精品解析： 湖北省武汉市洪山区华中师大一附中光谷分校2023-2024学年九年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年湖北省武汉市洪山区华中师大一附中光谷分校九年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 实数的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（　　） A. B. C. D. 3. 下列关于事件的说法，错误的是（ ） A. “通常温度降到以下时，纯净的水结冰”是必然事件 B. “随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件 C. “从地面发射1枚导弹，未击中目标”是不可能事件 D. “购买一张彩票，中奖”是随机事件 4. 如图是一个水平放置的圆柱体，关于该几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都不相同 5. 下列计算正确是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　） A. 北偏东30° B. 北偏东80° C. 北偏西30° D. 北偏西50° 7. 学校选拔乒乓球选手参加混合双打比赛，现从男1、男2两名选手和女1、女2两名选手中，各选取一名选手参赛，则恰好选中其中的“男1号”和“女1号”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，甲从A村匀速骑自行车到B村，乙从B村匀速骑摩托车到A村，两人同时出发向各自目的地进发，如图是两人离A村的距离为与时间之间的不完整的关系图，则下列说法错误的是（　　） A. 乙先到A村 B. 甲的速度为 C. 乙速度为 D. 图中t的值为3.5 9. 如图，为直径，为下半圆上一点，的平分线交于，，是的内心．当点从点运动到点时，走过的路径长为（　　） A. B. C. D. 10. 方程的实数根就是方程的实数根，用“数形结合”思想判定方程的根的情况，正确的是（ ） A. 方程有3个不等实数根 B. 方程的实数根满足 C. 方程实数根满足 D. 方程的实数根满足 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 据统计，2023年末2024年初，武汉市常住人口万人，将数据万用科学记数法表示是__________． 12. 反比例函数的图像在第______象限． 13. 计算的结果是__________________． 14. 如图，某高速公路建设中需要测量一条江的宽度，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和，若飞机离地面的高度为100米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_______米（已知，，结果用四舍五入法精确到个位）． 15. 如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为 ______． 16. 抛物线（a、b、c是常数且a≠0）经过、、三点，且，下列四个结论：①；②当时，y随x增大而减少；③一元二次方程有一个实数根；④不等式的解集是．其中正确的结论是________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 求不等式组的整数解之和． 18. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是，，，的中点，连接，，，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，满足什么条件时，四边形是矩形．（不需要说明理由）． 19. 为了了解某学校七年级4个班共180人体质健康情况，从各班分别抽取同样数量的男生和女生组成一个样本，如图是根据样本绘制的条形图和扇形图． （1）本次抽查的样本容量是______． （2）请补全条形图和扇形图中的百分数； （3）请你估计全校七年级共有多少人优秀． 20. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C三点都是格点，点在上，在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，画菱形；再将P点绕A点逆时针旋转，画出P点的对应点； （2）在图2中，在上画点，使最小；再画线段，使． 22. 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点到地面的距离为6米． 　 （1）按图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于轴对称的支撑柱和，如图所示． 若两根支撑柱的高度均为5.25米，求两根支撑柱之间的水平距离； 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁，搭建成一个矩形“脚手架”，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下． 23. [问题背景]（1）如图1，为上一点，，求证：； [变式迁移]（2）如图2，中，于，以为直角顶点在两侧分别作和，且，连交延长线于，求的值； [拓展创新]（3）如图3，，，，求的长． 24. 已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，且． （1）求抛物线的对称轴及解析式； （2）如图1，为抛物线对称轴上的一点，将B，D两点绕点旋转后分别得E，F两点，若E，F两点都在抛物线上，求m的值； （3）如图2，将抛物线向左平移得，使的顶点落在y轴上，过原点的两条直线、交抛物线于M、N、S、T，直线交于P，求证：P点在一条定直线上运动． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年湖北省武汉市洪山区华中师大一附中光谷分校九年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 实数的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可解答． 【详解】解：实数的相反数是2． 故选B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 3. 下列关于事件的说法，错误的是（ ） A. “通常温度降到以下时，纯净的水结冰”是必然事件 B. “随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件 C. “从地面发射1枚导弹，未击中目标”是不可能事件 D. “购买一张彩票，中奖”是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义进而分析得出答案． 【详解】A、“通常温度降到0℃以下时，纯净的水结冰”是必然事件，正确，不合题意； B、“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件，正确，不合题意； C、“从地面发射1枚导弹，未击中目标”是随机事件，原说法错误，符合题意； D、“购买一张彩票，中奖”是随机事件，正确，不合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查随机事件以及必然事件，正确把握相关定义是解题关键． 4. 如图是一个水平放置的圆柱体，关于该几何体的三视图描述正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C 左视图和俯视图相同 D. 三个视图都不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了画三视图的知识，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图的定义判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图均为长方形，俯视图是一个圆． 故选：A． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式及幂的乘方．逐一分析各选项的运算是否正确，即可解答． 【分析】解：A． 的指数不同，不是同类项，无法合并，故错误． B． ，故错误． C． ，故错误． D． 根据幂的乘方法则，，故正确． 故选D． 6. 如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　） A. 北偏东30° B. 北偏东80° C. 北偏西30° D. 北偏西50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：如图， AP∥BC， ∴∠2=∠1=50°， ∵∠EBF=80°=∠2+∠3， ∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°， ∴此时的航行方向为北偏东30°， 故选A． 【点睛】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键． 7. 学校选拔乒乓球选手参加混合双打比赛，现从男1、男2两名选手和女1、女2两名选手中，各选取一名选手参赛，则恰好选中其中的“男1号”和“女1号”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】采用树状图法列举，即可求解． 【详解】按照题意画树状图如下： 由表可知总的可能情况有4种，其中含男1号、女1号的情况有1种， 则刚好抽中男1号、女1号的概率=1÷4=， 故选：B． 【点睛】本题考查了用列举法求解概率的知识，掌握用树状图法和列表法求解概率是解答本题的关键． 8. 如图，甲从A村匀速骑自行车到B村，乙从B村匀速骑摩托车到A村，两人同时出发向各自目的地进发，如图是两人离A村的距离为与时间之间的不完整的关系图，则下列说法错误的是（　　） A. 乙先到A村 B. 甲的速度为 C. 乙的速度为 D. 图中t的值为3.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，直接观察函数图象可判断A；根据图象中的数据可计算出甲的速度，可判断B；再计算出乙的速度，即可判断C；根据图象甲乙两人相遇，从而可以计算出t的值． 【详解】解：由图象可知，乙先到A村， ∴A正确，不符合题意； 甲的速度为， ∴B正确，不符合题意； 两人相遇的时间为，即， 则乙的速度为， ∴C正确，不符合题意； 图中t的值为：，D错误，符合题意． 故选：D． 9. 如图，为直径，为下半圆上一点，的平分线交于，，是的内心．当点从点运动到点时，走过的路径长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形内切圆的定义，三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，所以的内心是和的角平分线的交点，根据三角形外角的性质可知，从而可知点在以点为圆心且半径长为的上运动，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如下图所示，连接， 为的直径， ， 的平分线交于， ， ， 是的内心， 平分， ， ，， ， ， 点在以点为圆心且半径长为的上运动，该弧所对的圆心角为， ， 走过的路径长为， 故选：B． 10. 方程的实数根就是方程的实数根，用“数形结合”思想判定方程的根的情况，正确的是（ ） A. 方程有3个不等实数根 B. 方程的实数根满足 C. 方程的实数根满足 D. 方程的实数根满足 【答案】C 【解析】 【分析】将方程的右边看作是反比例函数，左边看作是二次函数，在坐标系中作出两个函数的图像即可作答． 【详解】将方程的右边看作是反比例函数，左边看作是二次函数， 即反比例函数、二次函数在坐标系中的图像如下： 由图可知反比例函数、二次函数只有一个交点，且交点的横坐标在1和2之间， 则方程只有一个实数根，且实数根满足， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用函数图像求解三次方程根的知识，将一元三次方程转化为求二次函数与反比例函数的交点问题，注重数形结合是解答本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 据统计，2023年末2024年初，武汉市常住人口万人，将数据万用科学记数法表示是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数据万用科学记数法表示，需将其转化为的形式，其中，为正整数，据此进行作答即可． 【详解】解：万． 故答案为：． 12. 反比例函数的图像在第______象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】根据＞0，判定函数图像的分布即可． 【详解】解：∵＞0， 反比例函数的图像在第一、三象限． 故答案为：一、三． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键． 13. 计算的结果是__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，利用分式加减运算法则结合因式分解求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 如图，某高速公路建设中需要测量一条江的宽度，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和，若飞机离地面的高度为100米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_______米（已知，，结果用四舍五入法精确到个位）． 【答案】89 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形应用．根据锐角三角函数的定义求出，，进而求解． 【详解】解：由题意可得：，， 则在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴米； 故答案为：89． 15. 如图，在边长为的菱形中，，将沿射线的方向平移，得到，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设与交于点，由平移性质可得，，由四边形是菱形，则有，，，所以，，得到四边形是平行四边形，故有，则的最小值的最小值，作点关于定直线的对称点，连接，当三点共线时，则的长度即为的最小值，由，，则，，然后通过等腰三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，设与交于点， ∵在边长为的菱形中，， ∴，， ∵将沿射线的方向平移，得到， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， 作点关于定直线的对称点，连接，当三点共线时，则的长度即为的最小值， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平移的性质，掌握相关知识的应用是解题的关键． 16. 抛物线（a、b、c是常数且a≠0）经过、、三点，且，下列四个结论：①；②当时，y随x增大而减少；③一元二次方程有一个实数根；④不等式的解集是．其中正确的结论是________（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线经过的点坐标可得，再根据对称轴可得，由此可判断①；根据抛物线的对称轴，开口方向，由此可判断②；先根据抛物线经过点经过、，由此可判断③；先求出直线经过点和，再画出函数图象，结合函数图象可得不等式的解集，从而可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a、b、c是常数且）经过、、三点，且， ∴，，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． 故结论①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴当时，y随x增大而减少，故结论②正确； ∵抛物线（a、b、c是常数且）经过、， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故结论③不正确； ∵， ∴直线经过点， 令，得， ∴直线经过点， ∴抛物线与直线的交点分别为和， 由图可知，不等式解集是， 故结论④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 求不等式组的整数解之和． 【答案】整数解的和为3． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组步骤是解题的关键． 分别解每个不等式，取公共部分作为解集，在解集中找到整数解，加起来即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 故整数解和为：． 18. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是，，，的中点，连接，，，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，满足什么条件时，四边形是矩形．（不需要说明理由）． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是矩形 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定． （1）由三角形中位线的性质可得，，即可得证结论； （2）证明的一组邻边互相垂直即可得到四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：∵点E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当时，四边形是矩形， 理由如下：∵点E，H分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形矩形． 19. 为了了解某学校七年级4个班共180人的体质健康情况，从各班分别抽取同样数量的男生和女生组成一个样本，如图是根据样本绘制的条形图和扇形图． （1）本次抽查的样本容量是______． （2）请补全条形图和扇形图中的百分数； （3）请你估计全校七年级共有多少人优秀． 【答案】（1）40；（2）见解析，20%，42.5%；（3）全校七年级共有54人优秀 【解析】 【分析】（1）利用不及格人数除以不及格人数所占百分比可得抽查的样本容量； （2）利用条形图计算出及格人数，再根据样本容量计算出及格人数和良好人数所占百分比即可； （3）利用样本估计总体的方法用180乘以样本中优秀人数所占百分比可得答案． 【详解】解：（1）3÷7.5%=40， 故答案为：40； （2）及格人数40-3-17-12=8， 所占百分比：8÷40×100%=20%， 良好所占百分比：17÷40×100%=42.5%； （3）180×30%=54（人）， 答：全校七年级共有54人优秀． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长． 【答案】（1）见解析；（2）OF＝5． 【解析】 【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线； （2）连接AD．由圆周角定理得出∠D＝90°，证出∠BAD＝∠F，得出sin∠BAD＝sin∠F＝，求出AB＝BD＝6，得出OB＝OC＝3，再由sinF＝即可求出OF． 【详解】（1）连接OC．如图1所示： ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠2． 又∵∠3＝∠1+∠2， ∴∠3＝2∠1． 又∵∠4＝2∠1， ∴∠4＝∠3， ∴OC∥DB． ∵CE⊥DB， ∴OC⊥CF． 又∵OC为⊙O的半径， ∴CF为⊙O的切线； （2）连接AD．如图2所示： ∵AB是直径， ∴∠D＝90°， ∴CF∥AD， ∴∠BAD＝∠F， ∴sin∠BAD＝sinF＝， ∴AB＝BD＝6， ∴OB＝OC＝3， ∵OC⊥CF， ∴∠OCF＝90°， ∴sinF＝， 解得：OF＝5． 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C三点都是格点，点在上，在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，画菱形；再将P点绕A点逆时针旋转，画出P点的对应点； （2）在图2中，在上画点，使最小；再画线段，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查无刻度的直尺在给定网格中完成画图，掌握平移，菱形的判定与性质，轴对称变换，旋转变换、平行线分线段成比例、将军饮马等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）根据网格特点和勾股定理，取格点D、E，则，可得到菱形；根据网格找出绕A点逆时针旋转方向上，，确定即为旋转后的图形，再由网格中点P为所在线段矩形对角线的交点即可确定点的位置； （2）取格点T，连接交于O，根据网格特点，，取格点G，K，S，连接交于，连接交于H，则，根据平行线分线段成比例得，，则，连接交于Q，则最小，此时点Q即为所求． 【小问1详解】 解：如图1，菱形和点即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，点Q、线段即为所求作． 22. 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线和矩形构成．已知矩形的长米，宽米，抛物线最高点到地面的距离为6米． 　 （1）按图所示建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于轴对称的支撑柱和，如图所示． 若两根支撑柱的高度均为5.25米，求两根支撑柱之间的水平距离； 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁，搭建成一个矩形“脚手架”，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下． 【答案】（1） （2）两根支撑柱之间的水平距离为6米“脚手架”三根支杆，，的长度之和的最大值为18米 【解析】 【分析】（1）由题意得，设抛物线的解析式为，将代入解析式，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得，解方程即可得到，，从而即可算出两根支撑柱之间的水平距离；设，则，，则三根支杆的总长度为：，再根据二次函数的性质即可得到最大值． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 设抛物线的解析式为将代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： 当时，即， 解得：，， （米）， 答：这两根支撑柱之间的水平距离是6米； 设，则，， 则三根支杆的总长度为： ， ， 当时，取得最大值，最大值为18； 答：三根支杆，，的长度之和的最大值为18米． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，求二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，求二次函数的最值是解题的关键． 23. [问题背景]（1）如图1，为上一点，，求证：； [变式迁移]（2）如图2，中，于，以为直角顶点在两侧分别作和，且，连交延长线于，求的值； [拓展创新]（3）如图3，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）1；（3） 【解析】 【分析】（1）根据两角相等证明，即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，则，证明，列比例式，根据（1）中的一线三等角可得，，则，，结合已知可得，从而得结论； （3）如图3，过点作，交的延长线于，交的延长线于，证明，得，，可得是等边三角形，设，则，，，证明，列比例式可得结论． 【详解】解：（1）证明：，， ， ， ， ； （2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，则， ， ， 由（1）同理得：，， ，， ， ， ， ； （3）如图3，过点作，交的延长线于，交的延长线于， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， 设，则，，， ， ， ， ， ，即， 解得：，（舍）， 在中，， ． 【点睛】此题属于相似三角形的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质以及一线三等角的模型，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键． 24. 已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C点，且． （1）求抛物线的对称轴及解析式； （2）如图1，为抛物线对称轴上的一点，将B，D两点绕点旋转后分别得E，F两点，若E，F两点都在抛物线上，求m的值； （3）如图2，将抛物线向左平移得，使的顶点落在y轴上，过原点的两条直线、交抛物线于M、N、S、T，直线交于P，求证：P点在一条定直线上运动． 【答案】（1）对称轴为， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，二元一次方程组的解法等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． （1）根据抛物线的对称轴公式得出对称轴的解析式，进而得出的长，进而得出的长，从而得出c的值，将点A坐标代入抛物线的解析式，求得a的值，进一步得出结果； （2）可得出，，设，从而得出，将F点坐标代入抛物线的解析式，从而求得z的值，进一步得出结果； （3）可求得的解析式为∶，从而设，，，，进而求得直线的解析式，根据其过原点，得出，同理可得及和的函数关系式，进而求得点P的坐标，可计算得出点P的纵坐标是恒定的值，从而得出结果． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为：． ． ， ． 即．解得． ． ，解得． ． 【小问2详解】 解：由题意得，，，设， 由，解得（舍去）或， ． ， ． ，解得． ． ． 【小问3详解】 证明：点P在直线上运动，理由如下： ， 的解析式为∶． 设，，，，的解析式为∶， ，解得． 过原点， ，解得． 同理可得，． 直线的解析式为：， 直线的解析式为：． 由，得． ∴点P在直线：上运动． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$