第06讲 图形的轴对称（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版2024）

第06讲 图形的轴对称（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 轴对称图形的识别 典型例题二 根据成轴对称图形的特征进行判断 典型例题三 根据成轴对称图形的特征进行求解 典型例题四 画轴对称图形 典型例题五 台球桌面上的轴对称问题 典型例题六 轴对称中的光线反射问题 典型例题七 轴对称折叠问题 典型例题八 最短路径问题 典型例题九 轴对称线段问题 典型例题十 轴对称角度问题 知识点01 轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【即时训练】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．保健食品 B．绿色食品 C．有机食品 D．速冻食品 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【详解】A中，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B中，该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C中，该图形是不轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D中，该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【即时训练】 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的有 个． 【答案】2 【分析】根据轴对称图形的定义分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，是轴对称图形的有： ∴是轴对称图形的有2个 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形． 知识点02 设计轴对称图形 问题一：已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′? 作法: 过点A作直线l的垂线，在垂线上截取OA′=OA, 垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点. 问题二：如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′? 作法： 1. 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA， 点A′就是点A关于直线l的对称点； 2.类似地，作出点B关于直线l的对称点B′； 3.连结A′B′. 问题三：如图已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直线l对称的图形呢？ 作法： △ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点 关于直线l的对称点，连结这些对称点，就能得到要作的图形. ∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形. 归 纳 一．作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤: 1.找点（确定图形中的一些特殊点）； 2.画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）； 3.连线（连结对称点）. 二．设计轴对称图案的步骤： （1）画出对称轴； （2）画出图形的基本形状的部分线条； （3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形； （4）按照另一条对称轴继续画对称图形； （5）完成对称图案设计. 【即时训练】 1．（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有（　　）    A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案． 【详解】解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1，2，3，4处涂黑，都是符合题意的图形．    故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，熟悉掌握轴对称图形的特点是解题的关键． 【即时训练】 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 【答案】13 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形． 故答案为：13． 【典型例题一 轴对称图形的识别】 【例1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】 解：是轴对称图形，故选项A不符合题意； 是轴对称图形，故选项B不符合题意； 不是轴对称图形，故选项C符合题意； 是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形，进行逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例3】（2024·河南信阳·模拟预测）现有4张化学仪器的示意图卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片，背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片正面图案都是轴对称图形的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了画树状图法求概率、轴对称图形，能根据题意画出树状图是解题的关键．把4张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图，共有12种等可能的结果，找出满足条件的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把4张卡片分别记为：A、B、C、D，其中A、C、D为轴对称图形， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案都是轴对称图形的结果有6种， ∴正面图案都是轴对称图形的概率为． 故答案为： 【例4】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线对称，则这个英语单词的汉语意思为 ． 【答案】书 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的性质判断出所给单词，即可解答． 【详解】解：由图可知，这个英语单词是，汉语意思为：书， 故答案为：书． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义，和轴对称图形的定义，即可判断答案．关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：选项A是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； 选项B是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意； 选项C不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； 选项D是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·课后作业）已知直线yy′⊥xx′，垂足为O，则图形①与图形 成轴对称 【答案】② 【详解】根据轴对称的意义，沿某条直线对折能够完全重合的两个图形成轴对称，可知图形①和图形②成轴对称. 故答案为：②. 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列各图形是轴对称图形吗？如果是，画出他们的对称轴 【答案】详见解析. 【分析】根据轴对称图形的性质，利用对应点连线一定交在对称轴上，进而得出两点，画出对称轴即可． 【详解】解：如图所示：（对称轴不唯一，画出一条即可） 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的定义以及其性质，得出对称轴位置是解题关键． 【典型例题二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例1】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中：①能够完全重合的两个图形成轴对称；②两个全等的三角形一定关于某条直线对称；③两个图形关于某条直线对称，对应点一定在直线两旁；④两个关于某直线对称的三角形是全等三角形．正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，轴对称图形的性质；根据轴对称的性质全等三角形的判定逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①能够完全重合的两个图形不一定成轴对称，故①错误； ②两个全等的三角形不一定关于某条直线对称，故②错误； ③两个图形关于某条直线对称，对应点可能在直线上，故③不正确； ④两个关于某直线对称的三角形是全等三角形，故④正确． 故选：D． 【例2】（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，与△关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②； ③中，正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质与运用等知识点，根据轴对称的性质对各选项分析判断后求解即可，熟记轴对称的性质是解题的关键． 【详解】∵与关于直线对称， ∴ ，，故②③正确， ∴，故①正确， ∴正确的一共有3个， 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在“线段、角、正五角星、三角形”这四个图形中，是轴对称图形的有 个. 【答案】3 【分析】根据轴对称图形的概念分析判断即可得解． 【详解】解：线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线和线段本身所在的直线； 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线； 正五角星是轴对称图形； 三角形不一定是轴对称图形． 综上所述，是轴对称图形的有3个． 故答案为3． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【例4】（24-25八年级上·浙江湖州·单元测试）如图，请说出甲树是怎样由乙树变换得到的： ． 【答案】先以直线L为对称轴作轴对称变换，再把所得的像绕点A顺时针旋转70度 【详解】由图易知A，B关于直线l对称，则可先以直线l为对称轴作轴对称变换，得到与地面垂直的图形，最后的图形与地面的夹角是20°，所以应把所得的图象绕点A顺时针旋转70度． 故答案为：先以直线l为对称轴作轴对称变换，再把所得的像绕点A顺时针旋转70度． 【点睛】旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 1．（24-25八年级上·山东德州·期末）如图，△ABC和△关于直线对称，下列结论中正确的有（　　） ①△ABC≌△ ②③直线垂直平分 ④直线BC和的交点不一定在直线上． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质求解即可； 【详解】∵△ABC和△关于直线对称， ∴①△ABC≌△，正确； ②，正确； ③直线垂直平分，正确； 直线BC和的交点一定在直线上，错误； 故正确的结论为①②③； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了成轴对称的图形的性质，准确分析判断是解题的关键． 2．（2025·海南·模拟预测）如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④．其中正确的是 （只填写序号） 【答案】①②③④. 【详解】解：如图， ∵直线AC为四边形ABCD的对称轴， ∴AC⊥BD，AB=AD，BC=CD， ∴∠1=∠2， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠4， ∴∠2=∠4， ∴AD=CD， ∴AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD为菱形． ∴AD∥BC，△ABD≌△CDB， 故①②③④都正确. 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图1、2，在中，，点P、Q是边上的两个动点，（不与点B、C重合），点Q在点P的右侧，且． （1）利用图1求证：，； （2）在图2中，，点M是点Q关于直线的对称点，连接， ①依题意将图2补全； ②求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②证明见解析． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，三角形的外角性质得到，再通过证即可得到； （2）①根据题意补全图形即可； ②根据轴对称的性质和等边三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）， ， 又， ， 在和中， ， ． （2）①补全图形如图所示； ②证明：， 是等边三角形， ∵点Q，M关于直线AC对称， ∴，AQ＝AM， ∴∠MAC＋∠PAC＝∠PAB＋∠PAC＝60°，， ∴△APM为等边三角形， ∴PA＝PM． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形全等的判定和性质，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【典型例题三 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例1】（24-25八年级上·广东广州·期中）一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，如图，其中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称的性质以及多边形的内角和定理．根据题意滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形，得出，再利用四边形内角和定理求出，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形，其中，， ∴． ∴． 故选：B． 【例2】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）如图，和关于直线对称，交于点，若，，，则五边形的周长为　　 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，正确得出对应线段是解题关键．直接利用轴对称的性质得出，，，再用周长公式即可得出答案． 【详解】解：∵和关于直线对称，交于点， ∴，，， ∵，，， ∴，，， 五边形的周长为：． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，直线l是四边形的对称轴，，，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，平行线的性质，先根据平行线的性质求出的度数，再根据轴对称图形的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线l是四边形的对称轴， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，为内任一点，且，请在图中分别画出点关于，的对称点，，连，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形面积公式．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据题意可得，，可得到，，再由三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接， ∵点关于的对称点， ∴，， ∴，， ∴的面积为． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·浙江湖州·课后作业）如图，若与关于BC所在直线对称，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的对角相等的性质，根据成轴对称的图形能够完全重合得到是解题的关键． 根据成轴对称的图形能够完全重合可得，然后求出的度数，再根据平行四边形的对角相等解答即可． 【详解】解：与关于边所在的直线对称， ， ， 在中， ． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，垂线段最短，作交的延长线于点H，则，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点H，则． ∵点B关于直线作轴对称变换得到点 E， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）（1）计算：． （2）如图，与关于直线对称，若，求的度数． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，轴对称图形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握实数的混合运算法则和轴对称图形的性质是解题的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算加减即可； （2）根据轴对称图形的性质得到，得到，即可求出． 【详解】（1）解： ； （2）解：与关于直线对称， ， ， ． 【典型例题四 画轴对称图形】 【例1】（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，如果再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形的标号不可能是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念结合图形分别作出图形即可得解． 【详解】解：如图，涂黑标号是2、3、4的小正方形所得图案是一个轴对称图形． 所以，不可能的标号是1号． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【例2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，△ABC是在2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有（　     ）． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据网格结构确定出对称轴，然后作出△ABC的对称三角形即可得解． 【详解】如图，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有5个. 故选C. 【点睛】此题考查轴对称的性质，解题关键在于画出图形. 【例3】（24-25七年级下·浙江湖州·课后作业）求作与已知图形成轴对称的图形，先观察图形，并确定能代表已知图形的关键点，分别作出这些关键点关于对称轴的 ，根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形． 【答案】对称点 【详解】分析：根据画轴对称图形的方法即可得到本题的答案. 详解：由画轴对称图形的方法可知此空为：对称点. 答案:对称点. 点睛：本题主要考查的是画轴对称图形的方法.画轴对称图形的方法:作任意图形的轴对称图形，只需要找出这个图形的关键点，作出关键点的轴对称点，再依据图形的形状和性质画出最终的轴对称图形. 【例4】（24-25八年级上·浙江湖州·课后作业）在如图的方格纸上画有2条线段，若再画1条线段，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，则这条线段的画法最多有 种． 【答案】4 【详解】解：如图所示，共有4条线段． 故答案为4． 1．（2025·河北·模拟预测）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑2个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰为轴对称图形，则填涂的方案有（    ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念画出各种方案即可选择． 【详解】如图，共有六种填涂方案． 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形的概念．掌握轴对称图形就是一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有 个. 【答案】 【分析】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向、纵向和斜向三种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与△ABC成轴对称的格点三角形，从而得解． 【详解】如图所示，对称轴有三种位置，与△ABC成轴对称的格点三角形有3个． 故答案为3． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，难点在于确定出对称轴的不同位置． 3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点均在网格线的交点上）以及过格点的直线l． (1)画出关于直线l对称的． (2)画出绕A点顺时针旋转后得到的． (3)线段旋转到扫过的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据轴对称的性质确定点的位置，然后连线即可； （2）先根据旋转的性质确定点的位置，然后连线即可； （3）先利用勾股定理求出的长，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，解为所求， （2）如图，即为所求； （3）由旋转的性质得，， ∵， ∴线段旋转到扫过的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图－旋转变换，轴对称变换，勾股定理，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，轴对称变换的性质，正确作出图形． 【典型例题五 台球桌面上的轴对称问题】 【例1】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（   ） A．① B．② C．⑤ D．⑥ 【答案】A 【详解】如图，根据入射线与水平线的夹角等于反射线与水平线的夹角，可求最后落入①球洞． 故选A． 【例2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 ( ) A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】如下图 【详解】如图， 由图可知可以瞄准的点为点D．故选D． 【例3】（24-25八年级上·山东临沂·期末）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1= 【答案】60° 【详解】试题解析：∵台球桌四角都是直角, ∵∠1=∠2， 故答案为 【例4】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，即可求解． 【详解】如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点 当点P第8次碰到矩形的边时为第2个循环组的第2次反弹，点P的坐标为， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 1．（2025·河北·模拟预测）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在锐角中，，点为边上的一定点，连接，，，分别为边和上的两动点，连接，，，则周长的最小值为 ；当周长的最小值时， 的度数为 ． 【答案】 4 120° 【分析】作点P关于AC的对称点E，点P关于BC的对称点F，连接EF交AC于M，交BC于N，连接CE、CF．此时△PMN的周长最小． 【详解】作点关于的对称点，点关于的对称点， 连接交于，交于，连接、． 此时的周长最小． 由对称的性质可知，，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4，120°． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路径问题． 3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，要在街道上修建一个奶吧（街道用直线表示）． （1）若奶吧向小区，提供牛奶如图①，则奶吧应建在什么地方，才能使它到小区，的距离之和最短？ （2）若奶吧向小区，提供牛奶如图②，则奶吧应建在什么地方，才能使它到小区，的距离之和最短？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）根据两点之间线段最短即可得奶吧D的位置； （2）作出A关于街道l的对称点A′，连接A′C和街道l的交点就是奶吧D． 【详解】（1）奶吧D的位置如图①所示； （2）奶吧D的位置如图②所示． 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短以及轴对称-最短路线问题知识点的理解和掌握，能正确画出图形是解此题的关键． 【典型例题六 轴对称中的光线反射问题】 【例1】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】利用轴对称变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【例2】（23-24八年级上·湖南常德·阶段练习）如图，平面镜 放置在水平地面上，于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点B在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余求出，进而可得，利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ， ， ∴， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在平面镜里看到背后墙上电子钟示数实际时间是： . 【答案】20:15 【详解】试题分析：利用轴对称的知识即可得出答案. 解：由图分析可得题中所给的21:05与20:15成轴对称，这时的时间应该是20:15. 故答案为20:15. 【例4】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是 ． 【答案】65° 【分析】作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．根据垂线的性质可得∠CDH+α=90°，根据平行线的性质可得∠AGC=∠CDH，根据入射角等于反射角可得，从而可得夹角的度数． 【详解】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D． ∴∠CDH+α=90°， 根据题意可知：AG∥DF， ∴∠AGC=∠CDH， ， ∴∠CDH=25°， ∴α=65°． 故答案为：65°． 【点睛】本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是掌握平行线的性质、明确法线CG平分∠AGB． 1．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 2．（2025·浙江台州·模拟预测）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】根据平面镜光线反射原理和平行线性质即可求得． 【详解】解：∵入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数为， ∵是两面互相平行的平面镜， ∴反射后的光线n 与镜面夹角度数也为， 又由入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等， ∴反射后的光线k与镜面的夹角度数也为， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面镜光线反射原理和平行线性质，掌握反射光线与平面镜所夹的角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键． 3．（2025八年级上·浙江湖州·专题练习）判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【答案】有，捷径见解析 【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线就是捷径． 【详解】解：如下图， 假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点． 因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度， 连接，则， 在中，由三角形三边故选可得：， 所以折线的长， 即折线就是捷径． 【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点，，连接，得出 C，D两点． 【典型例题七 轴对称折叠问题】 【例1】（24-25七年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形．这个梯形的面积是（ ）． A．48 B．96 C．104 D．128 【答案】C 【分析】梯形的面积＝长方形面积－三角形的面积，根据公式长方形面积＝长×宽求出长为，宽为的长方形面积；根据三角形面积＝底×高，求出底为，高为的三角形面积，最后相减即可．本题考查了长方形面积的面积公式、三角形面积公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意， ； ∴这个梯形的面积是． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，使点，点重合于点，折痕分别为，且，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、平行线的性质等知识点，根据折叠的性质求出，结合平角的定义求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【例3（24-25七年级下·天津·期中）如图，将长方形纸条的一部分沿折叠到的位置．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由折叠的性质得，求出，由平行线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质得， ， ， 四边形是长方形， ， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·河南开封·期中）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是 ． 【答案】/78度 【分析】本题考查平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质，由题意得，根据平行线的性质可得，再由折叠的性质得，利用三角形外角的性质求得，再根据平行线的性质得，由折叠的性质得，再利用，求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴在a图中，， 由折叠的性质得，在b图中，， ∴， ， ∴， 由折叠的性质得，在c图中，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·四川德阳·期末）将一张长方形的纸片折成如图所示的形状，已知比大，则为（    ）度．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据题意得出，，结合题意，即可求解． 【详解】解：如图，    ∵长方形纸片两边平行， ∴， ∵比大，则 ∴ 又∵折叠， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图．两次折叠后，当和的度数之和为时，则的值 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠性质可知，，，则，由平行线的性质可得，，，通过角度和差可得，最后由和的度数之和为即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠性质可知，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵和的度数之和为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点D，C分别落在点，的位置，的延长线与相交于点G． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，延长交于点M，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查折叠的性质和平行线的性质，三角形内角和定理，掌握折叠的性质、平行线的性质定理，并熟练进行等量代换是解题的关键． （1）利用折叠的性质得，，再利用平行线的性质得，通过等量代换得到，求出，进而求出、的度数； （2）利用三角形内角和定理求出，再结合折叠的性质得出 ，再利用平行线的性质求出，进而得出的度数． 【详解】（1）解：由折叠得：，， ∵四边形是长方形， ∴． ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质可得，， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典型例题八 最短路径问题】 【例1】（2025七年级下·浙江湖州·专题练习）如图，只沿图中的网格线走，从至的最短路线有（   ）条． A．8 B．9 C．10 【答案】C 【分析】本题考查了最短线路的知识，根据题意找出问题的切入点是解题关键．由题意可知，只沿图中的网格线走，从至的最短路线只能向右走和向下走，不能回头或绕路，据此分析即可． 【详解】解：只沿图中的网格线走，从至的最短路线只能向右走和向下走，不能回头或绕路， 从点向右走3格，最短路线有1条； 从点向右走2格，最短路线有2条； 从点向右走1格，最短路线有3条； 从点向下走1格，最短路线有3条； 从点向下走2格，最短路线有1条； ， 即从至的最短路线有10条， 故选：C． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】如下图，首先确定DC＇＝DE＋EC＇＝DE＋CE的值最小，由已知条件得出BD和BC＇的长度，然后根据勾股定理计算得出DC＇，即为DE＋CE的值最小值． 【详解】解：如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC＇，交AB于E，此时DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小，连接BC′． 在中， AC＝BC＝2，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°． 由对称性可知∠ABC＇＝∠ABC＝45°． ∴∠CBC＇＝90°． ∵CC＇⊥AB，OC′＝OC， ∴BC＇＝BC＝2． ∵D是BC边的中点， ∴BD＝1． 根据勾股定理可得：DC＇＝＝． 故EC＋ED的最小值是． 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，确定动点E何位置，使EC＋ED的值最小是关键． 【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接、．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】平移CD使点D落在点B处，连接B'C，则点C的对应点为B'，即B'C=BD，进而得出B'（-1，2），再作点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，-1），进而得出AC+BD的最小值为A'B'，即可求解答案． 【详解】解：如图，平移CD使点D落在点B处，连接B'C， 则点C的对应点为B'，即B'C=BD， ∵CD=1，B（0，2）， ∴点B'（-1，2）， 作点A关于x轴的对称点A'，当点A'，C，B'在同一条线上时，AC+BD最小， ∵A（0，1）， ∴A'（0，-1）， 连接A'B'，则AC+BD的最小值为A'B'=， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将AC+BD的最小值转化为A'B'是解本题的关键． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点，分别在，上运动，连结、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点B关于AC的对称点B'，过B′作B′D⊥AB交AC于E，连接AB′，B′D即为BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：作B关于AC的对称点B′，过B′作B′D⊥AB交AC于E，连接AB′， 此时B′E+ED=BE+ED为最小值， 此时∠B′AB=2∠BAC=30°，B′D=AB′=AB=， 即BE+ED的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了最短路径问题，关键是作点B关于AC的对称点B'，利用轴对称的性质解答即可． 1．（2025·山东临沂·模拟预测）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【答案】B 【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】找出所以可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：B 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在正方形中，是上一点，，，则 ，若是上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 8 10 【分析】首先根据题意解得、的值，再根据正方形的性质求得的值；连接，交于，连接，则此时的值最小，由题意易知关于对称，进而可得，所以，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴； 如下图，连接，交于，连接，则此时的值最小， ∵四边形是正方形， ∴关于对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故的最小值是10． 故答案为：8，10． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、最短路径问题、轴对称对称的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，且的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线l的对称图形； (2)在直线l上找一点P，使，并简述作图（画图）过程或依据； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形的作图方法作图即可； （2）只需要作线段BC的垂直平分线与直线l的交点即可； （3）连接与直线l交于点Q，点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：如图所示，点P即为所求； 分别以B、C为圆心，以大于BC长的一半画弧，二者交于两个点，连接这两个交点，这两个交点所在的直线与直线l的交点即为点P； （3）解：如图所示，点Q即为所求； 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，轴对称最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键． 【典型例题九 轴对称线段问题】 【例1】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，、是的两条中线，，P是上一个动点，则的最小值是（   ） A．7 B．3.5 C．5 D．2.5 【答案】C 【分析】根据等腰三角形三线合一得到关于对称，根据，即可得解． 【详解】解：∵，是的中线， ∴， ∴关于对称， ∴， ∴的最小值是； 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及利用轴对称解决线段和最小问题．熟练掌握等腰三角形三线合一以及将军饮马问题的解题方法，是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】只需要作A关于直线l的对称点，连接对称轴与点B交直线l与点P，点P即为所求（作B关于直线l的对称点亦可）； 【详解】解：根据两点之间线段最短可知，只需要作A关于直线l的对称点，连接B与A关于直线l的对称点与直线l的交点即可所求，则只有选项B符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称—最短路径问题，正确理解题意是解题的关键． 【例3】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′=AB=10、GG′=AD=5，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值． 【详解】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示． ∵AE=CG，BE=BE′， ∴E′G′=AB=8， ∵GG′=AD= BC=4， ∴E′G= =4， ∴C四边形EFGH=2E′G=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称中的最短路线问题以及矩形的性质，找出四边形EFGH周长取最小值时点E、F、G之间为位置关系是解题的关键． 【例4】 （24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，，点在上，，点、分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为 . 【答案】 【分析】根据动点的运动，当点、、（关于的对称点）三点共线且于点时，的值最小，再根据等边三角形的性质，即可求出答案． 【详解】如图所示，以为对称轴作，的对称点为； ∴， 当、、三点共线且时，的值最小， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，等边三角形和直角三角形的知识，解题的关键是掌握轴对称最短路径问题，等边三角形的性质和直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半． 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，矩形中，，，点P在对角线上，过点P作，交边，于点M，N，过点M作交于点E，连接，，．下列结论： ①； ②四边形的面积不变； ③当时，； ④的最小值是20．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据线段垂直平分线的性质判断即可；②先根据相似三角形的判定与性质求出对角线的长，再根据四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可；③根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；④先根据轴对称确定最小值，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∵点P不一定是的中点，故①错误； 如图，延长交于点H，则是矩形， 在矩形中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴ ，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， 当最小时，的值最小， 作B、D关于、的对称点、， 由对称的性质得，，， ∴， ∴如图，作，连接， 由，， ∴， ∴， 当点、M、三点共线时，的值最小， 此时同理可得：， ∴，而， ∴，而， ∴四边形是菱形； 设， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在长方形中，E是的中点，F是上一动点（不与C，D重合），已知，，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理，作点E关于直线的对称点G，连接交于F，则此时的周长的值最小，根据矩形的性质得到，得到，根据勾股定理得到，，于是得到结论． 【详解】解：作点E关于直线的对称点G，连接交于F，则此时的周长的值最小， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵点E关于直线的对称点G， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点． (1)如图1，连接，当是四边形的对称轴时，求线段的长； (2)如图2，点是的中点，点为线段上的一个动点，连接、，当最小时，的长为_____； (3)如图3，若，点是的中点，将沿翻折至，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由题意得：，若是四边形的对称轴，则，据此即可求解； （2）由题意得点关于的对称点在上，推出，当时，此时有最小值，故最小；据此即可求解； （3）连接，由题意得：，推出，；由翻折可知：，推出，；得到；设，则；分类讨论时， 时， 两种情况即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 若是四边形的对称轴，则， ∴ （2）解：∵平分， ∴点关于的对称点在上，如图所示： ∴， 当时，此时有最小值，故最小； ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∴； 故答案为： （3）解：连接，由题意得：， ∴， ∴； 由翻折可知：， ∴，； ∴； 设，则； 时， 则， ∵， ∴，解得：； ∴， ∴， ∴， ∴； 时， ， ∵， ∴，解得：； ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，轴对称的性质、翻折的性质、等边对等角等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． 【典型例题十 轴对称角度问题】 【例1】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 【例2】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，轴对称的性质. 分别求出两极值点即可. 【详解】由题意可知 当点F在上时，点E，F重合， 此时 即； 当点F在上时， ∴ ∵， ∴， 解得． 所以x的取值范围是． 故选B． 【例3】（24-25八年级上·北京西城·开学考试）如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：．    【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 【例4】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，，当的值等于 时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形． 【答案】28°或31° 【分析】首先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B＝∠AFD，AB＝AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG＝∠C，就可以求出∠DFG的值；再分两种情况讨论解答即可，当DF＝GF时，当DF＝DG时，从而求出结论． 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝124°， ∴∠B＝∠C＝28°． ∵△ABD和△AFD关于直线AD对称， ∴△ADB≌△ADF， ∴∠B＝∠AFD＝28°，AB＝AF，∠BAD＝∠FAD＝θ， ∴AF＝AC． ∵AG平分∠FAC， ∴∠FAG＝∠CAG． ∴△AGF≌△AGC（SAS）， ∴∠AFG＝∠C． ∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG， ∴∠DFG＝∠B+∠C＝28°+28°＝56°． ①当DF＝GF时， ∴∠FDG＝∠FGD． ∵∠DFG＝56°， ∴∠FDG＝∠FGD＝62°， ∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ， ∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28+θ+62°， ∴∠ADB＝28°+θ+62°， ∵∠ADB+∠B+θ＝180° ∴28°+θ+62°+28°+θ＝180°， ∴θ＝31°． ②当DF＝DG时， ∴∠DFG＝∠DGF＝56°， ∴∠GDF＝180°﹣56°﹣56°＝68°， ∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ， ∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28°+θ+68°， ∴∠ADB＝28°+θ+68°， ∵∠ADB+∠B+θ＝180°， ∴28°+θ+68°+28°+θ＝180°， ∴θ＝28°． ∴当θ＝28°或31°时，△DFG为等腰三角形． 故答案为：28°或31°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在边长为2的等边中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边，连接DF.当的周长最小时，的度数是（    ） A．90° B．120° C．135° D．150° 【答案】A 【分析】作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则当B，F，G在同一直线上时，的周长最小，等于线段BG长，然后根据已知条件和等边三角形的性质可以得到，，从而根据等腰三角形的性质可以得到． 【详解】解：如图，连接CF， ∵、都是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴， 在和中，，∴， ∴， 如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则， ∴当B，F，G在同一直线上时，的最小值等于线段BG长， 的周长最小， 由轴对称的性质，可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴, 故选A． 【点睛】本题考查轴对称的综合应用，熟练掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解题关键． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝ °． 【答案】80 【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN． 【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小， ∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°， ∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°， ∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°， ∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2， ∴NA＝NA2，MA＝MA1， ∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB， ∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°， ∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB） ＝130°﹣50° ＝80°， 故答案为：80． 【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．    (1)依题意补全如图； (2)若，求； (3)若，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性质等知识点，灵活运用这些知识点是解题的关键． （1）依题意补全图形； （2）由等腰三角形的性质和外角性质即可求解； （3）连接交于点，证明，过点作于点，设，，则，，根据勾股定理求出，在中，由勾股定理得出，代入相关数据得出，由，可得出结论． 【详解】（1）解：过点作直线的垂线，交于点，取点，使得，连接，交于点，连接，则点为点关于直线的对称点，图1为所求的图： （2）如图2：连接，    ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，连接交于点， ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在与中， ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴， 过点作于点， 设，，则，， 在中，， 在中，， ∴ ， ∵，， ∴ 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明在学习“制作万花筒”后，形成一个可以自由开合的“镜子门”，把一个“万花筒图片”放在“镜子门”中间时，如图，镜子中的图片是完整的，那么此时“镜子门”的张角不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了镜面对称的性质，用分别除以选项中的数据，进而判断即可． 【详解】A．， ∴以为张角，绕一圈可以完整的拼接图片，即镜子中的图片是完整的，符合题意； B．， ∴以为张角，绕一圈可以完整的拼接图片，即镜子中的图片是完整的，符合题意； C．， ∴以为张角，绕一圈可以完整的拼接图片，即镜子中的图片是完整的，符合题意； D．， ∴当张角为时，镜子门打开成一条直线，此时只有两面镜子 ∴不能形成像万花筒那样完整的图片效果，不符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·福建三明·期末）按如图方式折叠，则是（   ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．垂直平分线 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，由图，结合折叠性质得到，从而得到是的高线，熟记折叠性质是解决问题的关键． 【详解】解：按如图方式折叠， ∴， ∵， ∴， 则是的高线， 故选：C． 3．（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． 4．（23-24七年级下·广东河源·期中）社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 5．（23-24七年级下·福建三明·期末）如图，长方形，E是的中点，点F在上，且，，G是的中点，H为上的动点，连接，，若，，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，解决问题的关键是作辅助线，利用两边之和大于第三边解决问题； 取的中点M，连接、，可得首先证明和得，根据，当E，H，M三点共线时，的值最小，再根据G是的中点，M是的中点，得，即可得出周长的最小值。 【详解】取的中点M，连接、 ，在和中 ， ， 在和中， ， , ， 四边形是长方形，E是的中点，M是的中点， 四边形是长方形，， .， 当E，H，M三点共线时，的值最小， 最小值为， G是的中点，M是的中点，， , 周长的最小值是， 故选：D. 6．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质以及全等的性质，根据轴对称的性质可，再根据和的度数即可求出的度数．熟练掌握轴对称的性质和全等的性质是解答此题的关键． 【详解】解：与关于直线对称， ， ，， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·新疆伊犁·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和性质，先根据题意，得，，，结合三角形内角和性质得，再求出，运用两直线平行，同旁内角互补进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 8．（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A，D分别落在点，的位置上，与交于点G，若，则 ． 【答案】/88度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质．根据长方形的性质可得，从而得到，再根据折叠的性质可得，从而求得，最后根据即可得到的值． 【详解】解：四边形为长方形， ∴， ， 又四边形由四边形折叠而成， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·甘肃天水·期末）如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 【答案】16 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键 根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．可得，，根据三角形周长的定义即可解答． 【详解】点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M， ，， ∵的周长， ， ， 故答案为：16． 10．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 由轴对称图形的性质可知：点到直线的距离为，则，，由此求得即可． 【详解】解：解：由已知正六边形和正六边形关于直线对称，因此是对称轴， ， 点到直线的距离为， ， ； 故答案为： 11．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在三个图中分别作出直线l． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形的对称轴，熟练掌握其画法是解题的关键． 根据对称轴的定义即可求解． 【详解】解：延长对应线段，找到交点，过交点作直线即可，如图①②③所示． 12．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，将沿边翻折得到，点是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据沿边翻折得到，得出，根据补角性质得出，得出，最后根据等腰三角形判定得出答案即可； （2）证明，根据折叠得出，即可得出，求出． 【详解】（1）证明：沿边翻折得到， ， ，， ， ， ， ， ． （2）解：， ， 由（1）知，，， ， ， ， 由翻折得， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，补角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 13．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，与关于成轴对称，点B，M，C在同一直线上，N是边上一点，D是延长线上一点，连接，与交于点O，作关于的对称图形，点D，N，E在同一直线上． (1)填空：________，________； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)， (2)132°． 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （1）根据成轴对称的两个图形全等解答即可； （2）根据轴对称的性质得到，，然后根据三角形的内角和求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，与关于成轴对称，关于的对称图形， ∴，， 故答案为：，； （2）根据轴对称的性质，得，，，． ． ． ． ． ． 14．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请在下图中画出与关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)存在，或 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据关于y轴对称的特征作出点、、，再顺次连接即可得解； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）设，用含x的式子表示的面积，再分两种情况解方程即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图所示： 的面积为； （3）存在，理由如下 设点P的坐标为， 由（1）得，， 则以为底边时，高为到轴的距离，即2， ， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 所以点P的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 图形的轴对称（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 轴对称图形的识别 典型例题二 根据成轴对称图形的特征进行判断 典型例题三 根据成轴对称图形的特征进行求解 典型例题四 画轴对称图形 典型例题五 台球桌面上的轴对称问题 典型例题六 轴对称中的光线反射问题 典型例题七 轴对称折叠问题 典型例题八 最短路径问题 典型例题九 轴对称线段问题 典型例题十 轴对称角度问题 知识点01 轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 轴对称和轴对称图形的性质 轴对称的性质： 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【即时训练】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．保健食品 B．绿色食品 C．有机食品 D．速冻食品 【即时训练】 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的有 个． 知识点02 设计轴对称图形 问题一：已知对称轴l和一个点A，如何画出点A关于l的对称点A′? 作法: 过点A作直线l的垂线，在垂线上截取OA′=OA, 垂足为点O，点A′就是点A关于直线l的对称点. 问题二：如何画线段AB关于直线l 的对称线段A′B′? 作法： 1. 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA′=OA， 点A′就是点A关于直线l的对称点； 2.类似地，作出点B关于直线l的对称点B′； 3.连结A′B′. 问题三：如图已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC关于直线l对称的图形呢？ 作法： △ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别作出这三个顶点 关于直线l的对称点，连结这些对称点，就能得到要作的图形. ∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形. 归 纳 一．作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤: 1.找点（确定图形中的一些特殊点）； 2.画点（画出特殊点关于已知直线的对称点）； 3.连线（连结对称点）. 二．设计轴对称图案的步骤： （1）画出对称轴； （2）画出图形的基本形状的部分线条； （3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形； （4）按照另一条对称轴继续画对称图形； （5）完成对称图案设计. 【即时训练】 1．（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，阴影部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有（　　）    A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【即时训练】 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 【典型例题一 轴对称图形的识别】 【例1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）下列图形是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024·河南信阳·模拟预测）现有4张化学仪器的示意图卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片，背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片正面图案都是轴对称图形的概率是 ． 【例4】（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线对称，则这个英语单词的汉语意思为 ． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·课后作业）已知直线yy′⊥xx′，垂足为O，则图形①与图形 成轴对称 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列各图形是轴对称图形吗？如果是，画出他们的对称轴 【典型例题二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例1】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中：①能够完全重合的两个图形成轴对称；②两个全等的三角形一定关于某条直线对称；③两个图形关于某条直线对称，对应点一定在直线两旁；④两个关于某直线对称的三角形是全等三角形．正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．④ 【例2】（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，与△关于直线对称，交于点O，下列结论：①；②； ③中，正确的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）在“线段、角、正五角星、三角形”这四个图形中，是轴对称图形的有 个. 【例4】（24-25八年级上·浙江湖州·单元测试）如图，请说出甲树是怎样由乙树变换得到的： ． 1．（24-25八年级上·山东德州·期末）如图，△ABC和△关于直线对称，下列结论中正确的有（　　） ①△ABC≌△ ②③直线垂直平分 ④直线BC和的交点不一定在直线上． A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④ 2．（2025·海南·模拟预测）如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④．其中正确的是 （只填写序号） 3．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图1、2，在中，，点P、Q是边上的两个动点，（不与点B、C重合），点Q在点P的右侧，且． （1）利用图1求证：，； （2）在图2中，，点M是点Q关于直线的对称点，连接， ①依题意将图2补全； ②求证：． 【典型例题三 根据成轴对称图形的特征进行求解】 【例1】（24-25八年级上·广东广州·期中）一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，如图，其中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·浙江湖州·期末）如图，和关于直线对称，交于点，若，，，则五边形的周长为　　 A．11 B．12 C．13 D．14 【例3】（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，直线l是四边形的对称轴，，，则的大小为 ． 【例4】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，为内任一点，且，请在图中分别画出点关于，的对称点，，连，，，则的面积为 ． 1．（24-25八年级上·浙江湖州·课后作业）如图，若与关于BC所在直线对称，且，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为 ． 3．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）（1）计算：． （2）如图，与关于直线对称，若，求的度数． 【典型例题四 画轴对称图形】 【例1】（24-25八年级上·江苏·阶段练习）如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，如果再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形的标号不可能是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【例2】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，△ABC是在2×2的正方形网格中以格点为顶点的三角形，那么图中与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形共有（　     ）． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【例3】（24-25七年级下·浙江湖州·课后作业）求作与已知图形成轴对称的图形，先观察图形，并确定能代表已知图形的关键点，分别作出这些关键点关于对称轴的 ，根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形． 【例4】（24-25八年级上·浙江湖州·课后作业）在如图的方格纸上画有2条线段，若再画1条线段，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，则这条线段的画法最多有 种． 1．（2025·河北·模拟预测）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑2个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰为轴对称图形，则填涂的方案有（    ）种． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，在格纸中能画出与成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括本身），这样的三角形共有 个. 3．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点均在网格线的交点上）以及过格点的直线l． (1)画出关于直线l对称的． (2)画出绕A点顺时针旋转后得到的． (3)线段旋转到扫过的面积为 ． 【典型例题五 台球桌面上的轴对称问题】 【例1】（2025·浙江丽水·模拟预测）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（   ） A． ① B．② C．⑤ D．⑥ 【例2】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 ( ) A．点A B．点B C．点C D．点D 【例3】（24-25八年级上·山东临沂·期末）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1= 【例4】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ．    1．（2025·河北·模拟预测）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在锐角中，，点为边上的一定点，连接，，，分别为边和上的两动点，连接，，，则周长的最小值为 ；当周长的最小值时， 的度数为 ． 3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，要在街道上修建一个奶吧（街道用直线表示）． （1）若奶吧向小区，提供牛奶如图①，则奶吧应建在什么地方，才能使它到小区，的距离之和最短？ （2）若奶吧向小区，提供牛奶如图②，则奶吧应建在什么地方，才能使它到小区，的距离之和最短？ 【典型例题六 轴对称中的光线反射问题】 【例1】（2025·河北衡水·模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【例2】（23-24八年级上·湖南常德·阶段练习）如图，平面镜 放置在水平地面上，于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点B在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在平面镜里看到背后墙上电子钟示数实际时间是： . 【例4】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与反射光线的夹角为50°，则平面镜与水平地面的夹角的度数是 ． 1．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·浙江台州·模拟预测）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面的夹角的度数为，光线n与光线k的夹角的度数为．则x与y之间的数量关系是 ． 3．（2025八年级上·浙江湖州·专题练习）判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【典型例题七 轴对称折叠问题】 【例1】（24-25七年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形．这个梯形的面积是（ ）． A．48 B．96 C．104 D．128 【例2】（24-25七年级下·浙江丽水·期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，使点，点重合于点，折痕分别为，且，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【例3（24-25七年级下·天津·期中）如图，将长方形纸条的一部分沿折叠到的位置．若，则的度数为 ． 【例4】（24-25七年级下·河南开封·期中）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是 ． 1．（24-25七年级下·四川德阳·期末）将一张长方形的纸片折成如图所示的形状，已知比大，则为（    ）度．    A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有一长方形纸带，分别是边上一点，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图．两次折叠后，当和的度数之和为时，则的值 ． 3．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，点D，C分别落在点，的位置，的延长线与相交于点G． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，延长交于点M，若，求的度数． 【典型例题八 最短路径问题】 【例1】（2025七年级下·浙江湖州·专题练习）如图，只沿图中的网格线走，从至的最短路线有（   ）条． A．8 B．9 C．10 【例2】（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接、．则的最小值为 ． 【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点，分别在，上运动，连结、，则的最小值为 ． 1．（2025·山东临沂·模拟预测）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在正方形中，是上一点，，，则 ，若是上一动点，则的最小值是 ． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，且的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线l的对称图形； (2)在直线l上找一点P，使，并简述作图（画图）过程或依据； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小． 【典型例题九 轴对称线段问题】 【例1】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，、是的两条中线，，P是上一个动点，则的最小值是（   ） A．7 B．3.5 C．5 D．2.5 【例2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（    ） A．B．C． D． 【例3】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为 ． 【例4】 （24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，，点在上，，点、分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为 . 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，矩形中，，，点P在对角线上，过点P作，交边，于点M，N，过点M作交于点E，连接，，．下列结论： ①； ②四边形的面积不变； ③当时，； ④的最小值是20．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在长方形中，E是的中点，F是上一动点（不与C，D重合），已知，，则周长的最小值为 ． 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点． (1)如图1，连接，当是四边形的对称轴时，求线段的长； (2)如图2，点是的中点，点为线段上的一个动点，连接、，当最小时，的长为_____； (3)如图3，若，点是的中点，将沿翻折至，连接．当为等腰三角形时，求的度数． 【典型例题十 轴对称角度问题】 【例1】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在菱形中，，P为AD边上一点，连接，作关于对称的，点F与点E关于对称．设，若点F在内（不包括边界），则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·北京西城·开学考试）如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为 ．    ， 【例4】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，，当的值等于 时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在边长为2的等边中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边，连接DF.当的周长最小时，的度数是（    ） A．90° B．120° C．135° D．150° 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝ °． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．    (1)依题意补全如图； (2)若，求； (3)若，用等式表示线段，，之间的数量关系并证明． 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明在学习“制作万花筒”后，形成一个可以自由开合的“镜子门”，把一个“万花筒图片”放在“镜子门”中间时，如图，镜子中的图片是完整的，那么此时“镜子门”的张角不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建三明·期末）按如图方式折叠，则是（   ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．垂直平分线 3．（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·广东河源·期中）社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·福建三明·期末）如图，长方形，E是的中点，点F在上，且，，G是的中点，H为上的动点，连接，，若，，则周长的最小值是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，若与关于直线对称，则的度数为 ． 7．（24-25七年级下·新疆伊犁·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A，D分别落在点，的位置上，与交于点G，若，则 ． 9．（23-24七年级下·甘肃天水·期末）如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 10．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段 ． 11．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在三个图中分别作出直线l． 12．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，将沿边翻折得到，点是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，与关于成轴对称，点B，M，C在同一直线上，N是边上一点，D是延长线上一点，连接，与交于点O，作关于的对称图形，点D，N，E在同一直线上． (1)填空：________，________； (2)若，求和的度数． 14．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请在下图中画出与关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$