2.1.1认识无理数 导学案 2025-2026学年 北师大版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“认识无理数”，引导学生通过自主学习回顾有理数概念和勾股定理，如计算直角边为5、12的斜边，再通过剪拼边长为1的小正方形得到大正方形，探究边长a满足a²=2，发现a非整数非分数，构建从有理数到无理数的认知支架。 导学案通过动手剪拼图形、估算无理数大小（如面积为2的正方形边长a的整数部分、十分位等）、有理数化小数总结规律，培养学生抽象能力和几何直观。习题结合勾股定理情境，从概念辨析到实际应用，发展推理意识和运算能力，帮助学生用数学语言表达关系，提升核心素养。

2.1.1认识无理数 导学案 课题 2.1.1认识无理数 单元 第二章 学科 数学 年级 八年级 学习 目标 1、 经历探索无理数的过程，体会无理数产生的实际背景； 2、 掌握无理数的概念； 3、 学会辨别有理数和无理数 重点 难点 学会辨别有理数和无理数 导学 环节 导学过程 自 主 学 习 1、 回顾：什么是有理数？举例。 2、 勾股定理的内容是什么？如果Rt△ABC的两个直角边分别是5、12，求它的斜边。 合 作 探 究 探究1 将两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形 （1）设大正方形的边长为 a ，则 a 满足什么条件？ （2）a²=2，那么a可能为整数吗？ （3）a²=2，那么a可能为分数吗？ 结论：事实上，在等式a²=2中，a既不是 ，也不是 .所以a不是 . 探究2 观察下图后回答下面问题 （1）如图：以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ （3）b是有理数吗？ 结论：在上面问题中，数a，b确实存在，但都不是 . 探究三 探究面积为2的正方形的边长a是多少呢？ （1）下图中，3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。 （2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位 呢？ … …借助计数器进行探索。 1 1 2 2 面积为2 a a （3）小明根据他的探索过程整理出如下的表格，你的结果呢？ 边长a 面积S 1＜a ＜2 1 ＜S ＜4 1.4 ＜a ＜1.5 1.96 ＜S ＜2.25 1.41 ＜a ＜1.42 1.9881 ＜S ＜2.0164 1.414 ＜a ＜1.415 1.999396 ＜S ＜2.002225 1.4142 ＜a ＜ 1.4143 1.99996164 ＜S ＜2.00024449 还可以继续算下去吗? a 可能是有限小数吗? 做一做 (1) 估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到十分位)，并用计算器验证你的估计. (2)如果结果精确到百分位呢?千分位呢？万分位呢？…… 探究4 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 总结：1、有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。那么，我们就把无限不循环小数叫做无理数。 2、数的分类 有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数 数 整数 分数 例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.1010001000001…….(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 总结： 1、判断一个数是否无理数：（1）看它是不是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数形式，但无理数不能。 2、具体从以下几方面来判断：（1）开方开不尽的数是无理数；（2）π是无理数；（3）无理数与有理数的和、差一定是无理数；（4）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数。 当 堂 检 测 1、一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（　　） A．整数 B．分数 C．有理数 D．无理数 2、下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数是无限不循环的小数；③无理数包括正无理数、0、负无理数；④无理数都可以用数轴上的点来表示；其中正确的说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3、如图： (1)x，y，z，w中哪些是有理数哪些是无理数？它们的值分别是多少？ (2)你发现了斜边长度的表示规律了吗？求第n次作出的斜边的长度是多少？ 课 堂 小 结 1.无理数的定义：无限不循环小数叫无理数 2.无理数的特征: （1）圆周率π及一些最终结果含有π的数. （2）开方开不尽的数. （3）虽有一定的规律，但不循环的无限小数. 参考答案 自主学习： 1、 整数和分数统称为有理数；举例略 2、 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；13 合作探究： 探究1 （1）因为 所以a2=2 （2）1²=1，2²=4，3²=9，······越来越大，所以a不可能是整数。 （3）两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，所以a不可能是分数。 结论：整数；分数；有理数 探究2 （1）22+12 =5 （2）b2=22+12=5 （3）不是 结论：有理数。 探究3 （1）1＜a＜2；因为边长为a的正方形的面积为2，介于边长为1和边长为2的两个正方形的面积之间，所以1＜a＜2。 （2）1；4；1；4 （3）事实上，a=1.41421356……是一个无限不循环小数. 做一做 （1）2.2 （2）2.23；2.236；2.2360；··· 探究4 例1 解：有理数：3.14,, 无理数：0.1010001000001…… 当堂检测： D；2、B； 3、答案：（1）z是有理数，x、y、w是无理数． （2）第n次作出的斜边的长是 【解析】：（1）因为图中的三角形是直角三角形，由勾股定理得： x==，y==；z==2；w==（4分）． 所以z是有理数，x、y、w是无理数．（6分） （2）根据以上规律，第n次作出的斜边的长是．（10分）   根据勾股定理，分别计算出斜边的长即可． www。21cnjy。com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $