精品解析：福建省福州第三中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

福州三中2024-2025学年第二学期期末考试 高二数学试卷 命题人：高二数学集备组 审卷人：高二数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 第I卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得集合，利用交集计算即可. 【详解】由可知，所以， 故选：C． 2. “”是“关于的不等式有实数解”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式有解的条件可得的取值范围即可判断. 【详解】因为关于的不等式有实数解，所以，所以， 又由于真包含于， 所以“”是“关于的不等式有实数解”的必要不充分条件， 故选：B． 3. 的展开式的第6项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先写出二项式展开式的通项，通过通项即可求解. 【详解】由题得， 令，所以， 所以的展开式的第6项的系数是. 故选：C. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态曲线对称性求解即可. 【详解】随机变量服从正态分布，则曲线的对称轴为：， 因为，所以. 故选：B 5. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦差角公式即可求解. 【详解】因为，都是锐角，所以，则，． 所以． 故选：C 6. 已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称．当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由对称性可得，由为奇函数可得，再结合时的函数解析式求结论. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以， 又因为函数是奇函数，所以， 又当时，， 所以 所以， 故选：B. 7. 已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据降幂公式化解可得，由，，利用函数图像零点及极值点可得，解不等式即可. 【详解】由， 设，由可得， 如图作出函数在上的图象． 由图，要使函数在上只有一个零点和两个最大值点， 需使，解得． 故选：A． 8. 已知是锐角三角形，内角，，所对应的边分别为，，．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一，利用余弦定理、正弦定理边化角，再利用和差角的正弦化简可得，然后利用边化角，结合三角恒等变换及余弦函数性质求出范围；法二，利用余弦定理，结合已知求出的范围，再将目标式化成的函数关系并求出范围. 详解】方法一：由，得，由余弦定理， 得，即，由正弦定理得， 则， 整理得， 由是锐角三角形，得，，则． 又在上单调递增，因此，即， 由，，得，， 由正弦定理得 ， 所以. 故选：A 方法二：由，得，由是锐角三角形， 得，则，即，解得， 则，所以. 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由对立事件概率可得A；利用条件概率公式可求B；根据可得C；由全概率公式可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，根据乘法公式得，，故C正确； 由全概率公式可得，，故D错误， 故选：ABC． 10. 如图，点，是函数的图象与直线相邻两个交点，且，，则（ ） A. B. C. 函数在上单调递减 D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可确定，代入，可得，再利用正弦型函数相关性质即可判断CD. 【详解】令得，或，， 由图可知：，， 所以， 所以，所以，故A选项正确， 所以，由且处减区间，得， 所以，， 所以，， 因为，所以，故B错误． 所以， 当时，， 因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确； 将函数的图象沿轴平移个单位得， （时向右平移，时向左平移）， 为偶函数得，， 所以，，则最小值为，故D正确． 故选：ACD． 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A. 当时，曲线与轴有个交点 B. 曲线图像关于对称 C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最大值为 D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值大于 【答案】BD 【解析】 【分析】当时，解方程，可判断A选项；利用曲线的对称性可判断B选项；在曲线上的一点，可得出，利用导数求出函数在上的单调性，可判断CD选项. 【详解】对于A，令，由得，解得， 因此由解得，所以可以取、、， 因此当时，曲线与轴有个交点，故A错误； 对于B，曲线上任取一点，则， 因为点关于直线的对称点是， 而，所以点在曲线上， 因此曲线关于直线对称，故B正确； 对于C，设，因为点是曲线上一点，所以， 因此当时，曲线上的一点到原点距离， 令，则， ∴，∴在上递增， 且，， 因此存在，当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且，， 函数在区间上的最大值为， ∴，故C错误； 函数在区间上的最小值为， 令，则，因为函数在区间上单调递减， 所以， 所以当时，曲线上的一点到原点距离的最小值大于，故D正确. 故选：BD 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求出的最大值. 【详解】由题意， 在中， ， 当且仅当时取等号， 即， 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则_____． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】由终边关于轴对称，可得，，利用正弦二倍角公式及齐次式计算问题可解. 【详解】角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，所以，， 所以． 故答案为：. 14. 已知甲袋中有1个白球和2个黑球，乙袋中有2个白球，这5个球除颜色外无其他差异．现从甲、乙两袋中各取出1个球，交换后再放入甲、乙两袋中（即甲袋中取出的球放入乙袋，乙袋中取出的球放入甲袋）．如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题知所有可能取值为1，2，3，利用独立事件乘法公式计算概率并求期望即可. 【详解】由题意可知：所有可能取值为1，2，3， 可得，， 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，利用的关系，求即可； （2）由，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由是首项和公差为1的等差数列，得，则， 当时， 当时，， 因为满足上式， 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 因为， 所以． 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且 （1）求； （2）若，为的角平分线，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合正弦和角公式化解可解； （2）利用等面积法，可得，结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 因为， 所以， 因为，所以， 所以，即， 又因为，所以． 【小问2详解】 因为为的平分线，则， 因为， 则， 即，化简得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得（负值舍）， 所以的面积． 17. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． （1）若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； （2）在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意知，的可能取值有，，，，根据超几何分布列列出分布列计算期望即可； （2）（i）由题知甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则，然后计算取胜的概率； （ii）由，令，，然后求最值即可. 【小问1详解】 由题意知，的可能取值有，，，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】 （i）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 （ii）因为，所以 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，因， 由二次函数的性质可知，当时取最大值， 故甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为． 18. 已知双曲线的一条渐近线为，且过点． （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，过右焦点作直线与的右支交于，两点． （i）若和的面积的比值为2，求直线的方程； （ii）若关于的对称点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题列出方程组，解方程组即可； （2）（i）设直线的方程为，，，与双曲线联立得到，利用和的面积的比，可解从而得到直线方程； （ii）根据题意可得直线的方程，根据圆心到直线的距离即可判断位置关系. 【小问1详解】 设双曲线方程为，则，解得 所以的方程为． 【小问2详解】 （i）的右焦点为），设直线的方程为，，， 与方程联立可得：， 则由 ，得， 因为和的面积的比值为2，所以， 所以，所以， 所以， 解得，满足，所以， 所以直线的方程为：或． （ii）依题意得，则直线的斜率， 直线的方程为，即． 圆心到直线的距离为， 因为，， 所以， 又因为，所以， 所以直线与圆相切． 19. 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若函数. （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合. （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况分析判断导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）（i）设点和点，不妨设，然后根据导数的几何意义分别求出在两点处的切线，的方程，假设与重合，然后列方程组消去，得，化简后构造函数讨论即可；（ii）先解决对于，不等式恒成立，令，则在上恒成立，由，解得，然后利用证明当时，在上恒成立，从而可求出，使得成立时，的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， 由，得， ①当时，，在上单调递增； ②当时，则当时，，单调递增； 则当时，，单调递减； 综上，当时在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； 【小问2详解】 （i）由，得， 设点和点，不妨设， 则曲线在点处的切线方程为， 即； 同理曲线在点处的切线方程为； 假设与重合，则， 化简得，. 两式消去，得，则， 令，，由， 所以在上单调递增，所以，即无解， 所以与不重合，即对于曲线在任意两个不同点处的切线均不重合. （ii）当时，先解决对于，不等式恒成立， 令，，则在上恒成立， 由，解得. 下面证明当时，在上恒成立. 则当时，，令， 则， 则当时，由，，则， 则在上单调递增，所以； 当时，令， 则，则在上单调递增， 所以，所以在上单调递减， 所以成立， 所以对于，不等式恒成立时，实数的取值范围为. 所以，使得成立时，的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为求对于，不等式恒成立，即求原命题的否定后的的取值范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州三中2024-2025学年第二学期期末考试 高二数学试卷 命题人：高二数学集备组 审卷人：高二数学集备组 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 第I卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“关于的不等式有实数解”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 的展开式的第6项的系数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 5. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的奇函数的图象关于直线对称．当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知是锐角三角形，内角，，所对应的边分别为，，．若，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点，是函数图象与直线相邻两个交点，且，，则（ ） A. B. C. 函数上单调递减 D. 若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的最小值为 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，下列选项中关于曲线的说法正确的有（ ） A. 当时，曲线与轴有个交点 B. 曲线图像关于对称 C. 当时，曲线上的一点到原点距离的最大值为 D. 当时，曲线上的一点到原点距离的最小值大于 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则的最大值为______． 13. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则_____． 14. 已知甲袋中有1个白球和2个黑球，乙袋中有2个白球，这5个球除颜色外无其他差异．现从甲、乙两袋中各取出1个球，交换后再放入甲、乙两袋中（即甲袋中取出的球放入乙袋，乙袋中取出的球放入甲袋）．如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且 （1）求； （2）若，为的角平分线，且，求的面积． 17. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． （1）若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； （2）在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 18. 已知双曲线的一条渐近线为，且过点． （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，过的右焦点作直线与的右支交于，两点． （i）若和的面积的比值为2，求直线的方程； （ii）若关于的对称点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由． 19 已知函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若函数. （i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合. （ii）当时，若，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$