精品解析： 湖北省武汉市洪山区2024-2025学年九年级下学期五调数学卷（五月）

2024－2025学年度第二学期五月质量检测 九年级数学试卷 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔写在答题卡上．答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列四个图形依次是江汉关博物馆、盘龙城遗址博物馆、武汉美术馆、湖北省博物馆的标志，这四个图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年武汉马拉松于2024年12月20日公布中签结果．共有450744名跑友报名，整体中签率约为．“报名参加2025年武汉马拉松比赛，中签”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 必然事件 C. 随机事件 D. 不可能事件 3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年武汉市生产总值（GDP）约为万元．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 第一个盒子有2个白球，1个黄球，第二个盒子有1个白球，1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，那么取出的2个球中1个白球1个黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8. 如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点在边上，扇形分别与和的延长线相切，切点分别为和，扇形与交于点M，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 取整函数，表示不超过的最大整数．例如：当时，，若点，，，…，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加0.2，则的值是（ ） A. B. 0 C. 203 D. 405 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 若某商品每件涨价10元记作+10元，那么该商品每件降价8元记作 _____元． 12. 已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是_____________． 13. 计算的结果是______． 14. 阅读相关资料：①在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②武汉市的纬度约为北纬；③如图为地球的轴截面，已知赤道半径约为6400千米，弦，且，则以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，根据以上信息，则直径的长______千米．（参考数据：，） 15. 定义：若一个函数图象上存在横坐标、纵坐标积为的点，则称该函数为“积函数”，该点称为“积点”．例如“积1函数”，其“积1点”为，．下列说法正确的序号为______． ①函数是“积4点”是； ②关于的函数的两个“积点”的横坐标分别是，，若，则的值是； ③若关于的函数的图象上有两个“积点”，则的取值范围是； ④若时，关于的函数的图象上有一个“积点”，则的取值范围是或． 16. 如图，已知在中，，是边上一点，，若，，则的值为______． 三、解答题（共8小题，共72分） 在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 解不等式组． 18. 如图，在矩形中，点是对角线和的交点，为线段上一点，F为线段上一点，连接，，，．若______，则四边形是平行四边形．请从①，；②；③，这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 19. 某芯片制造厂为了提高产品优良率，对一批新生产的芯片进行抽样测试．测试工程师随机抽取了片芯片，记录每片芯片的最高稳定运行频率（单位：），将数据整理并绘制成如图表．根据行业标准，运行频率的芯片被视为合格品，可用于高端计算设备；而运行频率的芯片需降级使用或返工． 运行频率的频数分布表 运行频率区间 频数（芯片片数） 9 18 48 （1）______，______； （2）若该批次共生产了5000片芯片，估计整批芯片中合格品的数量； （3）根据上述调查情况，写出你对芯片制造厂芯片稳定运行频率情况的看法，若在学校开展一次相关知识科普活动，请写出一条建议？（字数不超过30字） 20. 在中，，点是斜边上一点，连接，，，，以为直径画，交边于点，交边于点． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的长． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点，点，点都是格点，点在格线上，点在线段上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每问的画线不得超过六条． （1）在图（1）中，先画的高；再在线段上画点G，使； （2）在图（2）中，先画线段且；再画线段的中点． 22. 问题背景 如图是足球比赛中某一时刻平面截面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于球场点，守门员位于球场点，后卫位于球场点C（O，，三点共线），的延长线与球门线交于点，且点，，均在．足球轨迹正下方，已知米，米．通过监测，足球飞行的水平速度为．水平距离s（单位：米，水平距离水平速度时间）与离地高度（单位：米）的函数关系式为．守门员的最大防守高度都为米，后卫的最大防守高度为米．守门员和后卫在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员和后卫位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员或后卫的最大防守高度视为防守成功． 问题解决 （1）当足球飞行的水平距离时，求足球离地高度为多少米？ （2）当足球飞行多少秒时，足球离地达到最高？若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． （3）求后卫选择面对足球移动防守，计算成功防守的最小速度． 23. 在正方形中，，分别是线段，延长线上的点，连接，，交于点，若于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求的值； （3）如图3，连接，，，若，直接写出的值（用含的代数式表示）____________． 24. 如图，抛物线交轴于，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，抛物线顶点，与y轴交于点C，若x轴上存在一点M使，交于点，当，求点坐标； （3）如图2，点为轴上方抛物线上一点，点，若Q为线段DR上一点，过作交轴于点，求面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期五月质量检测 九年级数学试卷 亲爱的同学：在你答题前，请认真阅读下面的注意事项． 1．本卷共6页，24题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，请将你的学校、班级、姓名、考号填在试卷和答题卡相应的位置，并核对条码上的信息． 3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案．答在“试卷”上无效． 4．答非选择题时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔写在答题卡上．答在“试卷”上无效． 5．认真阅读答题卡上的注意事项． 预祝你取得优异成绩！ 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列四个图形依次是江汉关博物馆、盘龙城遗址博物馆、武汉美术馆、湖北省博物馆的标志，这四个图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解； 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，B不是轴对称图形，ACD均是轴对称图形； 故选：B ． 2. 2025年武汉马拉松于2024年12月20日公布中签结果．共有450744名跑友报名，整体中签率约为．“报名参加2025年武汉马拉松比赛，中签”这个事件是（ ） A. 确定性事件 B. 必然事件 C. 随机事件 D. 不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据事件发生的可能性进行判断即可． 【详解】解：根据题意，中签率为，即报名者有可能中签，也有可能不中签，结果具有不确定性， 因此该事件属于随机事件， 故选：C． 3. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 4. 2024年武汉市生产总值（GDP）约为万元．用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算、完全平方公式及除法运算律，需逐一分析各选项的正确性； 【详解】解：A. 根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加，故，正确，符合题意； B. 积的乘方需将每个因子分别乘方，，而选项B中系数为，错误，不符合题意； C. 完全平方公式为，选项C缺少项，错误，不符合题意； D. 除法对减法不满足分配律；计算括号内，则左边；右边，显然不等，错误，不符合题意； 故选：A． 6. 第一个盒子有2个白球，1个黄球，第二个盒子有1个白球，1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，那么取出的2个球中1个白球1个黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，画出树状图确定全部可能结果以及满足条件的情况，即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 一共有种等可能的情况，取出的2个球中1个白球1个黄球的情况有种， ∴取出的2个球中1个白球1个黄球的概率是：， 故选：D． 7. 如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，直角三角形的性质，熟练掌握30度所对直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据题意可知，根据30度所对直角边等于斜边的一半得出，由作图可得，即，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得出，最后由即可得解． 【详解】解：∵在中，，，． ∴， ∴； 由作图可得，，即， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象,解决本题的关键是根据容器的高度相同,每部分的粗细不同得到用时的不同．容器内水面高度h随时间t变化而分两个阶段， 【详解】解:底层的容器底面半径较大,容器内水面高度h随时间t的增大而增长缓慢,用时较长;上层容器底面半径较小,容器内水面高度h随时间t的增大而增长较快. 故选:A. 9. 如图，在中，，，点在边上，扇形分别与和的延长线相切，切点分别为和，扇形与交于点M，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，相似三角形的判定和性质，切线长定理，解直角三角形等．过点A作，交于点F，过点B作于点G，根据切线长定理，可得，可得到是等腰直角三角形，进而得到是等腰直角三角形，设，根据，可得，再由勾股定理可得，再根据，可得，设半径为r，则，，然后根据，求出r，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作，交于点F，过点B作于点G， ∵扇形分别与和的延长线相切， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设半径为r，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴阴影部分的面积是． 故选：A 10. 取整函数，表示不超过的最大整数．例如：当时，，若点，，，…，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加0.2，则的值是（ ） A. B. 0 C. 203 D. 405 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算；根据取整函数定义，分段计算每个整数区间内点的y值之和，再累加所有区间和最后一个点的值计算即可． 【详解】解：负数区间处理： 区间：包含4个点，每个点，和为． 区间到：共201个区间，每个区间5个点，y值从到．和为． 正数区间处理： 区间到：共203个区间，每个区间5个点，y值从0到202． 和为． 最后一个点：，直接加203． 总和计算： ． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 将答案直接写在答题卡指定的位置上． 11. 若某商品每件涨价10元记作+10元，那么该商品每件降价8元记作 _____元． 【答案】-8 【解析】 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案． 【详解】解：若某商品每件涨价10元记作+10元，那么该商品每件降价8元记作﹣8元． 故答案为：﹣8． 【点睛】本题考查了具有相反意义的量，掌握具有相反意义的量的概念是解题的关键． 12. 已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数，当x＞0，k＞0时，y随x增大而减小列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，当k＜0时，y随x增大而减小 ∴m-3＞0，即． 故答案为． 【点睛】本题主要查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质列出不等式m-3>0是解答本题的关键． 13. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的加法运算，利用同分母分式的加法法则解答即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 阅读相关资料：①在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②武汉市的纬度约为北纬；③如图为地球的轴截面，已知赤道半径约为6400千米，弦，且，则以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度，根据以上信息，则直径的长______千米．（参考数据：，） 【答案】11520 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，平行线的性质，垂径定理，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法．根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，再利用垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为D， 根据题意千米， ∵， ∴， 在中，（千米）， ∵， ∴由垂径定理可知：千米， 故答案为：． 15. 定义：若一个函数图象上存在横坐标、纵坐标积为的点，则称该函数为“积函数”，该点称为“积点”．例如“积1函数”，其“积1点”为，．下列说法正确的序号为______． ①函数是“积4点”是； ②关于的函数的两个“积点”的横坐标分别是，，若，则的值是； ③若关于的函数的图象上有两个“积点”，则的取值范围是； ④若时，关于的函数的图象上有一个“积点”，则的取值范围是或． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①直接根据“积点”的定义判断即可；②设满足题意的“积点”的坐标为，根据“积点”的定义，可得 ，从而得到，是方程的两实数根，再利用一元二次方程根与系数的关系判断即可；③设满足题意“积点”的坐标为，根据“积点”的定义，可得，再利用一元二次方程根的判别式判断即可；④设满足题意“积点”的坐标为，根据“积点”的定义，可得，从而得到可以看成函数与在时有交点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：①∵， ∴函数是“积4点”是或，故①错误； ②设满足题意的“积点”的坐标为， ∴， 即， ∵关于的函数的两个“积点”的横坐标分别是，， ∴，是方程的两实数根， ∴，，且， ∴， ∵， ∴， 解得：或3， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴，故②正确； ③设满足题意“积点”的坐标为， ∴， 即， ∴， 当时，，仅有一个解，不符合题意， ∴若关于的函数的图象上有两个“积点”，则的取值范围是，故③正确； ④设满足题意“积点”的坐标为， ∴，即， ∴， ∵时，关于的函数的图象上有一个“积点”， ∴可以看成函数与在时有交点， 如图， ∴的取值范围是或，故④正确． 故答案为：②③④ 【点睛】本题需要逐一验证四个选项是否符合’积m函数'的定义．关键是根据定义建立方程，分析方程解的个数与参数的关系，并结合二次方程判别式、韦达定理及函数值域进判断． 16. 如图，已知在中，，是边上一点，，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，过作于，延长至，使，连接，证明，得出，求出．证明，得出，求出即可． 【详解】解：过作于，延长至，使，连接， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程． 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为． 18. 如图，在矩形中，点是对角线和的交点，为线段上一点，F为线段上一点，连接，，，．若______，则四边形是平行四边形．请从①，；②；③，这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选择，． 在矩形中，，， ，， ． ，， ． ． ，， 四边形是平行四边形． 选择②无法得出结论 选择③，． 在矩形中，对角线和的交于点， ，． ，， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，推导出，是解题的关键． 若选择①， 由矩形的性质，，由，，可证明，则，由，，证明四边形是平行四边形．若选择②无法得出结论．若选择，由矩形的性质， ，由，，推导出， ，则，所以四边形是平行四边形．． 【详解】略 19. 某芯片制造厂为了提高产品优良率，对一批新生产的芯片进行抽样测试．测试工程师随机抽取了片芯片，记录每片芯片的最高稳定运行频率（单位：），将数据整理并绘制成如图表．根据行业标准，运行频率的芯片被视为合格品，可用于高端计算设备；而运行频率的芯片需降级使用或返工． 运行频率的频数分布表 运行频率区间 频数（芯片片数） 9 18 48 （1）______，______； （2）若该批次共生产了5000片芯片，估计整批芯片中合格品的数量； （3）根据上述调查情况，写出你对芯片制造厂芯片稳定运行频率情况的看法，若在学校开展一次相关知识科普活动，请写出一条建议？（字数不超过30字） 【答案】（1）120，40 （2）4000片 （3） 解：看法：大部分芯片运行频率较高，合格品占比较大． 建议：①科普芯片运行频率对设备性能的影响． ②科普如何提升芯片稳定运行频率的方法． ③讲解不同运行频率芯片适用的具体场景． 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图，掌握“频率频数总数”是解题的关键． （1）用“”的频数除以它的频率可得样本容量，用“”的频数除以样本容量可得n的值； （2）用样本容量乘对应百分比，求出b的值，即可得出答案； （3）根据统计表以及统计图解答即可． 【小问1详解】 解：， ， 即； 故答案为：120；40 【小问2详解】 解：解：， ， 答：估计整批芯片中合格品的数量约为4000片； 【小问3详解】 略 20. 在中，，点是斜边上一点，连接，，，，以为直径画，交边于点，交边于点． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵为直径， ∴是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得到，，进而利用直角三角形的两个锐角互余和等量代换得到，再利用切线的判定定理可得结论； （2）连接，先利用锐角三角函数定义和勾股定理求得，，在中，设，，利用勾股定理求得，，证明，在中，利用锐角三角函数定义求得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴ 则， 在中，设，， ∴， 解得， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点，点，点都是格点，点在格线上，点在线段上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每问的画线不得超过六条． （1）在图（1）中，先画的高；再在线段上画点G，使； （2）在图（2）中，先画线段且；再画线段的中点． 【答案】（1）如图，线段、点G即为所求作： （2）如图，线段、点K即为所求作： 【解析】 【分析】本题考查了使用无刻度直尺作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于正确找出格点． （1）取格点H，连接并延长交于F，由网格特点和锐角三角函数得到，则，由得到，则线段即为所求作；取格点T、J、K，连接、交于点O，则，则，故，连接交于G，利用全等三角形的判定与性质可证明，则,，故点G即为所求作； （2）取格点H，连接、、、，设、交于点O，可得，，则四边形是平行四边形，可得，利用网格特点取的中点J，连接并延长交于K，可证，则可得K为的中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 问题背景 如图是足球比赛中某一时刻平面截面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于球场点，守门员位于球场点，后卫位于球场点C（O，，三点共线），的延长线与球门线交于点，且点，，均在．足球轨迹正下方，已知米，米．通过监测，足球飞行的水平速度为．水平距离s（单位：米，水平距离水平速度时间）与离地高度（单位：米）的函数关系式为．守门员的最大防守高度都为米，后卫的最大防守高度为米．守门员和后卫在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员和后卫位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员或后卫的最大防守高度视为防守成功． 问题解决 （1）当足球飞行的水平距离时，求足球离地高度为多少米？ （2）当足球飞行多少秒时，足球离地达到最高？若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． （3）求后卫选择面对足球移动防守，计算成功防守的最小速度． 【答案】（1）当足球飞行距离为9米时，足球的离地高度是4.2米 （2）当时，最大；若守门员选择原地接球，防守不成功，理由见解析 （3）后卫选择面对足球移动防守，成功防守的最小速度为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意是解答的关键． （1）将代入求解即可； （2）化为顶点式，进而可求得当时取得最大值；求得当时的h值，比较大小即可作出判断； （3）求出当时的h值，比较大小即可作出判断，进而可求解． 【小问1详解】 解：当时，； 答：当足球飞行距离为9米时，足球的离地高度是4.2米； 【小问2详解】 解：， ∴当，即时，最大； 不成功，理由如下，米． 当时， ， ∵， ∴若守门员选择原地接球，防守不成功； 【小问3详解】 解：由题意，可知时，， 后卫的最小速度为． 答：后卫选择面对足球移动防守，成功防守的最小速度为． 23. 在正方形中，，分别是线段，延长线上的点，连接，，交于点，若于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，求的值； （3）如图3，连接，，，若，直接写出的值（用含的代数式表示）____________． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再结合正方形的性质证明即可； （2）设，则，，证明，，求解，，，，如图，连接，证明，可得； （3）证明，，再证明，可得，证明，可得，设，则，求解，证明，设，则，再进一步求解即可. 【小问1详解】 证明：在正方形中，，， 而， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， 设，则，， 在中，， ∴，， ∴， 如图，连接， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， 由（1）知， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题的难度大，作出合适的辅助线，确定需要的相似三角形是解本题的关键. 24. 如图，抛物线交轴于，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，抛物线顶点，与y轴交于点C，若x轴上存在一点M使，交于点，当，求点坐标； （3）如图2，点为轴上方抛物线上一点，点，若Q为线段DR上一点，过作交轴于点，求面积最大值． 【答案】（1） （2） （3）3.5 【解析】 【分析】（1）将点和点坐标代入求解即可； （2）求直线 可得，进而可得，然后证明，可得，进而可得， 所以，所以点M在原点，再证 即可得解； （3）设， 由可得 ，所以，进而再利用求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于，， ∴，解得 ∴； 【小问2详解】 解：如图，由（1）可知，抛物线解析式为，顶点， ， 设， 解得， ∴直线， ， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ， ∴， 由抛物线的轴对称性质可知， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点在原点， 如图， 过作于， ， ， ， ， ∴设， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设，则， ， ， ， ， 当，时， 有最大值为 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数点的坐标特征、相似三角形的判定和性质、二次函数最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $