专题13.5 三角形 章节复习讲义（导图指引+知识梳理+20个高频易错考点讲练 共40题）同步培优讲练-2025-2026学年人教版数学八年级上册（新教材）

专题13.5 三角形（章节复习） （导图指引+知识梳理+20个高频易错考点讲练 共40题） 第一部分 三角形的概念 知识点01：三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点02： 三角形的分类 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 第2部分 与三角形有关的线段 知识点01 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点02 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点03 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点04 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 第三部分 三角形的内角与外角 知识点01 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点02 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点03 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 考点讲练1：三角形的识别与有关概念 1．（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 2．（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则 ． 考点讲练2：三角形的个数问题 3.（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 4．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点讲练3：三角形的分类 5．（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知，则下列条件能判定是锐角三角形的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广西·阶段练习）在中，，点D、E分别在、上． (1)如图1，，证明：是直角三角形； (2)如图2，连接，平分，求的度数． 考点讲练4：构成三角形的条件 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．（24-25八年级上·山东青岛·期中）下列四组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．1，1，2 B．3，4，5 C．5，11，16 D．8，14，17 考点讲练5：确定第三边的取值范围 9．（2025·广东·二模）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 10．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点讲练6：三角形三边关系的应用 11．（24-25八年级上·全国·期末）等腰三角形的底边长为16，则腰长的取值可以为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．（23-24八年级上·广东东莞·期中）以下说法中，错误的是（    ） ①等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为或； ②三角形的一个外角，等于两个内角的和； ③有两边和一角对应相等的两个三角形全等； ④角平分线上的点到角两边的距离相等． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 考点讲练7：三角形的稳定性及应用 13．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 14．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图是位于太原市汾河上最南端的迎宾桥，其主桥通过拉索与主梁连接，使结构稳固，造型美观．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边 考点讲练8：四边形的不稳定性 15．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（    ）    A．四边形由矩形变为菱形 B．对角线的长度不变 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 16．（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A．B．C． D． 考点讲练9：角平分线、高 17．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 18．（2022·江苏泰州·模拟预测）中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 考点讲练10：根据三角形中线求长度 19．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，根据尺规作图的痕迹进行作答： (1)根据尺规作图可知：是的__________；（填“中线”“高线”或“角平分线”） (2)若，点B到边的距离是，求的面积． 20．（2024七年级下·四川成都·专题练习）(三角形面积)如图，三角形中，D为边上任一点，，三角形的面积为1平方厘米，求三角形的面积． 考点讲练11：根据三角形中线求面积 21．（21-22七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 22．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在7×7的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中过点C画出，并标出格点M； (2)在图2中过点A画出的中线； (3)图3中，是的角平分线，在射线上找点E，使得． 考点讲练12：三角形角平分线的定义 23．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格） (1)分别画出中边上的高、边上的中线；（要求：适当加黑加粗，并标出点H和点G的位置） (2)连接，那么与的位置关系是_______； (3)画一个（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍． 24．（20-21七年级下·江苏南京·阶段练习）我们知道，三角形具有性质：三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．如图，在由小正方形组成的的网格中，三角形的顶点都在小正方形的格点上．请运用上述三角形的性质，在该网格中，仅用无刻度的直尺，作出边上的高，再作出边上的高．（不写作法，保留作图痕迹） 考点讲练13：与三角形的高有关的计算问题 25．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，分别是边上的高线和中线．若的面积是24，长为6，，求的面积． 26．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知，和分别平分和，与交于点，作直线，垂足为．交于点B，若，，则的面积为 ．      考点讲练14：三角形内角和定理的证明 27．已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　） A．30 B．35 C．40 D．50 28．（20-21八年级下·全国·课前预习）现在通过平行线的性质于平角的定义证明“三角形的内角和等于180°”这个结论、 已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 证明：过点A作直线l，使l//BC， ∵l//BC， ∴∠2＝∠4（         ） 同理∠3＝ ， ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（        ） ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（       ） 考点讲练15：与平行线有关的三角形内角和问题 29．（2023·山东临沂·一模）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 30．（2021七年级下·全国·专题练习）如图，△ABC中，C、C′关于AB对称，B、B′关于AC对称，D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE，CD交于点F，若∠BFD＝α，∠BAC＝β，则α与β之间的关系为（    ） A．2β＋α＝180° B．α＝2β C．α＝ D．α＝180°﹣ 考点讲练16：与角平分线有关的三角形内角和问题 31．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 32．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）已知点为的外角的平分线上一点．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，试比较与的大小关系； (3)如图3，在（1）的条件下，、分别是边、上的点，且，则线段、之间的数量关系为_____． 考点讲练17：三角形折叠中的角度问题 33．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 34．（21-22七年级下·江苏泰州·期末）如图，在纸片中，，，且，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将、分别沿AB、AC向外翻折至、，连接DE，则面积的最小值为 ． 考点讲练18：直角三角形的两个锐角互余 35．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 36．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)若，，求的周长． (2)设， ①若，求的度数． ②设，求x与y之间的数量关系． 考点讲练19：锐角互余的三角形是直角三角形 37．（24-25八年级下·广西桂林·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在四边形中，，，，平分，点在边上，射线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)过点作，交于点，求证：． 考点讲练20：三角形的外角的定义及性质 39．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 40．（24-25八年级上·广东韶关·期末）如图，若，则的度数为 ． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.5 三角形（章节复习） （导图指引+知识梳理+20个高频易错考点讲练 共40题） 第一部分 三角形的概念 知识点01：三角形的概念 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形. 2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 知识点02： 三角形的分类 1.按边分类： 剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形； ②三边都相等的三角形叫作等边三角形； ③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形； ④可以用画图的方式表示（如右图） 第2部分 与三角形有关的线段 知识点01 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点02 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点03 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点04 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 第三部分 三角形的内角与外角 知识点01 三角形的内角和 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 知识点02 直角三角形的性质及判定 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 知识点03 三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 求证：∠ACD=∠A+∠B； 证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD. ②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B. ③三角形的外角和等于360°． 求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°； 证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2； ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°. 考点讲练1：三角形的识别与有关概念 1．（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 【答案】 内角 ，， 6 ，，，，， 【思路引导】本题主要考查三角形的有关概念，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）根据三角形角的定义结合图形解答即可； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）根据三角形的概念解答即可； 【规范解答】解：（1）是的内角． 故答案为：内角； （2）图中以线段为边的三角形有，，． 故答案为：，，； （3）图中共有6个三角形，它们分别是，，，，，． 故答案为：6；，，，，，． 2．（23-24八年级上·河南许昌·阶段练习）如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查了三角形，根据及即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【规范解答】解：， , , ， 故答案为：1． 考点讲练2：三角形的个数问题 3.（24-25七年级下·全国·随堂练习）（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【思路引导】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【规范解答】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 4．（24-25八年级上·云南曲靖·期中）如图，以点A为顶点的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【思路引导】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【规范解答】解：以点A为顶点的三角形有，，，，共4个． 故选：A 考点讲练3：三角形的分类 5．（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知，则下列条件能判定是锐角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．根据各角度数之间的关系，结合三角形内角和定理，求出的最大内角的度数，再将其与比较后，即可得出结论． 【规范解答】解：A．， ， 又， ， 是直角三角形，选项A不符合题意； B．， ，， 又， ， ， ， 是锐角三角形，选项B符合题意； C．， ，， 又， ， ， ， 是钝角三角形，选项C不符合题意； D．，， ， ， 是钝角三角形，选项D不符合题意． 故选：B． 6．（24-25八年级上·广西·阶段练习）在中，，点D、E分别在、上． (1)如图1，，证明：是直角三角形； (2)如图2，连接，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形的分类，掌握三角形的性质是解题关键． （1）由三角形内角和定理，得到，进而得出，即可证明结论； （2）由三角形内角和定理，得到，再由角平分线的定义，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】（1）证明：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：在中，，， 平分， ． 考点讲练4：构成三角形的条件 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形三边关系应用；判定两个三角形全等的方法有、、、、，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【规范解答】解：A、∵，不能画出，故本选项不符合题意； B、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期中）下列四组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．1，1，2 B．3，4，5 C．5，11，16 D．8，14，17 【答案】B 【思路引导】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【规范解答】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，能组成直角三角形，符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，不能组成直角三角形，不符合题意； 故选B． 考点讲练5：确定第三边的取值范围 9．（2025·广东·二模）一个三角形的两边长分别为2和3，则第三边的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．9 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系可得第三边长，再解可得第三边的范围，然后可得答案． 【规范解答】解：设第三边长为，由题意得： ， 解得：． 故选：B． 10．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，进而即可得到答案．   【规范解答】解：设该三角形第三边的长是， ∴， ∴， ∴该三角形第三边的长不可能是2． 故选：A． 考点讲练6：三角形三边关系的应用 11．（24-25八年级上·全国·期末）等腰三角形的底边长为16，则腰长的取值可以为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【思路引导】本题主要考查等腰定义，三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系求解即可． 【规范解答】解：设腰长为，则， ． 故选：D． 12．（23-24八年级上·广东东莞·期中）以下说法中，错误的是（    ） ①等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为或； ②三角形的一个外角，等于两个内角的和； ③有两边和一角对应相等的两个三角形全等； ④角平分线上的点到角两边的距离相等． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】利用三角形三边关系、等腰三角形的判定以及三角形的外角的性质，全等三角形的判定，角平分线的性质对各个小题进行判断即可． 【规范解答】解：①∵， ∴边长的边不能是该等腰三角形的腰，只能是底边， ∴该等腰三角形的腰长为，底边长为， ∴该等腰三角形的周长为：， ∴①错误，符合题意； ②∵三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和， ∴②错误，符合题意； ③∵有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等， ∴③错误，符合题意； ④∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴④正确，不符合题意； 综上所述：错误的有①②③， 故选：C． 【考点剖析】本题考查三角形三边关系、等腰三角形的判定以及三角形的外角的性质，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点，熟练运用相关知识是解答本题的关键． 考点讲练7：三角形的稳定性及应用 13．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．根据三角形具有稳定性解答即可． 【规范解答】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性， 故选：B． 14．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图是位于太原市汾河上最南端的迎宾桥，其主桥通过拉索与主梁连接，使结构稳固，造型美观．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边 【答案】C 【思路引导】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键．根据图示，三角形的性质即可求解， 【规范解答】解：根据题意可得，蕴含了一个数学道理是三角形具有稳定性， 故选：C． 考点讲练8：四边形的不稳定性 15．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（    ）    A．四边形由矩形变为菱形 B．对角线的长度不变 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性；根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【规范解答】解：A、因为矩形框架向左扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，但邻边不变且不相等，不可能变为菱形，故A不正确，不符合题意； B、向左扭动框架，的长度变大，故B不正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C不正确，不符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，符合题意， 故选：D． 16．（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【规范解答】解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选：D． 考点讲练9：角平分线、高 17．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知分别是的高和中线，，，，，试求： (1)和的周长的差； (2)的长； (3)直接写出的面积. 【答案】(1)和的周长的差是； (2)的长度为； (3). 【思路引导】本题考查的是三角形的高，中线的含义，三角形面积的计算，掌握“三角形的高，中线的含义”是解本题的关键． （1）利用三角形的中线的性质列式进行计算即可； （2）由再代入数值即可得到答案； （3）根据求出再根据中线平分三角形面积即可得答案． 【规范解答】（1）解：∵为边上的中线， ∴， ∴的周长 的周长， 即和的周长的差是． （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，， ∴ ∴，即的长度为； （3）解：的面积为． 如图，∵是直角三角形，，，， ∴． ∵为边上的中线， ． 18．（2022·江苏泰州·模拟预测）中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 【答案】，或， 【思路引导】此题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形中线的定义，并注意分类讨论．首先设，，则，根据的中线把的周长分成两部分的比是可得①；②，分两种情况进行计算即可． 【规范解答】解：如图：    利用，设，， ∵， ∴， ∵的中线把的周长分成两部分的比是， 则①当时， 由题意得：， 解得：， 则，； ②当时， 由题意得：， 解得：， 则，， 答：，或，． 考点讲练10：根据三角形中线求长度 19．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，根据尺规作图的痕迹进行作答： (1)根据尺规作图可知：是的__________；（填“中线”“高线”或“角平分线”） (2)若，点B到边的距离是，求的面积． 【答案】(1)中线 (2) 【思路引导】本题考查了尺规作图——垂线，三角形的中线，点到直线的距离，根据作图的痕迹得出所作线段垂直平分是解题关键． （1）根据尺规作图求解即可； （2）过B作，垂足为H，先求出，再根据三角形的中线求解即可． 【规范解答】（1）解：由作图的痕迹可知，所作线段垂直平分， 则点是的中点， 是的中线， 故答案为：中线 （2）解：如图，过B作，垂足为H， 点B到边的距离是， ， ， 是边上的中线， ． 20．（2024七年级下·四川成都·专题练习）(三角形面积)如图，三角形中，D为边上任一点，，三角形的面积为1平方厘米，求三角形的面积． 【答案】9平方厘米 【思路引导】本题考查三角形的中线，连接，根据三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积（平方厘米） 考点讲练11：根据三角形中线求面积 21．（21-22七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】在上取一点，使，连接，判断出，得出，进而得出当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为，最后用面积法，即可求出答案． 【规范解答】解：如图，在上取一点，使，连接，作，   平分， ， ， ∴， ， ， ∴当点C，E，在同一条线上，且时，最小，即最小，其值为， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【考点剖析】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 22．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在7×7的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)在图1中过点C画出，并标出格点M； (2)在图2中过点A画出的中线； (3)图3中，是的角平分线，在射线上找点E，使得． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【思路引导】（1）如图，取格点M，连接，则M即为所求； （2）如图，取格点P，Q，连接，交于N，连接即可； （3）如图，取格点Q，连接交于N，连接，则，取格点M，H，连接，交于F点，则，连接交射线于E，交于G，则，可得，则，可得，再利用全等三角形的性质可得，，可得. 【规范解答】（1）解：如图，即为所求，M为格点； （2）如图，中线即为所求； （3）如图，线段即为所求；    【考点剖析】本题考查的是复杂作图，作已知直线的垂线，作三角形的中线，作一条线段等于另一条线段的2倍，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的含义，全等三角形的判定与性质，熟练的掌握以上知识是解本题的关键. 考点讲练12：三角形角平分线的定义 23．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格） (1)分别画出中边上的高、边上的中线；（要求：适当加黑加粗，并标出点H和点G的位置） (2)连接，那么与的位置关系是_______； (3)画一个（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍． 【答案】(1)见详解； (2)平行 (3)见详解 【思路引导】（1）根据三角形的高线和中线的定义即可作图； （2）根据网格特点得到，即可得到； （3）先求出，结合网格特点即可作出． 【规范解答】（1）解：如图，为中边上的高，为中边上的中线： ； （2）解：如图，连接，由作图可得， ∴； 故答案为：平行； （3）解：如图，即为要求作的三角形； 证明：由题意得， ， ∴． 【考点剖析】本题考查了三角形高线、中线的定义，平行性的判定，三角形的面积公式等知识，理解相关知识，并根据网格的特点灵活应用是解题关键． 24．（20-21七年级下·江苏南京·阶段练习）我们知道，三角形具有性质：三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点．事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．如图，在由小正方形组成的的网格中，三角形的顶点都在小正方形的格点上．请运用上述三角形的性质，在该网格中，仅用无刻度的直尺，作出边上的高，再作出边上的高．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【思路引导】（1）在网格上找到格点，连接交于点，根据网格性质可得，即可求解； （2）在网格中找到格点，连接交于点，连接并延长交于点，根据网格性质可得，根据三角形的性质可得，即可求解． 【规范解答】解：（1）在网格中找到格点，连接交于点， 根据网格的性质可得， ∴即为边上的高 （2）在网格中找到格点，连接交于点，连接并延长交于点 根据网格的性质可得， 根据三角形的性质：“三条高所在直线相交于一点”可得， 线段即为所要求作的中边上的高 【考点剖析】此题考查了三角形高的有关性质，解题的关键是根据网格性质求得、边上的高并理解三角形“三条高所在直线相交于一点”的性质． 考点讲练13：与三角形的高有关的计算问题 25．（24-25八年级上·全国·期中）如图，在中，分别是边上的高线和中线．若的面积是24，长为6，，求的面积． 【答案】 【思路引导】该题主要考查了三角形的面积，中线，高线，解题的关键是理解题意． 根据的面积是24，算出，再根据中线得出，根据，即可算出，最后根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：∵是边上的高线，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 又 ， ∴， ∴． 26．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知，和分别平分和，与交于点，作直线，垂足为．交于点B，若，，则的面积为 ．      【答案】20 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解本题的关键．过点作于点，根据角平分线的性质得出，从而求出的长度，然后根据三角形面积计算公式计算即可． 【规范解答】解：过点作于点，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴， 故答案为：20． 考点讲练14：三角形内角和定理的证明 27．已知在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60，则∠B的度数是（　　） A．30 B．35 C．40 D．50 【答案】A 【思路引导】直接根据直角三角形的性质解答即可． 【规范解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝60， ∴∠B＝30， 故选：A． 【考点剖析】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质两锐角互余解答． 28．（20-21八年级下·全国·课前预习）现在通过平行线的性质于平角的定义证明“三角形的内角和等于180°”这个结论、 已知：△ABC，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 证明：过点A作直线l，使l//BC， ∵l//BC， ∴∠2＝∠4（         ） 同理∠3＝ ， ∵∠1，∠4，∠5组成平角， ∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（        ） ∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（       ） 【答案】两直线平行，内错角相等；∠5；平角定义；等量代换 考点讲练15：与平行线有关的三角形内角和问题 29．（2023·山东临沂·一模）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】利用平行线的性质得到，再利用三角形的内角和定理解题即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【考点剖析】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 30．（2021七年级下·全国·专题练习）如图，△ABC中，C、C′关于AB对称，B、B′关于AC对称，D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE，CD交于点F，若∠BFD＝α，∠BAC＝β，则α与β之间的关系为（    ） A．2β＋α＝180° B．α＝2β C．α＝ D．α＝180°﹣ 【答案】B 【思路引导】利用四边形内角和定理，三角形内角和定理，平行线的性质解决问题即可． 【规范解答】解：在△ABC中，∵∠BAC＝β， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣β， ∵C′D∥BC∥B′E， ∴∠ABC＝∠C′DB，∠ACB＝∠B′EC， ∵C、C′关于AB对称， ∴AB垂直平分线段CC′， ∴∠C′DB＝∠CDB，同理∠B′EC＝∠BEC， ∴∠CDB+∠BEC＝180°﹣β， ∵∠ADC+∠CDB＝180°，∠AEB+∠BEC＝180°， ∴∠ADC+∠AEB＝180°+β， ∵∠ADF+∠BAC+∠AEB+∠DFE＝360°，∠DFE＝180°﹣α， ∴180°+β+β+180°﹣α＝360°， ∴α＝2β， 故选：B． 【考点剖析】本题考查四边形的内角和定理、三角形的内角和定理以及平行线的性质，轴对称的性质，解题的关键是熟练地掌握基本知识点. 考点讲练16：与角平分线有关的三角形内角和问题 31．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，中，是上的高，平分，，，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合平分可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合即可求出结论． 【规范解答】解：在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴，， ∴． 32．（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）已知点为的外角的平分线上一点．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，试比较与的大小关系； (3)如图3，在（1）的条件下，、分别是边、上的点，且，则线段、之间的数量关系为_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）过点P作,则,再证可得，然后根据三角形内角和定理即可证明结论； （2）如图：延长至M，使得,连接，先证可得，再根据三角形的三边关系可得，即，最后根据即可解答； （3）如图：在上截取，连接，先证可得，,即，进而说明；再证可得，最后根据线段的和差即可解答． 【规范解答】（1）解：如图：过点P作,则,    ∵， ∴, ∴， ∵,, ∴． （2）解：如图：延长至M，使得,连接，    ∵为的角平分线， ∴, ∵, ∴， ∴ 在中，，即， ∵, ∴． （3）解：如图：在上截取，连接，    由（1）可得： ∵, ∴， ∴，, ∴，即 ∵ ∴， ∴, ∵, ∴, ∴， ∵． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的三边关系等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 考点讲练17：三角形折叠中的角度问题 33．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】连接、，由折叠的性质得，则，，又由折叠的性质得，，得出，，由三角形外角性质得出，进而得到，最后根据三角形的内角和定理即可得出结果． 【规范解答】解：连接、，如图所示： 由折叠的性质得：， ， ， 又由折叠的性质得：，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，三角形外角性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠的性质与等腰三角形的性质与解题的关键． 34．（21-22七年级下·江苏泰州·期末）如图，在纸片中，，，且，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将、分别沿AB、AC向外翻折至、，连接DE，则面积的最小值为 ． 【答案】 【思路引导】由将、分别沿AB、AC向外翻折至、可得：AP=AD=AE,由易得∠DAE=90°，面积=AD×AE=，当x取最小值时面积的最小即可求解． 【规范解答】解：∵、分别沿AB、AC向外翻折至、 ∴ ， ∴AP=AD=AE,∠BAD=∠BAP，∠CAP=∠CAE， ∵ 所以∠DAE=∠DAP +∠PAE =2（∠BAP +∠PAC）=2∠BAC =90°， 面积=AD×AE=，当AP取最小值时的面积最小， 在中，当AP为BC边的高，即AP垂直BC时，AP最小， 此时，， ，解得：AP=， 面积的最小值为：． 【考点剖析】本题考查了三角形的折叠问题、全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 考点讲练18：直角三角形的两个锐角互余 35．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，，求，的度数． 【答案】； 【思路引导】本题主要考查了垂直的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件和直角三角形的性质得出的值，再利用三角形的内角和定理即可求解． 【规范解答】解： ， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴＝． 36．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)若，，求的周长． (2)设， ①若，求的度数． ②设，求x与y之间的数量关系． 【答案】(1)16 (2)①② 【思路引导】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质和等腰三角形的性质； （1）根据斜边的中线等于斜边的一半可得，即可得解； （2）①根据斜边的中线性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再由三角形的内角和即可得解； ②由①可知：，即可得解． 【规范解答】（1）解：，M为的中点， ， ∴的周长； （2）解：①，M为的中点， ， ， ，， ， ， ， ②由①知：， ， ∴． 考点讲练19：锐角互余的三角形是直角三角形 37．（24-25八年级下·广西桂林·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数． 【规范解答】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为， ∴． 故选：D． 38．（24-25八年级上·上海·期中）如图，在四边形中，，，，平分，点在边上，射线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)过点作，交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【思路引导】（1）由平分可得，再结合已知条件，利用即可得出结论； （2）由全等三角形的性质可得，由两直线平行内错角相等可得，，进而可得，由等角对等边可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，于是可得，由等角对等边可得，于是结论得证． 【规范解答】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行内错角相等，根据等角对等边证明边相等，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 考点讲练20：三角形的外角的定义及性质 39．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 【答案】或或 【思路引导】本题考查了三角形的内角和与三角形的外角性质，全面分类、熟练掌握三角形的内角和与三角形的外角性质是解题的关键； 分三种情况：当点P在的内部时，当点P在的外部时，若点P在上方，当点P在的外部时，若点P在下方，分别画出图形，利用三角形的内角和与三角形的外角性质即可求解． 【规范解答】解：当点P在的内部时，如图，延长交于点D， 则， ∴； 当点P在的外部时，若点P在上方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 当点P在的外部时，若点P在下方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 综上： 或或； 故答案为：或或． 40．（24-25八年级上·广东韶关·期末）如图，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，先证明是等边三角形，得到，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为；． 第 1 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $$