第02讲 导数与函数的单调性（11大题型+五年真题+限时作业）讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考地区适用）

第02讲 导数与函数的单调性 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布）………………………1 02 题型突围 精准提分 ……………………………………………………………2 题型1 不含参函数的单调性………………………………………………………2 题型2 根据函数的单调区间求参数………………………………………………4 题型3 已知函数的单调性求参数（重）…………………………………………4 题型4 已知函数在某区间上存在单调区间求参数的范围（难）………………7 题型5 已知函数在某区间上不单调求参数的范围（难）………………………9 题型6 函数单调性的应用-----比较大小………………………………………11 题型7 函数单调性的应用-----解不等式………………………………………13 题型8 函数与导函数图像之间的关系 …………………………………………16 题型9 含参函数的单调性（重） ………………………………………………21 命题点1 导函数有效部分是一次函数型 ……………………………………………21 命题点2 导函数有效部分是准一次函数型……………………………………………24 命题点3 导函数有效部分是二次函数型且（重）………………………………27 命题点4 导函数有效部分是二次函数型且可因式分解（重） ………………………29 命题点5 导函数有效部分是二次函数型且不可因式分解（难）………………………34 命题点6 导函数有效部分是准二次函数型（难）……………………………………38 命题点7 分段分析法（难）…………………………………………………………40 题型10 函数的单调性之双变量问题（难）……………………………………46 题型11 抽象函数的单调性（难）………………………………………………47 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………49 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………58 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅱ卷 用导数判断或证明已知函数的单调性（解答题） 从近几年的高考可以看出，本节的考查点主要体现在： 1. 已知单调区间求参数的范围； 2. 利用函数单调性比较大小. 大题主要体现在； 1.利用导数求函数的单调区间（不含参）； 2.讨论函数的单调性（含参）. 3.根据单调性求参数的范围.. 2024年全国Ⅰ卷 利用导数求函数的单调区间（不含参）（多选题） 2024年北京卷 利用导数求函数的单调区间（不含参）（解答题） 2023年全国Ⅰ卷 讨论函数的单调性（含参）（解答题） 2023年全国Ⅱ卷 已知单调区间求参数的范围 2023年全国乙卷（理） 已知单调区间求参数的范围 2023年北京卷 利用导数求函数的单调区间（不含参）（解答题） 2023年全国甲卷（理） 利用导数求函数的单调区间（不含参）（解答题） 2022年全国Ⅰ卷 利用函数单调性比较大小 2022年全国甲卷（理） 利用函数单调性比较大小 2022年全国Ⅱ卷 利用导数求函数的单调区间（不含参）（解答题） 2022年北京 利用导数求函数的单调区间（不含参）（解答题） 2021年全国乙卷（理） 利用函数单调性比较大小 2021年全国Ⅰ卷 讨论函数的单调性（含参）（解答题） 题型突围 题型1 不含参函数的单调性 指点迷津 求函数的单调区间的步骤如下： （1）求的定义域 （2）求出． （3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线． （4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开． 例1．（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 【相似题1】（福建省莆田市2024-2025学年高二下学期7月期末质量调研数学试卷）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 【相似题2】（24-25高二下·江西吉安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】定义域为，由题意得， 令，解得， 所以函数的递减区间为， 故选：D. 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为 ． 【详解】易知的定义域为，， 当时，， 当时，， ∴的单调递减区间为． 故答案为： 【相似题4】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ． 【答案】 ； 【详解】函数的定义域为，又， 令，得．当时，；当时，． 的单调递减区间为，单调递增区间为． 故答案为：； 题型2 根据函数的单调区间求参数 指点迷津 已知函数的单调区间，即已知不等式或的解集，从而求出参数. 例1．（2024·河南·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为 . 【答案】3 【详解】的解集为， 即的解集为，所以， 解得. 故答案为：. 【相似题1】（20-21高二下·江苏无锡·期中）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 【答案】 【详解】由题意得，， ∵函数的单调递减区间恰为， 即的解集为， ∴所以和4是的两根， ∴． 故答案为：−4. 题型3 已知函数的单调性求参数的范围 指点迷津 已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为或（注意有等号）求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等． 例1.（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 【相似题1】（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】求导得， 要满足函数在区间上单调递增， 则，即， 因为，所以，即， 故选：B. 【相似题2】（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】， 令，则当时，， 又因为， 当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0， 故的取值范围是. 故答案为：. 【相似题3】（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 【相似题4】（2025·江苏·一模）若在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，令， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 题型4 已知函数在某区间上存在单调区间求参数的范围 指点迷津 已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为或（注意没有等号）在该区间上存在解集. 例1.（24-25高二下·天津滨海新·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知可得定义域为， 当时，解可得，不满足定义域； 当时，令， 要使函数在区间内存在单调递减区间， 只需满足或. 由可得，，此时有； 由可得，，此时有. 所以，. 综上所述，. 故选：A. 【相似题1】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间 ， 则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】求导可得， 由题意，有解， 所以只需，解得或， 故实数的取值范围是或. 故答案为：或. 【相似题2】（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】法一：， 由题意可知在上有解，即有正实数解， 当时，显然满足要求， 当时，只需满足，即， 综上：的取值范围为. 故答案为：. 法二：， 由题意可知在上有解， 即在上有解，即在上有解， 所以，则的取值范围为. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高二上·海南·期末）若函数在上存在单调减区间，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】因为， 而时，函数存在单调减区间， 所以在有解， 即有解， 因为，所以，即在有解， 又因为，所以，所以． 故答案为： . 【相似题4】（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单减区间； (2)若函数在区间上存在减区间，求a的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）当时，的定义域为， 求导得，由，得， 所以的单减区间为. （2）函数，求导得， 由函数在上存在减区间，得，使得成立， 即，使得成立，函数在上单调递增， ，则，解得， 所以的取值范围为. 题型5 已知函数在某区间上不单调求参数的范围 指点迷津 已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点. 例1．（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【详解】的定义域为， ， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故若函数在子区间上不单调，则， 解得， 故k的取值范围为 故答案为： 【相似题1】（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，可得， 所以在上不单调，所以在上有解， 即在有解，即存在，使得， 又因为在上单调递减，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【相似题2】（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的对称轴为， 若在上不单调，则满足，解得； 又由函数，可得， 若在上不单调，则满足，解得， 所以两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则有或， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：D. 题型6 函数单调性的应用-----比较大小 指点迷津 解决此类问题的步骤 ⑴首先构造函数，利用导数判断出函数在指定范围内的单调性. ⑵将所给值看成是所构造函数的函数值（在同一单调区间内）. ⑶根据函数的单调性判断函数值的大小. 例1．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）已知， ，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 令，解得， 所以在上单调递增， 令，解得， 所以在上单调递减. ，， ， 因为，所以，即. 故选：B 【相似题1】（2025·山东济南·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 构造函数，，则， 当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 由于，，且， 则，即，又， 所以. 故选：A. 【相似题2】（24-25高二下·山东·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数研究单调性，利用单调性即可比较大小. 【详解】设函数，则， 当时，单调递增区间为． 因为， 又，在为增函数，所以． 故选：A. 【相似题3】（24-25高二下·河北·期中）设.则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，其中，则， 令， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以当时，， 所以在上单调递增，所以， 又， 所以. 故选：B. 【相似题4】（2025·山西·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则，，， 因为，当时，，所以在上单调递增． 又，所以． 故选：C 题型7 函数单调性的应用-----解不等式 指点迷津 解决此类问题的方法步骤： ⑴利用导数判断函数的单调性（有时需要用到函数的奇偶性）. ⑵利用函数的单调性将不等式中的“”去掉，得到关于自变量的不等式. 例1．（24-25高三下·云南·期中）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以为偶函数． 由于， 当时，，则，所以在上单调递增； 当时，，则，所以在上单调递减； 由于，即， 所以，即，解不等式得， 所以不等式的解集为. 故选：． 【相似题1】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得函数的定义域为， 由于， 所以的图象关于直线对称， ， 当时，单调递增，所以， 又，所以，单调递增， 所以，解得. 故选：D． 【相似题2】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为， 且， 所以为偶函数，， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； ，即， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：. 【相似题3】（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，定义域为，所以为奇函数， ，因为，所以，所以在上单调递增， 所以， 又单调递增，所以，即解集为. 故选：A. 【相似题4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，,因为， 所以， 由，则，所以为奇函数. 易知， 因为（当且仅当，即时等号成立）， （当且仅当，即时等号成立），所以，所以在上单调递增. 由，得，故， 所以， 即，令，求导得, 因为，所以恒成立，且，所以解，得：， 故选:B. 题型8 函数与导函数图像之间的关系 指点迷津 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系： 原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）； 原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）． 例1．（24-25高二下·江西景德镇·期末）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图象可得的解集为，的解集为， 等价于或， 所以或， 所以不等式的解集为. 故选：A. 例2.（2025·河北·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 如图：因为的图象是开口向上的抛物线，所以； 应为函数图象关于轴对称，即为偶函数，所以； 因为有两根且互为相反数，所以. 综上：. 故选：B． 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．    B．   C．   D．   【答案】A 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C、D； 当时，先递减、再递增最后递减，所以所对应的导数值应该先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B． 故选:A． 【相似题2】（24-25高二下·河北·期中）如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，若递减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应恒为负值，且从左往右是呈现先增后减的趋势，导函数图象不符合题意； 若递减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得A错误； 对于B，若先增后减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应呈现先为正后为负的趋势，导函数图象不符合题意； 若先增后减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得B错误； 对于C，过原点的曲线为导函数的图象时，另一条曲线符合的图象，即C正确； 对于D，若先减后增图像为导函数的图象时，则另一条曲线应呈现先增后减再增的趋势，显然的图象不符合； 若先减后增为原函数的图象时，则另一条曲线应呈现先为正后为负的变化规律，显然的图象不符合，即D错误. 故选：C 【相似题3】（24-25高二下·陕西西安·期中）函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的图象可知，当和时，； 当时，； 又由图可知当时，函数单调递增，则； 当时，函数单调递减，则， 所以的解集为． 故选：C. 【相似题4】（24-25高三上·安徽黄山·期中）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 【答案】B 【详解】从图象可以看出过点的为的图象，过点的为导函数的图象， ， 当时，，故，在上单调递减， 当时，，故，在上单调递增， ACD错误，B正确， 故选：B 题型9 含参函数的单调性 命题点1 导函数有效部分是一次函数型 指点迷津 导函数有效部分是一次函数型，若函数的定义域为，则必有根，通过方程的根判断导数的正负即可；若定义域不是，则先讨论导数恒正或恒负的情况，再讨论有正有负的情况. 例1.（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，解得，由，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上可得：当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时单调递增区间为，单调递减区间为. 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域是， ， ①若，则，在上单调递增； ②若，令，解得， 令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知，函数，当时，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域为， 又， 当时，，故函数在区间上单调递减； 当时，令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 故当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减. 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 因为，所以． 所以曲线在处的切线方程为． （2）函数的定义域为． ， 令，解得． ①当，即时，， 所以函数的单调递减区间为和，无单调递增区间； ②当，即时， 令，则， 令，则， 函数的单调递减区间为和，单调递增区间为； ③当，即时， 令，则， 令，则， 函数的单调递减区间为和，单调递增区间为． 综上所述，当时，函数的单调递减区间为和，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为． 命题点2 导函数有效部分是准一次函数型 指点迷津 导函数有效部分是准一次函数型，如、. 若为型，则需讨论和两种情况；若为，则在定义域内必有根，不需要讨论. 例1．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）由,得． 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得． （2）, ①当时,,为上的增函数, ②当时,令,得,则． ,；,． 所以在上单调递减,在上单调递增, 综上,当时, 为上的增函数, 当,在上单调递减,在上单调递增, 【相似题1】（24-25高二下·福建三明·期中） (1)，求曲线在点处的切线方程 (2)讨论的单调性 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为：，即． （2）函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【相似题2】（24-25高二下·天津河东·阶段练习）设函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）因为，则，解得，故， 所以，所以， 此时，曲线在处的切线方程为，即. （2）因为，则， 当时，则， 即函数的单调递减区间为，没有单调递增区间； 当时，由可得，由可得. 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【相似题3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）当时，， 求导得，则， 即切线的斜率为，又， 故曲线在点处的切线方程为， 化简得． （2）求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 命题点3 导函数有效部分是二次函数型且 指点迷津 导函数有效部分是二次函数型且，即型，若确定，则 只需讨论的符号；若不确定，则需讨论和的符号. 例1.（2025高三·全国·专题练习）讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【详解】的定义域为， ， 当时，即时，，故在单调递增； 当时，，故在单调递减； 当时，令，解得， 当时，； 时，， 故在上单调递减，在单调递增． 综上所述： 当时，在单调递增； 当时， 在单调递减； 当时， 在上单调递减，在单调递增． 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【详解】函数的定义域为， 当时，，则在上单调递增； 当时，由，得， 由，得；由，得， 于是有在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当0时，在上单调递增，在上单调递减． 【相似题2】（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)1；(2)答案见解析 【详解】（1）由，有，， 可得曲线在点处的切线方程为， 整理为， 代入原点，有，可得， 故实数的值为1. （2）由，. ①当时，在上恒成立，可得函数的增区间为，没有减区间； ②当时，令，可得，故函数的减区间为，增区间为. 综上可知，当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 命题点4 导函数有效部分是二次函数型且可因式分解 指点迷津 导函数有效部分是二次函数型且可因式分解，因式分解后只需讨论两根的大小，同时注意两根是否在定义域内. 例1．（24-25高二下·四川达州·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)；(2)见解析 【详解】（1）当时，， 则，， 所以切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）由，可得：. 令，解得：，. 当时，令，得或；令，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得或；令，得，此时函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 综上可得：当时，函数的单调递增区间为：和，单调递减区间为：； 当时，函数的单调递增区间为：上单调递增，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为：和，单调递减区间为：. 例2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1），所以切点为 又，所以切线方程为 （2）定义域为 令，解得或， ①当，即时，在单调递减，在上单调递增， ②当，即时，在单调递减， ③当，即时， 在上单调递减，在上单调递增. 【相似题1】（24-25高二下·四川南充·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）当时，函数，所以， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为，即得； （2）函数，所以. 当时，单调递增； 当时，单调递减；单调递增；单调递增； 当时，单调递减；单调递增；单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，递减区间是；递增区间是； 当时，递减区间是；递增区间是； 【相似题2】（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【详解】的定义域是， 若，，函数在上单调递增， 当时，， 令，解得或， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【相似题3】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）当时，则，， 所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为； （2）函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. 【相似题4】（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数． (1)若，求函数的极值点； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极大值点为，极小值点为1；(2)答案见解析 【详解】（1）当时，函数，求导得， 令，则，列表有 1 + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以的极大值点为，极小值点为1. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在（0，1）上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，，递减区间为． 命题点5 导函数有效部分是二次函数型且不可因式分解 指点迷津 导函数有效部分是二次函数型且不可因式分解，则需讨论分符号，当时，求出方程的两根，还要看两根是否在定义域内. 例1．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增 【详解】（1）由题可知函数定义域为，， 由于函数在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以. （2）由（1）可知函数定义域为， ， 令，恒成立， 令，解得（舍去）或， 若，，单调递减； 若，，单调递增. 【相似题1】（24-25高三上·山西晋城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以曲线在点处的切线方程为． （2）的定义域为． 当时，． 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因此，的最小值为 当时，则，此时，在上单调递增， 当时，令，得． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增 综上，当时，在上单调递增，当时， 在上单调递增， 在上单调递减． 【相似题2】（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）已知函数． (1)若，求的极值点； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极小值点为1，无极大值点；(2)答案见解析 【详解】（1）当时，函数， 求导得， 由，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值点为1，无极大值点. （2）由， 求导得， 令，， 当时，，恒成立，，在上单调递增； 当时，，方程的解为， 若，即，则， 当时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为和， 递减区间为； 当时，的递减区间为，递增区间为. 【相似题3】（24-25高三上·山东烟台·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)或；(2)答案见解析 【详解】（1）由于，则， 点在上， 故； 又，则， 则，解得或； （2）由题意得的定义域为， 则， 令， 当时，即，所以在上单调递减； 当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，的根为， 由于，即， 当或时，， 在和上单调递增； 当时，， 在上单调递减； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. 当时，在上单调递增； 命题点6 导函数有效部分是准二次函数型 指点迷津 导函数有效部分是准二次函数型，如（为常数）型，此时需要讨论的符号，即先讨论与两因式的符号，当两因式都有根时，的符号类似于二次函数的正负原理. 例1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）由题意得， 则. 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，即. （2）由（1）得， 令，则. 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 即. ①当时，在上单调递增. ②当时，由，得；由，得， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 【相似题1】（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）， 因为，， 所以的图象在处的切线方程为， 将代入得，解得； （2）， 当时，，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 命题点7 分段分析法 指点迷津 此类型题目的导数有效部分往往由不同函数类型组成，此时需要分别讨论个类型函数的正负，从而得到导数的正负. 例1．（24-25高二下·江西·期末）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）求导得：． 由题意得，所以． （2）的定义域为． 当时， 令，解得，此时在上单调递增， 令，解得，此时在上单调递减． 当时，令，解得或1． ①当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； ②当，即时， 在上恒成立，所以在上单调递增； ③当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 例2.（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）当时，，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）. ①当时，由，得或. 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减. 若，则，为R上的增函数. 若，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在和上单调递增，在上单调递减 ②当时，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在上单调递减，在上单调递增. 【相似题1】（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论的单调性． 【答案】(1).；(2)见解析 【详解】（1）当，， 所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）因为， 所以. 当时，，令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，令，解得或. 当时，，所以在上单调递增. 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时， 在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【相似题2】（2025·湖北武汉·三模）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1），， ，， 切线方程为，即. （2），. ①当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增. ②当时， 当时，，， 当时，，，时等号成立， 所以在上单调递增. ③当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. ④当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上所述：①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，在上单调递增； ③当时，在上单调递增，在上单调递减； ④当时，在上单调递增，在上单调递减. 【相似题3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 【答案】(1)；(2)见解析 【详解】（1）若，则，， 又，故， 所以在处的切线方程为， 即； （2），， 当时，，令，即，解得，令，解得， 所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，，在上单调递增， 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减． 综上：当时，所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减． 题型10 函数的单调性之双变量问题 例1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若对任意的正实数，，当时， 恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意的正实数，，当时， 恒成立， 所以对任意的正实数，，当时， 恒成立， 令，所以在上单调递减， 则，所以在上恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是， 故选：A 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）若对任意的，且，，则m的最小值是 ． 【答案】 【详解】由，得， 令，则在上单调递减． 当时，；当时，， 的单调递减区间为， ，∴m的最小值为． 故答案为： 【相似题2】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测），，且，不等式恒成立，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】不妨设，则， 由可得，所以， 令，则， 因为，所以在上单调递减， 所以对于恒成立，可得对于恒成立， 因为在上单调递减，所以. 故答案为： 【相似题3】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）已知，对且都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由，得，则， 设函数，则对且都有成立， 所以函数为减函数， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 若，，成立； 若，则或，解得； 当时，由二次函数性质知，不满足在上恒成立； 综上的取值范围为. 题型11 利用导数研究抽象函数的单调性 例1．（多选）（2025·海南·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B． C．在上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】令求出，令，可判断A；令与 令求出，可判断B；对两边同时对求导，把看作常数，求出可判断C；是以4 为周期循环的，利用周期性可判断D. 【详解】对于A，由已知函数定义域为，关于原点对称， 令，由得， 令，由，可得， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，，令，则， 令，则， 所以，解得，可得， 故B正确； 对于C，对两边同时对求导，把看作常数， 得，因为，令， 所以，即，得， 则， 当时，单调递增， 当时，单调递增，当时， 单调递减，故C错误； 对于D，因为，是以4 为周期循环的，，， ，， 所以 ， ，故D正确. 故选：ABD. 限时作业 （建议用时60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得函数的图象为单调递增，则其导函数恒成立， 排除A、D两个选项， 对于B，当，，对应的原函数此时斜率为零，该选项满足题意； 选项C不符合题意； 故选：B. 2．（22-23高二下·四川成都·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．， D． 【答案】B 【详解】因为，. 所以对函数求导得：. 令，则，解得. 又，所以. 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 3．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 4.（24-25高二下·天津河北·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解， 所以成立， 由于，所以， ， 则实数的取值范围是． 故选：D. 5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， ，当且仅当，即时等号成立， 而，，即在R上单调递增， ，，即. 故选：A. 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，当时，， 所以在上单调递减，又因为函数为定义在上奇函数， 为定义在上奇函数，所以为定义在上的奇函数， 则在上单调递减，即函数在上单调递减， 所以由可得：， 即，所以， 故选：C. 7．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的定义域为， 且， 所以为偶函数，， 当时，，所以，单调递增； 当时，，所以，单调递减； ，即， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：. 8．（2025·河北张家口·三模）已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，且，都有即， 记， 则由单调性的定义知，函数在上单调递增， 则需满足：在上单调递增①， 在上单调递增②， 且 ③， 对于①，要使在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增， 所以在上单调递增时，； 对于③，，所以； 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 2、 多选题 9．（24-25高三上·四川眉山·期中）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】ABC 【详解】若单调递增，则，若单调递减，则， 对于A， 若表示图像，则当时恒成立， 当时，，故在上为减函数，在上为增函数 表示图像，符合导函数符号与原函数单调性的关系， A正确； 对于B，若表示图像，恒成立，表示图像，单调递增， 符合导函数符号与原函数单调性的关系，B正确； 对于C，若表示图像，恒成立，表示图像，单调递增， 符合导函数符号与原函数单调性的关系，C正确； 对于D，若表示图像，恒成立，表示图像，有增有减， 不符合导函数符号与原函数单调性的关系， 若表示图像，恒成立，表示图像， 有增有减， 不符合导函数符号与原函数单调性的关系，D错误. 故选：ABC 10．（24-25高二下·四川自贡·期末）下列函数在定义域上为增函数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，函数的定义域为，函数在定义域上不单调，A不是； 对于B，函数定义域为R，， 当且仅当时取等号，函数在定义域上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，，当时，， 函数在上单调递减，函数在定义域上不是增函数，C不是； 对于D，函数定义域为R，求导得，函数在定义域上单调递增，D是. 故选：BD 11．（2024高三·全国·专题练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】BD 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，依题意知，有两个不相等的零点， 所以，解得且， 故选：BD． 三、填空题 12．（2026高三·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为在上单调递减，所以当时，恒成立， 则恒成立． 设，所以， 因为，所以， 所以（此时）， 所以，又因为， 所以a的取值范围是． 故答案为：. 13.（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题得定义域为R，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在区间上不单调， 所以，故m的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在上单调，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是；(2)． 【详解】（1）函数的定义域为，当时，． 当时，单调递减； 当时，单调递增． 故的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）由，得． 由题意知，当时，恒成立或恒成立． 若，则在恒成立， 令，则， 因为，所以在单调递减， 所以，故； 若，则在恒成立， 因为当时，故这不可能恒成立， 所以不可能恒成立． 综上，实数a的取值范围是． 15．（2025高二·天津·专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1)2；(2)答案见解析 【详解】（1）由于，， ， 因为函数在点处的切线的斜率为， 所以，解得：； （2）依题意知，， 令，解得：或0， 当时，令得或，令得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 当时，令，得，令得或， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 16．（24-25高三上·浙江·期中）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【详解】（1）函数，求导得， 由曲线在点处的切线垂直于直线，得， 所以. （2）函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，方程中，， 若，则，，函数在上单调递增； 若，则，关于x的方程有两个正根，，， 当或时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. 真题呈现 1．（2025年全国Ⅱ卷）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 2．（多选）（2024年新高考全国Ⅰ卷高考真题）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 3．（2024年北京高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.；(2)证明见解析；(3)2 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 4．（2023年新课标全国Ⅱ卷高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 5．（2023年全国乙卷（理）高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（2023年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 7．（2023年北京高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)3个 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 8．（2023年全国甲卷（理）高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 【详解】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 9．（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 10．（2022年全国甲卷（理）高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】[方法一]：构造函数 因为当，故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 11．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)的减区间为，增区间为；(2)；(3)见解析 【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性. （2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围. （3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 故的减区间为，增区间为. （2）设，则， 又，设， 则， 若，则， 因为为连续不间断函数， 故存在，使得，总有， 故在为增函数，故， 故在为增函数，故，与题设矛盾. 若，则， 下证：对任意，总有成立， 证明：设，故， 故在上为减函数，故即成立. 由上述不等式有， 故总成立，即在上为减函数， 所以. 当时，有，     所以在上为减函数，所以. 综上，. （3）取，则，总有成立， 令，则， 故即对任意的恒成立. 所以对任意的，有， 整理得到：， 故 ， 故不等式成立. 12．（2022年北京高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【答案】(1)；(2)在上单调递增；(3)证明见解析 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【详解】（1）解：因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）解：因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. （3）解：原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 13．（2021年全国乙卷（理）高考真题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】[方法一]： ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. [方法二]： 令，，即函数在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数在（1，3)上单调递增 综上，， 故选：B. 14．（2021年全国新高考Ⅰ卷高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析. 【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性. (2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论. 【详解】(1)的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， (2)[方法一]：等价转化 由得，即． 由，得． 由（1）不妨设，则，从而，得， ①令， 则， 当时，，在区间内为减函数，， 从而，所以， 由（1）得即．① 令，则， 当时，，在区间内为增函数，， 从而，所以． 又由，可得， 所以．② 由①②得． [方法二]【最优解】：变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 令，则有，不妨设． 由（1）知，先证． 要证： ． 令， 则， 在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以需证． 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． [方法三]：比值代换 证明同证法2．以下证明． 不妨设，则， 由得，， 要证，只需证，两边取对数得， 即， 即证． 记，则. 记，则， 所以，在区间内单调递减．，则， 所以在区间内单调递减． 由得，所以， 即． [方法四]：构造函数法 由已知得，令， 不妨设，所以． 由（Ⅰ）知，，只需证． 证明同证法2． 再证明．令． 令，则． 所以，在区间内单调递增． 因为，所以，即 又因为，所以， 即． 因为，所以，即． 综上，有结论得证． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 导数与函数的单调性 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布）………………………1 02 题型突围 精准提分 ……………………………………………………………2 题型1 不含参函数的单调性………………………………………………………2 题型2 根据函数的单调区间求参数………………………………………………3 题型3 已知函数的单调性求参数（重）…………………………………………3 题型4 已知函数在某区间上存在单调区间求参数的范围（难）………………4 题型5 已知函数在某区间上不单调求参数的范围（难）………………………4 题型6 函数单调性的应用-----比较大小 ………………………………………5 题型7 函数单调性的应用-----解不等式 ………………………………………5 题型8 函数与导函数图像之间的关系……………………………………………6 题型9 含参函数的单调性（重）…………………………………………………9 命题点1 导函数有效部分是一次函数型 ………………………………………………9 命题点2 导函数有效部分是准一次函数型……………………………………………10 命题点3 导函数有效部分是二次函数型且（重）………………………………10 命题点4 导函数有效部分是二次函数型且可因式分解（重） ………………………11 命题点5 导函数有效部分是二次函数型且不可因式分解（难）………………………12 命题点6 导函数有效部分是准二次函数型（难）……………………………………12 命题点7 分段分析法（难）…………………………………………………………13 题型10 函数的单调性之双变量问题（难）……………………………………14 题型11 抽象函数的单调性（难）………………………………………………14 03 限时作业 查漏补缺 …………………………………………………………14 04 真题呈现 把握考情 …………………………………………………………17 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年全国Ⅱ卷 用导数判断或证明已知函数的单调性（解答题） 从近几年的高考可以看出，本节的考查点主要体现在： 1. 已知单调区间求参数的范围； 2. 利用函数单调性比较大小. 大题主要体现在； 1.利用导数求函数的单调区间（不含参）； 2.讨论函数的单调性（含参）. 3.根据单调性求参数的范围.. 2024年全国Ⅰ卷 利用导数求函数的单调区间（不含参）（多选题） 2024年北京卷 利用导数求函数的单调区间（不含参）（解答题） 2023年全国Ⅰ卷 讨论函数的单调性（含参）（解答题） 2023年全国Ⅱ卷 已知单调区间求参数的范围 2023年全国乙卷（理） 已知单调区间求参数的范围 2023年北京卷 利用导数求函数的单调区间（不含参）（解答题） 2023年全国甲卷（理） 利用导数求函数的单调区间（不含参）（解答题） 2022年全国Ⅰ卷 利用函数单调性比较大小 2022年全国甲卷（理） 利用函数单调性比较大小 2022年全国Ⅱ卷 利用导数求函数的单调区间（不含参）（解答题） 2022年北京 利用导数求函数的单调区间（不含参）（解答题） 2021年全国乙卷（理） 利用函数单调性比较大小 2021年全国Ⅰ卷 讨论函数的单调性（含参）（解答题） 题型突围 题型1 不含参函数的单调性 指点迷津 求函数的单调区间的步骤如下： （1）求的定义域 （2）求出． （3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线． （4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开． 例1．（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【相似题1】（福建省莆田市2024-2025学年高二下学期7月期末质量调研数学试卷）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二下·江西吉安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为 ． 【相似题4】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ． 题型2 根据函数的单调区间求参数 指点迷津 已知函数的单调区间，即已知不等式或的解集，从而求出参数. 例1．（2024·河南·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为 . 【相似题1】（20-21高二下·江苏无锡·期中）若函数的单调递减区间恰为，则实数a的值为 ． 题型3 已知函数的单调性求参数的范围 指点迷津 已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为或（注意有等号）求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等． 例1.（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【相似题1】（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【相似题2】（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 . 【相似题3】（2025·山西·一模）设，若函数在区间上单调，则的取值范围是 ． 【相似题4】（2025·江苏·一模）若在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 题型4 已知函数在某区间上存在单调区间求参数的范围 指点迷津 已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为或（注意没有等号）在该区间上存在解集. 例1.（24-25高二下·天津滨海新·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间 ， 则实数的取值范围是 ． 【相似题2】（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【相似题3】（24-25高二上·海南·期末）若函数在上存在单调减区间，则实数的取值范围是 【相似题4】（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单减区间； (2)若函数在区间上存在减区间，求a的取值范围. 题型5 已知函数在某区间上不单调求参数的范围 指点迷津 已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点. 例1．（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围是 . 【相似题1】（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ． 【相似题2】（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6 函数单调性的应用-----比较大小 指点迷津 解决此类问题的步骤 ⑴首先构造函数，利用导数判断出函数在指定范围内的单调性. ⑵将所给值看成是所构造函数的函数值（在同一单调区间内）. ⑶根据函数的单调性判断函数值的大小. 例1．（24-25高二下·湖南衡阳·期中）已知， ，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【相似题1】（2025·山东济南·二模）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二下·山东·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高二下·河北·期中）设.则（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（2025·山西·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型7 函数单调性的应用-----解不等式 指点迷津 解决此类问题的方法步骤： ⑴利用导数判断函数的单调性（有时需要用到函数的奇偶性）. ⑵利用函数的单调性将不等式中的“”去掉，得到关于自变量的不等式. 例1．（24-25高三下·云南·期中）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【相似题4】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型8 函数与导函数图像之间的关系 指点迷津 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系： 原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）； 原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）． 例1．（24-25高二下·江西景德镇·期末）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例2.（2025·河北·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ）    A．    B．   C．   D．   【相似题2】（24-25高二下·河北·期中）如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（   ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高二下·陕西西安·期中）函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【相似题4】（24-25高三上·安徽黄山·期中）已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（    ） A．在单调递减 B．在单调递减 C．在单调递减 D．在单调递减 题型9 含参函数的单调性 命题点1 导函数有效部分是一次函数型 指点迷津 导函数有效部分是一次函数型，若函数的定义域为，则必有根，通过方程的根判断导数的正负即可；若定义域不是，则先讨论导数恒正或恒负的情况，再讨论有正有负的情况. 例1.（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数.讨论函数的单调性； 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知，函数，当时，讨论函数的单调性. 【相似题3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 命题点2 导函数有效部分是准一次函数型 指点迷津 导函数有效部分是准一次函数型，如、. 若为型，则需讨论和两种情况；若为，则在定义域内必有根，不需要讨论. 例1．（24-25高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)讨论函数的单调性. 【相似题1】（24-25高二下·福建三明·期中） (1)，求曲线在点处的切线方程 (2)讨论的单调性 【相似题2】（24-25高二下·天津河东·阶段练习）设函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【相似题3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 命题点3 导函数有效部分是二次函数型且 指点迷津 导函数有效部分是二次函数型且，即型，若确定，则 只需讨论的符号；若不确定，则需讨论和的符号. 例1.（2025高三·全国·专题练习）讨论函数的单调性. 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性. 【相似题2】（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线过坐标原点，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 命题点4 导函数有效部分是二次函数型且可因式分解 指点迷津 导函数有效部分是二次函数型且可因式分解，因式分解后只需讨论两根的大小，同时注意两根是否在定义域内. 例1．（24-25高二下·四川达州·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 例2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性. 【相似题1】（24-25高二下·四川南充·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【相似题2】（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 【相似题3】（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间 【相似题4】（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数． (1)若，求函数的极值点； (2)讨论的单调性． 命题点5 导函数有效部分是二次函数型且不可因式分解 指点迷津 导函数有效部分是二次函数型且不可因式分解，则需讨论分符号，当时，求出方程的两根，还要看两根是否在定义域内. 例1．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求； (2)若，讨论的单调性. 【相似题1】（24-25高三上·山西晋城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【相似题2】（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）已知函数． (1)若，求的极值点； (2)讨论的单调性． 【相似题3】（24-25高三上·山东烟台·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 命题点6 导函数有效部分是准二次函数型 指点迷津 导函数有效部分是准二次函数型，如（为常数）型，此时需要讨论的符号，即先讨论与两因式的符号，当两因式都有根时，的符号类似于二次函数的正负原理. 例1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【相似题1】（2025·江西萍乡·一模）已知函数，其中. (1)若的图象在处的切线经过点，求a的值； (2)讨论的单调性. 命题点7 分段分析法 指点迷津 此类型题目的导数有效部分往往由不同函数类型组成，此时需要分别讨论个类型函数的正负，从而得到导数的正负. 例1．（24-25高二下·江西·期末）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 例2.（24-25高三上·新疆塔城·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【相似题1】（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论的单调性． 【相似题2】（2025·湖北武汉·三模）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【相似题3】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 题型10 函数的单调性之双变量问题 例1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若对任意的正实数，，当时， 恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）若对任意的，且，，则m的最小值是 ． 【相似题2】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测），，且，不等式恒成立，则m的取值范围为 ． 【相似题3】（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）已知，对且都有成立，则实数的取值范围是 . 题型11 利用导数研究抽象函数的单调性 例1．（多选）（2025·海南·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B． C．在上单调递减 D． 限时作业 （建议用时60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数的图象如下图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·四川成都·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C．， D． 3．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 4.（24-25高二下·天津河北·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北张家口·三模）已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 多选题 9．（24-25高三上·四川眉山·期中）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是（  ） A．   B．   C．   D．   10．（24-25高二下·四川自贡·期末）下列函数在定义域上为增函数的有（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三·全国·专题练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 三、填空题 12．（2026高三·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 ． 13.（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ． 四、解答题 14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在上单调，求实数a的取值范围． 15．（2025高二·天津·专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若函数在点处的切线的斜率为，求实数的值； (2)当时，讨论函数的单调性； 16．（24-25高三上·浙江·期中）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； (2)讨论函数的单调性. 真题呈现 1．（2025年全国Ⅱ卷）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 2．（多选）（2024年新高考全国Ⅰ卷高考真题）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 3．（2024年北京高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 4．（2023年新课标全国Ⅱ卷高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 5．（2023年全国乙卷（理）高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 6．（2023年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 7．（2023年北京高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 8．（2023年全国甲卷（理）高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 9．（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 10．（2022年全国甲卷（理）高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，，求a的取值范围； (3)设，证明：． 12．（2022年北京高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 13．（2021年全国乙卷（理）高考真题）设，，．则（    ） A． B． C． D． 14．（2021年全国新高考Ⅰ卷高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $$