专题13.4 关于角度计算的几何模型（导图指引+知识梳理+5个考点讲练 共35题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题13.4 关于角度计算的几何模型 （思维导图+知识梳理+5个考点讲练 共34题） 知识点1 8字模型 【模型结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明方法】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D. 知识点2 飞镖模型 【模型结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【证明方法】如图,延长BD交AC于点E. ∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 知识点3 A字模型 【模型结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A. 【证明方法】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC. 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A. 知识点4 老鹰抓小鸡模型 【模型结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE. 【证明方法】如图，连接AF. ∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA， ∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC， 即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE. 知识点5 双内角平分线模型 【模型结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+∠A. 【证明方法】 设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y. 由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.① 由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.② 由②得x＋y=180°-∠BDC.③ 把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A， 即∠BDC =90°+∠A. 知识点6 双外角平分线模型 【模型结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 【证明方法】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y. 由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.① 易得2x＋2y=180°＋∠A.② 由①得x+y=180°-∠BDC.③ 把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A， 即2∠BDC=180°-∠A， 即∠BDC=90°- ∠A. 知识点7 内外角平分线模型 【模型结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 【证明方法】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y. 由外角定理得2y=∠A+2x ，① y=∠D+x.② 把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x , 即∠D=∠A. 考点1：A字型 【典例精讲】（2021九年级·全国·专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【思路引导】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答． 【规范解答】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°， ∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°， ∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°， 故答案为：61°． 【考点剖析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 【变式训练1】（2021九年级·全国·专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【答案】 【思路引导】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【规范解答】解：如图 ，， ， ， ， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 【变式训练2】（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】 根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【规范解答】 解：， ， ， 故选：D． 【考点剖析】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 考点2：8字型 【典例精讲】（（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）在中，，点在直线上（不与重合），点在直线上（不与重合），且． （1）如图①，若，则_____，此时，_____； （2）若点在边上（点除外）运动（图①），试探究与数量关系并说明理由： （3）若点在线段的延长线上，点在线段的延长线上（如图②），其余条件不变，请直接写出与的数量关系：___； （4）若点在线段的延长线上（如图③），点在直线上，，其余条件不变，则_____．（友情提醒：可利用图③画图分析） 【答案】（1）35°，2；（2）∠BAD=2∠CDE，理由见解析；（3）∠BAD=2∠CDE；（4）79°或11° 【思路引导】（1）利用三角形内角和定理以及三角形的外角的性质解决问题即可． （2）结论：∠BAD=2∠CDE．设∠B=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，则∠BAC=180°-2x，∠CDE=y-x，∠DAE=180°-2y，推出∠BAD=∠BAC-∠DAE=2y-2x=2（y-x），由此可得结论． （3）如图②中，结论：∠BAD=2∠CDE．解决方法类似（2）． （4）分两种情形：①当点E在CA的延长线上，设∠ABC=∠C=x，∠AED=∠ADE=y，则∠BAC=180°-2x，∠CDE=180°-（y+x），∠DAE=180°-2y，由题意，∠BAD=180°-∠BAC-∠DAE=2x+2y-180°=22°，推出x+y=101°，可得结论．②如图④中，当点E在AC的延长线上时，同法可求． 【规范解答】解：（1）如图①中， ∵∠ABC=∠ACB=40°， ∴∠BAC=180°-40°-40°=100°， ∵∠AED=∠CDE+∠C， ∴∠CDE=75°-40°=35°， ∵∠ADE=∠AED=75°， ∴∠DAE=180°-75°-75°=30°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-30°=70°， ∴==2． 故答案为35°，2． （2）结论：∠BAD=2∠CDE． 理由：设∠B=∠C=x，∠AED=∠ADE=y， 则∠BAC=180°-2x，∠CDE=y-x，∠DAE=180°-2y， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=2y-2x=2（y-x）， ∴∠BAD=2∠CDE． （3）如图②中，结论：∠BAD=2∠CDE． 理由：设∠B=∠ACB=x，∠AED=∠ADE=y， 则∠BAC=180°-2x，∠CDE=180°-（y+x），∠DAE=180°-2y， ∴∠BAD=∠BAC+∠DAE=360°-2（x+y）， ∴∠BAD=2∠CDE． 故答案为∠BAD=2∠CDE． （4）如图③中， 设∠ABC=∠C=x，∠AED=∠ADE=y， 则∠BAC=180°-2x，∠CDE=180°-（y+x），∠DAE=180°-2y， ∴∠BAD=180°-∠BAC-∠DAE=2x+2y-180°=22°， ∴x+y=101° ∴∠CDE=180°-101°=79°． 如图④中，当点E在AC的延长线上时，设∠ABC=∠ACB=x，∠AED=∠ADE=y， 则∠ADB=x-22°，∠CDE=y-（x-22°）， ∵∠ACB=∠CDE+∠AED， ∴x=y+y-（x-22°）， ∴x-y=11°， ∴∠CDE= 故答案为79°或11°． 【考点剖析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练1】（2021·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【答案】 减少 10 【思路引导】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 【规范解答】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 【考点剖析】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 【变式训练2】如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【思路引导】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解． 【规范解答】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF= ， ∵， ∴， ∴； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=（38°+42°）=40°． 【考点剖析】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 考点3：燕尾角 【典例精讲】如图， ． 【答案】720°/720度 【思路引导】连接DH，利用三角形外角性质得∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，再利用四边形内角和等于360°即可求解． 【规范解答】解：如图，连接DH， ∵∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，∠1+∠2+∠B+∠C=360° ∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C=360°， ∵∠4+∠6+∠E+∠G=360°， ∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C +∠4+∠6+∠E+∠G=720°， ∵∠3+∠4=∠BHG，∠5+∠6=∠ADE， ∴∠A+∠F+∠B+∠C+∠E+∠G+∠BHG+∠ADE=720°， 故答案为：720°． 【考点剖析】本题考查四边形内角和，三角形外角性质，将所求角转化成三角形与四边形的内角，利用四边形内角和定理和三角形外角性质求解是解题的关键． 【变式训练1】（2021九年级·全国·专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【规范解答】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【考点剖析】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 【变式训练2】（2021九年级·全国·专题练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答． 【规范解答】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴40°-90°=50° 故选C． 【考点剖析】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 考点4：双角平分线型 【典例精讲】（22-23七年级下·河南南阳·期末）(1)如图1，在△ABC中，点是和的角平分线的交点，请你判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在四边形中，点是和的角平分线的交点，请你用和表示，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角，直接写出用和表示的结果．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【思路引导】（1）根据三角形内角和定理，以及角平分线的定义的； （2）根据平分，平分，可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解； （3）根据题意可得，根据三角形的内角和定理可得，进而，即可求解． 【规范解答】解：（1） 理由如下： 平分，平分， ， ． 在中， ， 在中，， ． ．    （3）． 理由如下： 由四边形内角和定理得 ． 、分别平分和， ． ． 即．    （3）． 理由如下，    ∵ 又∵是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角， ∴ ． 即． 【考点剖析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，三角形的角平分线的性质，多边形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【变式训练1】如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为 ．    【答案】 【思路引导】根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解. 【规范解答】 在中, ， ∵与的角平分线相交于点， ∴， 在中, ， 故答案为:. 【考点剖析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键. 【变式训练2】（22-23八年级上·江西赣州·期中）如图，在△ABC中， (1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数． b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 【答案】(1)13cm (2)a、112.5°；b、90°＋x° 【思路引导】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6 cm，再求出周长为13 cm． （2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC． 【规范解答】（1）∵AB=4 cm，AC=3 cm ∴1＜BC＜7 ∴BC=6 cm ∴三角形的周长为： C△ABC=AB+AC+BC =4+3+6 =13cm （2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB = (∠ABC+∠ACB) =×135° =67.5° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB) =180°−67.5° =112.5° b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°− x° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB = (∠ABC+∠ACB) =×(180°− x°) =90°−x° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB) =180°−(90°−x°) =90°＋x° 【考点剖析】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想． 考点5：与三角形有关的折叠 【典例精讲】（2021九年级·全国·专题练习）如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【规范解答】解：，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 【考点剖析】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 【变式训练1】（2021九年级·全国·专题练习）如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路引导】 由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【规范解答】 解：由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 则， 则． 故选：B． 【考点剖析】此题考查了翻折变换（折叠问题）以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 【变式训练2】如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【思路引导】由折叠的性质可知,再利用平角的定义可求出的度数，进而利用三角形内角和可求∠B的度数. 【规范解答】由折叠的性质可知 ∵ ∴ ∴ 故选C 【考点剖析】本题主要考查折叠的性质及三角形内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键. 基础夯实 1．（21-22八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（    ） A．24 B．12 C．15 D．10 【答案】B 【思路引导】根据角平分线的性质计算出的高DE，从而计算出的面积． 【规范解答】 过点D做于点E，如图 ∵ ∴ ∵，，且是的角平分线 ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【考点剖析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质并作出辅助线，从而完成求解． 2．（2021九年级·全国·专题练习）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据三角形内角和定理和平角定义证得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根据折叠性质得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，进而求得∠1＋∠2=110°即可求解． 【规范解答】解：∵∠A＝55°， ∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°， ∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°， 由折叠可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°， ∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°， ∵∠1＝95°， ∴∠2＝110°－95°＝15°， 故选：B． 【考点剖析】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理、平角定义，熟练掌握折叠性质是解答的关键． 3．（20-21八年级上·河南漯河·期末）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【思路引导】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【规范解答】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 故选D． 【考点剖析】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 4．（20-21八年级上·湖北恩施·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（    ）． A．42° B．69° C．44° D．32° 【答案】A 【思路引导】根据翻折的性质，及矩形的性质，求出，再利用“8”字模型求解即可． 【规范解答】由图形翻折的性质可知，， ，， ，利用“8”字模型， ， 故选：A． 【考点剖析】本题考查了矩形翻折问题，能够根据图形翻折的性质推理出是解决问题的关键，熟练运用“8”字模型是求最终结果的关键． 5．如图， ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，则由三角形内角和定理可得答案． 【规范解答】解； ∵， ∴． 故答案为：． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）在中，，若的平分线相交于点，则的度数为 ． 【答案】 【规范解答】如图所示，由题意，得， ．，，，． 7．（20-21八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【思路引导】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，即可得出答案． 【规范解答】解：∵为外角的平分线，平分， ∴， 又∵是的外角， ∴， 即，故①正确； ∵、分别平分，， ∴， ∴ ，故④错误； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，故②错误、③正确； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 【考点剖析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 8．如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数． 【答案】 【思路引导】先由三角形外角的性质求得，再由三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴ 在中， ∵， ∴． 【考点剖析】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，正确识图是解题的关键． 9．如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、； (2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 【答案】(1)，， (2)， 【思路引导】（1）根据三角形的内角和定理可得，再由、的三等分线交于点、，可得 再根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的内角和定理可得，再由、的等分线交于点、，可得 再根据三角形的内角和定理，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵、的三等分线交于点、， ∴ ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∵、的等分线交于点、， ∴ ∴， ． 【考点剖析】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键． 10．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）2∠E＝∠A+∠C，理由见解析 【思路引导】（1）利用三角形内角和定理：，结合对顶角相等可得结论． （2）利用（1）中结论，设∠ABE=∠EBC=x，∠ADE=∠EDC=y，可得∠A+x=∠E+y，∠C+y=∠E+x，两式相加可得结论． 【规范解答】解：（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）结论：2∠E＝∠A+∠C． 理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E， ∴设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y， ∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x， ∴∠A+∠C＝∠E+∠E， ∴2∠E＝∠A+∠C ． 【考点剖析】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 培优拔高 11．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【规范解答】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【考点剖析】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 12．（21-22八年级上·湖北恩施·期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得： ， ∴， ∵， ∴， 即． 故选B． 【考点剖析】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键． 13．（20-21七年级下·江苏泰州·期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【答案】D 【思路引导】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题． 【规范解答】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB， ∵∠BA'C=120°， ∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠BAC=180°-120°=60°， ∵沿DE折叠， ∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A， ∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'， ∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°， 故选：D． 【考点剖析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型． 14．如图，则的度数是 ．    【答案】/180度 【思路引导】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理即可得解． 【规范解答】解：如图，    ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键． 15．如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为 ． 【答案】/32度 【思路引导】利用折叠性质得，，再根据三角形外角性质得，利用邻补角得到，则，然后利用进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握综合运用各个知识点是解题关键． 16．（2021九年级·全国·专题练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则 ． 【答案】 【思路引导】根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【规范解答】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1， ∴∠A1=∠A， ∵∠A=α． ∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α， 根据规律推导， ∴ ， 故答案为． 【考点剖析】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键． 17．（20-21七年级下·山西临汾·期末）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【答案】（1）见解析； （2）； （3）； （4） 【思路引导】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证； （2）设，，解方程即可得到答案； （3）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解； （4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解． 【规范解答】解：（1）如图.   ，， ． ， ； （2）如图.   ，分别平分，，设，， 则有， ， （3）如图.   直线平分，平分的外角， ，， ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 即 ． （4）连接   直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵180°， ∴， 【考点剖析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 18．如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，证明：； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) (4) 【思路引导】（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论； （2）由交点有点，再分类确定即可得到答案； （3）由（1）可得， ，再两式相加，结合角平分线的定义可得，再把，代入计算即可得到答案； （4）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得． 【规范解答】（1）证明：∵， 又∵， ∴； （2）交点有点， 以为交点的8字形有1个，为与， 以为交点的8字形有4个，为与，与，与，与， 以为交点的8字形有1个，为与， 所以，“8字形”图形共有6个． 故答案为：6； （3）由（1）可得，①， ②， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由①+②，得， 即， 又∵，， ∴， ∴； （4）关系：． 理由：由（1）得①， ② ， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， 由①＋②，得， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用、角平分线的定义等知识，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键． 19．（20-21八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G． （1）若∠MON=60°，则∠ACG= ；（直接写出答案） （2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示） （3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系． 【答案】（1）60°；（2）90°-n°；（3）∠BGO-∠ACF=50° 【思路引导】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAO+∠ABO，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到∠ACF=∠CAG，根据（2）的结论解答． 【规范解答】解：（1）∵∠MON=60°， ∴∠BAO+∠ABO=120°， ∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO， ∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=60°， ∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=60°， 故答案为：60°； （2）∵∠MON=n°， ∴∠BAO+∠ABO=180°-n°， ∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ∴∠CBA=∠ABO，∠CAB=∠BAO， ∴∠CBA+∠CAB=（∠ABO+∠BAO）=90°-n°， ∴∠ACG=∠CBA+∠CAB=90°-n°； （3）∵CF∥OA， ∴∠ACF=∠CAG， ∴∠BGO-∠ACF=∠BGO-∠CAG=∠ACG， 由（2）得：∠ACG=90°-×80°=50°． ∴∠BGO-∠ACF=50°． 【考点剖析】本题考查的是角平分线的定义、平行线的性质、三角形的外角性质，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键． 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.4 关于角度计算的几何模型 （思维导图+知识梳理+5个考点讲练 共35题） 知识点1 8字模型 【模型结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明方法】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°. ∵∠AOB=∠COD，∴∠A＋∠B=∠C+∠D. 知识点2 飞镖模型 【模型结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【证明方法】如图,延长BD交AC于点E. ∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 知识点3 A字模型 【模型结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A. 【证明方法】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC. 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A. 知识点4 老鹰抓小鸡模型 【模型结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE. 【证明方法】如图，连接AF. ∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA， ∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC， 即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE. 知识点5 双内角平分线模型 【模型结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+∠A. 【证明方法】 设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y. 由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.① 由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.② 由②得x＋y=180°-∠BDC.③ 把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A， 即∠BDC =90°+∠A. 知识点6 双外角平分线模型 【模型结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 【证明方法】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y. 由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.① 易得2x＋2y=180°＋∠A.② 由①得x+y=180°-∠BDC.③ 把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A， 即2∠BDC=180°-∠A， 即∠BDC=90°- ∠A. 知识点7 内外角平分线模型 【模型结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 【证明方法】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y. 由外角定理得2y=∠A+2x ，① y=∠D+x.② 把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x , 即∠D=∠A. 考点1：A字型 【典例精讲】（2021九年级·全国·专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【变式训练1】（2021九年级·全国·专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为 ． 【变式训练2】（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 考点2：8字型 【典例精讲】（（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）在中，，点在直线上（不与重合），点在直线上（不与重合），且． （1）如图①，若，则_____，此时，_____； （2）若点在边上（点除外）运动（图①），试探究与数量关系并说明理由： （3）若点在线段的延长线上，点在线段的延长线上（如图②），其余条件不变，请直接写出与的数量关系：___； （4）若点在线段的延长线上（如图③），点在直线上，，其余条件不变，则_____．（友情提醒：可利用图③画图分析） 【变式训练1】（2021·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 【变式训练2】如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 考点3：燕尾角 【典例精讲】如图， ． 【变式训练1】（2021九年级·全国·专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练2】（2021九年级·全国·专题练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 考点4：双角平分线型 【典例精讲】（22-23七年级下·河南南阳·期末）(1)如图1，在△ABC中，点是和的角平分线的交点，请你判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在四边形中，点是和的角平分线的交点，请你用和表示，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角，直接写出用和表示的结果．    【变式训练1】如图，在中，已知，、的平分线、相交于点O，则的度数为 ．    【变式训练2】（22-23八年级上·江西赣州·期中）如图，在△ABC中， (1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数． b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 考点5：与三角形有关的折叠 【典例精讲】（2021九年级·全国·专题练习）如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为 ． 【变式训练1】（2021九年级·全国·专题练习）如图，在中，，将沿直线折叠，点C落在点D的位置，则的度数是（    ）． A． B． C． D．无法确定 【变式训练2】如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（  ） A．20° B．30° C．40° D．50° 基础夯实 1．（21-22八年级下·辽宁本溪·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（    ） A．24 B．12 C．15 D．10 2．（2021九年级·全国·专题练习）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，则∠2的度数为（    ）． A． B． C． D． 3．（20-21八年级上·河南漯河·期末）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 4．（20-21八年级上·湖北恩施·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（    ）． A．42° B．69° C．44° D．32° 5．如图， ． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）在中，，若的平分线相交于点，则的度数为 ． 7．（20-21八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 8．如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数． 9．如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、； (2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 10．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD． （1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由． 培优拔高 11．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 12．（21-22八年级上·湖北恩施·期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（20-21七年级下·江苏泰州·期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 14．如图，则的度数是 ．    15．如图，把纸片沿DE折叠，使点A落在图中的处，若，，则的大小为 ． 16．（2021九年级·全国·专题练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则 ． 17．（20-21七年级下·山西临汾·期末）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    18．如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，证明：； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：_____个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 19．（20-21八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G． （1）若∠MON=60°，则∠ACG= ；（直接写出答案） （2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示） （3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系． 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$