第13讲 不等式的基本性质及其解法（2大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版2024）

第13讲 不等式的基本性质及其解法（2大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 不等式的定义 典型例题二 不等式的性质 典型例题三 一元一次不等式的定义 典型例题四 不等式的解集 典型例题五求一元一次不等式的整数解 典型例题六 在数轴上表示不等式的解集 典型例题七 求一元一次不等式解的最值 典型例题八 解|x|≥a型的不等式 典型例题九 列一元一次不等式 典型例题十 用一元一次不等式解决实际问题 典型例题十一 用一元一次不等式解决几何问题 知识点01 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解． 【详解】解：、不含未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 、含2个未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 、是一元一次不等式，该选项符合题意； 、未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 故选：． 【即时训练】 2．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）写出一个关于的一元一次不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数的不等号的式子，据此即可作答． 【详解】解：依题意：关于的一元一次不等式：， 故答案为：（答案不唯一） 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．两边同时除以，不等号变号，即可求解． 【详解】解：， 系数化为，得：， 故答案为：． 【典型例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级下·湖北襄阳·阶段练习）下列各式中，不是不等式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的定义，用不等号连接的式子叫做不等式，据此求解即可． 【详解】解：根据不等式的定义可知，四个式子中只有D选项不是不等式， 故选：D． 【例2】（23-24八年级上·山西太原·期中）如图是2024年4月12日太原的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则t的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用不等式的定义分析得出答案．此题主要考查了不等式的定义，正确理解不等式的意义是解题关键． 【详解】解：∵2024年4月12日太原的天气，这天的最高气温是，最低气温是， ∴t的变化范围是：． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）“x减去5是正数”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】根据正数定义直接列式即可． 【详解】解：∵大于0的数是正数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正数的定义及列不等式，大于0的数是正数是解题的关键． 【例4】（24-25七年级下·浙江宁波·单元测试）一个长方形的长为x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为 ． 【答案】2(x＋50)≥280 【分析】根据长方形的周长公式可表示出周长，再根据不等关系列出不等式. 【详解】∵一个长方形的长为x米，宽为50米， ∴周长为2(x＋50)米， ∴周长不小于280米可表示为2(x＋50)≥280， 故答案为2(x＋50)≥280. 【点睛】此题主要考查列不等式，解题的关键是根据题意找出不等关系. 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解答本题的关键． 根据不等式的定义解答即可． 【详解】解：A、不是不等式，故A选项不符合题意； B、不是不等式，故B选项不符合题意； C、是不等式，故C选项符合题意； D、不是不等式，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）某班35名同学去春游，共收款100元，由小李去买点心，每人一包；已知有2.5元一包和4.5元一包的点心，试问最多能买几包4.5元的点心？设买x包4.5元的点心，根据题意，列出关于x的不等式为 ； 【答案】4.5x+2.5（35-x）≤100 【分析】设4.5元的买x包，则2.5元的买了（35-x）包，根据题意可得，买点心的花费不超过100元，据此列不等式． 【详解】由题意得，4.5x+2.5（35-x）≤100． 故答案为4.5x+2.5（35-x）≤100． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的不等关系，列不等式． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）用不等式表示 （1）a的与一1的差是非正数．     （2）a的平方减去b的立方大于a与b的和． （3）a的减去4的差不小于-6． （4）x的2倍与y的和不大于5． （5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】根据题意以及不等式的定义列不等式． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【点睛】本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式． 【典型例题二 不等式的性质】 【例1】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式两边加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式两边乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质依次判断即可． 【详解】解∶∵， ∴，，，， ∴，， ∴选项A正确，选项B、C、D错误， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）如图，三人A，B，C分别坐在质地均匀且到中心点距离相等的跷跷板上，体重分别记作a，b，c，则a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质和应用，由图可得，，再结合不等式的性质即可得解，熟练掌握不等式的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：，， ∴， 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·天津·阶段练习）若，那么 （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级下·浙江宁波·课后作业）写出下列不等式变形的依据： （1）由，得．依据是 ； （2）由，得．依据是 ； （3）由，得．依据是 ． 【答案】 不等式性质1 不等式性质2 不等式性质1 【分析】（1）根据等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变求解； （2）根据不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变求解； （3）根据等式两边加上（或减去）同一个含有字母的式子，不等号方向不变求解． 【详解】（1）由，得．依据是不等式性质1； 故答案为：不等式性质1； （2）由，得．依据是不等式性质2； 故答案为：不等式性质2． （3）由，得．依据是不等式性质1． 故答案为：不等式性质1． 1．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）已知，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】理由见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质得到，继而得到，即可得解． 【详解】解：，理由如下： ， ∴ ． 2．（24-25七年级下·山西晋城·期中）阅读下列解题过程，解答问题： 已知，比较与的大小． 解：，且（已知） ① 2y（不等式的基本性质2）， ② （不等式的基本性质1）． (1)上述材料中横线上应该填的是①________，②________． (2)若，写出与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，说明见解析 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． （1）利用不等式的基本性质进行分析解答即可； （2）利用不等式的基本性质进行分析解答即可． 【详解】（1）解：∵，且（已知） （不等式的基本性质2） （不等式的基本性质1） 故答案为：，； （2）解：∵，且（已知） （不等式的基本性质3） ∴（不等式的基本性质1）． 3．（2025·河北邯郸·模拟预测）嘉琪同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若开始输入为，请你根据程序列出算式并计算出输出结果； (2)嘉琪发现将一个小于的数输入，得到的结果总是正数．请验证这个结论． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，不等式的性质，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）首先用开始输入的数乘，求出积是多少；然后用所得的积除以2，求出商是多少；最后用所得的商减去即可． （2）这个数是x，得出程序的结果为，再令，代入验证即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设这个数是x，则， ， ， ，即得到的结果总是正数． 【典型例题三 一元一次不等式的定义】 【例1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则k的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义可得且，分别进行求解即可．本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且，解得：， 故选：C 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）下列不等式中，是一元一次不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义作出判断． 【详解】解：①；③；④三个不等式中，未知数只有1个，且未知数的最高次数为1次，所以3个都是一元一次不等式； ②，未知数的次数为-1，不是1，所以不是一元一次不等式； ⑤是一个不含未知数的不等式，所以不是一元一次不等式． 故选C． 【点睛】本题考查一元一次不等式，正确理解一元一次不等式的意义是解题关键． 【例3】（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有 （填序号）． 【答案】④⑤/⑤④ 【分析】本题考查一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【详解】解：①没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ②，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； ③有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 是一元一次不等式． ∴一元一次不等式有④⑤共个． 故答案为：④⑤． 【例4】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则该不等式可列为 ． 【答案】 【分析】根据二阶行列式的定义可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式，理解二阶行列式的定义是解题关键． 1．（24-25八年级上·上海金山·期中）若关于的不等式与的解集完全相同，求的值． 【答案】 【分析】根据关于的不等式与的解集完全相同，可得的解集为，即有，进而可得，问题随之得解． 【详解】解，得：， ∵关于的不等式与的解集完全相同， ∴的解集为， ∴，且解得：， ∴根据解集完全相同，可得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了求解不等式的解的知识，理解关于的不等式与的解集完全相同，得到，进而可得，是解答本题的关键． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）定义：对于任何实数m，符号表示不大于m的最大整数．例如：，，． (1)填空：_______，________． (2)求方程的整数解； (3)如果，求满足条件的x的取值范围． 【答案】(1)3，2； (2)x＝−5； (3)7＜x≤． 【分析】（1）根据新定义表示的意义求解； （2）整理方程得【x】＝，根据定义得出x−1＜≤x，解不等式组求得x的取值范围，由【x】是整数，设4x＋5＝3n（n是整数）得到x＝，则−8＜≤−5，解得−9＜n≤−5，即可求得当n＝−5，方程的整数解为x＝−5； （3）根据新定义得出关于x的不等式组，进而可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：【π】＝3，【−2.1】＋【5.1】＝−3＋5＝2， 故答案为：3，2； （2）∵4x−3【x】＋5＝0， ∴【x】＝， ∴x−1＜≤x， 解得：−8＜x≤−5， ∵【x】是整数， 设4x＋5＝3n（n是整数）， ∴x＝， ∴−8＜≤−5， 解得：−9＜n≤−5， ∵n是整数， ∴n为−8，−7，−6，−5， ∴当n＝−5，方程的整数解为x＝−5； （3）根据题意得：−4≤＜−3， 解得：7＜x≤， 则满足条件的x的取值范围为：7＜x≤． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息进行解答． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于实数、，定义一种运算：． （1）求的值： （2）如果关于的方程有两个相等的实数根，求实数的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据新运算“△”的运算公式进行运算即可得出结论； （2）根据新运算“△”的运算公式将方程进行变形，再根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1） （2）， 整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1＝0． ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴ ， ∴a＝0． 【点睛】本题考查了实数的运算、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据新运算“△”的运算公式进行运算；（2）由原方程有两个相等的实数根，找出关于a的一元一次不等式及一元二次方程． 【典型例题四 不等式的解集】 【例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变． 【例2】（24-25七年级下·湖北恩施·期末）据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（　　）（单位：吨） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“6吨多”得到的取值范围即可． 【详解】解：根据“6吨多”物资运送到天和核心舱得到． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式． 【例2】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若（a﹣1）x＜1﹣a可变形为x＞﹣1，则a的取值范围是 ． 【答案】a＜1． 【分析】运用不等式的性质求解即可． 【详解】∵（a﹣1）x＜1﹣a可变形为x＞﹣1， ∴a﹣1＜0， ∴a＜1． 故答案为：a＜1． 【点睛】本题主要考查了不等式的解集，解题的关键是运用不等式的性质求解． 【例4】（23-24七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（2025七年级下·浙江宁波·专题练习）下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【答案】(1)是该不等式的解，不是该不等式的解 (2)是该不等式的解，5不是该不等式的解 【分析】本题考查不等式的解的意义． （1）分别将括号内的数代入不等式的左边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立； （2）分别将括号内的数代入不等式的左边和右边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立． 【详解】（1）解：当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式不成立； 当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式成立； 故是该不等式的解，不是该不等式的解． （2）解：当x取0时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得， 因为，所以原不等式成立； 当x取3时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式成立； 当x取5时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式不成立， 故是该不等式的解，5不是该不等式的解． 2．（24-25八年级上·北京·期中）小光在一条东西方向的马路上行走，向东走5米记作米． (1)则向西走米记作___________米； (2)小光从出发点出发，前4次行走依次记作，，，（单位：米），则他第5次需要向___________走___________米，才能恰好回到出发点； (3)小光从出发点出发，将连续的4次行走依次记作，，，（单位：米）．如果此时他位于出发点西侧，则的取值范围是___________．此时小光共行走了多少米？（用含m的代数式表示，并化简） 【答案】(1) (2)东，4 (3)，小光共行走了米 【分析】（1）向东走为正，则向西走为负； （2）根据最终回到出发点，则4次行走数据之和为0,设第5次行走，记作米，然后列方程求解即可； （3）根据经过4次行走，最终在出发点西侧，则4次数据之和小于零，列出不等式，解不等式，即可得出的取值范围；然后再计算4次数据的绝对值之和，即为小光共行走的距离． 【详解】（1）解：已知向东走5米记作米， ∵东西方向相反，向东为正，向西则为负， ∴向西走米记作米， 故答案为： （2）解：设第5次行走，记作米， 则 解方程得 则第5次需要向东走4米， 故答案为：东，4． （3）解：根据题意得 解得， ∴的取值范围是 = = 则小光共行走了米． 【点睛】本题考查了正负数的应用、绝对值、不等式等知识，熟练掌握相关概念并能应用于实际问题是解题关键． 3．（2024七年级·浙江宁波·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【分析】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【详解】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 【典型例题五 求一元一次不等式的整数解】 【例1】（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）不等式的非负整数解的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式的问题，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 先去括号，再移项和合并同类项，即可求出不等式的解，再求出非负整数解即可． 【详解】解： 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∴非负整数解有0，1，2，共3个． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的整数解有无数多个 B．不等式的负数解有有限个 C．不等式的解集在数轴上表示时，对应的点为空心圆圈 D．是不等式的一个解 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解，以及在数轴上表示不等式的解集．根据不等式的解可判断A，B，D；根据不等式的解集在数轴上的表示法可判断C． 【详解】A．不等式的整数解有无数多个，正确； B．不等式的负整数解有有限个，负数解有无限个，故不正确； C．不等式的解集在数轴上表示时，对应的点为空心圆圈，正确； D．是不等式的一个解，正确； 故选B． 【例3】（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知不等式的最小整数解也是方程的解，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，整数解，以及方程的解，关键是正确确定出x的值． 首先解出一元一次不等式的解集，再确定出x的值，再把x的值代入方程即可得到关于k的方程，再解方程即可算出k的值． 【详解】解：， 解得：， ∵x是不等式的最小整数解， ∴， 把代入方程中得：， 解得：， 故答案为：4． 【例4】（24-25七年级下·天津西青·期末）要使代数式的值不大于的值，则满足条件的所有负整数x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，解题关键是根据题意列出不等式． 先列出一元一次不等式不等式，再解一元一次不等式不等式，然后求出所有负整数x的值． 【详解】解：∵代数式的值不大于， ∴，解得：， ∴满足条件的所有负整数x的值是， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）解不等式组，在数轴上表示出不等式组的解集，并写出它的非负整数解． 【答案】，数轴见解析，、． 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来，然后写出它的非负整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式的解集为， 在数轴上表示如下： 它的非负整数解为：、． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）（1）解关于x的不等式，并求出其最小整数解． （2）解关于x的不等式组： 【答案】（1），最小整数解为3；（2） 【分析】本题主要考查解不等式及解不等式组； （1）先去分母，移项，系数化为1即可求出不等式的解集，再取其最小整数解即可； （2）分别根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1解出每个不等式的解集，再取公共部分即可． 【详解】解：（1） ， ∴最小整数解为3； （2） 整理①得， 解得， 整理②得， 解得：； ∴． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）对于，定义一种新运算，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． (1)_______；________． (2)解不等式组； (3)若关于的不等式的最大整数解为，则________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查了新定义、解一元一次不等式组和一元一次不等式，正确列出不等式和不等式组是关键． （1）根据题意代入数值计算即可； （2）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可； （3）根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可 【详解】（1）解：由题意可得，，， 故答案为： （2）由题意可知可化为 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集是 （3）由题意可得， 解得， ∵关于的不等式的最大整数解为， ∴ 解得 ∵为整数， ∴或 故答案为：或 【典型例题六 在数轴上表示不等式的解集】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）下列在数轴上表示不等式组的解集中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”，“含等号用实心，不含等号用空心”是解答此题的关键． 根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【详解】解：将不等式组的解集在数轴表示如下： 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 【例3】（2024·河南商丘·模拟预测）一个不等式组的解集如图所示，该不等式组所有整数解的和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是由数轴得出不等式组的解集． 先由数轴写出不等式组的解集，然后即可写出不等式组的整数解，再计算出该不等式组所有整数解的和即可． 【详解】解：由数轴可得， 图中表示的不等式组的解集是， 该不等式组的所有整数解是，0，1，2， 该不等式组所有整数解的和为， 故答案为：2． 【例4】（2025·广西·模拟预测）如图所示，将三个数，，表示在数轴上，则被图中表示的解集包含的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴表示解集，无理数的估值．由数轴先确定解集，再确定每个无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，解集为， ∵，，， ∴被图中表示的解集包含的数是． 故答案为： 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示解集见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法，在数轴上表示不等式组的解集． 分别解两个不等式，可以求得不等式组的解集，然后在数轴上表示出解集即可解答本题． 【详解】解：原不等式组 由①得：； 由②得：； 原不等式组的解集为：． 不等式组的解集在数轴上表示如下： 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）解不等式（组），并在数轴上表示其解集： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，系数化1即可，然后在数轴上表示该不等式组的解集； （2）分别算出每个不等式的解集，再取公共部分的解集，然后在数轴上表示该不等式组的解集，即可作答． 【详解】（1）解：∵ 则 则， ∴， ∴； 数轴表示为： （2）解： 由得， 由得， ∴不等式组的解集为． 该不等式组的解集在数轴上表示出来： 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）解不等式组：，请结合题意，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________． (2)解不等式③，得________． (3)把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来． (4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查解不等式及不等式组的解集，在数轴上表示解集． （1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解即可； （3）根据在数轴上表示不等式的解集的方法表示即可； （4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分即可解答． 【详解】（1）解：， 系数化为1，得． 故答案为： （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 系数化为1，得． 故答案为： （3）解：把不等式①、②和③的解集在数轴上表示为： （4）解：从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集． 故答案为： 【典型例题七 求一元一次不等式解的最值】 【例1】（24-25七年级下·江苏盐城·期末）满足不等式x+3＜0的最大整数解是（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先解不等式，求出不等式的解集，再找出解集中的最大整数即可. 【详解】解：由不等式x+3＜0，解得：x＜﹣3，则不等式的最大整数解为﹣4，故选B． 【点睛】本题考查了解不等式和不等式的解的概念，属于基础题型，正确的求解不等式是解题的关键. 【例2】 （24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 【答案】A 【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x． 【详解】当时，第1次运算结果为， ∴当时，输出结果是1； 由题意，得 ， 解得， ∴使代数式的值小于20的最大整数x是7， 故选A． 【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键． 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）代数式，当x 时，有最 值为 ． 【答案】 ＝ 大 8 【分析】根据平方得非负性进行分析解答． 【详解】， ∴， ∴， ∴ 时，有最大值8， 故填：＝－1，大，8. 【点睛】本题考查平方具有非负性、不等式的基本性质，属于基础题目． 【例4】 （24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知，，，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 ； 2 【分析】根据已知条件求得，化简，根据，解不等式组即可得到结论． 【详解】∵，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为；最大值为2， 故答案为：，2． 【点睛】本题主要考查了整式的加减，一次不等式的运算，数轴，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键． 1．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)当取（1）中最大负整数值时，求的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先解二元一次方程组用m表示出x、y，再根据得到关于m的不等式，解不等式即可； （2）根据（1）所求得到m的值，即可得到答案． 【详解】（1）解： 用②－①得：，解得， 把代入到②得：，解得， ∵， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∵m取最大负整数， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，代数式求值，熟知相关计算方法是解题的关键． 2．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 【答案】(1)，； (2)， (3)1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）嘉淇在解一道数学计算题时，发现有一个数被污染了． (1)嘉淇猜污染的数为1，请计算； (2)老师说，嘉淇猜错了，正确的计算结果不小于，求被污染的数最大是几？ 【答案】(1)； (2)-2 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按照从左到右的顺序依次计算； （2）根据题意列出一元一次不等式，先求出不等式的解，再进一步得到最大的数. 【详解】（1）解： （2）解：设污染了的实数为x，则有 解之得， 所以被污染的实数最大是-2． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次不等式，能够根据题意列出不等式是解决问题的关键. 【典型例题八 解|x|≥a型的不等式】 【例1】（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 解不等式③得：， ∴不等式组的解集为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了解不等式组和含绝对值的不等式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【例2】（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，即可求解；理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为， 无解， ， 故选：D． 【例3】（24-25七年级下·山东淄博·期末）若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是 ． 【答案】a＞3． 【分析】分三种情况考虑：当2a﹣6＞0，2a﹣6=0，与2a﹣6＜0时，利用绝对值的代数意义化简，即可求出a的范围． 【详解】解：当2a﹣6＞0，即a＞3时，不等式变形为2a﹣6＞6﹣2a， 解得：a＞3； 当2a﹣6＝0，即a＝3时，不等式不成立； 当2a﹣6＜0，即a＜3时，不等式不成立， 综上，实数a的范围为a＞3． 故答案为：a＞3． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及绝对值的代数意义，利用了分类讨论的数学思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的而关键． 【例4】（24-25七年级下·浙江·期中）能够使不等式成立的x的取值范围 ． 【答案】x＜-1 【分析】根据绝对值的性质可知：|x|-x≥0，当等于0时不符合题意，再由不等式的性质两个异号因式相乘的值小于0可求出x的取值范围． 【详解】解：当x≥0时，|x|-x=x-x=0， 于是（|x|-x）（1+x）=0，不满足原式，故舍去x≥0； 当x＜0时，|x|-x=-2x＞0， x应当要使（|x|-x）（1+x）＜0，满足1+x＜0，即x＜-1， 所以x的取值范围是x＜-1． 故答案为：x＜-1． 【点睛】本题综合考查了绝对值的性质和不等式的性质，有一定难度． 1．（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）解下列不等式（组），并将解集在数轴上表示出来： （1）                （2） （3）                         （4） 【答案】（1），数轴见解析 （2），数轴见解析  （3）或，数轴见解析 （4）无解 【分析】（1）去括号，移项合并同类项，系数化1即可； （2）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化1即可； （3）先移项，化去绝对值，移项合并即可； （4）先标号，分别解每一个不等式，再取公共解集即可． 【详解】解：（1）， 去括号得， 移项合并得， 系数化1得； 在数轴上表示解集 （2）， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 系数化1得； 在数轴上表示解集 （3）， 移项得 ， 化去绝对值得 或 ， 解得   或 ； 在数轴上表示解集 （4）， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组无解． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，绝对值不等式解法，一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式的解法，绝对值不等式解法，一元一次不等式组的解法是解题关键． 2．（24-25七年级下·四川自贡·阶段练习）材料一：如果，则或． 材料二：如果，则或 如果，则或 根据以上材料完成下列任务： 任务一、解绝对值不等式 任务二、解一元二次不等式 任务三、解分式不等式 【答案】任务一：或；任务二：；任务三：或 【分析】本题考查解不等式（组）， 任务一：根据阅读材料一得出两个不等式，分别求解即可； 任务二：根据阅读材料二得出两个不等式组，分别求解即可； 任务三：根据阅读材料二得出两个不等式组，分别求解即可； 根据题意得出不等式（组）是解题的关键． 【详解】解：任务一：∵， ∴或， 解得：或； 任务二：∵， ∴或， 解不等式组，得：空集， 解不等式组，得：， ∴原不等式的解集为； 任务三：∵， ∴或， 解不等式组，得：， 解不等式组，得：， ∴原不等式的解集为或． 3．（2025八年级上·浙江·专题练习）数学实验室： 、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　； (3)若x表示一个有理数，且，则＝　　； (4)若x表示一个有理数，且＞4，则有理数x的取值范围是　　． 【答案】(1)3 (2) (3)4 (4)或 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式直接计算解答即可； （2）根据数轴上两点之间距离公式直接计算解答即可； （3）由结合绝对值的性质可得，进而合并同类项即可； （4）分别根据、、结合绝对值的性质解，解答即可． 【详解】（1）解：和的两点之间的距离， 数轴上表示2和5的两点之间的距离是3． 故答案为：3； （2）解：和的两点之间的距离为：， 数轴上表示和的两点之间的距离表示为：． 故答案为：； （3）解：， ． 故答案为：4； （4）解：当时，原式，解得，， 当时，原式，解得，， 当时，原式，不符合题意，故舍去， 有理数的取值范围是：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了绝对值，两点间的距离公式，解题的关键是明确的几何意义． 【典型例题九 列一元一次不等式】 【例1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）“与7的差的一半是正数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，“x与7的差的一半是正数”需转化为不等式，首先，“x与7的差”表示为，再取其“一半”即整体除以2，得到，最后，“是正数”对应“”，因此不等式为． 本题考查了不等式的应用，熟练掌握列不等式是解题的关键． 【详解】解： A：，表示“x减去7的一半是正数”，不符合题意． B：，完全符合推导结果． C：，包含等于0的情况，但题目要求“正数”（严格大于0）． D：，表示“x的一半减7是非负数”，顺序错误且符号不符． 故选：B． 【例2】（山西省忻州市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）年初某国漫电影因其跌宕的情节和精良的制作而火爆出圈，欣欣和家人一同去观看．若该电影的票价为30元/人，携带100元购票后仍有剩余．设欣欣一家去观看电影的人数为，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元一次不等式，根据总票价应小于所带的钱数列不等式即可． 【详解】解：设欣欣一家的人数为x，则购票总费用为元． 由题意“携带100元购票后仍有剩余”可知，总费用小于100元，即：． 故选A． 【例3】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）用不等式表示“7与y的积减16的差是负数”是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查列不等式，根据用字母表示数或数量关系及书写规则即可求解． 【详解】解：∵7与y的积表示为， ∴根据题意得，， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·福建三明·期末）我国航天事业发展迅速，某次太空探索任务中需要发射一颗卫星，为了避免大气阻力影响，卫星离地球表面的轨道高度（单位：公里）不低于200公里，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的定义，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式即可． 【详解】解：用不等式表示为：． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）当取何值时，代数式的值满足下列要求？ (1)大于的值； (2)不大于的值； (3)是非负数； (4)不小于3． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了列不等式及求解不等式，理解题意，列出不等式是解题关键． （1）根据题意列出不等式求解即可； （2）由（1）结果的反向即可得出结果； （3）根据题意列出不等式求解即可； （4）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴当时，代数式的值大于的值； （2）由（1）得，当时，代数式的值不大于的值； （3）根据题意得：， 解得：； （4）根据题意得：， 解得：． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）一个竹篮的质量为，装入每枚质量为的一些鸡蛋后，总质量超过了．该竹篮内至少装了多少枚鸡蛋？ (1)如果这个竹篮装了x枚鸡蛋，那么x应满足怎样的关系？ (2)填写下表： 鸡蛋数量 30 35 40 45 50 总质量/kg (3)估计该竹篮至少装了多少枚鸡蛋． 【答案】(1) (2)见详解 (3)42枚 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用． （1）如果这个竹篮装了x枚鸡蛋，根据一个竹篮的质量为，装入每枚质量为的一些鸡蛋后，总质量超过了列出关于x的一元一次不等式即可． （2）根据总质量为代入求解，然后补全表格即可． （3）解（1）列出的不等式即可． 【详解】（1）解：如果这个竹篮装了x枚鸡蛋， 则根据题意有： （2）解：填表如下： 鸡蛋个数 30 35 40 45 50 总质量 2.3 2.6 2.9 3.2 3.5 （3）解： 则该竹篮至少装了42枚鸡蛋 3．（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的式子来表示？ (1)图1是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，怎样表示v与40之间的关系？ (2)据科学家测定，太阳表面的温度不低于．设太阳表面的温度为，怎样表示t与6000之间的关系？ (3)如图2，天平左盘放3个乒乓球，右盘放砝码，天平倾斜．设每个乒乓球的质量为，怎样表示x与5之间的关系？ (4)如图3，小聪与小慧玩跷跷板．两人都不用力时，跷跷板左低、右高．小聪的身体质量为，书包的质量为，小慧的身体质量为，怎样表示p，q之间的关系？ (5)要使代数式有意义，x的值与3之间有什么关系？ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【分析】（1）根据不等量关系直接列出不等式即可； （2）根据不等量关系直接列出不等式即可； （3）根据不等量关系直接列出不等式即可； （4）根据不等量关系直接列出不等式即可； （5）根据分式有意义的条件，列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：； （4）解：由题意得：； （5）解：由题意得：使代数式有意义，则，即：． 【点睛】本题主要考查列不等式，解题的关键是准确找到不等量关系，列出不等式． 【典型例题十 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打（   ） A．六折 B．六五折 C．七折 D．七五折 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设商店打x折销售，利用利润==销售价格−−进价，结合要保证利润率不低于，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设商店打x折销售， 依题意得：， 解得：， ∴最多可打七折． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）小明计划在7天内阅读完一本68页的图书．如果第1天只阅读了5页，为了按时或提前完成，那么他在以后几天里平均每天至少要阅读多少页？设以后几天里平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设以后几天里平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为解答即可． 本题考查了不等式的应用，正确选择不等号建立不等式是解题的关键． 【详解】解：设以后几天里平均每天要阅读页， 根据题意列不等式为， 故选：A． 【例3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某次数学测验，共20道选择题，评分标准为：答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．某同学得分要超过90分，他至少要答对 题． 【答案】13 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到不等关系． 设他答对x道题，则答错和不答共道，根据某同学得分要超过90分，可得出不等式，解出即可． 【详解】解：设他答对x道题，则答错或不答共道， 由题意，得：， 解得：， ∵为整数， 则他至少要答对13道题． 故答案为：13 【例4】（24-25七年级下·山西晋城·期中）某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价30元，羽毛球每只定价5元．该店还制定了两种优惠方法： ①买一副球拍赠送一只羽毛球； ②按总价的付款． 某人计划购买4副球拍，只羽毛球（）， 此人通过计算发现：用方法①所需费用不超过方法②，那么此人最多买了 只羽毛球． 【答案】16 【分析】根据题意列式分别求出两种优惠办法分别付的钱，再结合方法①所需费用不超过方法②，得，解得，即可作答．本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：方法①需要付款：（元）； 方法②需要付款：（元）． ∵方法①所需费用不超过方法②， ∴， 解得， 那么此人最多买了16只羽毛球． 故答案为：16． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）某商店A品牌衬衫的标价为140元，B品牌衬衫的标价为280元．若按标价销售这两种品牌的衬衫共10件，总收款不低于2500元，则销售B品牌的祄衫最少多少件？ 【答案】销售B品牌的衬衫最少8件 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据题意，设销售B品牌衬衫件，则销售A品牌衬衫件，根据总收款列出不等式求解即可． 【详解】解：设销售B品牌衬衫件，则销售A品牌衬衫件， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 的最小值为8． 答：销售B品牌的衬衫最少8件． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中． (1)根据题意，填写下表（单位：元）： 累计购物 实际花费 … 在甲商场 … 在乙商场 … (2)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？ 【答案】(1)在甲商场：271，；在乙商场：278， (2)当小红累计购物超过150元时，在甲商场的实际花费少；当小红累计购物等于150元时，在甲、乙两商场的实际花费相同；当小红累计购物超过100元但不超过150元时，在乙商场的实际花费少 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用，以及一元一次不等式的应用．熟练掌握有理数混合运算的实际应用，列代数式，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据优惠方案列式求解，然后填表即可； （2）分三种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，累计购物元时： 在甲商场的实际花费（元）， 在乙商场的实际花费（元）； 累计购物元（）时， 在甲商场的实际花费（元）， 在乙商场的实际花费（元）； 填表如下： 累计购物 实际花费 … 在甲商场 … 在乙商场 … （2）①，解得； ②，解得； ③，解得． ∴当小红累计购物超过150元时，在甲商场的实际花费少；当小红累计购物等于150元时，在甲、乙两商场的实际花费相同；当小红累计购物超过100元但不超过150元时，在乙商场的实际花费少． 3．（24-25七年级下·北京密云·期末）2025年3月14日，为庆祝国际数学日，某校以“动思维，数乐无限”为主题，举办了数学节活动．活动包括“奕智连珠、数独密码、立体拼图和魔方复原”四个项目，每个项目满分10分，且每项得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在8分以上（含8分）设为一等奖，下表为A、B、C三位同学的得分情况（单位：分），其中A同学的部分信息不小心被涂黑了． 项目 项目得分 学生 奕智连珠 数独密码 立体拼图 魔方复原 折算后总分 A 6 9 7 B 6 8 6 7 7 C 6 7 4 7 6 已知A、B、C三位同学“奕智连珠”和“魔方复原”两项得分折算后的分数之和均为2分． (1)求“数独密码”和“立体拼图”两个项目的折算百分比分别是多少？ (2)如果A同学在本次数学节活动中获得了一等奖，那么他的“立体拼图”项目至少获得多少分？ 【答案】(1)， (2)8分 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解题的关键． （1）设“数独密码”项目的折算百分比是x， “立体拼图”项目的折算百分比是y，根据B、C两同学的折算后总分等于各项目折算后得分之和，列出方程组，求解即可． （2）设他的“立体拼图”项目得分为a分，根据A同学在本次数学节活动中获得了一等奖，即A同学 【详解】（1）解：设“数独密码”项目的折算百分比是x， “立体拼图”项目的折算百分比是y， 根据题意，得各项目折算后得分之和不低于8分，列出不等式，求解即可． ， 解得：， 答：“数独密码”和“立体拼图”两个项目的折算百分比分别是，． （2）解：设他的“立体拼图”项目得分为a分，根据题意，得 ， 解得：， ∴他的“立体拼图”项目至少获得8分． 【典型例题十一 用一元一次不等式解决几何问题】 【例1】 （2024八年级上·江苏无锡·竞赛）如图，、分别是的高，M为的中点，，，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、完全平方公式、不等式的性质，熟练掌握以上知识点，找出图中含角的直角三角形，并设出未知数表示线段长度是解题的关键．结合、分别是的高，可得，设，，用a、b表示出、和的面积，再在中利用勾股定理，整理得到，再结合得到，即可解答． 【详解】解：、分别是的高， ， ， ， ，， 设，，则，， ，， ， ， ， 在中，， ， 整理得：， ， ， ， ， 解得：， ， 面积的最大值为． 故选：B． 【例2】（2025·天津红桥·模拟预测）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①∵四边形是矩形，分别为边的中点， ∴，， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时，解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，故③正确； 综上，正确结论有个， 故选：． 【例3】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是 ． 【答案】0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线定义求得∠DAC，再由三角形内角和定理求得∠ADC，进而分两种情况：∠ADE是钝角；∠AED是钝角．进行解答便可求得结果． 【详解】解：∵∠B＝50°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAE﹣∠C＝95°， 当∠ADE是钝角时，90°＜∠ADE＜95°， 当∠AED是钝角时， ∴∠AED＞90°， ∵∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣∠ADE＝135°﹣∠ADE， ∴135°﹣∠ADE＞90°， ∴0°＜∠ADE＜45°， 综上，0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°． 故答案为：0°＜∠ADE＜45°或90°＜∠ADE＜95°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线定义，钝角三角形的定义，一元一次不等式的应用，关键分类进行讨论． 【例4】（24-25八年级上·山西晋中·期末）将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ． 【答案】3或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：3或 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，要利用一面20米长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．当长和宽分别为多少米时，整个生态园的面积能达到96平方米？ 【答案】当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，涉及到了一元一次不等式，解题关键是列出一元二次方程并求解，本题根据生态园面积为96列出方程求解即可． 【详解】解：设生态园宽为x米， ， ∵要利用一面20米长的墙为一边， ∴， ∴， 此时长为， 答：当长和宽分别为12米、8米时，整个生态园的面积能达到96平方米． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形； (2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【答案】(1)3 (2)2或3 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，利用倍长中线的模型构造全等三角形是解题关键． （1）利用三角形中线的平分三角形面积即可解决问题 （2）由与为积等三角形，可得，过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，在中，， ∵，， ∴， ∴，， ∵与为积等三角形， ∴．，即， ∴． 当时，与为积等三角形． （2）解：如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． ∴的长为2或3． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质．理解并掌握积等三角形的定义，是解题的关键． 3．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【答案】(1)12秒 (2)2或6 (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用速度、路程、时间的关系求解； （2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解； （3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， （秒）， 即点整个运动过程共需12秒； （2）解：是边上的高， 当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，， 当点P在点D左侧时，，即， 解得； 当点P在点D右侧时，，即， 解得； 综上可知，的值为2或6； （3）解：点运动总路程为， 当点在边上运动时，， 则， 解得； 当点在边上运动时，， 则， 解得， 点整个运动过程共需12秒， ， 综上可知，的取值范围为或． 1．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质逐项判断即可．正确记忆（1）把不等式的两边都加（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数．不等号的方向改变是解题关键． 【详解】解：A、，，选项A错误； B、，，选项B错误； C、，，选项C错误； D、，，选项D正确； 故答案为：D． 2．（23-24八年级上·广西桂林·期中）不等式解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画）．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示． 首先解出不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， ， ， 在数轴上表示为：． 故选：D． 3．（2024·贵州·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，理解并掌握根的判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式“，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实根”，再结合不等式的性质求不等式的解集，由此即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的最大整数值是， 故选：A ． 4．（24-25七年级·浙江宁波·阶段练习）某闹市区新建一个小吃城，设计一个进口和一个出口，内设个摊位，预估进口和出口的客流量都是每分钟10人，每人消费25元，摊位的毛利润为，若平均每个摊位一天（按10个小时计）的毛利润不低于1000元，则的最大值为　　 A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】由每日的总消费额及平均每个摊位一天的毛利润不低于1000元，即可得出关于n的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论． 【详解】依题意，得：， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 5．（23-24七年级下·浙江宁波·单元测试）如图为歌神的两种计费方案说明．若嘉淇和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务员计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们同一间包厢里欢唱的人数至少有（      ） 歌神KTV 包厢计费方案： 包厢每间每小时225元 每人需另付入场费25元 …………… 人数计费方案： 每人欢唱3小时135元 接着续唱每人每小时20元 A．6 人 B．7 人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设嘉淇和朋友们共有x人，根据题意，列出不等式，求出最小整数解即可． 【详解】解：设嘉淇和朋友们共有x人． 若选择包厢计费方案需付元， 若选择人数计费方案需付 (元)， 由题意，得：， 解得： ∴ 至少有8人． 故选 C． 6．（2025八年级上·浙江宁波·专题练习）已知，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了不等式的性质，熟练掌握其性质及正确解不等式是解题的关键． 根据不等式的性质得到，然后求解即可． 【详解】解：∵，且 ∴ ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值和一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期中）请写出一个关于x的一元一次不等式，且该不等式的解集为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查构建一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，利用一元一次不等式的解集和不等式的性质求解可得． 【详解】解：不等式的解集为， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山西太原·期末）山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有余年历史．其核心产地为吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“浙江宁波名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共盒，已知黄米粽每盒利润为元，江米粽每盒利润为元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于元，则最多能购进黄米粽 盒． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽，利用总利润每盒黄米粽的销售利润购进黄米粽的数量每盒江米粽的销售利润购进江米粽的数量，结合总利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设购进盒黄米粽，则购进盒江米粽， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大值为， ∴最多能购进黄米粽盒． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·北京丰台·期末）3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为 ； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要 人报名参加“24点速算”． 【答案】 176分 15 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）求出只参加一项的人数再进行计算即可； （2）设七年级2班报名参加“24点速算”有人，且同时参加两项的有人，根据题意列不等式讨论求解即可． 【详解】解：（1）七年级1班参加一项的人数为：人， 积分为：（分）， 故答案为：176分； （2）设七年级2班报名参加“24点速算”有人，且同时参加两项的有人（且）， 总积分为：， ∴， ∴， 当时，的最大值为22， ∴，即， 所以，的最小值为15.， 即至少需要15人报名参加“24点速算”， 故答案为：15． 11．（24-25八年级上·上海杨浦·开学考试）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【答案】 【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集． 【详解】解：不等式的解集是， ，且， ，， 整理，得：，， 把代入，得， 解得：， ， 解集为：， 把代入得：， 不等式的解集． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出的关系是解题关键． 12．（24-25八年级上·江西九江·期中）解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握去分母，去括号，移项合并同类项，未知数系数化为1，是解题的关键． （1）通过移项合并同类项，未知数系数化为1，即可求解； （2）通过去分母，去括号，移项合并同类项，未知数系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴如下： （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 数轴上表示如下： 13．（24-25七年级下·天津红桥·期末）解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答： (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、把不等式组的解集画在数轴上等知识点，掌握不等式的解法是解题的关键． （1）先解不等式①即可解答； （2）先解不等式②即可解答； （3）把不等式①②的解集画在数轴上即可； （4）取不等式①②的解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式①， ， ． （2）解：解不等式②，， ， ， ． （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）解：由（2）的数轴可得：原不等式组的解集为． 14．（24-25七年级下·湖南永州·期末）祁阳市“爱·悦·读”二十四节气读书活动自2023年启动以来，累计举办主题读书活动72场次，云上读书会吸引浙江宁波800万余人次在线互动，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，2本文学名著和4本动漫书共需156元，文学名著的单价比动漫书的单价多18元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． (1)求文学名著和动漫书单价各多少元？ (2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，总费用不超过2100元，请问最多可以购买文学名著多少本？ 【答案】(1)文学名著和动漫书单价分别为元和元 (2)最多可以购买文学名著29本 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设文学名著和动漫书单价分别为元和元，根据2本文学名著和4本动漫书共需156元，文学名著的单价比动漫书的单价多18元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买文学名著本，根据总费用不超过2100元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设文学名著和动漫书单价分别为元和元，由题意，得： ，解得：； 答：文学名著和动漫书单价分别为元和元； （2）解：设购买文学名著本，则购买动漫书本， 由题意，得：， 解得：， ∵为整数， ∴最多可以购买文学名著29本． 15．（23-24七年级下·浙江宁波·课后作业）如图是用围棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．照此规律，当有500枚围棋子时最多可搭第n个“山”字．（列不等式表示） 【答案】（n为正整数） 【分析】本题考查图形中的数字规律以及列不等式，根据图象抽象概括出数字规律是解题的关键． 根据各个图形，找出围棋的变化规律，进而求出第n个“山”用的围棋个数．再根据当有500枚围棋子时最多可搭第n个“山”字列出不等式即可． 【详解】图①中围棋的个数：， 图②中围棋的个数：， 图③中围棋的个数：， 图④中围棋的个数：， ， 第n个“山”用的围棋个数：； 当有500枚围棋子时最多可搭第n个“山”字，则． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 不等式的基本性质及其解法（2大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 不等式的定义 典型例题二 不等式的性质 典型例题三 一元一次不等式的定义 典型例题四 不等式的解集 典型例题五求一元一次不等式的整数解 典型例题六 在数轴上表示不等式的解集 典型例题七 求一元一次不等式解的最值 典型例题八 解|x|≥a型的不等式 典型例题九 列一元一次不等式 典型例题十 用一元一次不等式解决实际问题 典型例题十一 用一元一次不等式解决几何问题 知识点01 一元一次不等式定义 只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式． 注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）写出一个关于的一元一次不等式： ． 知识点02 解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （2）移项； 移项时不要忘记变号； （3）合并同类项； （4）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）不等式的解集是 ． 【典型例题一 不等式的定义】 【例1】（23-24七年级下·湖北襄阳·阶段练习）下列各式中，不是不等式的是(   ) A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·山西太原·期中）如图是2024年4月12日太原的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则t的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）“x减去5是正数”用不等式表示为 ． 【例4】（24-25七年级下·浙江宁波·单元测试）一个长方形的长为x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为 ． 1．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）下列式子属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）某班35名同学去春游，共收款100元，由小李去买点心，每人一包；已知有2.5元一包和4.5元一包的点心，试问最多能买几包4.5元的点心？设买x包4.5元的点心，根据题意，列出关于x的不等式为 ； 3．（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）用不等式表示 （1）a的与一1的差是非正数．     （2）a的平方减去b的立方大于a与b的和． （3）a的减去4的差不小于-6． （4）x的2倍与y的和不大于5． （5）长方形的长与宽分别为4、，它的周长大于20． 【典型例题二 不等式的性质】 【例1】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）如图，三人A，B，C分别坐在质地均匀且到中心点距离相等的跷跷板上，体重分别记作a，b，c，则a，b，c的大小为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·天津·阶段练习）若，那么 （填“”“”或“”） 【例4】（23-24七年级下·浙江宁波·课后作业）写出下列不等式变形的依据： （1）由，得．依据是 ； （2）由，得．依据是 ； （3）由，得．依据是 ． 1．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）已知，请比较与的大小，并说明理由． 2．（24-25七年级下·山西晋城·期中）阅读下列解题过程，解答问题： 已知，比较与的大小． 解：，且（已知） ① 2y（不等式的基本性质2）， ② （不等式的基本性质1）． (1)上述材料中横线上应该填的是①________，②________． (2)若，写出与的大小关系，并说明理由． 3．（2025·河北邯郸·模拟预测）嘉琪同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若开始输入为，请你根据程序列出算式并计算出输出结果； (2)嘉琪发现将一个小于的数输入，得到的结果总是正数．请验证这个结论． 【典型例题三 一元一次不等式的定义】 【例1】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则k的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【例2】（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）下列不等式中，是一元一次不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【例3】（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有 （填序号）． 【例4】（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则该不等式可列为 ． 1．（24-25八年级上·上海金山·期中）若关于的不等式与的解集完全相同，求的值． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）定义：对于任何实数m，符号表示不大于m的最大整数．例如：，，． (1)填空：_______，________． (2)求方程的整数解； (3)如果，求满足条件的x的取值范围． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于实数、，定义一种运算：． （1）求的值： （2）如果关于的方程有两个相等的实数根，求实数的值． 【典型例题四 不等式的解集】 【例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖北恩施·期末）据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（　　）（单位：吨） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）若（a﹣1）x＜1﹣a可变形为x＞﹣1，则a的取值范围是 ． 【例4】（23-24七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 1．（2025七年级下·浙江宁波·专题练习）下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·北京·期中）小光在一条东西方向的马路上行走，向东走5米记作米． (1)则向西走米记作___________米； (2)小光从出发点出发，前4次行走依次记作，，，（单位：米），则他第5次需要向___________走___________米，才能恰好回到出发点； (3)小光从出发点出发，将连续的4次行走依次记作，，，（单位：米）．如果此时他位于出发点西侧，则的取值范围是___________．此时小光共行走了多少米？（用含m的代数式表示，并化简） 3．（2024七年级·浙江宁波·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【典型例题五 求一元一次不等式的整数解】 【例1】（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）不等式的非负整数解的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）下列说法中，错误的是（   ） A．不等式的整数解有无数多个 B．不等式的负数解有有限个 C．不等式的解集在数轴上表示时，对应的点为空心圆圈 D．是不等式的一个解 【例3】（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知不等式的最小整数解也是方程的解，则的值为 ． 【例4】（24-25七年级下·天津西青·期末）要使代数式的值不大于的值，则满足条件的所有负整数x的值是 ． 1．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）解不等式组，在数轴上表示出不等式组的解集，并写出它的非负整数解． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）（1）解关于x的不等式，并求出其最小整数解． （2）解关于x的不等式组： 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）对于，定义一种新运算，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． (1)_______；________． (2)解不等式组； (3)若关于的不等式的最大整数解为，则________． 【典型例题六 在数轴上表示不等式的解集】 【例1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）下列在数轴上表示不等式组的解集中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2024·河南商丘·模拟预测）一个不等式组的解集如图所示，该不等式组所有整数解的和为 ． 【例4】（2025·广西·模拟预测）如图所示，将三个数，，表示在数轴上，则被图中表示的解集包含的数是 ． 1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）解不等式（组），并在数轴上表示其解集： (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）解不等式组：，请结合题意，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________． (2)解不等式③，得________． (3)把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来． (4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集________． 【典型例题七 求一元一次不等式解的最值】 【例1】（24-25七年级下·江苏盐城·期末）满足不等式x+3＜0的最大整数解是（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4 【例2】 （24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（　　）． A．1，7 B．2，7 C．1， D．2， 【例3】（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）代数式，当x 时，有最 值为 ． 【例4】 （24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知，，，则的最小值为 ，最大值为 ． 1．（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)当取（1）中最大负整数值时，求的值． 2．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）规定新运算：，其中、是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求，的值； (3)若，，且，求的最大整数值． 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）嘉淇在解一道数学计算题时，发现有一个数被污染了． (1)嘉淇猜污染的数为1，请计算； (2)老师说，嘉淇猜错了，正确的计算结果不小于，求被污染的数最大是几？ 【典型例题八 解|x|≥a型的不等式】 【例1】（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·山东淄博·期末）若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是 ． 【例4】（24-25七年级下·浙江·期中）能够使不等式成立的x的取值范围 ． 1．（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）解下列不等式（组），并将解集在数轴上表示出来： （1）                （2） （3）                         （4） 2．（24-25七年级下·四川自贡·阶段练习）材料一：如果，则或． 材料二：如果，则或 如果，则或 根据以上材料完成下列任务： 任务一、解绝对值不等式 任务二、解一元二次不等式 任务三、解分式不等式 3．（2025八年级上·浙江·专题练习）数学实验室： 、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是　　； (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为　　； (3)若x表示一个有理数，且，则＝　　； (4)若x表示一个有理数，且＞4，则有理数x的取值范围是　　． 【典型例题九 列一元一次不等式】 【例1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）“与7的差的一半是正数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】（山西省忻州市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题）年初某国漫电影因其跌宕的情节和精良的制作而火爆出圈，欣欣和家人一同去观看．若该电影的票价为30元/人，携带100元购票后仍有剩余．设欣欣一家去观看电影的人数为，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）用不等式表示“7与y的积减16的差是负数”是 ． 【例4】（24-25八年级上·福建三明·期末）我国航天事业发展迅速，某次太空探索任务中需要发射一颗卫星，为了避免大气阻力影响，卫星离地球表面的轨道高度（单位：公里）不低于200公里，用不等式表示为 ． 1．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）当取何值时，代数式的值满足下列要求？ (1)大于的值； (2)不大于的值； (3)是非负数； (4)不小于3． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·课后作业）一个竹篮的质量为，装入每枚质量为的一些鸡蛋后，总质量超过了．该竹篮内至少装了多少枚鸡蛋？ (1)如果这个竹篮装了x枚鸡蛋，那么x应满足怎样的关系？ (2)填写下表： 鸡蛋数量 30 35 40 45 50 总质量/kg (3)估计该竹篮至少装了多少枚鸡蛋． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·课后作业）下列问题中的数量关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的式子来表示？ (1)图1是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，怎样表示v与40之间的关系？ (2)据科学家测定，太阳表面的温度不低于．设太阳表面的温度为，怎样表示t与6000之间的关系？ (3)如图2，天平左盘放3个乒乓球，右盘放砝码，天平倾斜．设每个乒乓球的质量为，怎样表示x与5之间的关系？ (4)如图3，小聪与小慧玩跷跷板．两人都不用力时，跷跷板左低、右高．小聪的身体质量为，书包的质量为，小慧的身体质量为，怎样表示p，q之间的关系？ (5)要使代数式有意义，x的值与3之间有什么关系？ 【典型例题十 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打（   ） A．六折 B．六五折 C．七折 D．七五折 【例2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）小明计划在7天内阅读完一本68页的图书．如果第1天只阅读了5页，为了按时或提前完成，那么他在以后几天里平均每天至少要阅读多少页？设以后几天里平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某次数学测验，共20道选择题，评分标准为：答对一题得10分，答错或不答一题扣5分．某同学得分要超过90分，他至少要答对 题． 【例4】（24-25七年级下·山西晋城·期中）某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价30元，羽毛球每只定价5元．该店还制定了两种优惠方法： ①买一副球拍赠送一只羽毛球； ②按总价的付款． 某人计划购买4副球拍，只羽毛球（）， 此人通过计算发现：用方法①所需费用不超过方法②，那么此人最多买了 只羽毛球． 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）某商店A品牌衬衫的标价为140元，B品牌衬衫的标价为280元．若按标价销售这两种品牌的衬衫共10件，总收款不低于2500元，则销售B品牌的祄衫最少多少件？ 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中． (1)根据题意，填写下表（单位：元）： 累计购物 实际花费 … 在甲商场 … 在乙商场 … (2)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？ 3．（24-25七年级下·北京密云·期末）2025年3月14日，为庆祝国际数学日，某校以“动思维，数乐无限”为主题，举办了数学节活动．活动包括“奕智连珠、数独密码、立体拼图和魔方复原”四个项目，每个项目满分10分，且每项得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在8分以上（含8分）设为一等奖，下表为A、B、C三位同学的得分情况（单位：分），其中A同学的部分信息不小心被涂黑了． 项目 项目得分 学生 奕智连珠 数独密码 立体拼图 魔方复原 折算后总分 A 6 9 7 B 6 8 6 7 7 C 6 7 4 7 6 已知A、B、C三位同学“奕智连珠”和“魔方复原”两项得分折算后的分数之和均为2分． (1)求“数独密码”和“立体拼图”两个项目的折算百分比分别是多少？ (2)如果A同学在本次数学节活动中获得了一等奖，那么他的“立体拼图”项目至少获得多少分？ 【典型例题十一 用一元一次不等式解决几何问题】 【例1】 （2024八年级上·江苏无锡·竞赛）如图，、分别是的高，M为的中点，，，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·天津红桥·模拟预测）如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，分别为边的中点，将其分成面积相等的两部分，在上分别留出两个宽为的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是，有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为； ③当矩形菜园的面积最大时，的长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝40°，∠BAC的平分线交BC于点D，点E是AC边上的一个动点，当△ADE是钝角三角形时，∠ADE的取值范围是 ． 【例4】（24-25八年级上·山西晋中·期末）将长为4，宽为（大于2且小于4）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪上一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…，若在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，的值为 ． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，要利用一面20米长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门．当长和宽分别为多少米时，整个生态园的面积能达到96平方米？ 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做积等三角形． (1)初步尝试：如图1，已知中，，，，P为AC上一点，当______时，与为积等三角形； (2)理解运用：如图2，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 3．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 1．（24-25七年级下·广西贵港·期中）若，则下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广西桂林·期中）不等式解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（24-25七年级·浙江宁波·阶段练习）某闹市区新建一个小吃城，设计一个进口和一个出口，内设个摊位，预估进口和出口的客流量都是每分钟10人，每人消费25元，摊位的毛利润为，若平均每个摊位一天（按10个小时计）的毛利润不低于1000元，则的最大值为　　 A．30 B．40 C．50 D．60 5．（23-24七年级下·浙江宁波·单元测试）如图为歌神的两种计费方案说明．若嘉淇和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务员计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们同一间包厢里欢唱的人数至少有（      ） 歌神KTV 包厢计费方案： 包厢每间每小时225元 每人需另付入场费25元 …………… 人数计费方案： 每人欢唱3小时135元 接着续唱每人每小时20元 A．6 人 B．7 人 C．8人 D．9人 6．（2025八年级上·浙江宁波·专题练习）已知，且，则的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则 ． 8．（24-25八年级上·陕西西安·期中）请写出一个关于x的一元一次不等式，且该不等式的解集为： ． 9．（24-25八年级上·山西太原·期末）山西青塘粽子源于元代，盛于明清，有余年历史．其核心产地为吕梁市临县前青塘村，凭借独特的芦苇叶包裹技艺和蜜浸大枣配方，成为省级非物质文化遗产，并入选“浙江宁波名特优新农产品”名录．某商店购进黄米粽和江米粽共盒，已知黄米粽每盒利润为元，江米粽每盒利润为元，若购进的粽子全部销售完毕，所得总利润不低于元，则最多能购进黄米粽 盒． 10．（24-25七年级下·北京丰台·期末）3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如下表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为 ； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要 人报名参加“24点速算”． 11．（24-25八年级上·上海杨浦·开学考试）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 12．（24-25八年级上·江西九江·期中）解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2) 13．（24-25七年级下·天津红桥·期末）解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答： (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 14．（24-25七年级下·湖南永州·期末）祁阳市“爱·悦·读”二十四节气读书活动自2023年启动以来，累计举办主题读书活动72场次，云上读书会吸引浙江宁波800万余人次在线互动，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，2本文学名著和4本动漫书共需156元，文学名著的单价比动漫书的单价多18元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． (1)求文学名著和动漫书单价各多少元？ (2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，总费用不超过2100元，请问最多可以购买文学名著多少本？ 15．（23-24七年级下·浙江宁波·课后作业）如图是用围棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．照此规律，当有500枚围棋子时最多可搭第n个“山”字．（列不等式表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$