精品解析：福建省南平市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

南平市2024-2025学年高一下学期期末质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是（ ） A. 图（1）中平均数中位数众数 B. 图（2）中平均数众数中位数 C. 图（2）中众数平均数中位数 D. 图（3）中平均数中位数众数 5. 已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的三个内角A，，的对边分别为，，．若，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是（ ） A. 众数为 B. 平均数为 C. 中位数为 D. 第百分位数为 10. 若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 11. 如图，正方体的棱长为，是四边形内（包括边界）的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当在线段上时，三棱锥的体积是定值 B. 当是线段的中点时，的周长是 C. 当是线段的中点时，三棱锥的外接球的体积是 D. 当是棱的中点时，的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与共线，则实数__________． 13. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点．若三棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为__________． 14. 研究人员从某公司员工的体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名女工员、名男员工的体重数据，计算得到10名女员工的平均体重为52（单位：kg），方差为6；20名男员工的平均体重为64（单位：kg），方差为3．则这30名员工体重的平均数是__________，方差是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16. 从某次测试中随机抽取份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值和抽取测试卷的成绩的第百分位数； （2）对成绩在和的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取份，再从这份测试卷中随机抽取份了解答题情况，写出这份测试卷所有可能结果构成的样本空间，并求这份测试卷成绩都在的概率． 17. 某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答．若答对两道题目，则面试通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试．已知李明答对第一道题目的概率为，答对第二道题目的概率为，答对第三道题目的概率为，假设每道题目是否答对是独立的． （1）求李明第二次答题后结束面试的概率； （2）求李明最终通过面试的概率． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点． （1）若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）； （2）证明：平面； （3）求二面角的余弦值． 19. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，点是的外心． （1）当时，求； （2）对于任意的，，，，用向量方法证明不等式（当且仅当时，等号成立）； （3）若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平市2024-2025学年高一下学期期末质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由虚部定义可得答案；对于B，由复数坐标表示可得答案；对于C，由共轭复数定义可得答案；对于D，由复数模计算公式可得答案. 【详解】对于A，复数的虚部为，故A错误； 对于B，对应的点为，在第三象限，故B错误； 对于C，因，则，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 则，故C正确. 故选：C 3. 设，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质判断A，举反例判断B，C，D即可. 【详解】对于A，由线面垂直的性质得若，，则，故A正确， 对于B，若，，则或相交，故B错误， 对于C，若，，则或，故C错误， 对于D，若，，则或异面，故D错误. 故选：A 4. 如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态．根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是（ ） A. 图（1）中平均数中位数众数 B. 图（2）中平均数众数中位数 C. 图（2）中众数平均数中位数 D. 图（3）中平均数中位数众数 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分步直方图概念，结合中位数，平均数，众数定义结合图形可得答案. 【详解】对于图1，平均数中位数众数，故A错误； 对于图2，众数中位数平均数，故BC错误； 对于图3，平均数中位数众数，故D正确. 故选：D 5. 已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取AC中点为G，连接EG，FG，可得为异面直线与所成的角或其补角，然后由勾股定理逆定理可得答案. 【详解】取AC中点为G，连接EG，FG，则， 又，则， 则为异面直线与所成的角或其补角， 又，则， 则异面直线与所成的角是. 故选：A 6. 已知的三个内角A，，的对边分别为，，．若，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，然后由余弦定理可得. 【详解】, 则由余弦定理，. 故选：B 7. 已知的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的几何意义，确定的形状，再根据投影向量的几何意义确定问题的答案. 【详解】如图： 因为，所以点为中点，所以. 又，，所以为等边三角形. 取中点，连接，则. 则即为向量在向量上的投影向量. 又. 故选：B 8. 已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定截面的顶角和母线的夹角，再利用三角形面积公式得到，结合轴截面的性质得到，进而建立不等式，求解的取值范围即可. 【详解】如图，设轴截面顶角为，两个母线的夹角为， 底面半径为，且， 由三角形面积公式得截面面积为， 若截面面积的最大值为，则，解得， 则，即，由轴截面的性质可得， 即，解得，故C正确. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某影院连续天的观影人数（单位：百人）依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是（ ） A. 众数为 B. 平均数为 C. 中位数为 D. 第百分位数为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出众数，平均数，中位数，第百分位数后判断. 【详解】这10个数从小到大排列为：80，90，120，120，130，160，160，160，180，200， 众数为160， 平均数为， 中位数为， ，因此第百分位数为第8个数160， 故选：BC. 10. 若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，正方体的棱长为，是四边形内（包括边界）的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 当在线段上时，三棱锥的体积是定值 B. 当是线段的中点时，的周长是 C. 当是线段的中点时，三棱锥的外接球的体积是 D. 当是棱的中点时，的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意分别作图，根据正方体的几何性质，可得三棱锥的高与底面，利用三棱锥的体积公式，可得A的正误；利用勾股定理，可得B的正误；根据三棱锥的几何性质，结合外接球的性质，可得C的正误；根据线面垂直以及全等三角形，结合三角形三边关系，可得D的正误. 【详解】对于A，由题意可作图如下： 在正方体中，易知平面，则点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积，故A正确； 对于B，由题意记，连接， 由分别为的中点，则，且， 在正方体中，易知平面，则平面， 因为平面，所以， 在边长为的正方形中，易知，且， 在中，，同理可得， 所以的周长为，故B错误； 对于C，在中，易知其外接圆圆心为， 由平面，则三棱锥的球心在直线上，即为的外心， 由余弦定理可得， 则， 由正弦定理可得其外接圆的半径为，即球的半径为， 所以三棱锥的外接球的体积为，故C正确； 对于D，由题意作图如下： 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为，，， 所以，则， 由，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与共线，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为向量与共线， 所以，解得. 故答案为： 13. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点．将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点．若三棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，利用长方体的对角线长求得外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意可得且两两垂直， 所以三棱锥可补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，如图所示，    设长方体的外接球的半径为，可得，所以， 所以外接球的表面积为， 故答案为：. 14. 研究人员从某公司员工的体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名女工员、名男员工的体重数据，计算得到10名女员工的平均体重为52（单位：kg），方差为6；20名男员工的平均体重为64（单位：kg），方差为3．则这30名员工体重的平均数是__________，方差是__________． 【答案】 ①. 60 ②. 36 【解析】 【分析】利用加权平均数公式求解第一空，利用加权方差公式求解第二空即可. 【详解】由题意得总体平均数为， 总体方差为. 故答案为：60；36 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时， ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； 【小问2详解】 当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 16. 从某次测试中随机抽取份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值和抽取测试卷的成绩的第百分位数； （2）对成绩在和的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取份，再从这份测试卷中随机抽取份了解答题情况，写出这份测试卷所有可能结果构成的样本空间，并求这份测试卷成绩都在的概率． 【答案】（1），84 （2）答案见解析，． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质建立方程求解，利用总体百分位数的估计求解第百分位数即可. （2）利用分层抽样的性质求解抽取的人数，再求出整体样本空间和符合条件的事件，最后利用古典概型概率公式求解概率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得．又由频率分布直方图可得， ，，的频率依次为， 所以前4组的频率为， 前5组的频率为， 故第80百分位数在区间上，因此第80百分位数为． 【小问2详解】 采用比例分配的分层抽样从和抽取5份测试卷， 由于，故成绩在的测试卷中抽取数为，记作； 成绩在的测试卷中抽取份数为，记作， 则从抽取的5份测试卷中随机抽取2份测试卷的所有可能构成的样本空间为： ，共有10个样本点， 设事件“这2份测试卷成绩都在”， 则，故，从而． 因此，这2份测试卷成绩都在的概率是． 17. 某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答．若答对两道题目，则面试通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试．已知李明答对第一道题目的概率为，答对第二道题目的概率为，答对第三道题目的概率为，假设每道题目是否答对是独立的． （1）求李明第二次答题后结束面试的概率； （2）求李明最终通过面试的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设表示“李明答对第道题目”，，设表示“李明第二次答题后结束面试”，则，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式可求得结果； （2）设表示“李明最终通过面试”，则，然后根据互斥事件和独立事件的概率公式可求得结果 【小问1详解】 设表示“李明答对第道题目”，．设表示“李明第二次答题后结束面试”， 则，且，互斥． 因为每道题目是否答对是独立的，所以与．相互独立，与相互独立， 于是． 【小问2详解】 设表示“李明最终通过面试”，则且互斥， 所以 ． 因此，李明最终通过面试的概率是． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点． （1）若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）； （2）证明：平面； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）如图，取的中点的中点，连接， 则截面与平面平行． （2）证明：因为平面，平面，所以． 在矩形中，平面，平面， 故平面． 又平面，故． 在中，，是的中点，所以，又，平面，平面，故平面， 而平面，于是． 因为平面，平面， 所以平面； （3）． 【解析】 【分析】（1）过点M，分别在平面PBC，平面PDC做EB，ED平行线，可得截面； （2）由平面，可得，结合，可得平面，据此可得，然后结合，可完成证明； （3）由（2）可得即为二面角的平面角，然后由题目信息结合原先定理可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知平面，于是， 所以即为二面角的平面角． 在中，，故，从而． 在中，，故，从而． 又在中，，故由余弦定理得， ， 所以二面角的余弦值为． 【点睛】 19. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，点是的外心． （1）当时，求； （2）对于任意的，，，，用向量方法证明不等式（当且仅当时，等号成立）； （3）若，求的最大值． 【答案】（1）2 （2）证明：构造向量，因为（其中为向量的夹角）， 所以， 于是， 即 当且仅当，即或时，等号成立，此时与共线，有， 即，不等式得证． （3）． 【解析】 【分析】（1）由三角形的外形性质，可得向量在向量上的投影向量，根据数量积的定义，可得答案； （2）根据数量积的坐标表示以及模长的坐标公式，结合向量夹角余弦值的取值范围，可得答案； （3）由图形的性质以及数量积的定义式，整理等式，利用（2）所得的不等式，可得答案. 【小问1详解】 因为点是的外心，所以点在边的中垂线上．如图设点为线段的中点， 则为向量在向量上的投影向量， 设与的夹角为，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，令，由， 得，化简得． 由点是的外心可知，是三边中垂线的交点，故有， 代入上式得，所以． 又是的外接圆的半径，故， 于是有， 由（2）结论可知，，故， 从而，于是，当且仅当时，等号成立， 因此的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $