精品解析：吉林省长春市力旺实验初级中学2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试题

2024-2025学年度下学期八年级数学学科期末考试试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 点在平面直角坐标系中所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，则为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 如图，在矩形中，，交于点O．若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 6. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是小旺从家到学校行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（ ） A. 学校距小旺家1000米； B. 小旺用了20分钟到学校； C. 小旺前10分钟走了总路程的一多半； D. 小旺后10分钟比前10分钟走得快． 8. 已知点，在反比例函数（，k为常数）的图象上，若，且，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_． 10. 若直线与直线平行且经过点，则直线解析式为______． 11. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则_______． 12. 如图，菱形对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若直线与线段有交点，则的取值范围是______． 14. 如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点A在上，线段交于点，作轴于点C，交于点D，延长OD交于点E，作轴于点F，连结、，下列结论：①； ②；③；④． 其中正确的是______．（填序号） 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 如图，观察函数的图象，并根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）当x的取值范围为______时，； （2）当时，的取值范围为______； （3）当x的取值范围为______时，． 17. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米，停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为480平方米，求车道的宽度． 18. 阅读下列材料，并把空缺的部分补充完整： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，只用卷尺（有刻度）就可以确保图形是矩形： 首先，测量两组对边的长度保证分别相等，确定该图形是______； 其次，要测量______，确定该图形是矩形． 证明过程为： 在四边形中，，，∴____________， ∵____________，∴四边形ABCD是矩形． 19. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆半径均相等），两弧相交于点E，F，连接，与相交于点，与相交于点，与交于点，连接、． （1）通过尺规作图可知直线是线段的______； （2）求证：四边形是菱形． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．四边形的四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，点E是格点，在线段上作点F，连接，使； （2）图②中，点F是非格点，在线段上作点G，使； （3）图③中，点E是格点，连接，在线段上作点H，连接，使． 21. 物理实验证实：在弹性限度内，弹簧长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间存在关系．某兴趣小组为探究一弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间的关系，进行了6次测量，下表是测量数据： 所挂物体质量x/kg 0 10 20 30 40 50 弹簧的长度y/cm 3 6 9 12 15 18 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：）与所挂物体质量x（单位：kg）之间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是______函数关系；（请选择“一次”“二次”或“反比例”）； （2）根据以上判断，求y关于x的函数表达式； （3）小明在实验时记录了一组数据，当所挂物体质量为时，弹簧的长度为，他的实验记录是否正确？说明理由． 22. 【问题发现】如图1，在中，，．点是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； 【变式探究】如图2，在中，，．点是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； 【问题解决】如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，正方形的边长为，则______． 23. 如图，在中，，，，点D在线段上，，过点D作的垂线，垂足为E，点P是线段上的动点，连接，以为邻边作． （1）______； （2）求证：； （3）当面积最大时，求此时的面积： （4）当点Q落在的边上时，直接写出线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知直线l：上有两点A、B，横坐标分别为m，，作点A关于点O对称点C，作点B关于点O的对称点D，连结． （1）点A的坐标为（______，______）（用含m的代数式表示）； （2）求证四边形平行四边形； （3）当四边形是矩形时，求m的值； （4）定点M坐标为，当点M在四边形内部（不含边界）时，直接写出m取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期八年级数学学科期末考试试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 点在平面直角坐标系中所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的坐标特征求解即可． 【详解】点P(−2,3)的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点P(−2,3)所在的象限是第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）；第二象限（-,+）；第三象限（-,-）；第四象限（+,-）． 2. 下列各曲线表示的y与x的关系中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的定义，掌握函数的定义是解本题的关键．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于的每一个确定的x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数．根据函数的定义判断即可． 【详解】根据函数的定义可知，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之对应，选项A，B，D均满足函数的定义，不符合题意； 选项C中，存在对于的某个确定的x值，y可能出现两个值与其对应，所以选项C中的曲线，y与x不是函数关系，符合题意． 故选：C． 3. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形性质得出以及，再解题即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 又， ， ， 故选：D． 4. 如图，，若，则为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，在矩形中，，交于点O．若，则的长为（ ） A 2 B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质得到，，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 故选：D． 6. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 如图是小旺从家到学校行进的路程s（米）与时间t（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（ ） A. 学校距小旺家1000米； B. 小旺用了20分钟到学校； C. 小旺前10分钟走了总路程的一多半； D. 小旺后10分钟比前10分钟走得快． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，能从图象中识别信息是解题的关键．观察函数图象的横轴、纵轴，可得答案． 【详解】解：A、由图象的纵轴可以看出，学校距小旺家1000米，故A正确，不符合题意； B、由图象的横轴可以看出，小旺用了20分钟到学校，故B正确，不符合题意； C、由图象的纵轴可以看出，小旺前10分钟走了总路程的一多半，故C正确，不符合题意； D、由图象的纵轴可以看出，小旺后10分钟比前10分钟走得慢，故D错误，符合题意； 故选：D． 8. 已知点，在反比例函数（，k为常数）的图象上，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，分和两种情况，根据反比例函数的图象和性质解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，且时，时， ∵，且， ∴当时，，则； 当时，，则， ∴，则， ∴； 当，反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时， ∵，且， ∴当时，，则， 当时，，则， ∴，则； ∴； 综上，， 故选：． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_． 【答案】＞ 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得：＜ 再列不等式，解不等式可得答案． 【详解】解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根， ＜ ＜ ＜ ＜ ＞ 故答案为：＞ 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 10. 若直线与直线平行且经过点，则直线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，根据直线与直线平行得；将点代入即可求解； 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴； 将点代入得：， ∴直线解析式为； 故答案为： 11. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质．首先根据平行四边形的性质可证、，根据等角对等边可知，根据线段的和与差可知，从而可求． 详解】解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 12. 如图，菱形对角线，相交于点，测得，，过点作于点，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，根据菱形的性质可得，勾股定理求得的长，进而根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵菱形对角线，相交于点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若直线与线段有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数与线段的交点问题，根据横坐标相同时纵坐标之间的关系正确列出不等式组是解题关键．利用正比例函数图像上点的坐标特征，结合直线与线段有公共点，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 直线与线段有交点， ，解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 14. 如图，，分别是反比例函数和在第一象限内的图象，点A在上，线段交于点，作轴于点C，交于点D，延长OD交于点E，作轴于点F，连结、，下列结论：①； ②；③；④． 其中正确的是______．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质及的几何意义，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解本题的关键． 根据反比例函数中的几何意义，即可证明①正确；通过证明，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得，故②错误；同理可得，进而可以证明，再根据相似三角形的性质，即可证明③④正确． 【详解】解：∵点A，都在上，且轴，轴，点D在上， ∴，， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②错误； 如图，过点作轴于点， 同理可得： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，故④正确； ∴，故③正确； 故答案为：①③④． 三、解答题（共10小题，共78分） 15 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解： ， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得， 因式分解得， 解得，． 16. 如图，观察函数的图象，并根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）当x的取值范围为______时，； （2）当时，的取值范围为______； （3）当x的取值范围为______时，． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线的交点问题，直线与坐标轴的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）直接观察图象，由直线与轴交点以及该一次函数的增减性，即可求解； （2）直接观察图象，由直线与轴交点以及该一次函数的增减性，即可求解； （3）直接观察图象，即可求解． 【小问1详解】 解：观察图象得：当时，； 故答案为： 【小问2详解】 解：观察图象得：当时，的取值范围为； 故答案为： 【小问3详解】 解：当时，． 故答案为： 17. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34米，宽为20米，停车场内车道的宽都相等，若停车位的总占地面积为480平方米，求车道的宽度． 【答案】车道的宽度4米 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设车道的宽度为x米， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：车道的宽度为4米． 18. 阅读下列材料，并把空缺的部分补充完整： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，只用卷尺（有刻度）就可以确保图形是矩形： 首先，测量两组对边的长度保证分别相等，确定该图形是______； 其次，要测量______，确定该图形是矩形． 证明过程为： 在四边形中，，，∴____________， ∵____________，∴四边形ABCD是矩形． 【答案】平行四边形；对角线相等；四边形是平行四边形； 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：工人师傅在做门窗或矩形零件时，只用卷尺（有刻度）就可以确保图形是矩形： 首先，测量两组对边的长度保证分别相等，确定该图形是平行四边形； 其次，要测量对角线相等，确定该图形是矩形． 证明过程为： 在中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：平行四边形；对角线相等；四边形是平行四边形； 19. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点E，F，连接，与相交于点，与相交于点，与交于点，连接、． （1）通过尺规作图可知直线是线段的______； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）垂直平分线 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的作法、菱形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）由作法可知点E、F到线段的距离相等，故直线是线段的垂直平分线， （2）由作图可知垂直平分，得，，,再证明，进而可得四边形四边都相等，由此得出四边形是菱形. 【小问1详解】 解：点E、F到线段的距离相等，故直线是线段的垂直平分线， 【小问2详解】 由作图可知：垂直平分， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．四边形的四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，点E是格点，在线段上作点F，连接，使； （2）图②中，点F是非格点，在线段上作点G，使； （3）图③中，点E是格点，连接，在线段上作点H，连接，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）在上取格点F，使，连接即可； （2）连接、，则、交于点O，连接，并延长，交于点G，则点G即为所求； （3）取格点M，连接交于点H，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，即为所求； ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，格点作图，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握格点，平行四边形的判定和性质． 21. 物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间存在关系．某兴趣小组为探究一弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）之间的关系，进行了6次测量，下表是测量数据： 所挂物体质量x/kg 0 10 20 30 40 50 弹簧的长度y/cm 3 6 9 12 15 18 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：）与所挂物体质量x（单位：kg）之间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是______函数关系；（请选择“一次”“二次”或“反比例”）； （2）根据以上判断，求y关于x的函数表达式； （3）小明在实验时记录了一组数据，当所挂物体质量为时，弹簧的长度为，他的实验记录是否正确？说明理由． 【答案】（1）图见解析，一次 （2） （3）不正确，见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意得到二者成一次函数关系是解题的关键． （1）根据表格中的数据，在坐标系中描点，再根据这些点在一条直线上即可得到答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出当时，弹簧的长度为，由此即可判断小明在实验时记录不正确． 【小问1详解】 解：描点如下： 由图象可知，这些点在一条直线上，故二者可能是一次函数关系； 【小问2详解】 解：设关于的函数表达式为． 将点代入，得，解得． ∴关于的函数表达式为． 【小问3详解】 解：当时，， ∴小明的实验记录不正确． 22. 【问题发现】如图1，在中，，．点是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； 【变式探究】如图2，在中，，．点是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； 【问题解决】如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，正方形的边长为，则______． 【答案】【问题发现】；【变式探究】，理由见解析；【问题解决】 【解析】 【问题发现】根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； 【变式探究】根据勾股定理可得等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； 【问题解决】连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比设，则，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】解：【问题发现】∵是等腰直角三角形，， 中，，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：； 解：【变式探究】判断， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； 解：【问题解决】连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， 正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∵在中，，，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得，． ∵， ∴（舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，点D在线段上，，过点D作的垂线，垂足为E，点P是线段上的动点，连接，以为邻边作． （1）______； （2）求证：； （3）当面积最大时，求此时的面积： （4）当点Q落在的边上时，直接写出线段的长． 【答案】（1）5 （2）见详解 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理（其中为直角边，为斜边），已知的长度，可直接计算； （2）通过证明两个三角形的两组角分别相等，从而证明三角形相似； （3）先求出的长度，再根据平行四边形面积公式底高，过点作于点，．依题意，当时，面积最大，从而求解； （4）分点落在边和边两种情况，利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 故答案为：5． 【小问2详解】 ， ， 又， ， 是和的公共角， ． 【小问3详解】 ，，， ， ，即， ． ， 如图，过点作于点， ， ， ， 点是边上的动点，且不平行， 当与重合时， ∵， 即， ； 当点与点重合时，如图， ， ， ， ，， 当最大时，最大，最大， 当时，； 【小问4详解】 当点落在边上时， 在中，， ， ，即， ； 当点落在边上时， 设，则． 在中，， ， ，即，解得， ， ， 综上，或． 【点睛】本题综合考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识．通过分析图形中的角度关系和边的比例关系，利用相似三角形对应边成比例等性质进行求解是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知直线l：上有两点A、B，横坐标分别为m，，作点A关于点O的对称点C，作点B关于点O的对称点D，连结． （1）点A的坐标为（______，______）（用含m的代数式表示）； （2）求证四边形是平行四边形； （3）当四边形是矩形时，求m的值； （4）定点M坐标为，当点M在四边形内部（不含边界）时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，平行四边形的判定，两点之间距离公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）将点的横坐标代入，即可求解纵坐标； （2）根据对称可得，即可证明其为平行四边形； （3）先表示出点，根据矩形的性质得到，继而由两点间距离公式求解； （4）找出两个临界位置分析即可，求出当直线经过，和直线经过时所对应的，即可求解取值范围． 【小问1详解】 解：将代入得：， ∴点A的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：∵作点A关于点O的对称点C，作点B关于点O的对称点D， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图： 由（1）可得， 将代入得， ∴， ∵点A关于点O对称点C，点B关于点O的对称点D， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：； 【小问4详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线 当时，， ∴， ∴直线与轴的交点为， ∵， ∴点不会落在直线上，在直线左侧，如图： 设直线，代入点， 则 解得：， ∴直线， 代入点得，， 解得：； ∵四边形是平行四边形， ∴， 当直线不与轴垂直时，设直线， 代入得，， 解得：， ∴直线， 当时，，恒过定点，不过； 当直线与轴垂直时，则，如图： ∴， 解得， ∴， ∴直线即为直线， ∴经过点， ∴当点M在四边形内部（不含边界）时，m的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $