吉林省长春市第十七中学2024-2025学年高一下学期第三学程考试数学试题

长春市第十七中学 2024—2025学年度下学期第三学程考试答案 高一 数学试题（满分150分，时间120分钟） 一．单选题（本题8小题，每小题5分，共40分） 1.设（为虚数单位），则（  C ） A． B．1 C． D． 2．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ A ） A． B． C． D． 3. 在△ABC中，若sin2A=sin2B,则△ABC为（ C ） A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 4．与向量平行的一个向量的坐标是（ C   ） A． C． C． D． 5．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（  B  ） A． B． C． D． 6．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（  D ） A．若，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 7.如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及，则M，N间的距离为（ D ）    A．200m B．120m C． D. 8.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(　B　) A.直线BC上 B.直线AB上 C.直线AC上 D.△ABC内部 2． 多选题（本题3小题，每小题5分，选对部分给部分分，选错0分） 9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是(　ACD　) A.MO⊥平面A1BC1 B.平面MAC与平面ABC夹角的正切值为 C.异面直线BC1与AC所成的角等于60° D.到平面AMC的距离为 10．已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（ AB   ） A． B．的最大值为 C．的外接圆周长为 D．若为线段的中点，且，则 11．下列说法正确的是（ BCD   ） A．若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 D．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，若点P在平面外，，则点P到平面的距离为 3． 填空题（本题3小题，共15分） 12.若其中i是虚数单位，则 2-i 13.如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，,则 （用来表示） 14.如图所示，在矩形ABCD中，AD＝2，E为AB边上的点，现将△ADE沿DE翻折至△A′DE，使得点A′在平面EBCD上的射影在CD上，且直线A′D与平面EBCD所成的角为30°，则线段AE的长为____________. 四．解答题（本题5小题，共77分） 15.（13分）(1)已知向量，若，求的值； (2)已知向量，求上的投影向量。 16.（15分）已知复数，其中是虚数单位。 （1） 若复数为纯虚数，求实数m的值； （2） 在复平面内，若复数对应的点在第二象限，求实数m的取值范围。 17．（15分）△ABC的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，且，求△ABC的周长． 18.（17分）如图，在四棱锥P-ABCD中, , （1） 求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （2） 求证： （3） 求直线AB与平面PBC所成角的正弦值。 19．（17分）如图，在三棱柱中，平面分别是的中点. (1)求证：//平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由. —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $$报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 长春市第十七中学2024—2025学年度下学期第三学程考试 高一 数学试题答题卡 姓名：                班级：                 考场/座位号：                 注意事项 1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3．主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 4．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 5．保持答卷清洁、完整。 正确填涂 缺考标记 准考证号                 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] 客观题(1~8为单选题;9~11为多选题) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题 12. 13. 14. 解答题 15. （13分） 16. （15分） 17. （15分） 18. （17分） 19. （17分） 请勿在此区域作答或 者做任何标记 长春市第十七中学 2024—2025学年度下学期第三学程考试 高一 数学试题（满分150分，时间120分钟） 一．单选题（本题8小题，每小题5分，共40分） 1.设（为虚数单位），则（  ） A． B．1 C． D． 2．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（  ） A． B． C． D． 3. 在△ABC中，若sin2A=sin2B,则△ABC为（ ） A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 4．与向量平行的一个向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 7.如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道．为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及，则M，N间的距离为（   ）    A． 200m B．120m C． D. 8.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A.直线BC上 B.直线AB上 C.直线AC上 D.△ABC内部 2． 多选题（本题3小题，每小题5分，选对部分给部分分，选错0分） 9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是(　　) A.MO⊥平面A1BC1 B.平面MAC与平面ABC夹角的正切值为 C.异面直线BC1与AC所成的角等于60° D.到平面AMC的距离为 10．已知中，角所对的边分别为的面积记为，若，则（    ） A． B．的最大值为 C．的外接圆周长为 D．若为线段的中点，且，则 11．下列说法正确的是（    ） A．若直线l的一个方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 D．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量，若点P在平面外，，则点P到平面的距离为 3． 填空题（本题3小题，共15分） 12.若其中i是虚数单位，则 13.如图，在四面体OABC中，点D为AC的中点，,则 （用来表示） 14.如图所示，在矩形ABCD中，AD＝2，E为AB边上的点，现将△ADE沿DE翻折至△A′DE，使得点A′在平面EBCD上的射影在CD上，且直线A′D与平面EBCD所成的角为30°，则线段AE的长为________. 四．解答题（本题5小题，共77分） 15.（13分）(1)已知向量，若，求的值； (2)已知向量，求上的投影向量。 16.（15分）已知复数，其中是虚数单位。 （1） 若复数为纯虚数，求实数m的值； （2） 在复平面内，若复数对应的点在第二象限，求实数m的取值范围。 17．（15分）△ABC的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，且，求△ABC的周长． 18.（17分）如图，在四棱锥P-ABCD中,, （1） 求异面直线AP与BC所成角的余弦值； （2） 求证： （3） 求直线AB与平面PBC所成角的正弦值。 19．（17分）如图，在三棱柱中，平面分别是的中点. (1)求证：//平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由. —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $$