吉林省“BEST合作体”2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

吉林省“BEST 合作体”期末考试 高二数学试题 第 1 页 共 2 页 吉林省“BEST 合作体”2024-2025 学年度下学期期末考试 高二数学试题 本试卷分客观题和主观题两部分，共 19 题，共 150 分，共 2 页。考试时间为 120 分钟。考试 结束后，只交答题卡。 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分） 1．设集合  { | ln 1 }A x y x   ， 3{ Z | 2 2}B x x     ，则 A B  （ ） A． [0,1] B．(0,1) C．{0} D．{0,1} 2．在等差数列 na 中， nS 为其前 n项的和，若 4 86, 20S S  ，则 12S 为（ ） A．42 B．48 C．60 D．72 3．已知函数   , 0, , 0, a x x xf x a x      且  16 2f  ，则  1f  （ ）. A． 12 B． 1 4 C．2 D．4 4．已知函数  f x 的导函数是  f x ，若     2π cosf x f x x  ，则 π4f       （ ） A． 2 2  B．0 C． 12 D． 2 2 5．若   1 2 2 2 1 1log , 0 , 2 2 2 a b ca b b c               ，则 , ,a b c的大小关系是（ ） A． a c b  B． c a b  C． c b a  D．b c a  6．若函数       1x x a f x x    为奇函数，则实数 a （ ） A．1 B． 1 C．2 D． 2 7．设数列 na 的通项公式为 2 2na n kn   ，则“ 2k   ”是“数列 na 为单调递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若 ( )f x 是奇函数，且 0x 是函数 ( ) exy f x ＝ 的一个零点，则 0x 一定是下列哪个函数的零 点（ ） A． ( )e 1xy f x    B． ( )e xy f x  1 C． ( )e 1xy f x  D． ( )e 1xy f x  二、多选题（本题共 3小题，每小题 6 分，共 18 分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得 0 分） 9．如图为函数  f x 的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A．  f x 在 1x  处取得极大值 B． 1x   是  f x 的极小值点 C．  f x 在  2, 4 上单调递减，在  1,2 上单调递增 D． 2x  是  f x 的极小值点 10．下列说法中正确的为（ ） A．集合  2| 2 0,A x ax x a x R     ，若集合A有且仅有 2个子集，则 a的值为 1 B．若不等式 2 6 8 0kx kx k    的解集为 R，则 k的取值范围为 0≤k≤1 C．设集合 {1,2}M  ，  2N a ，则“ 1a  ”是“ N M ”的充分不必要条件 D．若正实数 x， y，满足 2 1x y  ，则 2 1 8 x y   11．数列 na 的前 n项和为 nS ，则下列说法不正确的是（ ） A．若 2 13na n   ，则数列 na 的前5项和 5S 最大 B．若等比数列 na 是递减数列，则公比 q满足0 1q  C．已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 2025 0S  ，则 1013 0a  D．已知 na 为等差数列，则数列 n S n       也是等差数列 吉林省“BEST 合作体”期末考试 高二数学试题 第 2 页 共 2 页 第Ⅱ卷 主观题 三、填空题（本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．若数列 na 满足 1 1n n a n   ，则数列 na 前 15项的和 15S  ． 13．已知  y f x 是定义在R 上的奇函数，当 0x  时， 2( ) 4f x x x  ，则 0x  时， ( )f x 的解析 式为 ． 14.设函数     ln , 0 e 1 , 0x x x f x x x      ，若函数  f x 的图象与直线 y b 有三个交点，则实数 b的取值范 围是 ． 四、解答题（本题共 5 道题，共 77 分） 15．（本题 13分）已知函数   3 2 1   f x ax bx cx 在 1x  处有极值，其图象经过点  2,3 ，且  0 1f    ． （1）求函数  f x 的解析式；（7分） （2）求函数  f x 在 1x   处的切线方程．（6分） 16．（本题 15分）如图，设矩形  ABCD AB AD 的周长为 24cm，把△ABC沿 AC向 ADC△ 折叠， AB折过去后交DC于点 P，设 cmAB x ，设 ADP△ 面积为 y （1）求 y关于 x的函数；（8分） （2）求 ADP△ 面积的最大值以及所对应的 x值．（7分） 17．（本题 15分）已知数列{ }na 满足 1 13, 3 3 ( *) n n na a a n N    ，数列{ }nb 满足 3 n n nb a  . （1）求证：数列{ }nb 是等差数列；（5分） （2）设 31 2 3 4 5 2 n n a aa aS n        ，求满足不等式 2 1 1 128 4 n n S S   的所有正整数 n的值. （10分） 18．（本题 17分）已知函数   22 lnf x x a x x    ， aR ． (1)若函数  f x 在区间 1, 内单调递增，求实数 a的取值范围；（7分） (2)记函数    2 2 2g x x f x x     ，若  g x 的最小值是 6 ，求 a的值．（10分） 19．（本题 17分）设 na 是等差数列， nb 是各项都为正整数的等比数列，且 1 1 1a b  ， 13 2 50a b  ， 8 2 3 4 5a b a a    ， N*n . (1)求 na ， nb 的通项公式；（5分） (2)若数列 nd 满足 2 18 log 1 1 2 nb n nd d          ， N*n ，且 1 16d  ，试求 nd 的通项公式；（6分） (3)若   2 1 , 3 , 1 1 2 2 n n n n n n a d n bc n b b               为奇数 为偶数，求数列 nc 的前 2n项和 2nS .（6分） 吉林省“BEST合作体”2024-2025学年度下学期期末考试 高二数学试题答案及评分标准 1、 单选题 1．D 2．A 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．C 二、多选题 9．BC 10．BCD 11．AB 3、 填空题 12．3 13． 14. 四、解答题 15．解：（1）因为，所以，............1分 因为函数在处有极值，其图象经过点，且， 所以，............4分 解得，此时，满足在处有极值，............6分 所以............7分 （2） 由（1）知， 所以，，............10分 所以函数在处的切线方程为，即............13分 16．解：（1）设，，， 即.， ，解得 ，............4分 ， ，............7分 即，.............8分 （2）由（1）知，.所以， 当且仅当，即时，等号成立.............14分 故面积的最大值为，此时.............15分 17．解：（1）证明：由bn=3-nan得an=3nbn，则an+1=3n+1bn+1．............2分 代入an+1﹣3an=3n中，得3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n，即得．............4分 所以数列{bn}是等差数列．............5分 （2）因为数列{bn}是首项为b1=3-1a1=1，公差为的等差数列，则............7分 则an=3nbn=（n+2）×3n-1．从而有．............9分 故=1+3+…+3n-1=............11分 则，由得.............13分 即3＜3n＜127，得1＜n≤4．............14分 故满足不等式的所有正整数n的值为2，3，4．............15分 18．解：（1）因为，则，............1分 由题意知在区间内恒成立，所以，在区间内恒成立...........2分 令，，因为恒成立， 所以在区间内单调递减，............4分 所以，所以，............6分 即实数的取值范围为．............7分 （2），其中．因为，............8分 ①当时，对任意的恒成立， 所以在区间内单调递增，此时，无最小值，不合题意；............10分 ②当时，令，则或（舍去）， 当时，；当时，. 所以，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增， 则是函数的极小值点，也是最小值点，............14分 所以，解得，合乎题意.............16分 综上所述，.............17分 19．解：（1）设的公差为，的公比为，则依题意有， 因为，，，............1分 所以，解得或．............3分 由于是各项都为正整数的等比数列，所以.............4分 所以，. 所以的通项公式为，的通项公式为.............5分 （2）因为，所以，所以，， 两式相除：，............6分 由，，得. 所以是以为首项，以为公比的等比数列； 是以为首项，以为公比的等比数列.............8分 所以当为奇数时，，............9分 当为偶数时，............10分 所以的通项公式.............11分 （3）因为，所以............12分 当n为奇数时，，错位相减得，............13分 当n为偶数时，，裂项相消得，............15分∴．............17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吉林省“BEST合作体”2024-2025学年度下学期期末考试 高二数学试题 本试卷分客观题和主观题两部分，共19题，共150分，共2页。考试时间为120分钟。考试结束后，只交答题卡。 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，为其前项的和，若，则为（    ） A．42 B．48 C．60 D．72 3．已知函数且，则（    ）. A． B． C．2 D．4 4．已知函数的导函数是，若，则（    ） A． B．0 C． D． 5．若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．若函数为奇函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 7．设数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若是奇函数，且是函数的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（　　） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分） 9．如图为函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．是的极小值点 C．在上单调递减，在上单调递增 D．是的极小值点 10．下列说法中正确的为（    ） A．集合，若集合有且仅有2个子集，则的值为 B．若不等式的解集为，则的取值范围为0≤k≤1 C．设集合，，则“”是“”的充分不必要条件 D．若正实数，，满足，则 11．数列的前项和为，则下列说法不正确的是（ ） A．若，则数列的前项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 第Ⅱ卷 主观题 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若数列满足，则数列前15项的和 ． 13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为 ． 14.设函数，若函数的图象与直线有三个交点，则实数b的取值范围是 ． 四、解答题（本题共5道题，共77分） 15．（本题13分）已知函数在处有极值，其图象经过点，且． （1）求函数的解析式；（7分） （2）求函数在处的切线方程．（6分） 16．（本题15分）如图，设矩形的周长为，把△ABC沿向折叠，折过去后交于点，设，设面积为 （1） 求关于的函数；（8分） （2）求面积的最大值以及所对应的值．（7分） 17．（本题15分）已知数列满足，数列满足. （1）求证：数列是等差数列；（5分） （2）设，求满足不等式的所有正整数的值. （10分） 18．（本题17分）已知函数，． (1)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；（7分） (2)记函数，若的最小值是，求的值．（10分） 19．（本题17分）设是等差数列，是各项都为正整数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式；（5分） (2)若数列满足，，且，试求的通项公式；（6分） (3)若，求数列的前项和.（6分） 吉林省“BEST合作体”期末考试 高二数学试题 第1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$吉林省8ET合作体”2024-2025学年度下学期期末考试 离二数学答题卡 姓名 条得粘是过 中 请择组南州2溶神笔填涂 单（本8外是，每小影分。40份） 503的国 0m■ 每小分。共1盼，程分选对的湖分分，错 901 三，清空到 12 14 请在苍理归的符楚区城内作存，糖出国色形山甲限定区连的答家七装 召，解答型 15.[13分) 请在存局日的持湘域内传蒋，划由明的不的阳区视聘府影儿效 请在想门的香题比域内门答，超出闲色更用的梨定以域首家大发 16C15升》 明产青题日的济国城内件养，现由国他即用达果义的符果卫氢 ■ 171681 明存则可店是业内行，想中网色可动项见容聚无复 请考生保精需数卡干净整清，不要污预、硫坏！ 透在高口的游更<址为作，用出思包的电女核剂空以域的海家发 18.(17分2 请有各随再丙题区威内，出两明用见面容果无酸 ■ t97分] 则方区成内作容，山阳处师用达见区聚无2 ■吉林省“BEST合作体”2024-2025学年度下学期期末考试 高二数学试题答案及评分标准 一、单选题 1.D2.A 3.D4.A 5.C6.B7.A 8.c 二、多选题 9.BC 10.BCD 11.AB 三、填空题 12.3 13.f(x)=-x2-4x 14.(0可 四、解答题 15.解：(1)因为f(x)=axr2+bx2+cx+l,所以f'(x)=3ar2+2br+c,1分 因为函数f(x)在x=1处有极值，其图象经过点(2,3)，且f'(0)=-1, 3a+2b+c=0 所以 8a+4b+2c+1=3,4分 c=-1 解得a=L,b=-1,c=-1,此时f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),满足在x=1处有极值，6分 所以f(x)=x2-x2-x+17分 (2)由(1)知f"(x)=3x2-2x-1=(3x+1(x-1), 所以f(-1)=-1-1+1+1=0,f'(-1)=4,10分 所以函数f(x)在x=-1处的切线方程为y-0=4(x+1),即4x-y+4=013分 16.解：(1)设AB=x,AD=12-x,△ADP兰△CB'P,.PD=PB,AP=AB-PB=AB-DP, AP=x-DP.AD2+DP2=AP. :02-+PD=K-Ppy,解得PD=12-72,…4分 AB>AD,.6<x<12 =DxDp2-2-}-10s-6+）,6<<12)7分 即10-6+码》6<<28分 2)由知y-10w-6r+羽(6<r<12)所以y=10s-)}s10s-63至=10s-722 当且仅当x= 72,即r=6反∈(6,12)时，等号成立14分 故△4DP面积的最大值为(108-72W2)cm2),此时x=6N2(cm)15分 17.解：(1)证明：由bn3an得an=3bn,则an+1=3+bn+.2分 代入an13a-30中，得3b130b.=30即得b-h=34分 所以数列bn}是等差数列.5分 Q)因为数列)是首项为b-3=,公差为的等差数列.则6=1+a-)=” 37分 则a3b(m2)3.从而有n+23.9分 故5-号+导+号++21333” 二11分 n+2 2 则号点是对该分 即3<3n<127,得1<n≤4.14分 故满足不等式的所有正整数n的值为2,3,4.15分 18解：0D因为=2子a,则/)2-子是1分 由题意知了儿)=2一子是20在区饲+四)内恒成立，所以，a之子2在区间+网)内恒成立一2分 令)-是-2x,x+o列.因为(=子-2<0恒成立 所以h(x)在区间[1，+o)内单调递减，4分 所以h(x)=h(0)=0，所以a20,6分 即实数a的取值范围为[0，+0）.7分 （2)8=r是是2x-22x+m-2,其中x0.因为g-6r+a,一8分 ①当a≥0时，g(x)>0对任意的x>0恒成立， 所以g(x)在区间(0，+)内单调递增，此时，g(x)无最小值，不合题意：…10分 2 @当a<0时，令g-=0，则r=政r= (舍去)， 当0<x< 时，g(x)<0:当x>\6 9时，g'(x)>0 6 所以，函数g)在区间06 a 内单调递减，在区间 内单调递增， 6 则x=厂 是函数g(x)的极小值点，也是最小值点，4分 6 所以g-88-2月a只2-当号2-6，解得a=6,合手题意6分 综上所述，a=6.17分 19.解：(1)设{an}的公差为d,{b}的公比为9，则依题意有q>0, 因为41=b=1,ab2=50,as+b=a3+a4+5,】分 (1+12dg=50 =2 d=l1 所以 12 1+7d)+9=0+2d)++3d)+5”解得 2 253分 9= 6 由于{九}是各项都为正整数的等比数列，所以d=2,9=24分 所以an=a+(n-lDd=2n-1,b=b,gl=2"- 所以{a}的通项公式为a,=2n-1,{也}的通项公式为b=2-5分 (2)因为6，=2，所以log,6a1=,所以d.d=(分…，dd:=(分"， 两式相除： d2=1 dn2’6分 由d=16,4d=(分=128，得d,=8. 所以d,d4,d,…是以d=16为首项，以g=三为公比的等比数列： d,d,d。…是以d=8为首项，以g=。为公比的等比数列8分 2 所以当n为奇数时，d=16x学=16马，9分 当为偶数时d=8宁=16号.…0分 11 2 16v② 12 ,n为奇数 所以{d}的通项公式dn- 11分 16 √2 2 ,n为偶数 (a。+l)d,n为奇数 2nx1625).内奇数 (3)因为c. 3b, n为偶数，所以cn 3×21 6-- ,为偶数12分 22 当n为奇数时，C=32n-5y,错位相减得4，=643-(2n+3X,…l3分 2 当n为偶数 .c. 3×2 2一-引2习22子数项相消得金号2 34"1’…15分 4+8--对]号2分