第14讲 一元一次不等式组（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版2024）

第14讲 一元一次不等式组（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元一次不等式组的定义 典型例题二 求不等式组的解集 典型例题三 解特殊不等式组 典型例题四 求一元一次不等式组的整数解 典型例题五 由一元一次不等式组的解集求参数 典型例题六 由不等式组解集的情况求参数 典型例题七 不等式组和方程组结合的问题 典型例题八 一元一次不等式组的新定义计算 知识点01 一元一次不等式组定义 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·课后作业）下列选项中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的识别，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解答本题的关键，属于基础题．由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．的最高次项是2次，故不符合题意； B．是一元一次不等式组，故符合题意； C．含2个未知数，故不符合题意； D．含2个未知数，故不符合题意； 故选B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）我们把两个（或两个以上）的 ，就组成了一个一元一次不等式组． 【答案】一元一次不等式合在一起 【分析】本题考查了一元一次不等式组的概念，直接根据一元一次不等式组的定义解答． 【详解】解：把两个（或两个以上）的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 故空中填：一元一次不等式合在一起． 知识点02 一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示： 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 【即时训练】 1．（2025·四川宜宾·模拟预测）满足不等式组的解是（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，然后逐项分析即可． 本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 【详解】原不等式组为：， 联立两个不等式，解集为 ． A. ：不满足 ，排除． B. ：不满足 ，排除． C. 1：满足 ，符合条件． D. 3：不满足 ，排除． 故选： C． 【即时训练】 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】分别求解①②即可． 【详解】解： 由①得： 由②得：，解得： 故不等式的解集为： 故答案为： 【点睛】本题考查求解一元一次不等式组．注意计算的准确性． 知识点03 一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 【即时训练】 1．（2024·浙江·模拟预测）不等式组的整数解的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解答本题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而得出答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 故不等式组的解集是， 其整数解有1，2，3，4共4个， 故答案为：B． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）不等式组的正整数解为 ． 【答案】1，2 【分析】先分别解两个不等式，求出解集，再找出其中的整数解即可． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， 则不等式组的解集为：， 即不等式组的正整数解为1和2， 故答案为：1，2． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组，解题的关键是正确解出不等式组并能够找出整数解． 知识点04 一元一次不等式(组）之含参问题 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集大于大的，不等式的解集小于小的，不等组无解，可得答案． 【详解】解： 解不等式①得：， ∵不等式组无解， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果不等式解集为，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据不等式的解集为解答即可． 【详解】解：∵不等式解集为， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，掌握确定不等式解集的方法是解题的关键． 【典型例题一 一元一次不等式组的定义】 【例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·课后作业）下列选项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·课后作业）下列不等式组是一元一次不等式组的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题解析：根据一元一次不等式组的定义可知：选项A、B、D不是一元一次不等式组，选项C是一元一次不等式组. 故选C. 【例3】（24-25七年级下·浙江绍兴·单元测试）若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是 ． 【答案】m≠－2 【分析】先把不等式变形为（m＋2）x≤12，根据不等式的定义即可求出m的求值． 【详解】mx－8≤4－2x， mx＋2x≤4＋8， (m＋2)x≤12， ∴m＋2≠0， 解得m≠－2， 故答案为m≠－2． 【点睛】此题主要考查不等式的定义． 【例4】（24-25七年级·浙江绍兴·单元测试）一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 ．一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的 ． 【答案】 一元一次不等式组 公共部分 解集 【分析】根据一元一次不等式组的定义，及一元一次不等式组解集的定义，进行填空即可． 【详解】一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集. 故答案为一元一次不等式组；公共部分；解集. 【点睛】考查一元一次不等式组的相关概念，比较基础，难度不大. 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·课后作业）判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是 【分析】（1）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （2）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （3）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答． 【详解】解：（1），符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； （2）中，是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； （3）中，是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，注意掌握把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组叫做一元一次不等式组． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·单元测试）已知中的x、y满足0＜x﹣y＜1，求k的取值范围． 【答案】﹣1＜k＜﹣ 【分析】解方程组，令①+②得x﹣y=2k+2，再由题意得∴0＜2k+2＜1，再解出这个不等式组即可. 【详解】解方程组， ①+②，得：3x﹣3y=6k+6， 两边都除以3，得：x﹣y=2k+2， ∵0＜x﹣y＜1， ∴0＜2k+2＜1， 解得：﹣1＜k＜﹣． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解法，根据题目发现其特点列出不等式是解题的关键. 3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，为有理数，且，不为0，则定义有理数对的“求真值”为，如有理数数对的“求真值”为，有理数对的“求真值”为． （1）求有理数对的“求真值”； （2）求证：有理数对与的“求真值”相等； （3）若的“求真值”的绝对值为，若，求的值． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）或． 【分析】（1）利用题中的新定义判断即可； （2）利用已知的新定义化简，比较即可； （3）已知等式利用题中的新定义化简，求出a的值即可． 【详解】解：（1）； ； （2）设， 则，， ∴； （3）当时， 若时，则， 解得：（舍去）或； 若时，则， 解得：； 当， 若时，则， 解得：（舍去）或； 若时，则， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为：或． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及乘方的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【典型例题二 求不等式组的解集】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）平面直角坐标系中的点一定不在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标与象限的关系，以及如何通过代数不等式判断点可能所在的象限．明确各象限坐标符号特征∶第一象限第二象限，第三象限，第四象限 ．分析点的坐标符号，分别假设点P在四个象限，建立不等式组，判断是否存在解．若某个象限对应的不等式组无解，则点P一定不在该象限． 【详解】解：假设点P在第一象限： 则且， 解不等式∶． （存在解，例如）． 假设点P在第二象限 则且， 解不等式∶． （存在解，例如）． 假设点P在第三象限 则且， 解不等式∶ 且，矛盾，无解． 假设点P在第四象限： 则且， 解不等式∶． （存在解，例如）． 综上，点一定不在第三象限． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·河南周口·期中）不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解两个不等式，再求其解集的交集即可得到答案： 1. 解第一个不等式：，解集为所有小于2的实数； 2. 解第二个不等式：， 两边加得：， 两边除以3得：，解集为所有大于等于1的实数； 3. 求两个解集的交集： 和的交集为； 4. 选项分析： A. ：未包含，错误，不符合题意； B. ：正确，符合题意； C. ：范围过大，错误，不符合题意； D. ：上限错误，应为2而非3，不符合题意； 综上，解集为选项B．熟练掌握一元一次不等式组解集求法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由②得； 由①知； 不等式组解集为， 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：。 【例4】（2025·河南漯河·模拟预测）不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解，是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即可解答． 【详解】解： 解①，得， 解②，得， ∴原不等式的解集为， ∴x的整数解为， 则． 故答案为10． 1．（24-25七年级下·广东东莞·期末）解不等式组，并把它的解集在如图的数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 该不等式组的解集是， 在数轴上表示该不等式组的解集如图所示： 2．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）解方程组或不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和不等式组，熟练掌握解二元一次方程组和不等式组的方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得：，代入①中， 解得：， 方程组的解为：； （2）解：， 解不等式①得 解不等式②得 所以不等式组的解集为． 3．（贵州省贵阳市2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：． （2）下面是小红进行分式混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务， ·····················第一步 ·································第二步 ·········································第三步 ·····························································第四步 任务一：小红的解答从第______步开始出现错误，这一步的错误原因是______； 任务二：请写出正确的解答过程． 【答案】（1）不等式组解集为，数轴上表示见解析；（2）任务一： 三 ，括号前面是负号去括号没变号；任务二：见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和分式加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）分别求出每个不等式的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大无法找”确定不等式组的解集即可； （2）任务一，第三步去括号时，最后一项应该改变符合；任务二，先利用乘法的分配律计算，再约分，然后去括号后合并同类项即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得： 解不等式②，得：． 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示． ∴原不等式组解集为． （2）任务一： 三 ，括号前面是负号去括号没变号； 故答案为：三 ，括号前面是负号去括号没变号； 任务二： ． 【典型例题三 解特殊不等式组】 【例1】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的负半轴相交．则下列关于、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数的图象与轴交于点、，可得，由抛物线与y轴负半轴相交，可知，时，抛物线开口向上，另一根利用函数值得不等式组解不等式得；可得满足的条件是． 【详解】二次函数的图象与轴交于点、， ∴， ∴， 由抛物线与y轴负半轴相交，、， ∴ 由，抛物线开口向上， ∵另一根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴满足的条件是， 故选择：B． 【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点，解不等式组，掌握二次函数的性质，会利用函数值的特征组成不等式组是解题关键． 【例2】（2025·山东淄博·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【详解】 解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x＞2，在数轴上表示为： 则不等式组的为空集． 故选B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【例3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知点位于第二象限，并且，、为整数，符合上述条件的点共有 个． 【答案】6 【分析】根据已知得出不等式和，求出两不等式的解集，再求出其整数解即可． 【详解】解：已知点位于第二象限， ，， 又， ，， 又、为整数， 当时，可取，，， 当时，可取，， 当时，可取． 则坐标为，，，，，共6个． 故答案为：6. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和一次函数的应用，关键是根据题意得出不等式和，主要培养学生的理解能力和计算能力． 【例4】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）设x为非负实数，将x“四舍五入”到整数的值记为＜x＞（可读作尖括号x），即当非负实数x满足n﹣≤x＜n+时，其中n为整数，则＜x＞=n．如＜0.48＞=0，＜5.5＞=6，＜3.49＞=3．如果＜x﹣2.2＞=5，那么x的取值范围是 ． 【答案】6.7≤x＜7.7 【分析】利用对非负实数x“四舍五入”到整数的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围.. 【详解】∵＜x-2.2＞=5， ∴4.5≤x-2.2＜5.5 ∴6.7≤x＜7.7． 故答案为6.7≤x＜7.7． 【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键． 1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知实数a是不等于3的常数，解不等式组并依据a的取值情况写出其解集． 【答案】答案见解析 【详解】试题分析：解不等式组，再根据a的取值分别求解即可. 试题解析： 解①得：x≤3，解②得：x < a. ∵a是不等于3的常数， ∴当a > 3时，不等式组的解集为x≤3；当a < 3时，不等式组的解集为x < a. 考点：1.解一元一次不等式组；2.分类思想的应用. 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知 （1）若，求m的值； （2）求关于的表达式； （3）若，求的值的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ；（3）． 【分析】（1）将代入中，即可求出m的值． （2）由可得，代入中，即可得到y关于x的表达式． （3）由题意列不等式组，可求出m的取值范围，再根据（1），即可求出的取值范围． 【详解】（1）由题可知：， ． （2）∵， ∴，代入中． ∴． （3）由题可知， 解得：． 由（1）知， ∴，即． 【点睛】本题考查代数式求值以及求解不等式组．掌握代数式求值和不等式组的解法是解答本题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·单元测试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则； 即可以写成： ； 解不等式组得：； 当若，则， 即可以写成：， 解不等式组得：， 综合以上两种情况：不等式解集：或 （以上解法依据：若，则同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1) ； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题干给出的计算方法求解即可； （2）根据题干给出的计算方法求解即可； 【详解】（1）根据原不等式有： 或者： 解不等式组得： 或者， 综合以上两种情况：不等式解集：或 ； （2）根据原不等式有： 或者：， 解不等式组得： 或者：， 综合以上两种情况：不等式解集：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算． 【典型例题四 求一元一次不等式组的整数解】 【例1】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组．根据题意解出不等式组即可找到整数解． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴不等式组的整数解有：， 故选：B． 【例2】（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）对于实数x，符号表示不大于x的最大整数，如：，，，若，则满足条件的整数a共有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，解不等式组等知识，根据题意得，解不等式组，即可求得整数a的值，从而确定结果． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 由于a为整数，则a取2，3，4三个数； 故选：A． 【例3】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）不等式的最小整数解为 ． 【答案】2 【分析】本题考查求不等式组的整数解．先求出每一个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，进而求出最小整数解即可． 【详解】解：， 由，得：； 由，得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的最小整数解为2； 故答案为：2． 【例4】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）关于的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于的分式方程有整数解，得出，，即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， 解得：， 解关于的分式方程得， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或或或或或 ∵为整数，且，， ∴ ∴， 那么符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 1．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）解不等式组，并写出它的最大整数解． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先分别求出两个不等式的解集，取解集的公共部分求出不等式组的解集，再根据解集写出它的最大整数解即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解为． 2．（24-25七年级下·四川自贡·期末）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】，不等式组的整数解为0． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再求出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解为， ∴不等式组的整数解为0． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）（1）计算：． （2）化简求值：，其中是满足不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2），时，原式 【分析】本题考查了实数的混合运算，负指数幂，零指数幂，二次根式的化简，算术平方根，分式的化简求值，解一元一次不等式组及其整数解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先计算负指数幂，零指数幂，立方根，绝对值，最后相加减计算即可； （2）先对括号内的分式进行通分，再将除法转化成乘法，对分式进行化简，然后解不等式组，求出其整数解，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式= = 解 解不等式组得， ∵x是满足不等式组的整数解， 或． 当时，原式． 【典型例题五 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例1】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是根据不等式组的公共解集，求参数的取值范围，分别求两个不等式的解集，根据公共解集的取法：同小取小是解决此题的关键． 【详解】解：解，得， 解得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 故选：C． 【例2】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）下列四个不等式组中，解为的不等式组有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先根据解的形式得到，进而得到，，，，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，， ∴四个选项中只有B选项的形式满足题意， 故选：B． 【例3】（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的函数，y的最大值为4，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值．通过转化得到，即，根据，推出，据此求解即可． 【详解】解：由题意得， 即， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定m的范围． 【详解】解：不等式，得：， 不等式组，的解集是， ， 故答案为：． 1．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）已知不等式组的解集是，求的值． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组得到，再根据已知条件列方程解方程即可解答．本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式的解集为， ∵原不等式组的解集为：， 依题意得：， 得，， ∴． 2．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于的不等式组 (1)当时，求不等式组的解集； (2)若不等式组的解集是，求的值； (3)若不等式组有三个整数解，则的取值范围是______． 【答案】(1)不等式组的解集为：； (2) (3) 【分析】（1）将代入不等式组，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集； （2）利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定的取值范围； （3）根据不等式组中确定不等式组的整数解，然后利用“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， ∴原不等式组解得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：当不等式组的解集是时， ， 解得； （3）解：由，当不等式组有三个整数解时， 则不等式组的整数解为、、， 又∵且， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3．（23-24七年级下·福建莆田·期中）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是 ； A．    B．    C． D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围； (3)若能被关于的不等式“容纳”，求的取值范围． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查不等式参数解问题及解不等式，解题的关键是注意参数不等式的分类讨论． （1）分别解出不等式比较即可得到答案； （2）解出不等式列不等式即可得到答案； （3）解出不等式根据能被关于的不等式 “容纳”列式即可得到答案． 【详解】（1）解：不等式A的解集为：， A不符合题意； 不等式B的解集为：， ∴B不符合题意； 不等式C的解集为：， ∴C符合题意； 不等式组D的解集为：无解， ∴D不符合题意； 综上，能被不等式“容纳”的是：C． 故答案为：C； （2）解不等式得， 不等式被 “容纳”， ， ； （3）能被关于的不等式 “容纳”， ，不等式的解集为， ， 的取值范围为 【典型例题六 由不等式组解集的情况求参数】 【例1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）关于的不等式组恰有3个整数解，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数的取值范围，先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的范围，熟练掌握不等式组的解集的求法是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①可得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组恰有3个整数解， ∴不等式组的整数解为2、1、0， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知关于x 的不等式组至少有2个整数解，则a 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．首先解不等式组得到，再根据不等式组至少有2个整数解即可解答． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组至少有2个整数解， ， ， 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有解的情况得到关于a的不等式，即为a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：． 故答案为： 【例4】（24-25七年级下·浙江绍兴·课后作业）若不等式组的解集为，则m的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据小小取小，得到，确定一个值即可． 本题考查了求不等式组的 解集，正确理解解集的意义是解题的关键． 【详解】解：由不等式组的解集为， 根据小小取小，得到， 可取， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（2025七年级下·浙江绍兴·专题练习）不等式组无解，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键． 先解不等式组，再根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 由不等式组无解，得到， 解得：， 则m的取值范围是． 2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）关于x的不等式组． (1)若该不等式组无解，求k的取值范围； (2)如果该不等式组恰好有2022个整数解，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式组无解可知，解之即可； （2）根据不等式组恰好有2022个整数解，那么整数解是从0开始到2021结束的自然数，由此可知，解之即可． 【详解】（1）解：∵不等式组无解， ∴， ∴； （2）解：∵不等式组恰好有2022个整数解， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键． 3．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）若一个不等式（组）有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式（组）的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）对于不等式（组）中点包含． (1)已知关于的不等式组，以及不等式，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程； (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围． 【答案】(1)是，见解析 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． （1）根据不等式组的解集判断即可求解； （2）求出不等式组和的解集，根据定义得到关于m的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组的解集中点值为， 不等式组：，不等式组的解集中点值为5， 不等式组对于不等式组中点包含， （2）解：不等式组：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， ∴ 解得：； 不等式组的解集中点值为； 不等式组：， 解不等式④，得， 不等式组的解集为， ∴ ∴ 不等式组对于不等式组中点包含， ， ． 又由不等式组中，，不等式组中， ∴ 【典型例题七 不等式组和方程组结合的问题】 【例1】（24-25七年级下·福建南平·期末）已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两个方程相减得出x﹣y＝1﹣2k，由0＜x﹣y＜1知0＜1﹣2k＜1，解之即可得出答案． 【详解】解：两个方程相减，得：x﹣y＝1﹣2k， ∵0＜x﹣y＜1， ∴0＜1﹣2k＜1， 解得0＜k＜， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【例2】（2025·北京门头沟·模拟预测）团体购买某公园门票，票价如表，某单位现要组织其市场部和生产部的员工游览该公园．如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元．那么该公司这两个部门的人数之差为（　　） A．20 B．35 C．30 D．40 【答案】C 【分析】根据990不能被13整除，得两个部门人数之和：a+b≥51，然后结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组进行求解即可． 【详解】解：∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51， （1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）=990得：a+b=90，① 由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b=1290 ② 解①②得：b=150，a=-60，不符合题意． （2）若a+b≥100，则9 （a+b）=990，得 a+b=110 ③ 由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100， 得11a+13b=1290 ④， 解③④得：a=70人，b=40人 故两个部门的人数之差为70-40=30人， 故选C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用和不等式组的应用，结合门票价格和人数之间的关系，建立方程是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力． 【例3】（2024·山东东营·模拟预测）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键． 【例4】（2025·河南商丘·模拟预测）已知点P的坐标满足方程组． （1）若，则点P的坐标是 ； （2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）将a、b的值代入方程组，解方程即可得解； （2）解方程组求出P点坐标，再根据P点在第二象限求解出a、b的范围，根据a只有三个整数满足要求即可求解． 【详解】（1）代入a、b的值， 可得，解得：， 则P点坐标为(-3,0)； （2）解方程组：，得：， ∵P点在第二象限， ∴有不等式，，解得， ∵a只有三个整数满足要求， ∴a可以取的数为1、2、3， ∴b的取值范围为：， 故答案为：①(-3,0)，②． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、坐标的特点、一元一次不等式的解法等知识，理解题意及掌握相关知识是解答本题的关键． 1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解x是非负数，y的值不大于，试求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式组，先解二元一次方程组得，然后根据x是非负数，y的值不大于列出关于a的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵x是非负数，y的值不大于， ∴， 解得：． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）已知关于x、y的方程满足方程组． (1)若，求m的值； (2)若x、y均为非负数，求m的取值范围，并化简式子； 【答案】(1)5 (2)2 【分析】（1）把m看作已知数表示出方程组的解，得到x与y，代入求出m的值即可； （2）根据x、y均为非负数求出m的取值范围，判断出绝对值里面式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ①－②得：， 解得：③， 把③代入②得：， 解得：④， 把③和④代入， 得到，解得： ∴的值为5． （2）解：∵x，y，均为非负数， ∴ ， ∴， ∴=2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； (3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）根据“完美解”的定义代入计算即可判断； （2）将上述两个方程相加可得：，再根据“完美解”得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求解； （3）根据题意可得，即可得，，问题随之得解． 【详解】（1）解，得：， ①，则方程的解不是不等式①的“完美解”； ②，则方程的解不是不等式②的“完美解”； ③，则方程的解是不等式③的“完美解”； 故答案为：③； （2）， 将上述两个方程相加可得：， 即有， ∵是方程组与不等式的一组“完美解”， ∴， 解得：， （3）根据题意有：， 解得：，， ∴， ∴， 即的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组，二元一次方程组等知识，正确理解“完美解”的含义，是解答本题的关键． 【典型例题八 一元一次不等式组的新定义计算】 【例1】（24-25七年级下·北京东城·期末）我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝4a﹣3b．例如：5*6＝4×5﹣3×6，若m满足m*20，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 【答案】A 【分析】根据新运算列出关于m的不等式，解之可得． 【详解】解：∵m*2＜0， ∴4m﹣3×2＜0， 则4m＜6， ∴m＜， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【例2】（24-25八年级上·广西桂林·期末）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．先根据题意分两种情况：当时，当时，列出不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解不等式得：， 解不等式得： ∴； 当时，， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：x的取值范围是． 故选：C． 【例3】（24-25七年级下·河南焦作·期末）定义新运算：，则不等式的最小整数解为 ． 【答案】－1 【分析】先根据新定义，列出不等式组，再解不等式组，求出其解集，即可得出答案． 【详解】解：由题意，得， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的最小整数解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义，求解不等式组的整数解，根据新定义，列出不等式组是解题的关键． 【例4】（24-25七年级下·福建厦门·期中）对x、y定义一种新的运算G，规定 （1）关于x的方程的解是 ； （2）若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 x=2或x=-3 10＜m≤11 【分析】（1）分-2＜x＜1、x≥1以及若x≤-2三种情况由G（x，1）+G（x，-2）=5得到关于x的方程，解方程即可； （2）分0＜x＜1和x≥1两种情况，由得到关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数可得m的取值范围． 【详解】解：（1）①若-2＜x＜1，则1-x+x+2=5， 方程无解； ②若x≥1，则x-1+x+2=5， 解得x=2； ③若x≤-2，则1-x-2-x=5， 解得x=-3； 故答案为：x=2或x=-3； （2）①若0＜x＜1， 由 得 解1-x＞4，得：x＜-3，与0＜x＜1不符，舍去； ②若x≥1， 由得 ， 解得 ， ∵不等式组恰好有4个整数解， ∴9＜m-1≤10， 解得10＜m≤11， 故答案为：10＜m≤11． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程以及一元一次不等式组，解题的关键是根据x的取值范围列出相应的关于x的等式或不等式组． 1．（24-25七年级下·四川广安·期末）请你根据方框内所给的内容，完成下列各小题． 我们定义一个关于有理数，的新运算，规定： ． 例如：． (1)若，，分别求出和的值； (2)若满足，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义列出关于、的方程组，解之可得； （2）根据新定义列出关于、的不等式组，解之可得． 【详解】（1）解：根据题意，得： ， 解得：； （2）根据题意，得：， 解得：． 故的取值范围是． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组与二元一次方程组，解题的关键是掌握新定义，并根据新定义列出关于、的二元一次方程组与一元一次不等式组． 2．（24-25七年级下·河南新乡·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)不等式 （选填“是”或“不是”的“云不等式”)． (2)若关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）根据“云不等式”的定义，即可解答； （2）先分别解两个不等式，然后根据题意可得1＜2a≤2，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵x≥3与x≤3有一个公共解x=3， ∴不等式x≥3是x≤3的“云不等式”， 故答案为：是； （2）解不等式x-2a≥0，得x≥2a， 解不等式1-2x＞x-11，得x＜4， ∵关于x的不等式x-2a≥0与不等式1-2x＞x-11互为“云不等式”且有2个公共的整数解， ∴1＜2a≤2， 解得： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，理解“云不等式”是解题的关键． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为，不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，是不等式组的“关联方程”的有 （填序号）． (2)关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围． (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； （2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； （3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有4个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：解得； 解得； 解得， 解不等式组得． ∴方程②③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：②③． （2）解得，； 解不等式组得， ∵是不等式组的“关联方程”， ∴， 解得． （3）解得，， 解不等式组得，， ∵关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”， ∴， 解得， ∵不等式组有4个整数解， ∴， 解得， 综上所述：． 1．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）若关于的不等式组无解，则需要满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求出不等式组中每个不等式的解集，根据已知即可得出关于a的不等式，即可得出答案． 【详解】解：解不等式得：， 又∵关于x的不等式组无解， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）一元一次不等式组的最大整数解是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 先解不等式组，然后从不等式组的解集中找到最大整数解即可． 【详解】 解①得， ， 解②得， ， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的最大整数解是1， 故选：C． 3．（2024八年级上·浙江绍兴·专题练习）定义运算：，当时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算与不等式综合，涉及解一元一次不等式知识，先由题中新定义运算，再解一元一次不等式，最后由题中条件分类求解即可得到答案，熟记一元一次不等式的解法是解决问题的关键． 【详解】解：在上定义运算：， 由可得， 当时，解得，由时，存在使不等式成立，则，解得，从而； 当时，解得，且，由时，存在使不等式成立，得； 当时，，当时，存在使不等式成立； 综上所述，， 故选：D． 4．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于80”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于80，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据第一次不停止、第二次停止列不等式组求解即可． 【详解】解：设输入的为x， 由题意知， 解得：， 故选：B． 5．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则．例如：，则下列结论： ①若，则的取值范围是； ②若整数、满足，则的值为6或10； ③若非负数、满足，则有理数的取值范围是． 正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查新的运算法则、解方程、不等式、方程组及不等式组，掌握二阶行列式的运算法则是解题的关键． 根据运算法则建立不等式，求解后可判断①；根据运算法则建立不等式组，再结合整数，的条件可求出m，n的值，可判断②；根据运算法则建立方程组，再结合非负数，的条件可建立不等式组，求解后可判断③． 【详解】解：①∵， ∴， 解得：，故原结论正确； ②∵， ∴， ∴ ∵，是整数， ∴是整数， ∴， ∴或，，，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，或6，，．故原结论错误； ③∵， ∴， 解得：， ∵，是非负数，即， ∴， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为，故原结论正确． 综上，结论①③正确，共2个． 故选B． 6．（2025·上海·模拟预测）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 7．（2025八年级上·浙江绍兴·专题练习）对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d= ． 【答案】3 【分析】首先根据运算符号的定义以及b、d是整数求得b、d的值，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：1＜4-bd＜3， 则-3＜-bd＜-1，即1＜bd＜3， ∵b、d是整数， ∴bd是整数． ∴bd=2， 则或（舍去）或或， 则b+d=3． 故答案是：3． 【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，正确求得b、d的值是关键． 8．（24-25七年级下·吉林长春·期中）关于x的不等式组，有下列四个结论： ①当时，原不等式组的整数解为； ②当时，原不等式组的整数解为； ③当时，原不等式组有1个整数解； ④若原不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围为． 以上结论正确的序号为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集的情况，求参数．根据各项中的条件，逐一计算后，判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：不等式组， 当时，不等式组的解集是，则原不等式组的整数解为，原说法正确，符合题意； 当时，不等式组需要同时满足和，无解，则原说法不正确，不符合题意； 第二个不等式为，当时，则， 且，原不等式组有1个整数解，即，原说法正确，符合题意； 原不等式组恰好有3个整数解，即为3、4、5，此时需满足，解得， 验证，当时，不等式组的解集是，则原不等式组的整数解为3、4、5； 取时，不等式组的解集是， 由于，则不等式组的解集是，则原不等式组的整数解为3、4、5； 原说法正确，符合题意； ∴正确结论为； 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组，其中－3≤a≤1，给出下列结论中：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程的解；④若x≤1，则1≤y≤4，正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】先解方程组得出，再逐一进行分析，从而得出答案； 【详解】解：解方程组得 ①当时，则，解得a=2，不合题意，故错误； ②当a=-2时，x=-3，y=3，x，y的值互为相反数，故正确； ③当a=1时，方程组的解为满足方程x+y=3，故正确； ④当x≤1时，2a+1≤1，a≤0，∴1≤1-a≤4，即1≤y≤4，故正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解此题的关键． 10．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，甲、乙的面积分别为，．    （1）比较．与的大小： ．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数n有且只有3个，则整数m的值为 ． 【答案】 < 2023 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则及作差法比较大小的方法． （1）根据题意得出，，再作差求解即可； （2）．由的整数n有且只有3个，知这3个整数解为2024，2023，2022，再根据可得答案． 【详解】解：（1）因为，，， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：<； （2）由（1），得． 因为的整数n有且只有3个， 所以这3个整数解为2024，2023，2022， 所以， 解得． 因为m为整数， 所以． 故答案为：2023． 11．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】原不等式组的解集为，解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 将解集在数轴上表示为： ∴原不等式组的解集为：． 12．（24-25七年级下·云南昆明·期中）（1）解方程组：； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）；（2），其整数解为：1，2，3． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求解是解题的关键； （1）利用加减法求解；先两式相加消去未知数y，求出x，再求出y即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，即可写出所有整数解． 【详解】解：（1）， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：； 所以方程组的解为； （2）解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 则不等式组的解集为：，其整数解为：1，2，3． 13．（24-25七年级下·浙江绍兴·课后作业）已知关于的不等式组； (1)若不等式组中的两个不等式的解集相同，求的值； (2)若第一个不等式的解都是第二个不等式的解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次不等式，会解一元一次不等式是解答本题的关键； （1）求出第一、二个不等式的解集，由解集相同求出的值即可； （2）根据不等式①的解都是②的解可得到，求出的范围即可． 【详解】（1）解：分别求得两个不等式的解集为， 因为两个不等式的解集相同， 所以， 解得； （2）解：根据题意，可得， 解得． 14．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如果一个不等式（组）的解组成的集合包含了一个方程（组）的解，那就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“理想集”．例如，不等式的解集为，方程的解为，显然，所以是的“理想集”． (1)不等式的解集是下列方程______（填序号）的“理想集” ①；②；③． (2)若不等式组的解集是方程的“理想集”，求的整数解． (3)是否存在实数使得不等式组的解集是方程组的“理想集”，若存在，求出的取值范围；若不存在请说明理由． 【答案】(1)② (2) (3)不存在，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的综合应用，解题的关键是熟练掌握不等式组和方程组的解法． （1）根据“理想集”定义进行求解即可； （2）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集不等式组得：，然后根据不等式组的解集是方程的“理想集”得出，求出k的取值范围即可； （3）先求出解方程组的解，然后根据题意得出，然后解不等式组，进行判断即可． 【详解】（1）解：由不等式得：； ①方程的解为：，所以不是的“理想集”； ②方程的解为，，因此是的“理想集”； ③方程的解为，，因此不是的“理想集”； 综上分析可知：不等式的解集是方程②的“理想集”； （2）解：由方程得：， 解不等式组得：， 由题可得：， 解得：， 的整数解为； （3）解：解方程组得：， 由题可得：， 解得：， 不存在． 15．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对于不等式组，根据它的解集是否能取到最大数与最小数，可分为四种类型，我们不妨约定： 既能取到最大数，也能取到最小数的不等式组称为“峰谷”不等式组，其中最大数称为峰值，最小数称为谷值； 只能取到最大数，不能取到最小数的不等式组称为“峰”不等式组，其中最大数称为峰值； 只能取到最小数，不能取到最大数的不等式组称为“谷”不等式组，其中最小数称为谷值； 既不能取到最大数，又不能取到最小数的不等式组称为“非峰非谷”不等式组． (1)判断下列不等式组的类型，将字母（A“峰谷”不等式组；B“峰”不等式组；C“谷”不等式组；D“非峰非谷”不等式组）写在括号内： ①不等式组；（   ）②不等式组；（   ）③不等式组；（   ） (2)若关于x的不等式组是“谷”不等式，求关于x的不等式的解集； (3)若关于x的不等式组是“峰谷”不等式组，且该不等式组的峰值、谷值均为整数，此时关于y的不等式组有4个整数解，求n的取值范围． 【答案】(1)①B；②A；③D (2) (3) 【分析】本题考查求不等式组的解集，根据不等式组的解集，求参数的值，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出每一个不等式组的解集，根据新定义进行判断即可； （2）求出不等式组的解集，根据新定义得到关于的不等式，进而求出的范围，进而求出不等式的解集即可； （3）根据新定义，求出的值，代入不等式组，求出的范围，根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】（1）解：解得：，故①为B“峰”不等式组； 解，得：；故②为A“峰谷”不等式组； 解，得：；故③为D“非峰非谷”不等式组； （2）解不等式组得：， 不等式组为谷不等式， ∴不等式的解集为； ， 解得：， ∵， ∴， ， ∴． （3）不等式组为峰谷不等式， ， 解不等式组得：， 峰值、谷值均为整数，解得：． 不等式组化为：，解不等式组得：， 有4个整数解， y的整数解为－1，0，1，2， ， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 一元一次不等式组（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 一元一次不等式组的定义 典型例题二 求不等式组的解集 典型例题三 解特殊不等式组 典型例题四 求一元一次不等式组的整数解 典型例题五 由一元一次不等式组的解集求参数 典型例题六 由不等式组解集的情况求参数 典型例题七 不等式组和方程组结合的问题 典型例题八 一元一次不等式组的新定义计算 知识点01 一元一次不等式组定义 由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式 组成的不等式组 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·课后作业）下列选项中，是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）我们把两个（或两个以上）的 ，就组成了一个一元一次不等式组． 知识点02 一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集． 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解． 一元一次不等式组的解法及解集表示： 不等式组（a＞b) 解集 在数轴上表示 口诀 x＞a 同大取大 x＜b 同小取小 b＜x＜a 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不小 【即时训练】 1．（2025·四川宜宾·模拟预测）满足不等式组的解是（　　） A． B． C．1 D．3 【即时训练】 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）不等式的解集是 ． 知识点03 一元一次不等式组的解法 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 【即时训练】 1．（2024·浙江·模拟预测）不等式组的整数解的个数是（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【即时训练】 2．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）不等式组的正整数解为 ． 知识点04 一元一次不等式(组）之含参问题 【即时训练】 1．（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）若不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果不等式解集为，那么的取值范围是 ． 【典型例题一 一元一次不等式组的定义】 【例1】（24-25七年级下·浙江绍兴·课后作业）下列选项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·课后作业）下列不等式组是一元一次不等式组的是( ) A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·浙江绍兴·单元测试）若mx－8≤4－2x是关于x的一元一次不等式，则m的取值是 ． 【例4】（24-25七年级·浙江绍兴·单元测试）一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 ．一元一次不等式组中各个不等式的解集的 ，叫做这个一元一次不等式组的 ． 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·课后作业）判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·单元测试）已知中的x、y满足0＜x﹣y＜1，求k的取值范围． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）已知，为有理数，且，不为0，则定义有理数对的“求真值”为，如有理数数对的“求真值”为，有理数对的“求真值”为． （1）求有理数对的“求真值”； （2）求证：有理数对与的“求真值”相等； （3）若的“求真值”的绝对值为，若，求的值． 【典型例题二 求不等式组的解集】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）平面直角坐标系中的点一定不在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（24-25七年级下·河南周口·期中）不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·广东深圳·期中）不等式组的解集是 ． 【例4】（2025·河南漯河·模拟预测）不等式组的所有整数解的和为 ． 1．（24-25七年级下·广东东莞·期末）解不等式组，并把它的解集在如图的数轴上表示出来． 2．（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）解方程组或不等式组： (1)； (2)． 3．（贵州省贵阳市2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷）（1）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：． （2）下面是小红进行分式混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务， ·····················第一步 ·································第二步 ·········································第三步 ·····························································第四步 任务一：小红的解答从第______步开始出现错误，这一步的错误原因是______； 任务二：请写出正确的解答过程． 【典型例题三 解特殊不等式组】 【例1】（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的负半轴相交．则下列关于、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山东淄博·模拟预测）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知点位于第二象限，并且，、为整数，符合上述条件的点共有 个． 【例4】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）设x为非负实数，将x“四舍五入”到整数的值记为＜x＞（可读作尖括号x），即当非负实数x满足n﹣≤x＜n+时，其中n为整数，则＜x＞=n．如＜0.48＞=0，＜5.5＞=6，＜3.49＞=3．如果＜x﹣2.2＞=5，那么x的取值范围是 ． 1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知实数a是不等于3的常数，解不等式组并依据a的取值情况写出其解集． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知 （1）若，求m的值； （2）求关于的表达式； （3）若，求的值的取值范围． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·单元测试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则； 即可以写成： ； 解不等式组得：； 当若，则， 即可以写成：， 解不等式组得：， 综合以上两种情况：不等式解集：或 （以上解法依据：若，则同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1) ； (2)． 【典型例题四 求一元一次不等式组的整数解】 【例1】（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）对于实数x，符号表示不大于x的最大整数，如：，，，若，则满足条件的整数a共有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【例3】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）不等式的最小整数解为 ． 【例4】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）关于的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 1．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）解不等式组，并写出它的最大整数解． 2．（24-25七年级下·四川自贡·期末）解不等式组，并写出它的所有整数解． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）（1）计算：． （2）化简求值：，其中是满足不等式组的整数解． 【典型例题五 由一元一次不等式组的解集求参数】 【例1】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）已知不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）下列四个不等式组中，解为的不等式组有可能是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024·浙江·模拟预测）已知关于x的函数，y的最大值为4，则a的取值范围是 ． 【例4】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 1．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）已知不等式组的解集是，求的值． 2．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于的不等式组 (1)当时，求不等式组的解集； (2)若不等式组的解集是，求的值； (3)若不等式组有三个整数解，则的取值范围是______． 3．（23-24七年级下·福建莆田·期中）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是 ； A．    B．    C． D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围； (3)若能被关于的不等式“容纳”，求的取值范围． 【典型例题六 由不等式组解集的情况求参数】 【例1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）关于的不等式组恰有3个整数解，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知关于x 的不等式组至少有2个整数解，则a 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知关于x的不等式组有解，则实数a的取值范围是 ． 【例4】（24-25七年级下·浙江绍兴·课后作业）若不等式组的解集为，则m的值可以是 （写出一个即可）． 1．（2025七年级下·浙江绍兴·专题练习）不等式组无解，求m的取值范围． 2．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）关于x的不等式组． (1)若该不等式组无解，求k的取值范围； (2)如果该不等式组恰好有2022个整数解，求k的取值范围． 3．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）若一个不等式（组）有解且解集为，则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式（组）的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）对于不等式（组）中点包含． (1)已知关于的不等式组，以及不等式，请判断不等式对于不等式组是否中点包含，并写出判断过程； (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围． 【典型例题七 不等式组和方程组结合的问题】 【例1】（24-25七年级下·福建南平·期末）已知，且，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·北京门头沟·模拟预测）团体购买某公园门票，票价如表，某单位现要组织其市场部和生产部的员工游览该公园．如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元．那么该公司这两个部门的人数之差为（　　） A．20 B．35 C．30 D．40 【例3】（2024·山东东营·模拟预测）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【例4】（2025·河南商丘·模拟预测）已知点P的坐标满足方程组． （1）若，则点P的坐标是 ； （2）若点P在第二象限，且符合要求的整数a只有三个，则b的取值范围是 ． 1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解x是非负数，y的值不大于，试求a的取值范围． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期末）已知关于x、y的方程满足方程组． (1)若，求m的值； (2)若x、y均为非负数，求m的取值范围，并化简式子； 3．（23-24八年级上·湖南长沙·开学考试）已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“完美解”． (1)已知①，②，③，则方程的解是不等式 （填序号）的“完美解”； (2)若是方程组与不等式的一组“完美解”，求a的取值范围； (3)若是方程与不等式组的“完美解”，求的取值范围． 【典型例题八 一元一次不等式组的新定义计算】 【例1】（24-25七年级下·北京东城·期末）我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝4a﹣3b．例如：5*6＝4×5﹣3×6，若m满足m*20，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 【例2】（24-25八年级上·广西桂林·期末）定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【例3】（24-25七年级下·河南焦作·期末）定义新运算：，则不等式的最小整数解为 ． 【例4】（24-25七年级下·福建厦门·期中）对x、y定义一种新的运算G，规定 （1）关于x的方程的解是 ； （2）若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ． 1．（24-25七年级下·四川广安·期末）请你根据方框内所给的内容，完成下列各小题． 我们定义一个关于有理数，的新运算，规定： ． 例如：． (1)若，，分别求出和的值； (2)若满足，且，求的取值范围． 2．（24-25七年级下·河南新乡·期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． (1)不等式 （选填“是”或“不是”的“云不等式”)． (2)若关于x的不等式与不等式互为“云不等式”且有2个公共的整数解，求a的取值范围． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为，不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，是不等式组的“关联方程”的有 （填序号）． (2)关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围． (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围． 1．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）若关于的不等式组无解，则需要满足的条件是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段练习）一元一次不等式组的最大整数解是（　　） A． B．0 C．1 D．2 3．（2024八年级上·浙江绍兴·专题练习）定义运算：，当时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于80”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于80，则用得到的这个数进行下一次操作． 如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则．例如：，则下列结论： ①若，则的取值范围是； ②若整数、满足，则的值为6或10； ③若非负数、满足，则有理数的取值范围是． 正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．（2025·上海·模拟预测）不等式组的解集为 ． 7．（2025八年级上·浙江绍兴·专题练习）对于正整数a、b、c、d，符号表示运算ac-bd，已知1<<3，则b+d= ． 8．（24-25七年级下·吉林长春·期中）关于x的不等式组，有下列四个结论： ①当时，原不等式组的整数解为； ②当时，原不等式组的整数解为； ③当时，原不等式组有1个整数解； ④若原不等式组恰好有3个整数解，则a的取值范围为． 以上结论正确的序号为 ． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于x，y的方程组，其中－3≤a≤1，给出下列结论中：①是方程组的解；②当时，x，y的值互为相反数；③当a=1时，方程组的解也是方程的解；④若x≤1，则1≤y≤4，正确的是 ． 10．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，甲、乙的面积分别为，．    （1）比较．与的大小： ．（填“>”“<”或“=”） （2）若满足条件的整数n有且只有3个，则整数m的值为 ． 11．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 12．（24-25七年级下·云南昆明·期中）（1）解方程组：； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 13．（24-25七年级下·浙江绍兴·课后作业）已知关于的不等式组； (1)若不等式组中的两个不等式的解集相同，求的值； (2)若第一个不等式的解都是第二个不等式的解，求的取值范围． 14．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如果一个不等式（组）的解组成的集合包含了一个方程（组）的解，那就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“理想集”．例如，不等式的解集为，方程的解为，显然，所以是的“理想集”． (1)不等式的解集是下列方程______（填序号）的“理想集” ①；②；③． (2)若不等式组的解集是方程的“理想集”，求的整数解． (3)是否存在实数使得不等式组的解集是方程组的“理想集”，若存在，求出的取值范围；若不存在请说明理由． 15．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对于不等式组，根据它的解集是否能取到最大数与最小数，可分为四种类型，我们不妨约定： 既能取到最大数，也能取到最小数的不等式组称为“峰谷”不等式组，其中最大数称为峰值，最小数称为谷值； 只能取到最大数，不能取到最小数的不等式组称为“峰”不等式组，其中最大数称为峰值； 只能取到最小数，不能取到最大数的不等式组称为“谷”不等式组，其中最小数称为谷值； 既不能取到最大数，又不能取到最小数的不等式组称为“非峰非谷”不等式组． (1)判断下列不等式组的类型，将字母（A“峰谷”不等式组；B“峰”不等式组；C“谷”不等式组；D“非峰非谷”不等式组）写在括号内： ①不等式组；（   ）②不等式组；（   ）③不等式组；（   ） (2)若关于x的不等式组是“谷”不等式，求关于x的不等式的解集； (3)若关于x的不等式组是“峰谷”不等式组，且该不等式组的峰值、谷值均为整数，此时关于y的不等式组有4个整数解，求n的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$