第10讲 圆内接四边形与正多边形 （知识清单+6大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】讲义2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第10讲 圆内接四边形与正多边形 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 已知圆内接四边形求角度 题型二 求四边形外接圆的直径 题型三 求正多边形的中心角 题型四 已知正多边形的中心角求边数 题型五 正多边形和圆的综合 题型六 尺规作图——正多边形 知识清单 知识点1．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点2．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型练习 【题型一】已知圆内接四边形求角度 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形内接于，点M为边延长线上一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，已知点C为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，四边形内接于，，，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直目标。下列要求的角，保留作图痕迹．    (1)请在图中作一个的圆周角，记为． (2)请在图中作一个的圆心角，记为． (3)请在图中作一个的圆周角，记为． 【题型二】求四边形外接圆的直径 【例2】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2023·浙江宁波·一模）如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 2．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 3．如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB． (1)求AC与BD的长； (2)求四边形ADBC的面积． 【题型三】求正多边形的中心角 【例3】（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知：圆内接正六边形的边长为2，则圆心到内接正六边形各边的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 2．（22-23九年级上·浙江丽水·期中）如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．    3． 如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 【题型四】已知正多边形的中心角求边数 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【举一反三】 1．（九年级上·浙江温州·阶段练习）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正 边形． 3． 【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则． 【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． 【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积． 【题型五】正多边形和圆的综合 【例5】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，六边形是的内接正六边形，连接，，，若的面积为6，则正六边形的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若的半径为．则其内接正六边形的周长等于 3．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图正方形内接于，为任意一点，连接、． (1)求的度数． (2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度． 【题型六】尺规作图——正多边形 【例6】尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中．传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分： ①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点； ②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点G； ③连接OG，以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分．顺次连接这些等分点构成的多边形面积为 ． 【举一反三】 1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 2．如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 3．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 好题必刷 一、单选题 1．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 2．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（　　）   A．16 B．12 C．8 D．6 3．如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（       ）    A． B． C． D． 4．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，则∠CAD 与∠B的关系是(      ) A．∠CAD=2∠B B．∠CAD+∠B =120° C．∠CAD+∠B =180° D．无法确定 5．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 6．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 7．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（ ） A． B．2 C． D．3 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ） A．45° B．50° C．55° D．60° 9．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A＝50°，则∠BCE＝ ． 12．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角可以是 度．（写出一个即可）    13．如图，正五边形内接于，则 ． 14．四边形ABCD是某个圆的内接四边形，若∠A=100°，则∠C= ． 15．如图，⊙O的半径为10，则⊙O的内接正三角形ABC的边长为 ． 16．如图，以为斜边在的两侧作和，，，，则的长度为 ． 三、解答题 17．尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． 18．如图所示，ABCD是圆的内接四边形，AE平分∠BAD交外接圆于点E，点E到BC和DC的距离分别为EM，EN，求证：EM=EN. 19．如图，已知． (1)求作的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的半径为，求它的内接正方形的边长． 20．已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°． （1）甲同学说，θ能取900°；而乙同学说，θ也能取800°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由； （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定x． 21．用长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有四种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大（可以利用计算器计算）？ 22．已知A、B两点，求作：过A、B两点的⊙O及⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不必写作法及证明．） 23．如图五边形ABCDE内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E． 求证：五边形ABCDE是正五边形 24．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF． （1）证明：∠E＝∠C； （2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 圆内接四边形与正多边形 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 已知圆内接四边形求角度 题型二 求四边形外接圆的直径 题型三 求正多边形的中心角 题型四 已知正多边形的中心角求边数 题型五 正多边形和圆的综合 题型六 尺规作图——正多边形 知识清单 知识点1．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 知识点2．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型练习 【题型一】已知圆内接四边形求角度 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，四边形内接于，点M为边延长线上一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键． 由圆周角定理可得，由圆内接四边形的性质可得，再结合邻补角的定义，即可求出的度数． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， ， 故选：C． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形内接于，已知点C为的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，先根据“圆的内接四边形对角互补”求出，再得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期末）如图，四边形内接于，，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用圆周角定理得到的度数． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直目标。下列要求的角，保留作图痕迹．    (1)请在图中作一个的圆周角，记为． (2)请在图中作一个的圆心角，记为． (3)请在图中作一个的圆周角，记为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题考查了圆的内接四边形求度数，圆周角定理，正确把握圆周角定理是解题的关键． （1）在弧上取一点，连接，则，故即为所求； （2）作直径，连接，则，那么，故即为所求； （3）连接，则，故即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，    （2）解：如上图，即为所求； （3）解：如上图，即为所求． 【题型二】求四边形外接圆的直径 【例2】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求四边形外接圆的直径、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 【举一反三】 1．（2023·浙江宁波·一模）如图，在边长为8的正方形中，点O为正方形的中心，点E为边上的动点，连结，作交于点F，连接，P为的中点，G为边上一点，且，连接，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求四边形外接圆的直径、根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过点O作于点H，作于点I，连接，证明点P运动的轨迹是线段，作点A关于直线的对称点，当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点O作于点H，作于点I，连接，， ∵点O为正方形的中心， ∴，， ∴四边形为正方形，为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴E、I、O、P四点共圆， ∴， ∵， ∴点P运动的轨迹是线段， 作点A关于直线的对称点，   当点、点P、点G在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长， 过点作交延长线于点Q， 同理得四边形为正方形，且边长为4， ∴，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，得到点P运动的轨迹是线段是解题的关键． 2．如图，ABCD为圆O的内接四边形，且AC⊥BD，若AB=10，CD=8，则圆O的面积为 ． 【答案】 【知识点】求四边形外接圆的直径、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】连接，并延长交圆于点，连接，，可得，从而可得BD//CE，得到，所以BE=CD，由勾股定理可得AE的长，从而可求出圆O的面积． 【详解】解：如图，连接，并延长交圆于点，连接，． 则，． ∵， ∴//， ∴ ∴BE=CD， ∵ ∴． 在Rt△中，AB=10， 所以，由勾股定理得， ∴． 所以圆的面积为． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中平行弦所夹弧相等等知识，正确作出辅助线构造直角是解答本题的关键． 3．如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB． (1)求AC与BD的长； (2)求四边形ADBC的面积． 【答案】(1)5cm；(2)49cm2． 【知识点】求四边形外接圆的直径 【分析】（1）根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，根据勾股定理计算即可； （2）根据三角形的面积公式计算． 【详解】(1)∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC= =6（cm）， ∵CD平分∠ACB， ∴BD=AD= AB= （cm）； (2)四边形ADBC的面积=△ABC的面积+△ADB的面积= ×6×8+ ××=49（cm2）． 【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理以及勾股定理．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 【题型三】求正多边形的中心角 【例3】（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知：圆内接正六边形的边长为2，则圆心到内接正六边形各边的距离为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、求正多边形的中心角 【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出． 此题主要考查了正多边形和圆、利用勾股定理解三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键． 【详解】解：如图，连接，，作，    ∵圆内接正六边形边长为2， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中， ∴正六边形的边心距是． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【知识点】已知正多边形的中心角求边数、求正多边形的中心角 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 2．（22-23九年级上·浙江丽水·期中）如图，A、、、为一个正多边形的相邻四个顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 ．    【答案】15 【知识点】求正多边形的中心角、圆周角定理 【分析】连接，，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∴， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：15．    【点睛】本题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 3． 如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 【答案】（1）；（2），；（3）． 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得，再根据圆内接正三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得； （2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得，再根据（1）同样的方法可得；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角，再根据（1）同样的方法可得； （3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得． 【详解】（1）如图，连接OB、OC，则， 是内接正三角形， 中心角， ∵点O是内接正三角形ABC的内心， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接OB、OC， 四边形ABCD是内接正方形， 中心角， 同（1）的方法可证：； 如图2，连接OB、OC， 五边形ABCDE是内接正五边形， 中心角， 同（1）的方法可证：， 故答案为：，； （3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是， 的度数与正方形边数的关系是， 的度数与正五边形边数的关系是， 归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题关键． 【题型四】已知正多边形的中心角求边数 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键． 根据正多边形中心角的计算方法列方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以这个正多边形是正九边形， 故选：B． 【举一反三】 1．（九年级上·浙江温州·阶段练习）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】根据正多边形的中心角=计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n． 由题意=72°， ∴n=5， 故选：C． 【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角=． 2．如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正 边形． 【答案】六 【知识点】已知正多边形的中心角求边数、等边三角形的判定和性质 【分析】根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形． 【详解】解：如图，连接OB， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴这个多边形是正六边形． 故答案为：六． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出． 3． 【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则． 【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． 【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积． 【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6 【知识点】已知正多边形的中心角求边数、旋转综合题(几何变换) 【分析】类比探究：通过证明可得，则． 拓展应用：通过证明可得，则． 【详解】解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角， ∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点 ∴∠BOM=∠CON， ∴△BOM≌△CON， ∴． 拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角， ∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点 ∴∠BOM=∠CON， ∴△BOM≌△CON， ∴． ∵四边形面积为， ∴正六边形的面积为6． 【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键． 【题型五】正多边形和圆的综合 【例5】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知正五边形内接于，连接、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握正多边形的性质是解题的关键． 根据正五边形的性质，进行计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，六边形是的内接正六边形，连接，，，若的面积为6，则正六边形的面积为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【知识点】正多边形和圆的综合、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定，关键是由正六边形的性质证明． 连接，由正六边形的性质得到把圆六等分，推出，得到是等边三角形，由证明，得到的面积的面积，同理：的面积的面积，的面积的面积，因此的面积的面积的面积的面积，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵六边形是的内接正六边形， ∴把圆六等分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的面积的面积， 同理：的面积的面积，的面积的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若的半径为．则其内接正六边形的周长等于 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正六边形的性质，根据正六边形是的内接正六边形，可知是等边三角形，从而可知正六边形的边长为，所以正六边形的周长为． 【详解】解：如下图所示，正六边形是的内接正六边形， ，， 是等边三角形， ， ， 正六边形的周长为． 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图正方形内接于，为任意一点，连接、． (1)求的度数． (2)如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）如图1中，连接、．根据即可解决问题； （2）如图2中，连接，，，，作于．首先证明，求出，设，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，连接、． 四边形是正方形， ， ； （2）解：如图2中，连接，，，，作于． ∵，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， 解得或（舍弃）， ． 【点睛】本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【题型六】尺规作图——正多边形 【例6】尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中．传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分： ①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点； ②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点G； ③连接OG，以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分．顺次连接这些等分点构成的多边形面积为 ． 【答案】2r2 【知识点】尺规作图——正多边形、正多边形和圆的综合 【分析】根据作法得到六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，则有∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，利用特殊角的三角函数值得到CD=r，AC＝r，再利用作法得到GO⊥AD，利用勾股定理求得OG=r，然后判断以OG长为半径，从点A 开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成了正方形，再利用正方形的面积公式进行计算即可. 【详解】连接AD、AC、AG，如图， ∵将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点， ∴∠CAD＝30°，∠ACD＝90°， ∴CD＝AD•sin30°=r，AC＝AD•cos30°=r， ∵GA＝GD， ∴GO⊥AD， ∴OG＝， 以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成的多边形为正方形， ∴这个多边形面积＝r•r＝2r2， 故答案为2r2． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类问题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.本题也考查了正多边形和圆. 【举一反三】 1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【知识点】尺规作图——正多边形、正多边形和圆的综合 【分析】（1）利用勾股定理可得答案； （2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【详解】（1）∵⊙的半径为：， ∴⊙的周长， 故答案为： （2）如图： ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵，   ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． ∵， ∴， ∵过圆心, ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型． 2．如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】图见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、尺规作图——正多边形 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 3．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——正多边形 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 好题必刷 一、单选题 1．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可． 【详解】∵正多边形的中心角为， ∴这个多边形的边数是， ∴正多边形的边数是8． 故选：C． 2．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（　　）   A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】利用正六边形的性质可得出：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1，即可得出答案． 【详解】解：△BCD与△BCF同底，其高的比为：2：1， ∵△BCD的面积为4， ∴△BCF的面积为：8． 故选C． 【点睛】此题考查的是正多边形和圆的题目，利用正六边形的性质，得出△BCD与△BCF高的比是解题关键． 3．如图，正方形纸片的中心刚好是的外心，则（       ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，正方形的性质，根据题意可得是四点共圆，再利用圆内接四边形的性质即可求解 【详解】解：如图所示，连接，    ∵正方形纸片的中心刚好是的外心，且是的外心， ∴是四点共圆， ∴ ∴， 故选：A． 4．如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，则∠CAD 与∠B的关系是(      ) A．∠CAD=2∠B B．∠CAD+∠B =120° C．∠CAD+∠B =180° D．无法确定 【答案】C 【分析】还原点A折叠前的位置，然后利用圆的内接四边形对角互补的性质得到结论． 【详解】解：如图，点为点A折叠前的位置， ∵折叠， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质． 5．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 6．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先作出正六边形的外接圆，根据正多边形的性质，得出阴影部分是正六边形，即将问题转化为阴影部分的面积与大正六边形的面积比，再表示出阴影部分面积和大正六边形的面积，一比即可求得概率． 【详解】作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为O，如图， 设正六边形ABCDEF的边长为2，AC与BF,BD的交点为H,N, 过点O作OM⊥AB于点M，则 , 则为等边三角形， ∴S正六边形ABCDEF=6, ∴, ∴, , ∴S正六边形ABCD=6, 由题可知阴影部分为正六边形，所以 , ∴, ∴ 为等腰三角形， ∴, ∴, 同理可得为等腰三角形， ∴, , ∴ 为等边三角形， ∴ ∴ , 在Rt△AMH中， , , 解得, ∴, ∴S, ∴S阴影==, ∴S阴影：S正六边形ABCDEF= , 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形与圆，垂径定理，同弧所对圆周角等于圆心角的一半，等边三角形的判定与性质，三角函数，概率，解题关键在于熟练相关知识点． 7．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，交于格点E，根据S△ABC=S△AEC-S△BEC即可求解． 【详解】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，交于格点E． 正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4， 作BH⊥CE于点H,作AF⊥CE于点F, 则BH=3sin60°=,AF=5sin60°=， 则S△ABC=S△AEC-S△BEC=． 故选B． 【点睛】本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC=S△AEC-S△BEC是关键． 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ） A．45° B．50° C．55° D．60° 【答案】B 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°， ∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°． ∵，∠BAC=25°， ∴∠DCE=∠BAC=25°， ∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 9．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可． 【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°， ∴OP＝＝， ∴A（1，）， 第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）； 第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）； 第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）； 第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）； ∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴4次一个循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，）， 故选：B 【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 10．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形MF的长，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可． 【详解】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ， 由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1， 由正六边形的性质可得ON＝2， ∴ODOF， ∴MF1， 由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形， ∴FHMF， 故选：D．    【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键． 二、填空题 11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A＝50°，则∠BCE＝ ． 【答案】50° 【详解】试题分析：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCE=∠A=50°．故答案为50°． 考点：圆内接四边形的性质． 12．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角可以是 度．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可． 【详解】解：， 则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质，掌握正六边形的中心角是关键． 13．如图，正五边形内接于，则 ． 【答案】/36度 【分析】先求出正五边形的每个内角的度数，利用圆内接正多边形的性质得到，再根据等边对等角求出度数即可． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正多边形的内角和，等边对等角求角度，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 14．四边形ABCD是某个圆的内接四边形，若∠A=100°，则∠C= ． 【答案】80°． 【详解】试题分析：已知四边ABCD是圆的内接四边形，∠A=100°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠C=180°﹣100°=80°． 考点：圆内接四边形的性质. 15．如图，⊙O的半径为10，则⊙O的内接正三角形ABC的边长为 ． 【答案】10. 【分析】连接OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由垂径定理得到AD=BD，由含30°直角三角形的性质求出OD，得出AD，即可得出结果． 【详解】解：连接OA，OB，过O作OD⊥AB于D，如图所示： ∴AD=BD， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠C=60°， ∴∠AOB=120°， 又∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∴OD=OA=5， ∴AD===5， ∴AB=2AD=10． 故答案为10． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，求出AD是解决问题的关键． 16．如图，以为斜边在的两侧作和，，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】取AC的中点O，连接OD、OB，根据题意得到A、B、C、D四点共圆，根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 由和可知A，、、四点共圆，点为圆心，为圆的直径，、均为圆的半径． ∵， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的性质，掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 三、解答题 17．尺规作图：如图，AC为⊙O的直径．求作：⊙O的内接正方形ABCD．（要求：不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】作互相垂直的两条直径AC，BD即可解决问题． 【详解】如图，正方形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18．如图所示，ABCD是圆的内接四边形，AE平分∠BAD交外接圆于点E，点E到BC和DC的距离分别为EM，EN，求证：EM=EN. 【答案】见解析. 【分析】连接CE，根据圆内接四边形的性质和垂径定理进行计算即可得到答案. 【详解】连接CE， 则∠FCE=∠DAE，∠ECB=∠EAB 又∵∠DAE=∠EAB ∴∠FCE=∠ECB ∵EM⊥CB，EN⊥CF ∴EM=EN. 【点睛】本题考查垂径定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆内接四边形的性质. 19．如图，已知． (1)求作的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的半径为，求它的内接正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作出直径，再过点作的垂线，进而得出答案； （2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形． （2）因为的半径为，四边形是正方形， 所以，， 所以． 故的内接正方形的边长为． 【点睛】此题主要考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正方形的性质是解题关键． 20．已知n边形的内角和θ＝（n﹣2）×180°． （1）甲同学说，θ能取900°；而乙同学说，θ也能取800°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由； （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了540°，用列方程的方法确定x． 【答案】（1）甲对，乙不对；（2）3 【分析】（1）首先根据题意列出方程，求解n的值，再根据n值是正整数，来确定是否从在. （2）根据题意列方程求解即可. 【详解】解：（1）甲对，乙不对，理由如下： ∵当θ取900°时，900°＝（n﹣2）×180°， 解得n＝7； 当θ取800°时，800°＝（n﹣2）×180°， 解得n＝； ∵n为整数， ∴θ不能取800°； 答：甲同学说的边数n是7； （2）依题意得， （n﹣2）×180°+540°＝（n+x﹣2）×180°， 解得x＝3． 故x的值为3． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和的计算,应当熟练的掌握. 21．用长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有四种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种场地的面积最大（可以利用计算器计算）？ 【答案】用48m长的篱笆围成一个圆形的绿化场地的面积最大． 【分析】分别求出围成正三角形，正方形，正六边形和圆的面积，然后进行比较即可． 【详解】解：①当围成一个正三角形时，边长为48÷3＝16(m)， ∴AC=BC=16m， ∴BD=8cm， ∴ 此时S正三角形＝×16×8＝64(m2)． ②当围成一个正方形时，边长为48÷4＝12(m)，此时S正方形＝12×12＝144(m2)． ③当围成一个正六边形时，边长为48÷6＝8(m)， ∴AB=8m， ∴AC=BC=4m， ∴ 此时S正六边形＝6××8×4＝96(m2)． ④当围成一个圆时，圆的半径为＝(m)，此时S圆＝π()2＝(m2)． 因为64<144<96<， 所以S圆最大． 答：用48m长的篱笆围成一个圆形的绿化场地的面积最大． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的相关知识，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 22．已知A、B两点，求作：过A、B两点的⊙O及⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不必写作法及证明．） 【答案】见解析 【详解】试题分析：根据题意可知作出以AB为直径的圆，且以AB的一半为半径的圆内接正六边形即可． 试题解析：如图所示：首先以AB为直径作圆，在以AB的一半为半径在圆上截取相等的弧，然后顺次连接六个等分点即可． 23．如图五边形ABCDE内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E． 求证：五边形ABCDE是正五边形 【答案】证明见解析. 【分析】根据同弧所对的圆周角相等，得出，利用等式的性质，两边同时减去，即可得到，根据同弧所对的弦相等，得出BC＝AE． 【详解】证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，∠A对着，∠B对着， ∴， ∴ ，即， ∴BC＝AE． 同理可证其余各边都相等， ∴五边形ABCDE是正五边形． 【点睛】此题考查了正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦等，利用同弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解答． 24．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF． （1）证明：∠E＝∠C； （2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数． 【答案】（1）详见解析；（2）110°． 【分析】（1）连接AD，利用直径所对的圆周角为直角，可得AD⊥BC，再根据CD＝BD，故AD垂直平分BC，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得：AB＝AC，再根据等边对等角和同弧所对的圆周角相等即可得到∠E＝∠C； （2）根据内接四边形的性质：四边形的外角等于它的内对角，可得∠CFD＝∠E＝55°，再利用外角的性质即可求出∠BDF. 【详解】（1）证明：连接AD，如图所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵CD＝BD， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠B＝∠E， ∴∠E＝∠C； （2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形， ∴∠AFD＝180°﹣∠E， ∵∠CFD＝180°﹣∠AFD， ∴∠CFD＝∠E＝55°， 由（1）得：∠E＝∠C＝55°， ∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝55°+55°＝110°． 【点睛】此题考查的是(1)直径所对的圆周角是直角、垂直平分线的性质和同弧所对的圆周角相等；（2）内接四边形的性质. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$