第16讲 相似多边形与图形的位似 （知识清单+11大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第16讲 相似多边形与图形的位似 （知识清单+11大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 相似多边形 题型二 相似图形 题型三 相似多边形的性质 题型四 求位似图形的对应坐标 题型五 位似图形的识别 题型六 判断位似中心 题型七 位似图形相关概念辨析 题型八 求两个位似图形的相似比 题型九 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型十一 在坐标系中画位似中心 知识清单 知识点1．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 知识点2．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　 （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　 　　 （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　 （4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点3．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点4．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型练习 【题型一】相似多边形 【例1】如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）对于“四边形相似的条件”，某数学学习小组得到如下4个命题： ①两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似； ②三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似； ③三边成比例及两夹角分别相等的两个四边形相似； ④四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似 共中所有真命题的序号是 3．矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 【题型二】相似图形 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，照片E放大到F这种图形变化是（   ） A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称 【举一反三】 1．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．任意两个矩形 B．任意两个正五边形 C．任意两个平行四边形 D．任意两个等腰三角形 2．如图，四边形四边形，，，则 ． 3．把图1的图形，加以放大后在图2中画出与它们相似的图形： 【题型三】相似多边形的性质 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知两个相似多边形的周长比为，它们的面积和为，则较小多边形的面积是(　　) A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）制作一块长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（    ） A．360元 B．720元 C．1080元 D．3240元 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将矩形对折后展开，得到矩形和矩形，记．若矩形与矩形相似，则 ． 3．（九年级上·浙江台州·阶段练习）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 【题型四】求位似图形的对应坐标 【例4】．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的对应边长放大2倍，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点的对应点的坐标为 3．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为．    (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)写出两点的坐标． 【题型五】位似图形的识别 【例5】将投影片的图案投影到屏幕上，这种图形的变换是（    ） A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换 【举一反三】 1．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A．B． C． D． 2．如图，四边形与四边形的对应边平行，是的中位线，若四边形的面积4，则四边形面积是 ．    3．如图，在网格图中的与是否成位似图形？说明理由．如果是，同时指出它们的位似中心． 【题型六】判断位似中心 【例6】下列图形中位似中心在图形上的是（　　） A．B． C． D． 【举一反三】 1．如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 3．（23-24九年级上·全国·期末）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标； (3)的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【题型七】位似图形相关概念辨析 【例7】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，与是位似图形，点是位似中心，若位似比，，则等于（     ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知：∽，下列图形中，与不存在位似关系的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点是四边形与的位似中心，则 ； ， ． 3．平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．    (1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号） (2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求； (3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：． 【题型八】求两个位似图形的相似比 【例8】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，与位似，位似中心为点O，，若的面积为9，则的面积为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为 ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，三个顶点坐标分别为、、． (1)如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______； (2)请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 【题型九】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【例9】（2023·浙江温州·三模）如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【举一反三】 1．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（    ） A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请你根据要求作图，要求保留作图痕迹． (1)以B为位似中心，在网格中作使得与位似比为． (2)以B为旋转中心，将顺时针旋转得到，作． 【题型十】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【例10】（23-24九年级上·浙江金华·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 2．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 3．如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形格点上．请在方格纸内画△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，相似比为2：1，且顶点都在格点上，并求出△A′B′C′的面积S． 【题型十一】在坐标系中画位似中心 【例11】如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点M B．点N C．点O D．点P 【举一反三】 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们的位似中心的坐标是（    ） A．（4，4） B．（4，3） C．（4，2） D．（3，4） 2．如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 ． 3．作图题：如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A＇B＇C＇是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）△A＇B＇C＇与△ABC的位似比是 ； （3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A＇B＇C＇关于点O中心对称的△A＂B＂C＂，并直接写出△A＂B＂C＂各顶点的坐标． 好题必刷 一、单选题 1．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（ ） A．16倍 B．8倍 C．4倍 D．2倍 2．下列说法中，不正确的是（    ） A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的等边三角形都相似 D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（    ） A．（﹣1，2） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1）或（3，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 4．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丙 6．如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（    ） A．4 B．6 C．9 D．16 7．如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 8．下列语句中，不正确的是（       ） A．位似的图形都是相似的图形 B．相似的图形都是位似的图形 C．位似图形的位似比等于相似比 D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部 9．如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（　　） A．2 B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图所示，点O是等边△PQR的中心，P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点，则△P＇Q＇R＇与△PQR是 ，点O是 ，相似比是 . 12．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是 ． 13．如图，四边形与四边形相似，位似中心点是O，，则 . 14．如图，与位似，位似中心为点O．已知，若的周长等于4，则的周长等于 ． 15．如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD （填“是”或“不是”）位似图形． 16．如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为 m． 三、解答题 17．如图，点、为梯形两腰的中点，问梯形与梯形相似吗？为什么？ 18．如图是一个的正方形网格和平面直角坐标系，网格的每个小正方形边长为l，顶点都为格点的三角形我们称作格点三角形．如图是格点三角形． (1)将绕点顺时针旋转90°，得到对应图形； (2)在网格中，以为位似中心，同侧将按2:1放大，对应得到，画出，直接写出点坐标． 19．如图，四边形和四边形位似，相似比，四边形和四边形位似，相似比.四边形和四边形是位似图形吗？相似比是多少？ 20．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为2：1，点C的对应点的坐标是________． (2)求的面积． 21．如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形的长宽比是多少？将这张纸如此再对折下去，得到的矩形都相似吗？ 22．如图，是由经过位似变换得到的 （1）求出与的相似比，并指出它们的位似中心； （2）是的位似图形吗？如果是，求相似比；如果不是说明理由； （3）如果相似比为，那么的位似图形是什么？ 23．画一画 （1）按指定对称轴画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形． （2）画出把图形向右平移6格，再向上平移1格后的图形． （3）画出把图形绕点逆时针旋转90°后的图形． （4）画出把图形按2：1的比放大后的图形． 24．如图，网格中小正方形的边长为1，与是位似图形. （1）在网格中建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，并写出点B的坐标； （2）以点A为位似中心，在网格中作，使和位似，且相似比为； （3）在（1）条件下，标出与的位似中心P，并求出点P的坐标及四边形ABCP的周长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 相似多边形与图形的位似 （知识清单+11大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 相似多边形 题型二 相似图形 题型三 相似多边形的性质 题型四 求位似图形的对应坐标 题型五 位似图形的识别 题型六 判断位似中心 题型七 位似图形相关概念辨析 题型八 求两个位似图形的相似比 题型九 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型十一 在坐标系中画位似中心 知识清单 知识点1．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 知识点2．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　 （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　 　　 （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　 （4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点3．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点4．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型练习 【题型一】相似多边形 【例1】如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似多边形 【分析】根据相似多边形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的判定，熟练掌握相似多边形的定义，是解题的关键． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）两个大小不一的五边形和五边形如图所示放置，点F在线段上，点H在线段上，对应连接并延长刚好交于一点O，则这两个五边形的关系是（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．不能确定 【答案】B 【知识点】相似多边形 【分析】根据相似多边形的定义即可解答． 【详解】解：∵两个大小不一的五边形和五边形对应边不成比例 ∴五边形和五边形一定不相似． 故选B． 【点睛】本题考查了相似多边形的定义，掌握对应边成比例的多边形是相似三角形成为解答本题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）对于“四边形相似的条件”，某数学学习小组得到如下4个命题： ①两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似； ②三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似； ③三边成比例及两夹角分别相等的两个四边形相似； ④四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似 共中所有真命题的序号是 【答案】③④/④③ 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查了相似四边形的判定，根据任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似；三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似；四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，逐项判断即可，熟练掌握四边形的判定方法是解此题的关键． 【详解】解：任意三个角相等，且这三个角所夹的三条边的长度对应成比例的两个四边形相似，故①说法错误，不符合题意； 三条边对应成比例，且这三条边的两个夹角对应相等的两个四边形相似，故②说法错误，不符合题意，③说法正确，符合题意； 四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似，故④说法正确，符合题意； 综上所述，真命题的序号是③④， 故答案为：③④． 3．矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 或，E刚好是边的两个黄金分割点 【知识点】相似多边形的性质、黄金分割、相似多边形 【分析】（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形矩形， ∴， 又∵， 可设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：假设存在矩形与矩形相似； 则必与对应，必与对应， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， 而， 依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形， 综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似； 且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 【题型二】相似图形 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，照片E放大到F这种图形变化是（   ） A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称 【答案】A 【知识点】相似图形 【分析】本题考查了相似图形的相关概念及性质，深刻理解相似的定义是解题的关键． 根据相似的定义并结合题意即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，照片放大到，二者形状相同，大小不同，属于图形的相似变换， 故选：． 【举一反三】 1．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（　　） A．任意两个矩形 B．任意两个正五边形 C．任意两个平行四边形 D．任意两个等腰三角形 【答案】B 【知识点】相似图形 【分析】根据题意，任意正多边形是相似图形，其余不是，据此分析即可． 【详解】A. 任意两个矩形，不一定相似，故该选项不正确，不符合题意； B. 任意两个正五边形，一定相似，故该选项正确，符合题意； C. 任意两个平行四边形，不一定相似，故该选项不正确，不符合题意； D. 任意两个等腰三角形，不一定相似，故该选项不正确，不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了相似图形的判定，理解任意正多边形是相似图形是解题的关键． 2．如图，四边形四边形，，，则 ． 【答案】 【知识点】相似图形 【分析】利用相似图形的性质即可求. 【详解】∵四边形四边形 ∴∠A=∠E，∠D=∠H ∵ ∴∠E=∠H=100° ∵ ∴∠F=360°-∠E-∠H-∠G=95° 故答案为95°. 【点睛】本题考查的知识点是相似图形的性质，解题关键是熟记相似图形对应角相等. 3．把图1的图形，加以放大后在图2中画出与它们相似的图形： 【答案】见解析. 【知识点】相似图形 【分析】直接利用相似图形的性质画出形状相同的图形即可． 【详解】解：如图2所示，即为所求． 【点睛】本题考查相似变换，正确利用相似图形的定义分析是解题关键． 【题型三】相似多边形的性质 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知两个相似多边形的周长比为，它们的面积和为，则较小多边形的面积是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质可知，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，据此即可求解 【详解】解：∵两个相似多边形的周长比为， ∴两个相似多边形的面积比为， ∵两个相似多边形的面积和为， ∴较小多边形的面积是． 故选：A． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）制作一块长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（    ） A．360元 B．720元 C．1080元 D．3240元 【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据题意，首先求出原来广告牌的面积，即可求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，然后用其乘以每平方米的成本，即可得到所求结果． 【详解】解：，制作一块长方形广告牌的成本是120元， ∴长方形广告牌的成本是元/， 将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍， 则面积扩大为原来的9倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积， ∴扩大后长方形广告牌的成本是元． 选：C． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将矩形对折后展开，得到矩形和矩形，记．若矩形与矩形相似，则 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的对应边成比例，列式计算即可． 【详解】解：∵对折， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍掉）； 故答案为：． 3．某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点： 观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似． 观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似． 请回答下列问题： （1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由． （2）如图3，已知，AC=6，BC=8，AB=10，将按图3的方式向外扩张，得到，它们对应的边间距都为1，DE=15，求的面积． 【答案】（1）观点一正确；观点二不正确；理由见解析；（2）54 【知识点】相似多边形的性质 【分析】（1）根据相似三角形以及相似多边形的判定定理来判定两个观点是否正确； （2）首先根据勾股定理的逆定理求出∠C是直角，根据相似三角形的性质可求出△DEF的边长，进而求出△DEF的面积． 【详解】解：（1）观点一正确；观点二不正确． 理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O， ∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1， ∴AB//DE，AC//DF， ∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB， ∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB， 即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC， ∴△ABC∽△DEF， ∴观点一正确； ②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10， 则新矩形邻边为4和8， ∵，， ∴， ∴新矩形于原矩形不相似， ∴观点二不正确； （2）∵AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB=90°， 由（1）知△ABC∽△DEF， ∴∠DFE=90°，， ∴，， ∴DF＝9，EF＝12， ∴△DEF的面积为：9×12＝54． 【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，矩形的性质，平行线的判定，主要涉及到相似三角形以及相似多边形的判定，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键． 【题型四】求位似图形的对应坐标 【例4】．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的对应边长放大2倍，则点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解题关键． 根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案． 【详解】解：∵，把的对应边长放大2倍， ∴点的坐标是：或， 即或． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍，则放大后点的对应点的坐标为 【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查了坐标与位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．据此求解即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，以坐标原点为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍， ∴放大后点的对应点的坐标为或，即或， 故答案为：或． 3．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为．    (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧，画出的位似图形，使它与的相似比为； (2)写出两点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)A1（6，﹣2），B1（4，2） 【知识点】在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】（1）根据位似图形的定义作出点A、B、C在原点的另一侧的对应点，再依次连接即可； （2）根据画出的图直接写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示为所求． （2）解：由图可知． 【点睛】本题考查了作图—位似变换和求位似图形对应点坐标，熟练掌握位似图形的定义是解题的关键． 【题型五】位似图形的识别 【例5】将投影片的图案投影到屏幕上，这种图形的变换是（    ） A．平移变换 B．旋转变换 C．轴对称变换 D．相似变换 【答案】D 【分析】根据平行投影的性质求解可得． 【详解】解：将投影片的图案投影到屏幕上，这种图形变换是相似变换， 故选D． 【点睛】此题主要考查几何变换的类型，解题的关键是掌握平行投影的性质． 【举一反三】 1．下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 2．如图，四边形与四边形的对应边平行，是的中位线，若四边形的面积4，则四边形面积是 ．    【答案】16 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、位似图形的识别 【分析】根据位似图形的判定可得四边形与四边形是以点P为位似中心的位似图形，然后根据位似图形的性质可得，然后根据三角形中位线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形与四边形的对应边平行， ∴四边形与四边形是以点P为位似中心的位似图形 ∴ ∵是的中位线，若四边形的面积4， ∴EH=2AD ∴ 解得： 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是位似图形的判定及性质和三角形中位线的性质，掌握位似图形的判定及性质和三角形中位线的性质是解决此题的关键． 3．如图，在网格图中的与是否成位似图形？说明理由．如果是，同时指出它们的位似中心． 【答案】是位似图形，位似中心为P，理由见解析 【知识点】判断位似中心、位似图形的识别 【分析】本题考查的是位似图形的判定，由题中的图形可以看出，进而可得位似中心，即可得其为位似图形． 【详解】解：在网格图中的与是位似图形，位似中心为P． 理由：∵，， ∴， 又其每组对应点所在的直线都经过同一个点P， 所以其为位似图形． 【题型六】判断位似中心 【例6】下列图形中位似中心在图形上的是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断位似中心 【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可． 【详解】A、 ，位似中点在图形内部，不合题意； B、 ，位似中点在图形上，符合题意； C、 ，位似中点在图形外部，不合题意； D、 ，位似中点在图形外部，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 【举一反三】 1．如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】判断位似中心 【分析】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案． 【详解】解：∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心． ∴它们的位似中心是． 故选：A． 【点睛】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键． 2．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（9，0） 【知识点】判断位似中心 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心． 3．（23-24九年级上·全国·期末）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置，并写出点及点的对应点的坐标； (2)以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点的对应点的坐标； (3)的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析，， (2)见解析， (3)点 【知识点】求位似图形的对应坐标、判断位似中心、在坐标系中画位似图形 【分析】本题主要考查了利用位似变换作图等知识，熟练掌握位似变换的性质准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）连接并延长与的延长线相交，交点即为位似中心，再根据平面直角坐标系写出点和的坐标； （2）延长到，使，延长到，使，连接，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （3）根据位似比是2写出即可． 【详解】（1）解：位似中心如图所示， 由图可知，，； （2）如图所示， 由图可知，； （3）根据题意，的内部一点的坐标为，与的位似比为， 所以，点． 【题型七】位似图形相关概念辨析 【例7】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，与是位似图形，点是位似中心，若位似比，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由与是位似图形可得，进而得到相似比为，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：与是位似图形，点是位似中心， ∴， ∵位似比为， ∴相似比为， ∴， 即， ∴， 故选：． 【举一反三】 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知：∽，下列图形中，与不存在位似关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合、位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A、与是位似关系，故此选项不合题意； B、与是位似关系，故此选项不合题意； C、与是位似关系，故此选项不合题意； D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意； 故选：D． 2．如图，点是四边形与的位似中心，则 ； ， ． 【答案】 【知识点】位似图形相关概念辨析 【分析】位似是特殊的相似，因而对应边的比相等，对应角相等． 【详解】解：点O是四边形与的位似中心，则这两个图形相似，因而对应边的比相等，对应角相等， 因而，，， 故答案为：；；；；． 【点睛】本题主要考查了位似的定义，掌握定义是解决此题的关键． 3．平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图1，先将以点A为位似中心缩小，得到，再将沿过点A的直线l翻折，得到，则和成自位似轴对称．    (1)如图2，在中，，垂足为D．下列3对三角形：①；②；③．其中成自位似轴对称的是________；（填写所有符合要求的序号） (2)在（1）答案最大序号图形中，，设自位似轴对称变换的对称轴与交于点E，求； (3)如图4，在中，D是的中点，E为内一点，，连接，求证：． 【答案】(1)①②； (2)； (3)证明见解析 【知识点】位似图形相关概念辨析、其他问题(轴对称综合题)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用自位似轴对称概念，确定两个三角形成立的两个条件，①共顶点②其中一个三角形做轴对称前后三角形位似． （2）如图，根据轴对称性质得出，再证得，根据对应边成比例，算出结果． （3）延长，交于F，得出，利用三角形的外角定理得出，两次相似得出对应线段成比例，再根据三角形中位线定理得出答案． 【详解】（1）解：如图1，    故答案为：①② （2）解：由题可知，， 为对称轴所在直线，    是公共角，， ， ， ． ，， ， ， ． ， ． 将代入得 ， 解得． （3）证明：如图4，    延长，交于F， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵点D是的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查了位似、轴对称的性质、相似三角形等知识，其中对轴对称的性质的理解是解题的关键，相似三角形对应边成比例是易错点． 【题型八】求两个位似图形的相似比 【例8】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，与位似，位似中心为点O，，若的面积为9，则的面积为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了图形位似的性质，熟练掌握图形位似的性质是解题的关键．根据位似图形的面积比等于位似比的平方列出方程，即可求得答案． 【详解】解：与位似， ， ，的面积为9， ， 解得． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似的性质．根据题意利用题干可知，继而得到本题答案． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴和相似， ∵， ∴， ∴与的相似比是：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为．则四边形的周长为 ． 【答案】50 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据位似图形的周长比等于相似比（位似比）可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为； 故答案为． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，三个顶点坐标分别为、、． (1)如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心______；和位似比为______； (2)请在平面直角坐标系中画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 【答案】(1)点；． (2)答案见解析． 【知识点】求两个位似图形的相似比、在坐标系中画位似图形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． （1）由位似变换定义∶位似中心为对应顶点连线所在直线的交点，可确定位似中心．有对应边长比可求出和位似比； （2）位似变换有两种∶正向位似，反向位似．题给为反向位似，还存在满足（1）中条件的正向位似，即位似中心，画出另一个位似变换得到的． 【详解】（1）解：作图连接，，交与点， 故位似中心为点． 和位似 位似比为对应边长之比，即和位似比． 由勾股定理得∶，． 故位似比． 故答案为：点，． （2）解：画出满足（1）中条件的另一个位似变换得到的． 位似中心点，与位似比为，绘图如图（连接，，．取其中点为，，，连接得到） 【题型九】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【例9】（2023·浙江温州·三模）如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、求两个位似图形的相似比 【分析】先由可得，再由矩形与矩形位似可得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形与矩形位似， ∴ ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到是解答本题的关键． 【举一反三】 1．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（    ） A．D点 B．E点 C．D点或G点 D．D点或 F点 【答案】C 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】结合题意，根据位似图形的性质分析，即可得到答案． 【详解】如图，连接AO并延长于点G 根据题意，得： 以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的 当△ABC缩小后，在位似中心同侧时，点A的对应点为点D 当△ABC缩小后，在位似中心异侧时，点A的对应点为点G 故选：C． 【点睛】本题考查了位似的知识，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质，从而完成求解． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为 ． 【答案】（﹣，）． 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【详解】试题分析：∵在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍， ∴矩形A1OC1B1与矩形AOCB是位似图形，点B与点B1是对应点， ∵OA=2，OC=1． ∵点B的坐标为（﹣2，1）， ∴点B1的坐标为（﹣2×，1×）， ∵将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2…， ∴B2（﹣2××，1××）， ∴Bn（﹣2×，1×）， ∵矩形AnOCnBn的对角线交点（﹣2××，1××），即（﹣，）， 考点：位似变换；坐标与图形性质；规律探究题． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请你根据要求作图，要求保留作图痕迹． (1)以B为位似中心，在网格中作使得与位似比为． (2)以B为旋转中心，将顺时针旋转得到，作． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【知识点】画旋转图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了画位似图形和旋转图形，熟练掌握位似图形和旋转图形的画法是解题关键． （1）结合网格特点找出的中点，再连接即可得； （2）先根据旋转的定义画出点，再顺次连接点即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所作． ． （2）解：如图，即为所作． ． 【题型十】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【例10】（23-24九年级上·浙江金华·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据与是位似图形，以及A和D的坐标，求出与的相似比为，即可求出与的周长之比． 【详解】∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∵，， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比是． 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长9， 故选：C． 2．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 【答案】/0.25 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形面积比等于相似比的平方成为解题的关键． 由题意可得根据位似图形面积比等于相似比的平方直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴． 故答案为：． 3．如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形格点上．请在方格纸内画△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，相似比为2：1，且顶点都在格点上，并求出△A′B′C′的面积S． 【答案】16 【知识点】在坐标系中画位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】以点B为位似中心，根据位似变换的定义作出点A、C变换后的对应点A′、C′，再顺次连接即可得，继而根据三角形的面积公式计算可得． 【详解】如图所示，△A′B′C′即为所求， S△A′B′C′=×4×8=16． 【点睛】本题主要考查作图-位似变换，解题的关键是根据位似变换的定义选准位似中心，并作出点A、C变换后的对应点． 【题型十一】在坐标系中画位似中心 【例11】如图，在直角坐标系中，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点M B．点N C．点O D．点P 【答案】D 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】连接，交于点P，根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接，交于点P， 则点P为位似中心， 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 【举一反三】 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们的位似中心的坐标是（    ） A．（4，4） B．（4，3） C．（4，2） D．（3，4） 【答案】C 【知识点】在坐标系中画位似中心 【分析】分别连接OA、DB、EC，其所在直线交于点G（4,2），即可得到答案． 【详解】 如图，分别连接OA、DB、EC，其所在直线交于点G（4,2） 则点G为所求的位似中心 故选：C． 【点睛】本题考查了确定位似中心，即延长对应点的连线，其交点即为位似中心，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．如图，平面直角坐标系中有正方形和正方形，若点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 ． 【答案】 或 【知识点】一次函数与几何综合、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似中心 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是点和是对应顶点，和是对应顶点；另一种是点和是对应顶点，和是对应顶点． 【详解】解：∵平面直角坐标系中有正方形和正方形，点和点的坐标分别为，， ∴，，， （1）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 如图所示：连接，交轴于点， 点即为两个正方形的位似中心， 设所在直线解析式为：，把，代入得： 故， 解得：， 故； 当时，即，解得，即点坐标为，， 两个正方形的位似中心的坐标是：，． （2）当点和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 如图所示：连接，，，并延长交于点， 设所在直线解析式为：，把，代入得： 故， 解得：， 故； 设所在直线解析式为：，把，代入得： ， 故， 联立直线BH、AG得方程组： ， 解得：， 故， 综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：，或． 故答案为：，或． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及函数交点求法以及位似变化中对应点的连线一定经过位似中心．注意：本题应分两种情况讨论．根据点的对应关系利用一次函数求直线的交点是解题关键． 3．作图题：如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A＇B＇C＇是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心点O； （2）△A＇B＇C＇与△ABC的位似比是 ； （3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A＇B＇C＇关于点O中心对称的△A＂B＂C＂，并直接写出△A＂B＂C＂各顶点的坐标． 【答案】（1）画图见解析；（2）1:2；（3）画图见解析；A＂（6,0），B＂（3，-2），C＂（4，-4） 【知识点】在坐标系中画位似图形、在坐标系中画位似中心 【分析】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O； （2）由OB=2OB′，即可得出△A′B′C′与△ABC的位似比为1：2； （3），连接B′O并延长，使OB″=OB′，延长A′O并延长，使OA″=OA′，C′O并延长，使OC″=OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C″各顶点的坐标． 【详解】解：（1）图中点O为所求； （2）△A′B′C′与△ABC的位似比等于1：2； 故答案为：1：2； （3）△A″B″C″为所求； A″（6，0）；B″（3，-2）； C″（4，-4）． 【点睛】此题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 好题必刷 一、单选题 1．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（ ） A．16倍 B．8倍 C．4倍 D．2倍 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式：s=a2，和积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，由此解答． 【详解】解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4=16倍． 故选A． 【点睛】此题考查相似图形问题，解答此题主要根据正方形的面积的计算方法和积的变化规律解决问题． 2．下列说法中，不正确的是（    ） A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的等边三角形都相似 D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似 【答案】A 【分析】根据相似多边形的定义，即可得到答案. 【详解】解：A、所有的菱形都相似，错误； B、所有的正方形都相似，正确； C、所有的等边三角形都相似，正确； D、有一个角是100°的两个等腰三角形相似，正确； 故选：A. 【点睛】本题考查了相似多边形的定义，熟练掌握相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例是解题的关键. 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（    ） A．（﹣1，2） B．（﹣3，1） C．（﹣3，﹣1）或（3，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,据此求解即可得． 【详解】解：以原点O为位似中心，相似比为，把△AOB缩小，点B的坐标为则点B的对应点B'的坐标为或，即或 故选：C． 【点睛】题目主要考查位似变换的性质，理解运用其性质是解题关键． 4．如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．连接，并延长与延长线相交，交点坐标即为位似中心的坐标． 【详解】解：如图，连接，并延长与延长线相交，交点即为位似中心， 由图可知，位似中心的坐标为， 故选：B． 5．如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丙 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可，正确理解相似图形的概念是解题的关键． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形， 故选：． 6．如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（    ） A．4 B．6 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为4， ∴4：x=2：3， 解得：x=6， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 7．如图，与是位似图形，点是位似中心，若的面积为4，且，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形相的面积之比等于位似之比的平方是解题关键． 先说明与位似比，然后再根据位似图形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形 ∴位似比是 ∴，即， ∵的面积为4， ∴． 故选C． 8．下列语句中，不正确的是（       ） A．位似的图形都是相似的图形 B．相似的图形都是位似的图形 C．位似图形的位似比等于相似比 D．位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部 【答案】B 【分析】利用位似图形的性质分别判断得出即可． 【详解】A、位似的图形都是相似的图形，正确，不合题意； B、相似的图形不一定是位似的图形，错误，符合题意； C、位似图形的位似比等于相似比，正确，不合题意； D、位似中心可以在两个图形外部，也可以在两个图形内部，正确，不合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确掌握位似图形的相关性质是解题关键． 9．如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质和对称的性质得到AD=BC和，再根据相似的性质可得到，继而可得到 的值． 【详解】解：∵ABCD是矩形， ∴AD=BC， ∵矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F， ∴ ， ∵矩形AEFD与矩形ABCD相似， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、相似多边形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 10．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，按照此规律作下去，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，根据矩形的性质求出，利用相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律即可求解，根据相似多边形的性质找出矩形对角线的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， 矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线， ∴， 故选：． 二、填空题 11．如图所示，点O是等边△PQR的中心，P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点，则△P＇Q＇R＇与△PQR是 ，点O是 ，相似比是 . 【答案】 位似图形 位似中心 1∶2 【分析】位似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心； 观察图形可知，对应点的连线交于同一点O， 因而找出位似中心；利用P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，可求出相似比是P′Q′:PQ. 【详解】∵P，Q＇，R＇分别是OP、OQ、OR的中点， ∴P＇Q＇∥PQ， Q＇R＇∥QR， P＇R＇∥PR， ∴△P＇Q＇R＇与△PQR是位似图形； ∵各对应点的连线交于点O，那么位似中心为点O； ∴点O是位似中心； ∵△P′Q′R′与△PQR是位似三角形， ∴△P′Q′R′∽△PQR， ∴相似比等于P′Q′:PQ. ∵P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点， ∴P′Q′=PQ，P′Q′:PQ=1∶2. ∴△P′Q′R′与△PQR的相似比为1∶2. 故答案为  位似图形；     位似中心 ；    1∶2 . 【点睛】本题考查位似图形的相关知识，解题的关键是掌握位似图形的定义和性质. 12．如图，与位似，点O为位似中心，位似比为．若的周长为4，则的周长是 ． 【答案】6 【分析】根据周长之比等于位似比计算即可． 【详解】设的周长是x， ∵ 与位似，相似比为，的周长为4， ∴， 解得：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键． 13．如图，四边形与四边形相似，位似中心点是O，，则 . 【答案】 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC， ∴， ∴． 故答案为 14．如图，与位似，位似中心为点O．已知，若的周长等于4，则的周长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】∵与位似， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长：的周长， ∵的周长等于4， ∴的周长， 故答案为：12． 15．如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD （填“是”或“不是”）位似图形． 【答案】是 【详解】由已知易得：AF:AD=AP:AC=AE:AB， ∴PF∥CD，PE∥BC， ∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC， ∴四边形AEPF∽四边形ABCD， ∴根据位似图形的定义：“两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在同一直线上，则这两个图形叫位似图形”可知：四边形AEPF和四边形ABCD是位似图形. 即答案为：“是”. 16．如图，一个矩形广场的长为90m，宽为60m，广场内有两横，两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，如果两条横向小路的宽均为1.2m，那么每条纵向小路的宽为 m． 【答案】1.8 【分析】根据两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形列出比例式解答即可． 【详解】解：设每条纵向小路的宽为xm，则小路内缘所围成的矩形的长为（90-2x）m，宽为（60-2.4）m， ∵小路内外边缘所围成的两个矩形相似， ∴， 解得，x＝1.8， 故答案为：1.8 【点睛】题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键． 三、解答题 17．如图，点、为梯形两腰的中点，问梯形与梯形相似吗？为什么？ 【答案】梯形与梯形不相似，理由详见解析. 【分析】根据相似多边形的定义，对应角相等，对应边成比例进行判断即可. 【详解】∵在梯形中，点、分别为两腰中点， ∴． ∴，，，． 而，，， ∴梯形与梯形不相似． 【点睛】本题考查相似多边形的判定，熟记相似多边形的定义是关键. 18．如图是一个的正方形网格和平面直角坐标系，网格的每个小正方形边长为l，顶点都为格点的三角形我们称作格点三角形．如图是格点三角形． (1)将绕点顺时针旋转90°，得到对应图形； (2)在网格中，以为位似中心，同侧将按2:1放大，对应得到，画出，直接写出点坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，点C2坐标为 【分析】（1）将线段AB、AC分别绕点A顺时针旋转90°，然后连接成线，得到对应图形． （2）根据位似比将线段AB、BC进行同侧放大，进而连接成线即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：如图所示 由图可知点C2的坐标为 【点睛】本题考查了旋转图形以及位似图形，能够根据变换规则画出对应后的图形是解决本题的关键． 19．如图，四边形和四边形位似，相似比，四边形和四边形位似，相似比.四边形和四边形是位似图形吗？相似比是多少？ 【答案】四边形和四边形是位似图形，相似比是 【分析】根据图形位似的性质得到四边形四边形，.根据位似的传递性得到四边形四边形.再结合题意由相似图形的性质得到.最终得到答案. 【详解】∵四边形和四边形位似，相似比， ∴四边形四边形，. ∵四边形和四边形位似， 相似比， ∴四边形四边形， . ∴四边形四边形. 又∵，，，相交于点O， ∴四边形与四边形位似. ∵，， ∴. ∴四边形和四边形是位似图形，相似比是. 【点睛】本题考查位似图形的判定和性质，解题的关键是掌握位似比等于相似比. 20．在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为2：1，点C的对应点的坐标是________． (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析， (2)10 【分析】本题考查了三角形的相似，作位似图形，求网格中图形的面积； （1）按要求作出符合条件的位似图即可，根据作出的图形即可写出顶点的坐标； （2）利用割补法即可求得三角形的面积． 【详解】（1）解：所画的位似图形如下： 点的坐标是， 故答案为：； （2）解：． 21．如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形的长宽比是多少？将这张纸如此再对折下去，得到的矩形都相似吗？ 【答案】原来矩形的长与宽的比为．再折下去，得到的矩形都相似 【分析】根据矩形相似的性质判断即可； 【详解】解：如图， 设矩形的长为a，宽为b， ∵矩形相似，对应边的比相等得：， 即，则， ∴， ∴原来矩形的长与宽的比为，再折下去，得到的矩形都相似． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似多边形的性质，准确分析计算是解题的关键． 22．如图，是由经过位似变换得到的 （1）求出与的相似比，并指出它们的位似中心； （2）是的位似图形吗？如果是，求相似比；如果不是说明理由； （3）如果相似比为，那么的位似图形是什么？ 【答案】；它们的位似中心是；（2）是的位似图形，相似比为；（3）如果相似比为，那么的位似图形是． 【分析】（1）根据三角形对应边的关系得出相似之比以及利用图形得出位似中心即可； （2）利用位似图形的性质得出相似之比即可； （3）利用位似图形的性质以及相似之比即可得出位似图形． 【详解】与的相似比为：；它们的位似中心是； （2）是的位似图形， 相似比为：； （3）如果相似比为，那么的位似图形是． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形对应边之间的关系得出是解题关键． 23．画一画 （1）按指定对称轴画出图形的另一半，使它成为一个轴对称图形． （2）画出把图形向右平移6格，再向上平移1格后的图形． （3）画出把图形绕点逆时针旋转90°后的图形． （4）画出把图形按2：1的比放大后的图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出图形A的对称点，依次连结即可得到图A的轴对称图形A′． （2）根据平移图形的特征，把图B的各顶点分别向右平移6格再向上平移1格，再依次连结各点即可得到图形B向右平移6格，再向上平移1格后的图形B′． （3）根据旋转图形的特征，图形C绕O点逆时针旋转90°后，O点的位置不动，其余各部分均绕O点按相同的方向旋转相同的度数即可画出图形C绕O点逆时针旋转90°后的图形C′． （4）根据图形放大与缩小的意义，把图形D的各边放大到原来的2倍，即可画出图形D按2：1的比放大后的图形D′． 【详解】（1）图形A的轴对称图形A′如图所示： （2）图形B的平移图形B′如图所示： （3）图形C的旋转图形C′如图所示： （4）图形D的放大图形D′如图所示． 【点睛】本题是考查了作轴对称图形、平移后的图形、旋转一定角度后的图形、放大后的图形．作这些图形，关键确定对称点（对应点）的位置；图形的放大与缩小是指对应边放大或缩小的倍数． 24．如图，网格中小正方形的边长为1，与是位似图形. （1）在网格中建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为，点的坐标为，并写出点B的坐标； （2）以点A为位似中心，在网格中作，使和位似，且相似比为； （3）在（1）条件下，标出与的位似中心P，并求出点P的坐标及四边形ABCP的周长. 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】（1）根据点A的坐标为，点的坐标为建立平面直角坐标系，即可得出B点坐标即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用位似图形的性质得出对应点交点即可位似中心，再利用勾股定理得出四边形ABCP的周长． 【详解】（1）建立平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为. （2）如图所示，即所求作的三角形； （3）如图所示，点P即所求，点P的坐标为，四边形ABCP的周长为 . 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，位似变换以及勾股定理，正确利用位似图形的性质分析是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$