数都可以用两个相邻奇数/偶数的平方差来表示，分析过程如下： ①设两个相邻奇数分别为：（为正整数）， 则：； ②设两个相邻偶数分别为：（为正整数）， 则：___________ 而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确． 3．（2025·安徽合肥·二模）综合与实践 【项目背景】随着北京冬奥会的顺利召开，冰雪运动已成为许多青年人的爱好，冰雪运动健儿更是在各类比赛中争金夺银．在哈尔滨亚冬会自由式滑雪空中技巧项目比赛中，中国队就夺得4金4银2铜的好成绩． 【规则了解】自由式滑雪空中技巧项目的计分规则为： a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H； b．每次试跳都有5名裁判进行打分（分，分数为0.5的整数倍），在5个得分中去掉1个最高分和1个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分P； c．运动员该次试跳的得分． 【数据收集与整理】在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 A B C D E 3.5 打分 8.5 9.5 9.0 9.0 9.5 【数据分析与应用】 任务1：甲运动员这次试跳的完成分________，得分________；（结果保留两位小数） 任务2：若按照全部5名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为，那么与任务1中所得的比较，________（填“＞”“＝”或“＜”）； 任务3：在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低8.1分，已知乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分至少要达到多少分？ 4．（2025·安徽合肥·二模）为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中随机抽取20名学生竞赛成绩（百分制）．数学兴趣小组对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）： 主题项目 校园安全知识竞赛成绩分析报告 数据收集 八年级学生成绩 80，80，100，90，80， 70，70，80，70，90， 70，80，100，90，60， 80，90，80，90，90 九年级学生成绩 90，90，100，80，80， 60，70，80，60，100， 60，70，90，80，90， 90，90，70，100，90 数据整理与分析 八、九年级学生成绩分析表 统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 82 80 80 106 九年级 82 n 90 166 任务1 ①补全条形统计图； ②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角度数； ③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数n＝______． 任务2 该校九年级学生共1200人，请估计成绩不低于80分的人数； 任务3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 5．（2025·安徽阜阳·三模）某数学社团有如下项目研究，请解答相应问题． 【项目主题】两位数之间的运算与数位上数字的关系． 【项目研究的内容】某些特殊的两个两位数的积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差． 【项目研究的过程】 （1）特例观察： ； ； ； ___________________； … （2）等式左边的算式可表示为的形式，观察这些式子可以发现：①数a，b十位上的数字相同，不妨设为且为正整数）；②若设数个位上的数字为且为正整数），则个位上的数为______________；③将数的十位上的数与个位上的数字对调得到数，将数的十位上的数与个位上的数字对调得到数；… （3）在（2）的前提下，数可以表示为，数可以表示为，数可以表示为，数可以表示为______________ 【归纳与证明】请你根据“项目研究的过程”的内容，用含m，n的等式归纳“这种特殊的两个两位数的积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差”的规律，并证明． 6．（2025·安徽池州·三模）【项目背景】 为响应国家“全民健身”号召，学校鼓励学生积极参与体育活动．现针对初三年级学生的体育锻炼情况展开调查，了解学生每周参与体育锻炼的时长和喜爱的体育项目，为学校后续开展体育活动、优化体育课程提供参考依据． 【数据收集与整理】 从初三年级的名学生中，随机调查了部分学生作为样本，调查他们每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）．将收集到的数据进行如下分组： A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 整理样本数据，并绘制如下统计图 【数据分析与运用】 【任务1】：本次随机调查的学生人数是 人；扇形统计图中， ： ；并补全条形统计图． 【任务2】：下列结论一定正确的是 （填正确结论的序号）． ①样本数据的中位数在C组；②样本数据的众数在D组；③扇形统计图中，B组所对的圆心角的度数为． 【任务3】：学校规定，每周体育锻炼时长不少于小时的学生，体育成绩可获得额外加分鼓励．请估计初三年级名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数． 7．（2025·安徽宣城·三模）综合与实践 【项目背景】 为支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往青山乡开展综合实践活动，其中一个项目是调查该乡每户农民的年收入（以下称为户年收入），为乡村振兴工作提供参考． 【数据收集与整理】 班级同学从该乡随机调查了120个家庭的户年收入x（单位：万元）作为样本，收集整理后进行如下分组： 组别 A B C D E x 5<x≤10 10<x≤15 15<x≤20 20<x≤25 25<x≤30 整理样本数据并绘制两幅统计图，部分信息如下： 任务1  求频数直方图中a，b的值． 【数据分析与运用】 已知A组中的具体数据见下表： 户年收入/万元 6 7 8 9 10 户数 1 2 4 5 2 任务2  求A组数据的中位数和众数； 任务3  乡政府准备对户年收入为10万元以下（含10万元）的家庭进行精准帮扶，根据样本估计全乡3600户中需要精准帮扶的户数． 8．（2025·安徽芜湖·三模）综合与实践 【项目背景】 为进一步减轻学生学业负担，提高教学效率，育新中学准备在新学期推出新举措．为此，育新中学需提前了解学生的学业负担情况．九（1）班同学利用课余时间随机调查了部分九年级学生每天完成课外作业的平均时间，将其作为样本进行统计，为学校制定新举措提供参考． 【数据收集与整理】 数据收集后，九（1）班同学将部分九年级学生每天完成课外作业的平均时间（分钟）进行如下分组： 组别 A B C D 整理后并绘制成两幅统计图，部分信息如下： 任务1    求图1中的值． 任务2    求图2中“D”所对应的扇形圆心角的度数． 【数据分与运用】 任务3    已知A组中4个数据为27，28，30，30，B组的中位数为47分钟，求A、B两组中位数的平均数． 任务4    我校今年只有600名九年级学生，根据样本数据，估计该校九年级学生中每天完成课外作业的平均时间不超过90分钟的人数． 9．（2025·安徽淮南·三模）根据以下素材，完成项目任务： 有关教辅图书的素材 素材1 因材施教、分层作业是实施国家“双减”政策的重要手段．新华书店为该校九年级学生提供了、两种难易程度不同的数学复习资料，已知每本，种资料的定价和为105元． 素材2 小明按定价计算发现3本种资料的总价与4本种资料的总价相同． 素材3 新华书店规定：种资料按定价的7折出售，种资料按定价的8折出售．九二班共40人，购买种资料的有30人，其余人购买种资料． 问题解决 任务1 设种资料每本的定价为元，种资料每本的定价为元，请根据素材1，则________（用含的代数式）． 任务2 基于素材1和素材2的信息，求、两种资料每本的定价各是多少元． 任务3 请你计算九二班这次购买资料共付新华书店________元． 10．（2025·安徽滁州·三模）问题：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊情况入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论． 探究一： （1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． ∴ 当时，． （3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1 根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． 综上所述，可得表①． 表①∶ 3 4 5 6 1 0 1 1 探究二： （1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？(仿照上述探究方法，将结果填在表②中) 表②∶ 7 8 9 10 2 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究…… 问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中) 表③∶ 问题应用：用2025根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成 种不同的等腰三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 20 项目化问题（解析版） 1．（2025·安徽·中考真题）综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地． 【项目准备】 （1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺． （2）密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为． （3）密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”． 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为． 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加① 个正六边形和② 个正三角形，长度增加③ cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ cm． 【项目分析】 （1）项目条件：场地为长、宽的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元． （2）基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用． （3）方式确定： （i）考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； （ii）每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束； （iii）第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接为止． （4）方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案． 方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接（如图5）． 根据规律，令，解得，所以每行可以先拼块拼接单元，即共用去个正六边形和个正三角形组件，由知，所拼长度为，剩余恰好还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形）．最终需用个正六边形和个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行，则，解得，故需铺行．由知，方案一所需的总成本为元． 方案二：第一行沿着长度为的墙自左向右拼接． 类似于方案一的成本计算，令 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 元． 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略）． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】；；；；； 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度．涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量， 进而计算每行成本和总成本．方案二的计算方法与方案一类似． 【详解】解：项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角 形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为，观察图4可得 增加的长度为3个边长，即 计算 y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的，每增加一个拼接单元长度增加，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令， 移项可得，即， 两边同时除以，解得， 每行可以先拼块拼接单元． 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 拼块拼接单元， 共用去个正六边形和个正三角形组件． 由知，所拼长度为， 剩余，无法再摆放组件． 由知，方案二每行的成本为元． 由于每行宽度为（按计算），设拼成s行， 则， 两边同时除以，， 故需铺17行． 计算方案二的总成本． 方案二所需的总成本为元． 项目实施： 两种方案比较可知：． 选方案二完成实践活动． 故答案为：；；；；；． 2．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 1．（2025·安徽合肥·一模）【项目背景】 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，为了解甲，乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计，为软件的使用选择提供参考． 【数据收集与整理】数学兴趣小组从该校甲、乙两款软件体验者中各随机抽取20名，记录体验者对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度（满分10分） b．信息识别准确度（满分10分） c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 统计量类别 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7 9 5.6 4.84 乙 7.65 7 5.6 5.64 【数据分析与应用】根据所给信息，完成以下任务． (1)[任务1]表格中__________；___________； (2)[任务2]综合表中的统计量，下列结论正确的是___________；（填正确结论的序号） ①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多； ②两款软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差相等； ③由信息识别准确度得分的折线统计图可知，甲款软件的得分更稳定 (3)[任务3]若该校共有350名甲款软件的体验者，请估计该校对本款软件信息识别准确度打分不低于7分人数． 【答案】(1)， (2)①③ (3)140 【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数，折线统计图，用样本估计总体等知识点，能根据中位数、众数、平均数对题目进行分析是解题的关键． （1）根据平均数和中位数的概念求解即可； （2）根据众数的定义和折线统计图求解判断即可； （3）用样本估计总体的计算方法求解即可． 【详解】（1）甲两款软件的信息处理速度的平均数（分）， 乙两款软件的信息处理速度分数从小到大排列第10个和第11个分别为7分和8分 ∴中位数（分）； （2）①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多，正确； ②甲款软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差为， 乙款软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差为， ∴两款软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差不相等，故原说法错误； ③由信息识别准确度得分的折线统计图可知，甲款软件的得分更稳定，正确； 综上所述，结论正确的是①③； （3）估计该校对本款软件信息识别准确度打分不低于7分人数为（人）． 2．（2025·安徽合肥·一模）数学兴趣小组开展了一项探究活动，主题是“两个相邻奇数/偶数的平方差”．相关内容如下表所示： 类型 两个相邻奇数的平方差 两个相邻偶数的平方差 表示结果 ___________ ．．．．．． ．．．．．． 一般结论 ___________      (1)完成上述表格内容； (2)兴趣小组发现：这些形如（是正整数）的数都可以用两个相邻奇数/偶数的平方差来表示，分析过程如下： ①设两个相邻奇数分别为：（为正整数）， 则：； ②设两个相邻偶数分别为：（为正整数）， 则：___________ 而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查平方差公式； （1）根据表格得出规律即可； （2）根据平方差公式得出结论即可． 【详解】（1）解：根据表格得出： ； ； （2）解：①设两个相邻奇数分别为：（为正整数）， 则 而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确； ②设两个相邻偶数分别为：（为正整数）， 则 而能取到所有的正整数，由此可证明结论正确． 3．（2025·安徽合肥·二模）综合与实践 【项目背景】随着北京冬奥会的顺利召开，冰雪运动已成为许多青年人的爱好，冰雪运动健儿更是在各类比赛中争金夺银．在哈尔滨亚冬会自由式滑雪空中技巧项目比赛中，中国队就夺得4金4银2铜的好成绩． 【规则了解】自由式滑雪空中技巧项目的计分规则为： a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H； b．每次试跳都有5名裁判进行打分（分，分数为0.5的整数倍），在5个得分中去掉1个最高分和1个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分P； c．运动员该次试跳的得分． 【数据收集与整理】在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为： 难度系数 裁判 A B C D E 3.5 打分 8.5 9.5 9.0 9.0 9.5 【数据分析与应用】 任务1：甲运动员这次试跳的完成分________，得分________；（结果保留两位小数） 任务2：若按照全部5名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为，那么与任务1中所得的比较，________（填“＞”“＝”或“＜”）； 任务3：在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低8.1分，已知乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分至少要达到多少分？ 【答案】1.9.17，96.29 2. 3.9.67 【分析】本题主要考查了求平均数，一元一次不等式的应用， 对于1，根据计算即可，再根据计算； 对于2，根据计算，再比较； 对于3，根据求出答案即可． 【详解】解：1.；； 故答案为：9.17，96.29； 2．， ∴； 故答案为：； 3.设这一跳乙的完成分至少要达到x分，根据题意，得 ， 解得． 所以这一跳乙的完成分至少要达到9.67分． 4．（2025·安徽合肥·二模）为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中随机抽取20名学生竞赛成绩（百分制）．数学兴趣小组对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）： 主题项目 校园安全知识竞赛成绩分析报告 数据收集 八年级学生成绩 80，80，100，90，80， 70，70，80，70，90， 70，80，100，90，60， 80，90，80，90，90 九年级学生成绩 90，90，100，80，80， 60，70，80，60，100， 60，70，90，80，90， 90，90，70，100，90 数据整理与分析 八、九年级学生成绩分析表 统计量 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 82 80 80 106 九年级 82 n 90 166 任务1 ①补全条形统计图； ②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角度数； ③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数n＝______． 任务2 该校九年级学生共1200人，请估计成绩不低于80分的人数； 任务3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：①图见解析；②；③85；任务2：840人；任务3：我认为九年级成绩更好，理由见解析 【分析】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 任务一：①由数据收集得到八年级80分的有7人即可补全条形统计图； ②“80分”所在扇形的圆心角的度数为乘以占比即可； ③根据中位数定义进行求解即可； 任务二：用样本估计总体即可； 任务三：比较中位线，众数，平均数进行分析即可． 【详解】解：任务一：①由数据收集得到八年级80分的有7人，故补全条形统计图，如图所示： ②“80分”所在扇形的圆心角的度数为： ； ③将九年级学生成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为80，90，则中位数为 ； 任务二：九年级学生成绩不低于80分的人数为： （人）； 任务三：我认为九年级成绩更好． 理由：由分析表可知两个年级的平均数相同，九年级的中位数高于八年级，所以九年级的成绩更好． 5．（2025·安徽阜阳·三模）某数学社团有如下项目研究，请解答相应问题． 【项目主题】两位数之间的运算与数位上数字的关系． 【项目研究的内容】某些特殊的两个两位数的积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差． 【项目研究的过程】 （1）特例观察： ； ； ； ___________________； … （2）等式左边的算式可表示为的形式，观察这些式子可以发现：①数a，b十位上的数字相同，不妨设为且为正整数）；②若设数个位上的数字为且为正整数），则个位上的数为______________；③将数的十位上的数与个位上的数字对调得到数，将数的十位上的数与个位上的数字对调得到数；… （3）在（2）的前提下，数可以表示为，数可以表示为，数可以表示为，数可以表示为______________ 【归纳与证明】请你根据“项目研究的过程”的内容，用含m，n的等式归纳“这种特殊的两个两位数的积与交换这两个两位数数字得到的新两位数积的差”的规律，并证明． 【答案】项目研究的过程：（1）；（2）；（3）；归纳与证明：规律：，见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． 项目研究的过程：（1）根据题干中所给式子得出规律即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据题意列出代数式即可； 归纳与证明：得出规律，根据整式的运算法则证明即可． 【详解】解：项目研究的过程： （1）由题干中所给式子可得： （2）由题意可得个位上的数为： （3）由题意可得：数可以表示为 归纳与证明： 规律： 证明：左边 右边； 原等式成立． 6．（2025·安徽池州·三模）【项目背景】 为响应国家“全民健身”号召，学校鼓励学生积极参与体育活动．现针对初三年级学生的体育锻炼情况展开调查，了解学生每周参与体育锻炼的时长和喜爱的体育项目，为学校后续开展体育活动、优化体育课程提供参考依据． 【数据收集与整理】 从初三年级的名学生中，随机调查了部分学生作为样本，调查他们每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）．将收集到的数据进行如下分组： A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 整理样本数据，并绘制如下统计图 【数据分析与运用】 【任务1】：本次随机调查的学生人数是 人；扇形统计图中， ： ；并补全条形统计图． 【任务2】：下列结论一定正确的是 （填正确结论的序号）． ①样本数据的中位数在C组；②样本数据的众数在D组；③扇形统计图中，B组所对的圆心角的度数为． 【任务3】：学校规定，每周体育锻炼时长不少于小时的学生，体育成绩可获得额外加分鼓励．请估计初三年级名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数． 【答案】任务1：；；．条形统计图见详解． 任务2：①③． 任务：人． 【分析】任务1：根据E组有人，占总人数的百分比是，即可求得本次随机调查的学生人数，进而得到B组人数，D组人数即可补全条形统计图，再由A组有人，可得，． 任务2：根据，，可判断①正确；再根据C组和D组均占总人数的百分比的最多，可判断②错误；由B组所占百分比为，可得B组所对的圆心角的度数为，可判断③正确． 任务：根据D组和E组的学生占总人数的，即可估计名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数． 【详解】解：任务1：∵E组有人，占总人数的百分比是， ∴本次随机调查的学生人数是（人）， ∴B组人数为（人），D组人数为（人）， 故补全条形统计图如下： ∵A组有人， ∴A组占总人数的百分比是，即， ∴C组占总人数的百分比是，即， 故答案为：；；． 任务2：∵，， ∴样本数据的中位数在C组，即①正确； ∵C组占总人数的百分比是，D组占总人数的百分比是， ∴样本数据的众数在C组和D组，即②错误； ∵B组所占百分比为， ∴扇形统计图中，B组所对的圆心角的度数为，即③正确； 故答案为：①③． 任务：根据题意可得D组和E组的学生每周体育锻炼时长不少于小时， ∵D组和E组的学生占总人数的， ∴名学生中，能获得体育成绩加分的学生人数为：（人）． 【点睛】本题考查了条形统计图基础及应用，中位数，众数，用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．（2025·安徽宣城·三模）综合与实践 【项目背景】 为支持乡村振兴，班级同学在老师的带领下前往青山乡开展综合实践活动，其中一个项目是调查该乡每户农民的年收入（以下称为户年收入），为乡村振兴工作提供参考． 【数据收集与整理】 班级同学从该乡随机调查了120个家庭的户年收入x（单位：万元）作为样本，收集整理后进行如下分组： 组别 A B C D E x 5<x≤10 10<x≤15 15<x≤20 20<x≤25 25<x≤30 整理样本数据并绘制两幅统计图，部分信息如下： 任务1  求频数直方图中a，b的值． 【数据分析与运用】 已知A组中的具体数据见下表： 户年收入/万元 6 7 8 9 10 户数 1 2 4 5 2 任务2  求A组数据的中位数和众数； 任务3  乡政府准备对户年收入为10万元以下（含10万元）的家庭进行精准帮扶，根据样本估计全乡3600户中需要精准帮扶的户数． 【答案】任务1：，；任务2：中位数和众数分别为8.5万元和9万元；任务3：420户 【分析】此题考查了频数分布直方图，中位数、众数，样本估计总体等知识，读懂题意是解题的关键． 任务1：利用百分比和作差即可求出答案； 任务2：求出中位数和众数，即可得到答案； 任务3：用样本估计总体即可． 【详解】解：任务1  ，即． ， ∴．     任务2  A组数据的中位数和众数分别为8.5万元和9万元．     任务3  （户）． 答：估计全乡3600户中需要精准帮扶的户数为420． 8．（2025·安徽芜湖·三模）综合与实践 【项目背景】 为进一步减轻学生学业负担，提高教学效率，育新中学准备在新学期推出新举措．为此，育新中学需提前了解学生的学业负担情况．九（1）班同学利用课余时间随机调查了部分九年级学生每天完成课外作业的平均时间，将其作为样本进行统计，为学校制定新举措提供参考． 【数据收集与整理】 数据收集后，九（1）班同学将部分九年级学生每天完成课外作业的平均时间（分钟）进行如下分组： 组别 A B C D 整理后并绘制成两幅统计图，部分信息如下： 任务1    求图1中的值． 任务2    求图2中“D”所对应的扇形圆心角的度数． 【数据分与运用】 任务3    已知A组中4个数据为27，28，30，30，B组的中位数为47分钟，求A、B两组中位数的平均数． 任务4    我校今年只有600名九年级学生，根据样本数据，估计该校九年级学生中每天完成课外作业的平均时间不超过90分钟的人数． 【答案】任务1：16；任务2：；任务3：38分钟；任务4：360人 【分析】任务1 根据B组的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去ABD组人数即可得出C组人数（即的值） 任务2 先求出用乘以B组所占的百分比即可； 任务3 先求出A组中4个数据为27，28，30，30的中位数，进而可求A、B两组中位数的平均数 任务4 用全校总人数乘以ABC三组人数所占百分比即可． 本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 【详解】解：任务1  被调查样本的学生人数， C组人数：． 任务2 “D”所对应的扇形圆心角的度数为：． 任务3  组的最中间两个数为，，故A组的中位数为分钟， 两组中位数的平均数为（分钟）． 任务4  该校九年级学生中每天完成课外作业的平均时间不超过90分钟的人数为 （人）． 答：估计该校九年级学生中每天完成课外作业的平均时间不超过90分钟的人数为360人． 9．（2025·安徽淮南·三模）根据以下素材，完成项目任务： 有关教辅图书的素材 素材1 因材施教、分层作业是实施国家“双减”政策的重要手段．新华书店为该校九年级学生提供了、两种难易程度不同的数学复习资料，已知每本，种资料的定价和为105元． 素材2 小明按定价计算发现3本种资料的总价与4本种资料的总价相同． 素材3 新华书店规定：种资料按定价的7折出售，种资料按定价的8折出售．九二班共40人，购买种资料的有30人，其余人购买种资料． 问题解决 任务1 设种资料每本的定价为元，种资料每本的定价为元，请根据素材1，则________（用含的代数式）． 任务2 基于素材1和素材2的信息，求、两种资料每本的定价各是多少元． 任务3 请你计算九二班这次购买资料共付新华书店________元． 【答案】任务1：；任务2：种资料每本的定价为60元，种资料每本的定价为45元；任务3： 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，有理数的四则运算，熟知相关等量关系是解题的关键． 任务1：根据每本，种资料的定价和为105元即可解答； 任务2：根据3本种资料的总价与4本种资料的总价相同列方程即可解答； 任务3：按照题意计算价格即可． 【详解】任务1：由题意可得， 故答案为：； 任务2：由题意得， 解得， 答：种资料每本的定价为60元，种资料每本的定价为45元； 任务3：（元）． 故答案为：． 10．（2025·安徽滁州·三模）问题：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊情况入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论． 探究一： （1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形． ∴ 当时，． （3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1 根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． 综上所述，可得表①． 表①∶ 3 4 5 6 1 0 1 1 探究二： （1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成1根木棒、1根木棒和5根木棒，则不能搭成三角形． 若分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形． 若分成3根木棒、3根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形． ∴ 当时，． （2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？(仿照上述探究方法，将结果填在表②中) 表②∶ 7 8 9 10 2 你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究…… 问题解决：用n根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (设n分别等于4k-1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中) 表③∶ 问题应用：用2025根相同的木棒搭一个三角形(木棒无剩余)，能搭成 种不同的等腰三角形． 【答案】探究二（2）1，2，2；问题解决：，，，；问题应用： 【分析】探究二（2）仿照探究一中的方法，将木棒分成相等的两部分和另一部分，利用三角形成立的条件进行判断即可； 问题解决：从两个表格中总结出规律填表即可 问题应用：用2025和4的倍数关系，结合问题解决中的规律即可解答． 【详解】解：探究二（2）①用8根相同的木棒搭一个三角形， 即分成2根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 此时，能搭成1种等腰三角形， 当时，． ②用9根相同的木棒搭一个三角形， 即分成1根木棒、4根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 即分成3根木棒、3根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 此时，能搭成2种等腰三角形， 当时，． ③用10根相同的木棒搭一个三角形， 即分成2根木棒、4根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 即分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形， 此时，能搭成2种等腰三角形， 当时，． 填表如下： 7 8 9 10 2 1 2 2 问题解决：由规律可知， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是1、3、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是2、4、6、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是1、3、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 用根相同的木棒搭一个三角形，底边可以是2、4、5、……根木棒，能搭成种等腰三角形， 填表如下： 问题应用：， 用2025根相同的木棒搭一个三角形，能搭成506种不同的等腰三角形． 【点睛】本题考查的是基本作图及等腰三角形，解题的关键是掌握等腰三角形的性质及三角形成立的条件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$