精品解析：吉林省长春市第十七中学2024-2025学年高一下学期第三学程考试数学试题

长春市第十七中学 2024—2025学年度下学期第三学程考试 高一 数学试题 （满分150分，时间120分钟） 一．单选题（本题8小题，每小题5分，共40分） 1. 设（为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 与向量平行一个向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（ ） A B. C. D. 6. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及， 则M，N间的距离为（ ） A. B. 120m C. D. 200m 8. 如图，在斜三棱柱中，，，则点在底面上的射影必在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 内部 二．多选题（本题3小题，每小题5分，选对部分给部分分，选错0分） 9. 如图，在正方体中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是（　　） A. MO⊥平面 B. 平面MAC与平面ABC夹角的正切值为 C. 异面直线BC1与AC所成的角等于60° D. 若正方体的棱长为1，则到平面AMC的距离为 10. 已知中，角所对边分别为的面积记为，若，则（ ） A. B. 的外接圆周长为 C. 的最大值为 D. 若为线段的中点，且，则 11. 下列说法正确的是（    ） A. 若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 D. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，若点P在平面外，，则点P到平面的距离为 三．填空题（本题3小题，共15分） 12. 若，其中是虚数单位，则_____________ 13. 如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，，则______________________（用来表示） 14. 如图所示，在矩形中，，E为边上点，现将沿翻折至，使得在平面上的射影在上，且直线与平面所成的角为，则线段的长为________. 四．解答题（本题5小题，共77分） 15. 求解回答以下问题 （1）已知向量，若，求的值； （2）已知向量，求上的投影向量. 16. 已知复数，其中是虚数单位. （1）若复数为纯虚数，求实数m的值； （2）在复平面内，若复数对应点在第二象限，求实数m的取值范围. 17. 的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，且，求的周长． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，， （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求证：平面 （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在三棱柱中，平面分别是的中点. （1）求证：//平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长春市第十七中学 2024—2025学年度下学期第三学程考试 高一 数学试题 （满分150分，时间120分钟） 一．单选题（本题8小题，每小题5分，共40分） 1. 设（为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合复数的求模公式即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 3. 在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】结合角的范围，由正弦函数的性质可得． 【详解】中，， 若，则或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：C． 4. 与向量平行的一个向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示，逐项判断即可. 【详解】对于A，，A不是； 对于B，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D不是. 故选：B 5. 已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体的内切球、外接球的半径与正方体边长关系可求解. 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 6. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面位置关系判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】若，则或与相交，故A错误； 若，，，则，相交或异面，故B错误； 若，，则或异面，故C错误， 若，，，则面面平行的性质定理可知，故D正确. 故选：D 7. 如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及， 则M，N间的距离为（ ） A. B. 120m C. D. 200m 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，可得， 且， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在中，由余弦定理得， 所以. 故选：A. 8. 如图，在斜三棱柱中，，，则点在底面上的射影必在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 内部 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，得到平面平面，从而得到点在底面上的射影的位置. 【详解】连接，如图所示. ∵， ∴. ∵，，平面， ∴平面. 又平面， ∴平面平面. 又∵平面平面， ∴点在底面上的射影必在直线上. 故选：C. 二．多选题（本题3小题，每小题5分，选对部分给部分分，选错0分） 9. 如图，在正方体中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是（　　） A. MO⊥平面 B. 平面MAC与平面ABC夹角的正切值为 C. 异面直线BC1与AC所成的角等于60° D. 若正方体的棱长为1，则到平面AMC的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，连接，交BC1于，设正方体的棱长为1，首先由三角形中位线可得，其次根据线面垂直的判定定理证明平面，即可证明MO⊥平面，即可判断A；对于B，首先根据二面角的定义证明就是平面MAC与平面ABC夹角，然后在求出的值，即可判断B；对于C，首先找到（或其补角）就是异面直线BC1与AC所成的角，然后在中求出的值即可判断C；对于D，设到平面AMC的距离为，根据等体积法，由求出，即可判断D. 【详解】 连接，交BC1于，设正方体的棱长为1， 因为M为棱BB1的中点，又因为O为底面正方形ABCD的中心， 所以，， 所以，所以， 因为，所以 因为四边形是正方形，所以. 因为是正方体，所以平面， 因为平面，所以, 又因，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为，所以MO⊥平面，故A正确； 因为O为底面正方形ABCD的中心，所以， 又由选项A知， 所以就是平面MAC与平面ABC夹角， 所以，故B错误； 因为，所以（或其补角）就是异面直线BC1与AC所成的角， 在正方体中，是正三角形，所以， 即异面直线BC1与AC所成的角等于60°，故C正确； 设到平面AMC的距离为， 因为，又由选项A可知，， 所以， 因为是正方体，所以平面， 所以就是三棱锥的高， 因为，即， 即， 解得，即到平面AMC的距离为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（ ） A. B. 的外接圆周长为 C. 的最大值为 D. 若为线段的中点，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角形面积公式和向量数量积定义可判断A正确，由正弦定理可得B错误；利用基本不等式可求得的最大值为，可得C正确；根据C中的结论可知当时面积，可得D错误. 详解】依题意，，故A正确； 记外接圆的半径为，则，则的外接圆周长为，故B错误； 由余弦定理，，则， 故，当且仅当时等号成立，故C正确； 由C可知，当时，为等边三角形，此时，故D错误. 故选：AC. 11. 下列说法正确的是（    ） A. 若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于 B. 若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C. 在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 D. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，若点P在平面外，，则点P到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量法求线面角可以判断选项A；利用向量基底的意义可以判断选项B；根据题意求出对称点坐标可以判断选项C；利用向量法求点到平面的距离可以判断选项D. 【详解】选项A： 设直线方向向量为，平面法向量为，夹角为θ，线面角φ满足，则，故A错. 选项B：假设向量，，共面，则存在实数x，y使得， 而不共面，则，无解，故假设不成立，即向量，，不共面， 故可构成空间的另一个基底，故B对. 选项C：点关于平面的对称点坐标为，即点与点关于平面对称，故C对. 选项D： 已知平面的一个法向量，，根据距离公式： 距离，故D对. 故选：BCD. 三．填空题（本题3小题，共15分） 12. 若，其中是虚数单位，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】由共轭复数的概念及复数的乘除运算即可求解. 【详解】由，则， 所以 故答案为：. 13. 如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，，则______________________（用来表示） 【答案】 【解析】 【分析】由及及，即可化简求解. 【详解】由， 故答案为：. 14. 如图所示，在矩形中，，E为边上的点，现将沿翻折至，使得在平面上的射影在上，且直线与平面所成的角为，则线段的长为________. 【答案】 【解析】 【分析】过作于H，连接，根据题意，得.因为直线与平面所成的角为，所以.设，根据三角函数求出相应边，再根据勾股定理列出关于x的方程求解. 【详解】 过作于H，连接，根据题意，得平面. 因为直线与平面所成的角为，所以. 又因为，所以，，设，则. 在四边形中，可得，所以，故. 故答案为：. 四．解答题（本题5小题，共77分） 15. 求解回答以下问题 （1）已知向量，若，求的值； （2）已知向量，求上的投影向量. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量平行及坐标表示即可运算求解； （2）利用空间向量的投影公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，由， 可得，解得：， 故的值为； 【小问2详解】 由题意可得上的投影向量为， 故得上的投影向量为. 16. 已知复数，其中是虚数单位. （1）若复数为纯虚数，求实数m的值； （2）在复平面内，若复数对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知复数，相乘展开得：，根据纯虚数特征：实部为0，虚部不为，即，解出m； （2）求出，则，根据对应点在第二象限，构造不等式解出实数m的取值范围. 【小问1详解】 已知，相乘展开： ， 因复数为纯虚数， 所以实部为0，虚部不为0，即，解得：， 代入成立，符合要求， 所以. 【小问2详解】 ，则， 复平面内，对应的点为，因为点在第二象限， 即， 所以实数m的取值范围为：. 17. 的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，且，求的周长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角后，利用三角函数公式变形可得； （2）利用余弦定理求得后即得． 【小问1详解】 中，因为， 所以 ， 又，所以，，所以； 【小问2详解】 由余弦定理， 所以，， 周长为． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，， （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求证：平面 （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）异面直线与所成角为，求出各边长，得到； （2）平面，所以，结合，得到线面垂直； （3）作出辅助线，得到线面垂直，直线与平面所成角为，求出各边长，求出正弦值. 【小问1详解】 因为，所以异面直线与所成角为， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 所以； 【小问2详解】 因为平面，，所以平面， 平面，所以， 因为，，平面， 所以平面； 【小问3详解】 过点作，且使得，连接， 因为，所以，所以四边形为平行四边形， 故， 由（2）知，平面，所以平面， 因为平面，所以， 故直线与平面所成角为， 在上取点，使得，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 故，， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 由勾股定理得， 故. 19. 如图，在三棱柱中，平面分别是的中点. （1）求证：//平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，且交于点，再连接，由即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设出点，表示出， 由直线与平面所成角的正弦值解出点坐标即可. 【小问1详解】 连接，且交于点，再连接，如图所示. 因为三棱柱，所以. 又分别是的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以点是的中点. 在中，点是的中点，是的中点，所以， 又平面平面，所以平面. 【小问2详解】 不妨设，则. 在中，由余弦定理得，即. 所以，所以. 因为平面，又平面，所以， 又，所以. 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，所以. 设平面的一个法向量为， 由得 令，解得， 所以平面的一个法向量. 设，且， 所以，得， 所以点的坐标为， 所以. 设直线与平面所成的角为， 则 解得，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$