22.2一元二次方程的解法（题型专练）数学华东师大版九年级上册

22.2 一元二次根式的解法 题型一 直接开平方法 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）方程 的正根为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程，则它的解为 ． 4．（24-25八年级下·北京平谷·期中）方程的解为 ． 5．（24-25九年级上·广东河源·期中）解方程：． 6．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）解一元二次方程：（直接开平方法） 7．（2025九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解方程：． 8．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 题型二 因式分解法 1．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）方程的解是（       ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 3．（24-25九年级上·福建莆田·期中）方程的解为 ． 4．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解一元二次方程． 5．（24-25九年级上·广东江门·期中）解下列方程： (1) (2) 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）解方程： ； 7．（24-25九年级上·福建莆田·期中）用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 8．（24-25九年级上·江苏常州·期中）解方程 (1) (2) 题型三 配方法 1．（23-24九年级上·广东河源·期中）用配方法解一元二次方程时，应当在方程的两边同时加上（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期末）用配方法解一元二次方程 ，以下变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·北京平谷·期末）把方程化成的形式，则 ． 6．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）用配方法解方程：． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 8．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用配方法解方程： (1) (2)． 题型四 公式法 1．（2025九年级上·全国·专题练习）用适当的方法解一元二次方程： (1)． (2)． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）解方程： (1)； (2) 3．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）用公式法解方程：． 4．（24-25九年级上·天津西青·期中）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2)（公式法） 6．（24-25八年级下·吉林·期中）解下列一元二次方程． (1)； (2)． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）按要求解方程： (1)（用因式分解法）； (2)（用公式法）． 8．（24-25八年级下·北京延庆·期末）解方程：． 题型五 根据判别式判断根的情况 1．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 2．（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 3．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．必有实数根 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知方程，那么这个方程（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 题型一 一元二次方程根与系数的关系 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．1 C． D．3 2．（2025九年级上·全国·专题练习）已知和是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）已知，是关于的方程的两个根，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）若是方程的两个根，则 ． 5．（2025·山西晋城·三模）已知是一元二次方程的两个实数根，则 ． 6．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 7．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）设分别为一元二次方程的两个实数根，则 ． 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求m的值． 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数 1．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A．±2 B．±6 C．±4 D．±3 2．（2025·河南南阳·模拟预测）关于x的一元二次方程，用下列选项中的数字替换m，使方程没有实数根的是（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 4．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）已知是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰的一边长为3，若恰好是另外两边长，则周长为 （   ） A．9 B．9或11 C．13 D．9或13 5．（2025·甘肃兰州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）若一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象经过第 象限． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 8．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根，若，求的值． 9．（24-25八年级下·北京平谷·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 题型一 配方法的应用 1．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______； (2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． (3)若实数，满足，求的最小值． 2．（24-25八年级上·四川乐山·期末）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式无法直接用公式法分解，于是可以在二次三项式中先加上一项9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，于是有： 像这样的方法称为“配方法”，请利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若． ①当、、满足条件：时，求的值； ②若三边长是、、，且为奇数，求的周长． 3．（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2 一元二次根式的解法 题型一 直接开平方法 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直接开方法解一元二次方程．将方程化为标准形式后，利用平方根的定义求解． 【详解】解：∵， 两边同时除以2，：， ∴直接开方得：， 解得：，， 故选：B． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）方程 的正根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】移项得， ∴， ∴方程 的正根为， 故选：． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）已知关于x的一元二次方程，则它的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 4．（24-25八年级下·北京平谷·期中）方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后直接开平方，求出方程的解即可． 【详解】解：， 移项得：， 开平方得：， ∴，． 故答案为：，． 5．（24-25九年级上·广东河源·期中）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法即可求解，熟练掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴，． 6．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）解一元二次方程：（直接开平方法） 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再利用直接开平方法求解即可. 【详解】解：， 两边都除以3得：， ∴， 解得：，； 7．（2025九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：根据平方根的意义，得， 解得． 8．（2024·四川攀枝花·中考真题）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，再用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 题型二 因式分解法 1．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用因式分解法解一元二次方程，将它转化为两个一元一次方程是 （ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】题目主要考查因式分解法解一元二次方程，理解因式分解方法是解题关键 根据因式分解法的原理，若两数相乘为零，则至少有一个因数为零，将原方程的每个因式分别等于零，即可转化为两个一元一次方程，即可求解 【详解】解：原方程为 ， 根据因式分解法，若两数乘积为0，则至少有一个数为0， ∴， 故选：C 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）方程的解是（       ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．将方程整理为标准形式后，通过因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式，得， ∴或， 解得：． 故选：C． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期中）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取一元二次方程的解法是关键；利用因式分解法即可求解． 【详解】解：原方程可化为， 分解因式得， 即， ∴． 4．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解一元二次方程． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，利用因式分解法进行求解即可． 【详解】解： 或， 解得，． 5．（24-25九年级上·广东江门·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握直接开平方法和因式分解法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴或， 解得：，． 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）解方程： ； 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． 方程移项后运用因式分解法求解即可； 【详解】解：， ， ， ， 解得：； 7．（24-25九年级上·福建莆田·期中）用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法； （1）把方程化为，再进一步求解即可； （2）把方程化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 8．（24-25九年级上·江苏常州·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程解法是解题关键． （1）利用因式分解即可求解． （2）移项，用平方差公式分解因式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 题型三 配方法 1．（23-24九年级上·广东河源·期中）用配方法解一元二次方程时，应当在方程的两边同时加上（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．此题可根据配方法，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行求解即可． 【详解】解：由题意得：方程两边同时加上4． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 3．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法，熟悉掌握配方的方法是解题的关键．移项后方程两边都加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：D． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期末）用配方法解一元二次方程 ，以下变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，通过配方法将方程转化为完全平方形式，直接计算即可． 【详解】解：原方程为 ， 移项：将常数项移到右边，得， 配方：方程左边为 ，配方时需加上一次项系数一半的平方，即 ， 两边同时加9，得， 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得， 故选：A． 5．（24-25八年级下·北京平谷·期末）把方程化成的形式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． 将原方程配方，求出、的值，再计算即可． 【详解】解：将配方得， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤． 利用配方法逐步进行计算即可． 【详解】 解： ． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）先化系数为，再根据配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， 解得． 8．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用配方法解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键； （1）先化为，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， （2）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， 题型四 公式法 1．（2025九年级上·全国·专题练习）用适当的方法解一元二次方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法． （1）用公式法求解即可； （2）用开平方法求解即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ∴ ，． （2） 整理，得， ， ，． 2．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可根据方程特点分别用配方法和因式分解法来解． （1）利用配方法求解，即可解题； （2）利用公式法求解，即可解题． 【详解】（1）解： ∴； （2）解：∵，， ， ∴ ， ∴ ， ∴，． 3．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】用公式法解一元二次方程，先确定系数、、，再计算判别式，最后代入求根公式求解．本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式、判别式公式及求根公式是解题的关键． 【详解】解： ，，， ， ∴， ∴，． 4．（24-25九年级上·天津西青·期中）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 这里，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ∴或， 解得：，． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解： 化为一般式得， 则， ∴， ∴， 解得． 6．（24-25八年级下·吉林·期中）解下列一元二次方程． (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法计算即可； （2）根据公式法计算即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：，； （2）解：， ， 即， 解得：，． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）按要求解方程： (1)（用因式分解法）； (2)（用公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ，，， ， ， 解得，． 8．（24-25八年级下·北京延庆·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．对于一元二次方程，可以先计算判别式的值，再根据求根公式求出方程的解． 【详解】解：， ， ． ． 方程的解为． 题型五 根据判别式判断根的情况 1．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键． 根据方程，得，即可得到答案． 【详解】解：∵方程 中， ，，， ∴ ． ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于方程，其中，，， 则， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：， ， 有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．必有实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值即可判断根的情况，熟知当时，方程无实数根是解答的关键． 【详解】解：方程可化为，其中，，， 判别式， ，因此该方程没有实数根， 故选：C． 5．（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据关于x的一元二次方程，方程的根的判别式解答即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知方程，那么这个方程（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．通过计算判别式Δ的值来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 题型一 一元二次方程根与系数的关系 1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系“两根之积等于”，直接计算即可求解． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 故选：B． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）已知和是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟记相关结论：若一元二次方程的两个根为，则，，利用根与系数的关系得出，再利用，即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， 根据根与系数的关系，有， 又∵是方程的根， ∴， 代入原式可得：， 利用， 故原式， 故答案为： D． 3．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）已知，是关于的方程的两个根，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，根据判别式判断根的情况，根据根与系数的关系，判断两根的符号，即可得出结论． 【详解】解：， ， 方程有两个不相等的实数根， 是关于的方程的两个根， ；故A正确，B错误； ，故选项C错误； 异号或其中一个的值为， 的值可能大于 0 ，可能等于 0 ，也有可能小于 0 ，故D错误； 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）若是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为： 5．（2025·山西晋城·三模）已知是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键， 根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，据此可求出和的值，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．对于一元二次方程的两个根，满足，．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系求出和的值，再将转化成，然后将和的值代入即可得解． 【详解】解：∵，是一元二次方程，即的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·安徽亳州·阶段练习）设分别为一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代入求值，理解并掌握一元二次方程的解的含义，代入求值的方法是解题的关键． 根据一元二次方程的根，可得，根据根与系数的关系得，将代数式变形得，代入求值即可． 【详解】解：设分别为一元二次方程的两个实数根， 原式． 故答案为： 2023． 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系． （1）由一元二次方程有实数根可得，解不等式即可； （2）由和是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得，，又由，可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵和是方程的两个实数根， ∵，， ∴， ∴， 解得：． 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数 1．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A．±2 B．±6 C．±4 D．±3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根求解即可． 【详解】方程的判别式为 ． 当时，方程有两个相等的实数根， 即：， 解得 故选A． 2．（2025·河南南阳·模拟预测）关于x的一元二次方程，用下列选项中的数字替换m，使方程没有实数根的是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，先根据根的判别式的意义得到当时，方程没有实数根，然后求出m的范围，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：当时，方程没有实数根， 解得， 选项中，只有时，方程没有实数根． 故选：D． 3．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 4．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）已知是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰的一边长为3，若恰好是另外两边长，则周长为 （   ） A．9 B．9或11 C．13 D．9或13 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根与等腰三角形的性质．需分两种情况讨论：3为腰长或底边长．当3为腰长时，代入方程求出m的值并验证三角形三边关系；当3为底边时，方程需有相等实根，求出m的值并验证．最终符合条件的周长为9． 【详解】解：当3为腰长时：将代入方程，得：， 解得：或． 当时，方程为，解得：，三边为3、3、3，周长为． 当时，方程为，解得：，． 三边为3，3，7，则，无法构成三角形； 当3为底边时：此时方程需有相等实根（两腰相等），即判别式： 则，解得：， 此时方程为，解得：，三边为3、3、3，周长为． 综上，符合条件的周长为， 故选：A． 5．（2025·甘肃兰州·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 6．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）若一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象经过第 象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了反比例函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，解题的关键是首先根据方程根的情况判定实数的取值范围． 本题根据反比例函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，进行作答，即可求解； 【详解】∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：且． 8．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个实数根，若，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 由可得或，然后分和，两种情况分别根据方程的解以及一元二次方程的判别式解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 当时，将代入方程可得：，解得：， 此时方程为：，即， ∴，即方程有两个不等的实数根， ∴符合题意； 当时，方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 综上，k的值为或． 9．（24-25八年级下·北京平谷·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根， 方程没有实根． （1）先求出的值，再根据的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求得方程的根为，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答． 【详解】（1）证明：（1）， ， ， ， ， 方程总有两个实数根． （2）， ， 方程有一根为正数，     ，   ． 题型一 配方法的应用 1．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______； (2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． (3)若实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)或 (2)最小值为， (3)4 【分析】本题考查了完全平方式以及配方法的应用，在配方法中，通过加上或减去适当的常数，可将代数式凑成完全平方式，在配方时加减的常数为解决本题的关键． （1）根据完全平方式的定义求解即可． （2）由配方法的定义，可将配方成，将配方成，再配平常数，根据完全平方式非负即可求解最值，再由幂的运算法则即可计算． （3）先将转化为，再将配方为，将看做一个整体，根据完全平方式非负即可整体求解的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方式的定义，即， 可知代数式中，， 则， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以或． （2）解： ， ，， 当，时，有最小值，最小值为， 此时，，解得：，． 所以． （3）解：， ，， ，，的最小值为4． 2．（24-25八年级上·四川乐山·期末）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式无法直接用公式法分解，于是可以在二次三项式中先加上一项9，使它与的和成为一个完全平方式，再减去9，整个式子的值不变，于是有： 像这样的方法称为“配方法”，请利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若． ①当、、满足条件：时，求的值； ②若三边长是、、，且为奇数，求的周长． 【答案】(1) (2)①5；②14或16 【分析】本题主要考查了利用“配方法”进行因式分解、三角形的三边的关系、同底数幂的乘法等知识点，灵活运用“配方法”是解答本题的关键． （1）直接利用“配方法”求解即可； （2）先利用“配方法”求出、；①由得到，即，进而完成解答；②由三角形三边的关系可得，，即，则可得z可以为5、7，即有可以为14、16问题得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，； ①∵， ∴， ∴ ∴，即， ∵，， ∴，解得：，即n的值为5； ②∵三边长是、、， ∴， ∵，， ∴， ∵z奇数， ∴z以为5、7， ∴可以为14、16．即△ABC的周长为：14或16． 3．（24-25八年级下·广西崇左·期末）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解： 原式 ②求的最小值． 解： 先求出的最小值 ； 由于是非负数，所以，可得到．即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； (2)用配方法因式分解：； (3)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1)4 (2) (3)当时，多项式有最大值，最大值为20 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，明确如何配方及偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行配方即可； （2）将35化为，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将转化为，再利用完全平方式最小值为0，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：4； （2）解： ； （3）解： ， ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为20． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$