精品解析：2025年内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗中考三模数学试题

2025年6月初中学业水平考试压轴测试（二） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小，每小题2分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的识别，根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数． 【详解】解： 选项A：是分数，可表示为有限小数或无限循环小数，属于有理数； 选项B：是整数，属于有理数； 选项C：表示8的三次方根，因，结果为整数2，属于有理数； 选项D：中，11不是完全平方数，其平方根无法表示为分数，是无限不循环小数，属于无理数； 综上，只有选项D是无理数， 故选：D． 2. 如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则∠2等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，再根据平行线的性质可知的度数． 【详解】解：∵直角三角板的直角顶点在直线上，， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 3. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．根据三视图的知识，俯视图是由4个小正方形组成，而左视图是由3个小正方形组成，故这个几何体的底层有4个小正方体，第2层最多有3个小正方体． 【详解】解：根据左视图和俯视图，这个几何体的底层有个小正方体， 第二层最多有个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最多有个． 如图， 故选：A． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可． 详解】，故A错； 当a＞0，，当a＜0，，故B错； ，故C错； ，D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的关键． 5. 学生食品安全引起各级政府的关注，师生在同一地点吃同样食物的政策在美安学校实行．学校食堂中午开设了四个取餐窗口，在校就餐时小明和小红被随机分到同一窗口的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键；由题意可根据列表法进行求解概率． 【详解】解：设学校食堂开设的四个窗口分别为1、2、3、4，由题意可得表格如下： 小红 小明 1 2 3 4 1 2 3 4 由表可知：一共有16种可能性，其中小明和小红被随机分到同一窗口的有4种可能性，所以在校就餐时小明和小红被随机分到同一窗口的概率是； 故选C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，点B在y轴正半轴上，点，将沿x轴正方向平移得到，若点E恰好落在直线上，则此时点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点，求出点B的坐标，再结合即可求出点E的坐标，从而知道平移的方向，即可求解． 【详解】解：∵点， ∴， ∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵E是点B沿x轴向右平移得到的点， ∴点E的纵坐标为2， 将代入中，得， ∴点， ∴点E是点B向右平移4个单位长度得到的， ∴点D也是点A向右平移4个单位长度得到的， ∴点，即点， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移的性质，等腰直角三角形的性质，求出平移的方向是解题关键． 7. 小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，若，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由题意得，，则，所以，然后通过折射率即可求解． 【详解】解：如图， ∵折射光线沿垂直边的方向射出， ∵法线垂直于， ∴， ∴， ∴， ∴折射率， 故选：． 8. 如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质和菱形的性质．连接，如图，先利用基本作图可判断垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，，再利用菱形的性质得到，，则可判断和都为等边三角形，从而可对①进行判断；利用勾股定理在中计算出，接着在中计算出，从而可对②进行判断；利用，可对③进行判断；最后根据三角形面积公式可对④进行判断． 【详解】解：连接，如图， 由作法得垂直平分， ，，， 四边形菱形， ，， ， 和都为等边三角形， ，所以①正确； ， ，， 在中，， ，， ， ， ，所以②正确； ，， ，所以③错误； ，， 而， ，所以④正确． 故选：B． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 因式分解：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，直接利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 10. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，化为最简二次根式后，它们的被开方数相同，列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式是同类二次根式，且， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=BC•AD，即可得出结果． 【详解】解：作AD⊥BC与D，连接OB，如图所示： 则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1， ∵△ABC是等边三角形， ∴BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°， ∴OA=OB=2OD=2， ∴AD=3，BD=， ∴， ∴， ∴△ABC的面积=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接正三角形的性质、解直角三角形、三角形面积的计算；熟练掌握圆内接正三角形的性质，由勾股定理求出AB是解决问题的关键． 12. 如图，反比例函数的图象上有一动点A，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义和反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质．正切函数的定义，连接，作轴于点M，轴于点N，根据题意可得，从而表达出的值，再证明，得到两个三角形的面积之比，根据k的几何意义得出k的值即可． 【详解】解：连接，作轴于点M，轴于点N，如图， 由题意可知，点A、点B关于原点对称， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 而， ∴， ∵， 而， ∴ 故答案为：. 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）解方程：； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程、解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算步骤是解答的关键． （1）先确定最简公分母，然后去分母化为整式方程求解，最后检验结果可得结论； （2）先分别求得每个不等式的解集，然后确定公共部分即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：由题意得最简公分母为， ∴原方程可化为：． 解得． 检验：把代入，且原方程左边右边． ∴原方程的解为． （2）， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 所以不等式组的解集为． 14. 2025年春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评．演出结束后，节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分）．并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 8 8 线上 7 （1）直接写出的值； （2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； （3）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【答案】（1）12，，7 （2）2400人 （3）同意，见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的定义即可求得，结合扇形统计图中所占百分比即可求得； （2）利用总人数乘以不低于8分的百分比即可； （3）根据样本容量大更具有代表性即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 故， 根据中位线的定义，得应该在的7分范围内， 故中位数为（分）， 根据题意，得（分）， 故答案为：12，，7． 【小问2详解】 解：根据题意，得（人）， 答：线上观众评分不低于8分的人数为2400人． 【小问3详解】 解：同意，理由：线上观众群体样本容量大，更具有代表性． 【点睛】本题考查平均数、中位数、样本估计总体，统计图等知识点，理解相关知识是解决问题的关键． 15. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，即在烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．如图所示的是该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度随时间x（分钟）变化的函数图象． （1）求该图象的函数表达式； （2）若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请问该模式下烤制的食物能否健康食用？请说明理由． 【答案】（1） （2）该模式下烤制的食物可以健康食用． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法确定一次函数解析式，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）设段的函数表达式为，将点和点代入函数表达式求解即可，设段的函数表达式为，将点和点代入函数表达式，确定解析式，从而求出求该图象的函数表达式； （2）分别令，分别代入两个函数关系式中计算时间，比较判断即可． 【小问1详解】 设段的函数表达式为， 将点和点代入函数表达式， 得， 解得， 段的函数表达式为． 设段的函数表达式为， 将点和点代入函数表达式， ， 解得得． 段的函数表达式为． ∴该图象的函数表达式； 【小问2详解】 令，即， 解得， 令，即， 解得，（分钟）． ， 该模式下烤制的食物可以健康食用． 16. 如图，内接于，，过点A作，交直径的延长线于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2），． 【解析】 【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论； （2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得． 【小问1详解】 证明：延长交于点F，连接， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的角平分线， ∵， ∴，且平分线段， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， 设， ∴， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 17. 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G． （1）求证：AE⊥BF； （2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值； （3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积． 【答案】（1）见解析 （2）sin∠BQP＝ （3）四边形的面积是 【解析】 【分析】（1）由E，F分别是正方形边的中点知，证明得，根据即可得，据此即可得证． （2）由折叠的性质得，利用角的关系证明，令，则，在中，设，利用勾股定理求出x与k的关系即可解决问题． （3）先求出正方形的边长，利用勾股定理求出的长，由求出的长，再由求出，然后利用求解即可． 【小问1详解】 如图1， ∵E，F分别是正方形边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 如图2，由折叠的性质得， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则， 在中，设， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵正方形的面积为4， ∴边长为2， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形GHMN的面积是． 【点睛】本题考查了旋转的性质，翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟知旋转、翻折不变性是解答此题的关键，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题． 18. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点作轴交于，过点作轴交于，利用待定系数法可得到直线的解析式为，设，且，则，由，得，可得，即取最大值，结合，即可求得答案； （3）当点绕着点顺时针旋转得到点时，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，设点，则，，可得；当点绕着点逆时针旋转得到点时，则，代入抛物线解析式即可求得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：， 解得， 故抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴交于，过点作轴交于， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 设，且，则， ， 将代入，得到 ， ，， 轴，轴， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 的最大值为， ； 【小问3详解】 当点绕着点顺时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ，， ， ， ， ， ，， 点在直线：上，设点， 则，， ，， 点的坐标为， 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或 当点绕着点逆时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理可得点的坐标为 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或； 综上所述点M坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，同角的余角相等,全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年6月初中学业水平考试压轴测试（二） 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小，每小题2分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，直角三角板直角顶点在直线上，若，则∠2等于（ ） A. B. C. D. 3. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 学生食品安全引起各级政府的关注，师生在同一地点吃同样食物的政策在美安学校实行．学校食堂中午开设了四个取餐窗口，在校就餐时小明和小红被随机分到同一窗口的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，点B在y轴正半轴上，点，将沿x轴正方向平移得到，若点E恰好落在直线上，则此时点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，若，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：①，②如果，那么，③，④；其中正确结论个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9 因式分解：______． 10. 已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则_______． 11. 已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为____． 12. 如图，反比例函数的图象上有一动点A，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，，则_________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13 （1）解方程：； （2）解不等式：． 14. 2025年春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评．演出结束后，节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分）．并根据得分绘制了以下不完整的统计表和统计图： 两个观众群体对《秧BOT》打分样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 现场 8 8 线上 7 （1）直接写出的值； （2）请你计算出线上观众评分不低于8分的总人数； （3）小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 15. 某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，即在烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．如图所示的是该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度随时间x（分钟）变化的函数图象． （1）求该图象的函数表达式； （2）若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请问该模式下烤制的食物能否健康食用？请说明理由． 16. 如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求和的长． 17. 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G． （1）求证：AE⊥BF； （2）将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA延长线于点Q，求sin∠BQP的值； （3）将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积． 18. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $