精品解析：吉林省白城市洮南市第一中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

高二数学试题 命题人：王宇 本试题分第一卷和第二卷两部分，满分150分.考试时间120分钟. 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项正确.） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. 或 B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定形式是 A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中项的系数为（ ） A. 140 B. C. D. 1120 7. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，则满足f（2-x2）＜f（x）的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　) A. B. 1 C. D. 2 二、多选题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 深圳某中学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务绘出满意或不满意的评价，得到如表所示的列联表，经计算，则下列结论正确的是（ ） 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.535 A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为； B. 调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意： C. 根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异； D. 根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 从5幅不同的国画和2幅不同的水彩画中任选一幅画布置房间，有7种不同的选法 B. 若p：，，则：， C. 若，则 D. 二项式的展开式的各项系数和为81 11. 某商场开业期间举办抽奖活动，已知抽奖箱中有30张奖券，其中有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记表示甲中奖，表示乙中奖，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. “成立”是“成立”的_____________条件 13. 给出下列四个命题： ①奇函数的图象一定经过原点； ②偶函数的图象一定关于轴对称； ③函数不是奇函数； ④函数不是偶函数. 其中正确命题序号为__________.（将你认为正确的都填上） 14. 已知不等式对任意的恒成立,则实数的范围为_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.） 15. 某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成6道试题中的4道题，另外2道题不能完成． （1）求考生甲能通过笔试进入面试的概率； （2）记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为，求的分布列和数学期望． 16. 为了解篮球爱好者小张的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小张某月1号到5号每天打篮球时间(单位：小时)与当天投篮命中率之间的关系： 时间 1 2 3 4 5 命中率 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 （1）求小张这天的平均投篮命中率； （2）利用所给数据求小张每天打篮球时间(单位：小时)与当天投篮命中率之间的线性回归方程；（参考公式：） （3）用线性回归分析的方法，预测小李该月号打小时篮球的投篮命中率． 17. 已知展开式的二项式系数和为512，且 （1）求的值； （2）求的值； （3）求除以6的余数. 18. 集合是函数的定义域，集合中的元素是由函数在区间上的最大值组成的，，，．试写出函数关于的解析式，并求函数的值域． 19. 已知函数 . （1）当时，求在点 处的切线方程； （2） 时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 命题人：王宇 本试题分第一卷和第二卷两部分，满分150分.考试时间120分钟. 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项正确.） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再求出其补集即可 【详解】因为集合，集合， 所以或 所以. 故选：C 2. 命题“，使得”的否定形式是 A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D． 【考点】全称命题与特称命题的否定． 【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 3. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意确定，求出期望，继而根据方差的公式求得答案。 【详解】由题意可知，， 则， 故， 故选：A 4. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分类讨论，当时，由二次不等式恒成立条件得解. 【详解】由题意，在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则需，解得， 综上，实数的取值范围为， 故选：B 5. 在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的特点求出，然后再求恰有2名学生的成绩不低于85的概率即可. 【详解】因为学生成绩服从正态分布，且，所以，，， 所以从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是. 故选：A. 6. 的展开式中项的系数为（ ） A. 140 B. C. D. 1120 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理求的展开式中，和项的系数，从而可求的展开式中项的系数. 【详解】， 的展开式的通项公式为， 令，得，所以； 令，得，所以； 令，得，所以， 所以的展开式中项的系数. 故选：B. 7. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，则满足f（2-x2）＜f（x）的实数x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件可得f（x）在R上单调递增，所以由f（2-x2）＜f（x）得2-x2＜x，解该不等式即可得原不等式中实数x的取值范围． 【详解】解：f（x）=x2+2x，对称轴为x=-1，∴f（x）在 [0，+∞）上单调递增； ∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（-∞，0]上也单调递增，又 ∴f（x）在定义域R上单调递增； ∴由原不等式可得得：2-x2＜x，解得x＜-2或x＞1； ∴实数x的取值范围为（-∞，-2）∪（1，+∞）． 故选：C． 【点睛】本题考查奇函数的定义及奇函数在对称区间上的单调性特点，根据函数单调性定义解不等式． 8. 若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为(　　) A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 问题转化为过点的切线与直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，利用导数的几何意义求得点的坐标，再用点到直线的距离公式即可求得答案. 【详解】因为点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小． 因为直线y＝x－2的斜率等于1，曲线y＝x2－ln x的导数y′＝2x－， 令y′＝1，可得x＝1或x＝－ (舍去)，所以在曲线y＝x2－ln x上与直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)， 所以点P到直线y＝x－2的最小距离为， 故选：C. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，两直线平行于斜率的关系，点到直线的距离公式，属于基础题. 二、多选题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 深圳某中学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务绘出满意或不满意的评价，得到如表所示的列联表，经计算，则下列结论正确的是（ ） 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.535 A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为； B. 调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意： C. 根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异； D. 根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据列联表计算男、女生对食堂服务满意的概率的估计值，即可判断A，B；根据独立性检验的原则，结合，与临界值表比较，可判断C，D. 【详解】对于A，由列联表可知该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为，正确； 对于B，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为， 即该学校女生比男生对食堂服务更满意，B错误； 对于C，D，由于， 故根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异； 根据小概率值的独立性检验，不能认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，C正确，D错误， 故选：AC 10. 下列选项正确的是（ ） A. 从5幅不同的国画和2幅不同的水彩画中任选一幅画布置房间，有7种不同的选法 B. 若p：，，则：， C. 若，则 D. 二项式的展开式的各项系数和为81 【答案】ABD 【解析】 【分析】A. 利用组合求解判断； B.利用含有一个量词的命题的否定定义判断；C.利用二项式的系数和判断；D.令x=1求解判断. 【详解】A. 从5幅不同的国画和2幅不同的水彩画中任选一幅画布置房间，有7种不同的选法，故正确； B.若p：，，则：，，由含有一个量词的命题的否定定义知：正确； C. 若，则，故错误； D.令x=1，得二项式的展开式的各项系数和为81，故正确， 故选：ABD 11. 某商场开业期间举办抽奖活动，已知抽奖箱中有30张奖券，其中有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，记表示甲中奖，表示乙中奖，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意直接计算出，，，即可. 【详解】由题意可知，则A正确； ，则B错误； ，则C正确； ，则D错误； 故选：AC. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. “成立”是“成立”的_____________条件 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】先求得不等式的解集，再根据必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】由解得，由解得， 由命题“成立”不能推出命题“成立”，由命题“成立”能推出命题“成立”， 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 13. 给出下列四个命题： ①奇函数的图象一定经过原点； ②偶函数的图象一定关于轴对称； ③函数不是奇函数； ④函数不是偶函数. 其中正确命题序号为__________.（将你认为正确的都填上） 【答案】②③ 【解析】 【分析】通过举反例判断出①是错误的命题，利用偶函数图象的特点判断出②正确，根据奇（偶）函数的定义判断出③正确、④错误. 【详解】对于①，例如是奇函数，但其图象不通过原点，故①错； 对于②，偶函数的图象关于y轴对称是偶函数图象的特点，故②对； 对于③，，则不是奇函数，故③对； 对于④，函数的定义域是，且， 则偶函数，故④错； 故答案为：②③. 14. 已知不等式对任意的恒成立,则实数的范围为_______． 【答案】. 【解析】 【分析】利用基本不等式求得在的最大值，即可求得实数的范围. 【详解】因为，则，当且仅当时，即等号成立， 即在的最大值为， 又由不等式对任意的恒成立，所以 即实数的范围为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题，其中解答中熟练应用基本不等式求得的最大值是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.） 15. 某高校在今年的自主招生考试中制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选试题中一次性抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，至少正确完成其中2道试题则可以进入面试．已知考生甲能正确完成6道试题中的4道题，另外2道题不能完成． （1）求考生甲能通过笔试进入面试的概率； （2）记所抽取的三道题中考生甲能正确完成的题数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 1 2 3 ． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算公式进行求解即可； （2）根据古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可 【小问1详解】 考生从6道备选试题中一次性抽取3道题所包含的基本事件总数为，考生甲能通过笔试进入面试所包含的基本事件个数为， 所以考生甲至少正确完成2道题的概率为； 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为1，2，3， 则， 所以的分布列为： 1 2 3 故． 16. 为了解篮球爱好者小张的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小张某月1号到5号每天打篮球时间(单位：小时)与当天投篮命中率之间的关系： 时间 1 2 3 4 5 命中率 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 （1）求小张这天的平均投篮命中率； （2）利用所给数据求小张每天打篮球时间(单位：小时)与当天投篮命中率之间的线性回归方程；（参考公式：） （3）用线性回归分析的方法，预测小李该月号打小时篮球的投篮命中率． 【答案】（1）0.5；（2）；（3）0.53 【解析】 【分析】（1）利用提供的命中率，可求小张这5天的平均投篮命中率；（2）根据所给公式将数据代入得系数和即可求出线性回归方程；（3）令，即可预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率． 【详解】（1）小张这天的平均投篮命中率 （2）， ∴， ∴，∴线性回归方程. （3）当时，. 【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，解题的关键准确代入公式得到线性回归方程的系数，属于基础题． 17. 已知展开式的二项式系数和为512，且 （1）求的值； （2）求的值； （3）求除以6的余数. 【答案】（1）144 （2）19682 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，得到，结合，进而求得的值； （2）令，求得，再令，求得，进而求得的值； （3）化简，进而求得除以的余数. 【小问1详解】 解：由展开式的二项式系数和为512，可得，解得， 又由，可得. 【小问2详解】 解：令，即，可得， 令，即，可得， 所以. 【小问3详解】 解：由，可得， 因为能被整除， 所以除以的余数为. 18. 集合是函数的定义域，集合中的元素是由函数在区间上的最大值组成的，，，．试写出函数关于的解析式，并求函数的值域． 【答案】， 【解析】 【分析】首先求出，再分、、分别求出，即可求出对于的，从而求出，再分段求出的取值范围，即可求出的值域. 【详解】对于函数，则，解得， 所以，所以， 当时，在区间上单调递减，则， 所以； 当即时，在区间上单调递增， 则，所以； 当即时，，所以； 所以，又， 所以，即， 当时，则； 当时，则； 当时，则， 综上可得的值域为. 19. 已知函数 . （1）当时，求在点 处的切线方程； （2） 时，求证：. 【答案】（1）y = 2x－2 ln 2 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将 代入 的解析式，求出 和 ，再运用点斜式直线方程求解； （2）运用导数求出 的最小值，只要证明最小值 即可. 【小问1详解】 当a = 1时，，x＞0， 则 ， ，而 ， 所以在点 处的切线方程为 ，即 ； 【小问2详解】 对求导得 ，x＞0， 当a＞0 时，令得 ，当时， f（x）单调递减；当时，f（x）单调递增， 所以 ， 只需证明 ≥ ，即 ≥0 恒成立； 设，，则 ，， 当时，， 单调递减；当时，， 单调递增；所以 是的最小值，故， 表明≥0（a＞0）恒成立，故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $