《1.5等腰三角形（三）》导学案 暑假预习手册13-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册13-《1.5等腰三角形（三）》 ( 一、 预习 目标 1.   理解并掌握等边三角形的性质和判定定理，能运用其进行简单的推理、计算和证明。 2.   探索并掌握 “ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边是斜边的一半 ” 这一重要性质，并能熟练运用解决相关问题 。 3.   通过对相关内容的预习，培养自己的观察、分析、归纳和逻辑推理能力，体会数学中的转化思想和分类讨论思想。 ) ( 一、 预习内容 （一） 等边三角形的性质 1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。 【思考】：等腰三角形与等边三角形的包含关系是怎样的？为什么说等边三角形是特殊的等腰三角形？ 【 思考 】 ：等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？ 2. 等边三角形的性质 【活动】 将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？ 【结论】（1）边：等腰三角形两腰相等，等边三角形三边都相等。 （2）角：等腰三角形两底角相等，等边三角形三个角都相等，因为三角形内角和为180 ° ，所以每个角都是60 ° 。 （3）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等边三角形也是轴对称图形，且有三条对称轴（分别是三条高所在直线 ，也可以说是三条角平分线所在直线或三条中线所在直线）。 （4）三线合一：等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线三线合一，等边三角形任意一条边上都有三线合一的性质。 【活动】画出等边三角形的三条对称轴，你有什么发现？ 【发现】 ) ( 【概念】 等边三角形的性质 (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 ° ； (3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等. 3.等腰三角形与等边三角形比较 （二）等边三角形的判定 1. 判定定理一：三个角相等的三角形是等边三角形。 三个角都相等的三角形是等边三角形。因为三角形内角和180 ° ，若三个角相等，每个角就是60 ° ，满足等边三角形角的特征。 2. 判定定理二：有一个角是60 ° 的等腰三角形是等边三角形。 有一个角是60 ° 的等腰三角形是等边三角形。若等腰三角形顶角是60 ° ，根据三角形内角和及等腰三角形两底角相等，可得两底角也是60 ° ；若底角是60 ° ，则另一个底角60 ° ，顶角也是60 ° ，都能得出是等边三角形。 例：已知三角形ABC中，AB = AC， ∠ A = 60 ° ，证明三角形ABC是等边三角形。 3. 证明等边三角形的思维导图 （三） 直角三角形中30 ° 角所对直角边与斜边的关系 【探究】 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，能产生什么样的特殊图形？ ) ( 【活动】如图，将两个相同的含30 ° 角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt △ ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 已知：在Rt △ ABC 中， ∠ C =90 ° ， ∠ A =30 ° . 求证：BC = AB． 方法一：倍长法 方法二：截半法 【结论】含30 ° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【 几何语言 】 ∵ 　在Rt △ ABC 中， ∠ C =90 ° ， ∠ A =30 ° ， ∴ BC = AB ) ( 三．经典例题 例1. 如图，在 △ EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE ⊥ CE，A是CE延长线上一点，连接AB，且AB＝BC.试判断 △ ABC的形状，并证明你的结论． 例2. 如图 △ ABC 是等边三角形，D，E，F 分别是三边AB，AC，BC 上的点， 且DE ⊥ AC，EF ⊥ BC，DF ⊥ AB，计算 △ DEF 各个内角的度数. 例3.如图等边三角形ABC 的边长为3，D 是AC 的中点，点E 在BC 的延长线上，若DE=DB，求CE 的长. 例4.如图 △ ABC 和 △ ADE 是等边三角形．求证：BD=CE． 例5. 如图， △ ABC 为等边三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD，以CD 为边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由. ) ( 例6如图在 △ ABC 中，AB=AC， ∠ BAC=120 ° ，点D，E 在BC 上，AD ⊥ AC，AE ⊥ AB． 求证： △ AED 为等边三角形． 例7.在 △ ABC 中， ∠ A=120 ° ，AB=AC，D 是BC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，点E，F 为垂足.求证： △ DEF 是等边三角形． 例8.如图在Rt △ ABC 中 ， ∠ C=90 ° ，AB 边的垂直平分线MN 交AB 于点M，交BC 于点N，且 ∠ B=15 ° ，AC=4 cm，求BN 的长. 例9. 如图， △ ABC 中，AB=AC， ∠ BAC=120 ° ，AC 边的垂直平分线DE与BC 边交于点D，垂足为E，若DE=1，求线段CD 和BC 的长． 例10. 如图在等边三角形ABC 中，AE=CD，AD，BE 相交于点P，BQ ⊥ AD 于Q. 求证：BP=2PQ. ) ( 四 ．基础过关 （一）选择题 1 .如图,两个全等的等边三角形的边长均为1 cm,一个微型机器人由A点开始按A-B-C-D-B-E-A的顺序沿两个等边三角形的边循环运动,行走2 023 cm停下,则这个微型机器人停在(　　) A.点A处　　　　B.点B处　　　　C.点C处　　　　D.点 D 处 2.如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(　　) A.80°　　　　B.100°　　　　C.120°　　　　D.140° 3 ．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(　　) A．4 B．30 C．18 D．12 4．下列推理中，错误的是(　　) A．因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 B．因为AB＝AC且∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 C．因为∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 D．因为AB＝AC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 5 ．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则BD的长度是(　　) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 6 ．如图，∠MON＝30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q.若点P到OM的距离为2，则OQ的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 7 ．如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，BD⊥AC，则 S △ABC = (　　) A．12 B．16 C．20 D．24 8 ．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° ) ( （ 二）填空题 9 .如图,△ABC的边BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形,则∠B= 　　　　 °.  10 ．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝____°. 11 ．如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2 = ____. 12．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 ________. （三）解答题 13 .如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数; (2)求证:DC=CF. 1 4.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,连接DE,使DB=DE. (1)求∠BDE的度数; (2)求证:△CED为等腰三角形. 1 5 .已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC. (1)【特殊情况,探索结论】 如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE 　　　　 DB(填“>”“<”或“=”).  (2)【特例启发,解答题目】 如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论: AE 　　　　 DB(填“>”“<”或“=”);理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成后续解答过程).  (3)【拓展结论,设计新题】 在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果). 图1 图2 ) ( 五 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 .如图,在△ABC中,∠B=60°,点D在边BC上,且AD=AC,若AB=6,CD=4,则BD的长为(　　) A.3　　　　B.2.5　　　　C.2　　　　D.1 2 .如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,P为线段AE上任意一点.若∠DPE=80°,则∠PDE的度数为(　　) A.20°　　　B.40°　　　C.60°　　　D.100° 3 .在△ABC中,AB=AC,添加下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是 (　　) A.∠A=60° B.AC=BC C.∠B的补角等于∠C的补角 D.AB边上的高也是AB边上的中线 4 .如图在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,则BD与BC的数量关系为(　) A.BC=2BD　　　　　B.BC=3BD C.BC=4BD　　　　　D.BC=5BD 5 .如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,等边△CDE的顶点E,D分别在线段AB,BC上,则CD的长为(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 6 .如图,直线m∥n,△ABC是 等边三角形 ,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(　　) A.80°　　　B.100°　　　C.120°　　　D.140° 7 .如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于(　　) A.40°　　　B.30°　　　C.20°　　　D.15° 8. 已知:在△ABC中,∠A=60°,如要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件.现有下面三种说法:①如果添加条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形; ②如果添加条“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”,那么 △ABC是等边三角形.上述说法中,正确的有 (　　) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 ) ( 9 .如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,有下列结论:①点P在∠BAC的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.其中正确的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10 .如图,已知:∠MON=30°,点A 1 、A 2 、A 3 、…在射线ON上,点B 1 、B 2 、B 3 、…在射线OM上,△A 1 B 1 A 2 、△A 2 B 2 A 3 、△A 3 B 3 A 4 、…均为等边三角形,若OA 1 = ,则△A 6 B 6 A 7 的边长为 (　　) A.6 B.12 C.16 D.32 二．填空题 1 1 ．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝____°. 1 2 ．如图，AD，BE是等边△ABC的两条高线，AD，BE交于点O，则∠AOB＝____°. 13 .如图,等边△ABC的两条中线BD、CE交于点O,则∠BOC= 　　　　 .  14 .如图,点D,E,F分别为等边△ABC三边AB,BC,AC上的动点,当△DEF为等边三角形时,AD=3,则线段CF的长为 　　　　 .  15 .由于木质衣架没有柔韧性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小明设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图,OA=OB=20 cm,当衣架收拢时,∠AOB=60°,此时A,B两点之间的距离是 　　　　 cm.  ) ( 16 .如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=5,BE平分∠ABD,AE∥BD交BE于E,则△ABE的周长是 　　　　 . 1 7 .如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为 　　　　 .  1 8 .如图,校园内有一棵大树AB,大树旁边有一栋教学楼CD,且CD=6.6米,站在楼顶C处,测得点B的仰角为30°,点A的俯角为30°,AC=BC,AD∥EC,则大树AB的高度为 　　　 .  1 9 .如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E,连接BD.若CD=1,则AD的长为 　　　　 .  20 .如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形,则∠B= 　　　 °.  三．解答题（60分） 21 ．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝3 cm，求BC的长． 22 .等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,则△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论. ) ( 23 .如图1,已知等边△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,连接DE. (1)若DE∥BC,求证:△ADE是等边三角形; (2)如图2,若D、E分别为AB、AC的中点,连接CD、BE,CD与BE相交于点F,请直接写出图中所有等腰三角形.(△ADE与△ABC除外) 图1 图2 24 ．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD，BE，交CE和AC分别于G，H点，连接GH. (1)试证明AD＝BE； (2)试证明△BCH≌△ACG； (3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明． 25 .在复习课上,老师布置了一道思考题:如图所示,点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上,且BM=CN,AM、BN交于点Q,求证:∠BQM=60°. (1)请你完成这道思考题; (2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出许多问题,譬如: ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题? ②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?请你选择其中一个问题,并画出图形,给出证明. 2 6 ．如图， △ ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形 △ AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册13-《1.5等腰三角形（三）》 ( 一、 预习 目标 1.   理解并掌握等边三角形的性质和判定定理，能运用其进行简单的推理、计算和证明。 2.   探索并掌握 “ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边是斜边的一半 ” 这一重要性质，并能熟练运用解决相关问题 。 3.   通过对相关内容的预习，培养自己的观察、分析、归纳和逻辑推理能力，体会数学中的转化思想和分类讨论思想。 ) ( 一、 预习内容 （一） 等边三角形的性质 1.等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。 【思考】：等腰三角形与等边三角形的包含关系是怎样的？为什么说等边三角形是特殊的等腰三角形？ 【解析】因为等边三角形三边都相等，必然满足等腰三角形有两边相等的条件，所以等边三角形是等腰三角形的一种特殊情况，即等腰三角形包含等边三角形。等边三角形不仅满足等腰三角形两边相等的特征，而且三边都相等，在边的相等性上更为特殊，所以说等边三角形是特殊的等腰三角形。 【 思考 】 ：等边三角形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？ 【解析】 是轴对称图形，有三条对称轴，分别是每条边上的中线、高线或角平分线所在的直线 。 2. 等边三角形的性质 【活动】 将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？ 【结论】（1）边：等腰三角形两腰相等，等边三角形三边都相等。 （2）角：等腰三角形两底角相等，等边三角形三个角都相等，因为三角形内角和为180 ° ，所以每个角都是60 ° 。 （3）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等边三角形也是轴对称图形，且有三条对称轴（分别是三条高所在直线 ，也可以说是三条角平分线所在直线或三条中线所在直线）。 （4）三线合一：等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线三线合一，等边三角形任意一条边上都有三线合一的性质。 【活动】画出等边三角形的三条对称轴，你有什么发现？ 【发现】三条对称轴交于一点 ) ( 【概念】 等边三角形的性质 (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60 ° ； (3)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (4)各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等. 3.等腰三角形与等边三角形比较 （二）等边三角形的判定 1. 判定定理一：三个角相等的三角形是等边三角形。 三个角都相等的三角形是等边三角形。因为三角形内角和180 ° ，若三个角相等，每个角就是60 ° ，满足等边三角形角的特征。 2. 判定定理二：有一个角是60 ° 的等腰三角形是等边三角形。 有一个角是60 ° 的等腰三角形是等边三角形。若等腰三角形顶角是60 ° ，根据三角形内角和及等腰三角形两底角相等，可得两底角也是60 ° ；若底角是60 ° ，则另一个底角60 ° ，顶角也是60 ° ，都能得出是等边三角形。 例：已知三角形ABC中，AB = AC， ∠ A = 60 ° ，证明三角形ABC是等边三角形。 证明：因为AB = AC，所以 ∠ B = ∠ C ，又因为 ∠ A = 60 ° ，三角形内角和180 ° ，所以 ∠ B= ∠ C=(180 ° - 60 ° ) ÷ 2 = 60 ° ，三个角都为60 ° ，所以三角形ABC是等边三角形 . 3. 证明等边三角形的思维导图 （三） 直角三角形中30 ° 角所对直角边与斜边的关系 【探究】 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，能产生什么样的特殊图形？ 【解析】 当沿等边三角形一边上的高对折时，这条高会把等边三角形分成两个部分。因为高是垂直于底边的，所以对折后会出现一个90 ° 的角。同时，原来等边三角形的一个角被平分，60 °÷ 2 = 30 ° ，这样就得到了两个直角三角形，其中一个锐角是30 ° ，另一个锐角是60 ° 。 ) ( 【活动】如图，将两个相同的含30 ° 角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt △ ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？ 已知：在Rt △ ABC 中， ∠ C =90 ° ， ∠ A =30 ° . 求证：BC = AB． 方法一：倍长法 证明：延长BC 到D，使BC=CD，连接AD， ∵ 　 ∠ C =90 ° ∴ AC ⊥ BD ∴ AB=AD 又 ∵∠ A =30 ° , ∴∠ B =60 °∴△ ABD 是等边三角形 ∴ AB=BD=2BC ∴ BC = AB． 方法二：截半法 证明：在BA上截取BE=BC，连接EC. ∵ ∠ B= 60 ° ，BE=BC. ∴ △ BCE是等边三角形， ∴ ∠ BEC= 60 ° ，BE=EC. ∵ ∠ A= 30 ° ， ∴ ∠ ECA= ∠ BEC- ∠ A=60 ° -30 ° = 30 °∴ AE=EC， ∴ AE=BE=BC， ∴ AB=AE+BE=2BC. ∴ BC = AB． 【结论】含30 ° 角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【 几何语言 】 ∵ 　在Rt △ ABC 中， ∠ C =90 ° ， ∠ A =30 ° ， ∴ BC = AB ) ( 三．经典例题 例1. 如图，在 △ EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE ⊥ CE，A是CE延长线上一点，连接AB，且AB＝BC.试判断 △ ABC的形状，并证明你的结论． 【解析】 △ ABC是等边三角形． 证明如下： ∵ CE＝CD， ∴∠ D＝ ∠ DEC， ∴∠ ECB＝ ∠ D＋ ∠ DEC＝2 ∠ D. ∵ EB＝ED， ∴∠ EBC＝ ∠ D. ∴∠ ECB＝2 ∠ EBC. ∵ BE ⊥ CE， ∴∠ ECB＝60 ° . ∵ AB＝BC， ∴△ ABC是等边三角形． 例2. 如图 △ ABC 是等边三角形，D，E，F 分别是三边AB，AC，BC 上的点， 且DE ⊥ AC，EF ⊥ BC，DF ⊥ AB，计算 △ DEF 各个内角的度数. 解： ∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ A= ∠ B= ∠ C= 6 0 ° . ∵ DE ⊥ AC，EF ⊥ BC，DF ⊥ AB， ∴∠ AED= ∠ EFC= ∠ FDB=90 ° . ∴∠ ADE=90 ° － ∠ A=90 ° － 60 ° =30 ° . ∴∠ EDF=18 0 ° －30 ° －90 ° = 60 ° .同理可得 ∠ DEF= ∠ EFD= 6 0 ° ， ∴△ DEF 各个内角的度数都是60 ° 例3.如图等边三角形ABC 的边长为3，D 是AC 的中点，点E 在BC 的延长线上，若DE=DB，求CE 的长. 解： ∵△ ABC 是等边三角形，D 是AC的中点， ∴ ∠ ABC= ∠ ACB= 60 ° ， ∠ DBE= □ 1/2 ∠ ABC，CD=1/2AC= □ 3/2. ∴∠ DBE=30 ° . ∵ DE=DB， ∴∠ E= ∠ DBE=30 ° . ∵∠ ACB= ∠ CDE＋ ∠ E， ∴∠ CDE= ∠ ACB－ ∠ E=3 0 ° . ∴∠ CDE= ∠ E. ∴ CE=CD= 3/2. 例4.如图 △ ABC 和 △ ADE 是等边三角形．求证：BD=CE． 证明： ∵△ ABC 和 △ ADE 是等边三角形， ∴ AB=AC，AD=AE， ∠ BAC= ∠ DAE=60 ° ． ∴∠ BAC－ ∠ DAC= ∠ DAE－ ∠ DAC，即 ∠ BAD= ∠ CAE．在 △ BAD 与 △ CAE 中， ∴△ BAD ≌△ CAE(SAS)． ∴ BD=CE． 例5. 如图， △ ABC 为等边三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD，以CD 为边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由. ) ( 解：AE ∥ BC.理由如下： ∵△ ABC与 △ CDE都为等边三角形， ∴ BC＝AC，CD＝CE， ∠ B＝ ∠ ACB＝ ∠ DCE＝60 ° . ∴∠ ACB＋ ∠ ACD＝ ∠ DCE＋ ∠ ACD，即 ∠ BCD＝ ∠ ACE. ∴△ BCD ≌△ ACE(SAS)． ∴∠ B＝ ∠ EAC. ∴∠ EAC＝ ∠ ACB. ∴ AE ∥ BC. 例6如图在 △ ABC 中，AB=AC， ∠ BAC=120 ° ，点D，E 在BC 上，AD ⊥ AC，AE ⊥ AB． 求证： △ AED 为等边三角形． 证明： ∵ AB=AC， ∠ BAC=120 ° ， ∴∠ B= ∠ C= □ 1/2(18 0 ° － ∠ BAC)=30 ° . ∵ AD ⊥ AC，AE ⊥ AB， ∴∠ EAB= ∠ DAC=90 ° . ∴∠ AEB=90 ° － ∠ B=60 ° ， ∠ ADC=90 ° － ∠ C=60 ° . ∴∠ DAE=180 ° － ∠ AEB－ ∠ ADC= 60 ° . ∴∠ ADE= ∠ AED= ∠ DAE. ∴△ AED 为等边三角形． 例7.在 △ ABC 中， ∠ A=120 ° ，AB=AC，D 是BC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，点E，F 为垂足.求证： △ DEF 是等边三角形． 证明： ∵∠ A=12 0 ° ，AB=AC， ∴∠ B= ∠ C=3 0 ° . ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC， ∴∠ BED= ∠ CFD=90 ° . ∴ 易得 ∠ BDE= ∠ CDF= 60 ° . ∴∠ EDF=180 ° － ∠ BDE－ ∠ CDF= 60 ° . ∵ D 是BC 的中点， ∴ BD=CD.在 △ BDE 和 △ CDF 中， ∴△ BDE ≌△ CDF(ASA). ∴ DE=DF. ∴△ DEF 是等边三角形. 例8.如图在Rt △ ABC 中 ， ∠ C=90 ° ，AB 边的垂直平分线MN 交AB 于点M，交BC 于点N，且 ∠ B=15 ° ，AC=4 cm，求BN 的长. 解：如图连接AN. ∵ MN 为AB 边的垂直平分线， ∴ AN=BN. ∴∠ NAB= ∠ B=15 ° . ∴∠ ANC= ∠ B＋ ∠ NAB=30 ° . ∵∠ C=90 ° ， ∠ ANC=30 ° ， ∴ AN=2AC=2 × 4 =8(cm). ∴ BN=8 cm. 例9. 如图， △ ABC 中，AB=AC， ∠ BAC=120 ° ，AC 边的垂直平分线DE与BC 边交于点D，垂足为E，若DE=1，求线段CD 和BC 的长． 解:如图，连接AD.AB=AC, ∠ BAC=120 ° , ∠ B= ∠ C= （ 180 ° -120 ° ） ÷ 2=30 ° . ∵ DE 垂直平分AC, ∴ AD=CD， ∠ DEC=90 ° . ∴ CD＝2DE＝2， ∠ C＝ ∠ DAC＝30 ° . ∴ AD＝2， ∠ BAD＝ ∠ BAC－ ∠ DAC＝90 ° . ∴ BD＝2AD＝4. ∴ BC＝BD＋CD＝6. 例10. 如图在等边三角形ABC 中，AE=CD，AD，BE 相交于点P，BQ ⊥ AD 于Q. 求证：BP=2PQ. 证明： ∵△ ABC 是等边三角形， ∴ AB=AC， ∠ BAE= ∠ C= 6 0 ° . ∵ AE=CD， ∴△ ABE ≌△ CAD(SAS). ∴∠ ABE= ∠ CAD. ∴∠ BPQ= ∠ ABE＋ ∠ BAP= ∠ CAD＋ ∠ BAP= ∠ BAE=60 ° . ∵ BQ ⊥ AD， ∴∠ BQP=90 ° . ∴∠ PBQ=90 ° － ∠ BPQ=30 ° . ∴ BP=2PQ. ) ( 四 ．基础过关 （一）选择题 1 .如图,两个全等的等边三角形的边长均为1 cm,一个微型机器人由A点开始按A-B-C-D-B-E-A的顺序沿两个等边三角形的边循环运动,行走2 023 cm停下,则这个微型机器人停在(　　) A.点A处　　　　B.点B处　　　　C.点C处　　　　D.点 D 处 【 答案】D 　 【 解析】 ∵两个全等的等边三角形的边长均为1 cm,∴机器人由A点开始按A-B-C-D-B-E-A的顺序沿两个等边三角形的边循环运动一圈的路程为6 cm,∵2 02 5 ÷6=337…… 3 , ∴这个微型机器人停在 D 处.故选 D . 2.如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(　　) A.80°　　　　B.100°　　　　C.120°　　　　D.140° 【 答案】 B　 【 解析】 如图,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°.∵∠1=∠A+∠AEF=140°,∴∠AEF= 140°-60°=80°,∴∠DEB=∠AEF=80°.∵m∥n,∴∠2+∠DEB=180°,∴∠2=180°-80°=100°.故选B. 3 ．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(　　) A．4 B．30 C．18 D．12 【 答案】 D 【解析】： ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4，∴△ADE的周长为12. 4．下列推理中，错误的是(　　) A．因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 B．因为AB＝AC且∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 C．因为∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 D．因为AB＝AC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 【 答案】 B 【解析】： 选项A，根据判定方法可知三个角相等的三角形是等边三角形，因此A是正确的；选项B，由AB＝AC可推出∠B＝∠C，因此它只能判定△ABC是等腰三角形，故B是错误的；选项C，可求出第三个角也是60°，因此有两个角是60°的三角形可判定为等边三角形，故C是正确的；选项D，有一个角为60°的等腰三角形，可判定为等边三角形，故D是正确的． ) ( 5 ．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则BD的长度是(　　) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 【 答案】 C 【解析】： 在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°(同角的余角相等)，∵AD＝3 cm，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm.∴BD＝AB－AD＝12－3＝9(cm). 6 ．如图，∠MON＝30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q.若点P到OM的距离为2，则OQ的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【 答案】 D 【解析】 如图过点P作PE⊥ON，∵OP平分∠MON，∴∠1＝∠2，∵PQ∥OM，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3＝ ∠MON＝15°，∴OQ＝PQ，∠4＝30°，∴PQ＝2PE＝4，∴OQ＝PQ＝4. 7 ．如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，BD⊥AC，则△ABC的面积是(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 【 答案】 B 【解析】： ∵AB＝AC，AC＝8，∴AB＝8，∵BD是高，∴∠BDA＝90°，∵∠A＝30°，∴BD＝ AB＝4，∴△ABC的面积＝ ×8×4＝16. 8 ．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 【 答案】 A 【解析】： ∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线， ∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°， ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝15°. ) ( （ 二）填空题 9 .如图,△ABC的边BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形,则∠B= 　　　　 °.  【 答案 】 30 【 解析 】 　∵EF垂直平分BC,∴BF=CF,∴∠B=∠BCF.∵△ACF为等边三角形,∴∠AFC=60°,∴∠B=∠BCF=30°. 10 ．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝____°. 【 答案】 30° 【解析】： ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝ ∠BAC＝30°. 11 ．如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为____. 【 答案】 102° 【解析】： 如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠1＝42°，a∥b，∴∠2＝∠1＋∠BAC＝42°＋60°＝102°. 12．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 ________. 【 答案】 150a元 【 解析 】 ： 如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°，∵CD⊥BD，AC＝30 m，∴CD＝15 m，∵AB＝20 m，∴S △ABC ＝ AB×CD＝ ×20×15＝150(m 2 )，∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格是150a元． ) ( （三）解答题 13 .如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数; (2)求证:DC=CF. 解 : (1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵DE⊥EF, ∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°. (2)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠EDC=∠ECD=60°,∴△DEC是等边三角形,∴CE=CD.∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,∴∠CEF=∠ECD-∠F=30°=∠F,∴EC=CF, ∴DC=CF. 1 4.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,连接DE,使DB=DE. (1)求∠BDE的度数; (2)求证:△CED为等腰三角形. 解 ： (1)∵DB=DE,∴∠E=∠DBE,∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,∵BD是AC边上的高,∴∠DBC=30°,∴∠E=∠DBE=30°,∴∠BDE=180°-30°-30°=120°. （ 2） 证明:∵∠ACB=60°,∠E=30°,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°,∴∠CDE=∠E,∴CD=CE, ∴△CED是等腰三角形. 1 5 .已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC. (1)【特殊情况,探索结论】 如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE 　　　　 DB(填“>”“<”或“=”).  (2)【特例启发,解答题目】 如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论: AE 　　　　 DB(填“>”“<”或“=”);理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成后续解答过程).  (3)【拓展结论,设计新题】 在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果). 图1 图2 解析　(1)当E为AB的中点时,AE=DB. （ 2） AE=DB.理由:如图,过点E作EF∥BC,交AC于点F,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∴△AEF为等三角边形,∴AE=AF=EF,∴BE=CF.∵ED=EC,∴∠D=∠ECD. ∵∠DEB=∠ABC-∠D=60°-∠D,∠ECF=∠ACB-∠ECB=60°-∠ECD,∴∠DEB=∠ECF.在△DBE和△EFC中, ∴△DBE≌△EFC(SAS),∴DB=EF,∴AE=DB. （ 3） 如图所示,过点E作EF∥BC,交AC的延长线于点F,易得△AEF是等边三角形,且边长 为 2,∴EB=FC.∵ED=EC,∴∠EDC=∠ECD,∵BC∥EF, ∴∠DCE=∠CEF,∴∠CDE=∠CEF,又∵∠ DBE =∠ ABC =60°=∠AFE, ∴△DBE≌△EFC,∴DB=EF=2,∵BC=1,∴CD=BC+DB=3. ) ( 五 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 .如图,在△ABC中,∠B=60°,点D在边BC上,且AD=AC,若AB=6,CD=4,则BD的长为(　　) A.3　　　　B.2.5　　　　C.2　　　　D.1 【 答案】 D　 【 解析】 如图,过点A作AE⊥BC于E,又∵AD=AC,CD=4,∴DE=EC= CD=2.在Rt△ABE中, ∵∠AEB=90°,∠B=60°,∴∠BAE=90°-∠B=30°,∴BE= AB= ×6=3,∴BD=BE-DE=3-2=1故选D. 2 .如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E,P为线段AE上任意一点.若∠DPE=80°,则∠PDE的度数为(　　) A.20°　　　B.40°　　　C.60°　　　D.100° 【 答案】 B　 【 解析】 ∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°,∵DE∥BC,∴∠PED=∠C=60°, ∵∠DPE=80°,∴∠PDE=180°-∠PED-∠DPE=40°,故选B. 3 .在△ABC中,AB=AC,添加下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是 (　　) A.∠A=60° B.AC=BC C.∠B的补角等于∠C的补角 D.AB边上的高也是AB边上的中线 【 答案】 C　 【 解析】 A.当AB=AC,∠A=60°时,△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意;B.当AB=AC, AC=BC时,AB=AC=BC,则△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意;C.∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∴∠B的补角等于∠C的补角,∴当∠B的补角等于∠C的补角时,不能判定△ABC是等边三角形,故本选项符合题意;D.当AB边上的高也是AB边上的中线时,CA=CB,∴AB=AC=BC, ∴△ABC是等边三角形,故本选项不符合题意.故选C. 4 .如图在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于D,则BD与BC的数量关系为(　) A.BC=2BD　　　　　B.BC=3BD C.BC=4BD　　　　　D.BC=5BD 【 答案】 C　 【 解析】 ∵∠BAC=90°,∠C=30°,∴BC=2AB,∠B=180°-∠BAC-∠C=60°,∵AD⊥BC, ∴∠ADB=90°,∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=30°,∴AB=2BD,∴BC=4BD.故选C. 5 .如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,等边△CDE的顶点E,D分别在线段AB,BC上,则CD的长为(　　) A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4 ) ( 【 答案】 B　 【 解析】 ∵△CDE为等边三角形,∴∠ECD=60°,CE=CD,∵∠B=30°,∴∠CEB=180°-60° -30°=90°,∴CE⊥AB,即△CBE为直角三角形,∴CD=CE= BC= ×4=2,故选B. 6 .如图,直线m∥n,△ABC是 等边三角形 ,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(　　) A.80°　　　B.100°　　　C.120°　　　D.140° 【 答案】 B　 【 解析】 如图,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠ABC=∠C=60°.∵∠1=∠A+∠AEF=140°, ∴∠AEF=140°-60°=80°,∴∠DEB=∠AEF=80°,∵m∥n,∴∠2+∠DEB=180°, ∴∠2=180°-80°=100°,故选B. 7 .如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于(　　) A.40°　　　B.30°　　　C.20°　　　D.15° 【 答案】 C　 【 解析】 ∵AB∥CD,∴∠DCA+∠CAB=180°,即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°,∵△ACE为等边三角形,∴∠ECA=∠EAC=60°,∴∠EAB=180°-40°-60°-60°=20 8. 已知:在△ABC中,∠A=60°,如要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件.现有下面三种说法:①如果添加条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形; ②如果添加条“∠B=∠C”,那么△ABC是等边三角形;③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”,那么 △ABC是等边三角形.上述说法中,正确的有 (　　) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 【 答案 】 　A　 【 解析】 ①若添加的条件为AB=AC,由∠A=60°,利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形;②若添加条件为∠B=∠C,∵∠A=60°,∴∠B=∠C=60°, ∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC为等边三角形;③若添加的条件为边AB、BC上的高相等,如图所示:∵AE⊥BC,CD⊥AB,∴∠ADC=∠AEC=90°,在Rt△ADC和Rt△CEA中, ∴Rt△ADC≌Rt△CEA(HL),∴∠ACE=∠BAC=60°,∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°,∴△ABC为等边三角形.综上,正确的说法有3个.故选A. ) ( 9 .如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,有下列结论:①点P在∠BAC的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.其中正确的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【 答案 】 　D　 【 解析】 ∵△ABC是等边三角形,PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴P在∠BAC的平分线上,故①正确;∵△ABC为等边三角形,AP平分∠BAC,∴PB=PC,∠B=∠C,∵PS=PR,∴Rt△BPR≌ Rt△CPS,∴BR=CS,∵AB=AC,∴AS=AR,故②正确;由①得∠PAC= ∠BAC=30°,∵AQ=PQ, ∴∠APQ=∠PAQ,∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,∴PQ∥AR,故③正确;易得△PQC是等边三角形,∵PS⊥CQ,∴∠PSQ=∠PSC=90°,SQ=SC,∵PS=PS,∴△PQS≌△PCS,∵△BPR≌ △CPS,∴△BRP≌△QSP,故④正确.∴①②③④都正确.故选D. 10 .如图,已知:∠MON=30°,点A 1 、A 2 、A 3 、…在射线ON上,点B 1 、B 2 、B 3 、…在射线OM上,△A 1 B 1 A 2 、△A 2 B 2 A 3 、△A 3 B 3 A 4 、…均为等边三角形,若OA 1 = ,则△A 6 B 6 A 7 的边长为 (　　) A.6 B.12 C.16 D.32 【 答案 】 　C　 【 解析】 如图,∵△A 1 B 1 A 2 是等边三角形,∴A 1 B 1 =A 2 B 1 ,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°, ∵∠MON=30°,∴∠1=180°-120°-30°=30°,∵∠3=60°,∴∠5=180°-60°-30°=90°,∵∠MON=30°=∠1,∴A 1 B 1 =OA 1 = ,∴A 2 B 1 = ,∵△A 2 B 2 A 3 、△A 3 B 3 A 4 都是等边三角形, ∴∠11=∠10=∠13=60°,A 2 B 2 =A 3 B 2 ,∴∠4=∠10=∠11=∠12=∠13,∴A 1 B 1 ∥A 2 B 2 ∥A 3 B 3 ,B 1 A 2 ∥B 2 A 3 ,∴∠6=∠7=∠1=30°,∠8=∠5=90°,∴A 2 B 2 =2B 1 A 2 ,B 3 A 3 =2B 2 A 3 ,∴A 3 B 3 =4B 1 A 2 =2,A 4 B 4 =8B 1 A 2 =4,A 5 B 5 =16B 1 A 2 =8,……∴△A n B n A n+1 的边长为 ×2 n-1 ,∴△A 6 B 6 A 7 的边长为 ×2 6-1 = ×2 5 =16.故选C. 二．填空题 1 1 ．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝____°. 【 答案】 30° 【解析】： ∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△AFC为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°. 1 2 ．如图，AD，BE是等边△ABC的两条高线，AD，BE交于点O，则∠AOB＝____°. ) ( 【 答案】 120 【解析】： ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°，∵AD，BE是等边△ABC的两条高线，∴∠BAD＝ ∠BAC＝30°，∠ABE＝ ∠ABC＝30°，∴∠AOB＝180°－∠BAD－∠ABE＝180°－30°－30°＝120°. 13 .如图,等边△ABC的两条中线BD、CE交于点O,则∠BOC= 　　　　 .  【 答案 】 　120° 【 解析 】 　∵△ABC是等边三角形,BD、CE是中线,∴BD⊥AC,∠ACE= ∠ACB=30°, ∴∠BDC=90°,∴∠BOC=∠ODC+∠ACE=120°,故答案为120°. 14 .如图,点D,E,F分别为等边△ABC三边AB,BC,AC上的动点,当△DEF为等边三角形时,AD=3,则线段CF的长为 　　　　 .  【 答案 】 　3 【 解析 】 　∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠C=60°,∴∠ADF+∠AFD=180°-∠A=120°, ∵△DEF是等边三角形,∴DF=EF,∠DFE=60°,∴∠AFD+∠EFC=180°-∠DFE=120°, ∴∠ADF=∠EFC,∴△ADF≌△CFE(AAS),∴CF=AD=3. 15 .由于木质衣架没有柔韧性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小明设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图,OA=OB=20 cm,当衣架收拢时,∠AOB=60°,此时A,B两点之间的距离是 　　　　 cm.  【 答案 】 　20 【 解析 】 　如图,连接AB.∵OA=OB,∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形,∴AB=OA=20 cm.故答案为20. 16 .如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=5,BE平分∠ABD,AE∥BD交BE于E,则△ABE的周长是 　　　　 . 【 答案 】 　15 【 解析 】 　∵∠ABC=60°,∴∠ABD=180°-60°=120°,∵BE平分∠ABD, ∴∠ABE=∠DBE=60°,∵AE∥BD,∴∠EAB=∠ABC=60°,∴∠ABE=∠EAB=60°,∴△ABE是等边三角形,∴AB=BE=AE=5,∴△ABE的周长是AB+BE+AE=15. ) ( 1 7 .如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为 　　　　 .  【 答案 】 　6 【 解析 】 　∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B=30°,∵∠A=90°,AN=1,∴MN=2AN=2, ∵MN平分∠AMC,∴∠NMC=∠AMN=30°,∵在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°, ∴∠ACB=180°-90°-30°=60°,BC=2AC,∵CM平分∠ACB,∴∠ACM= ∠ACB=30°, ∴∠ACM=∠NMC,∴CN=MN=2,∴AC=AN+CN=1+2=3,∴BC=2AC=2×3=6,故答案为6. 1 8 .如图,校园内有一棵大树AB,大树旁边有一栋教学楼CD,且CD=6.6米,站在楼顶C处,测得点B的仰角为30°,点A的俯角为30°,AC=BC,AD∥EC,则大树AB的高度为 　　　 .  【 答案 】 　13.2米 【 解析 】 　∵∠ACB=∠ACE+∠BCE=30°+30°=60°,AC=BC,∴△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∵AD∥EC,∴∠CAD=∠ACE=30°,在Rt△ADC中,∠CAD=30°, CD=6.6米,∴AC=2CD=2×6.6=13.2(米),∴大树AB的高度为13.2米. 1 9 .如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E,连接BD.若CD=1,则AD的长为 　　　　 .  【 答案 】 　2 【 解析 】 　∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°,∴∠BDC=∠A+∠ABD= 30°+30°=60°,∵∠C=90°,∴∠CBD=30°,∵CD=1,∴BD=2CD=2,∴AD=2.故答案为2. 20 .如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形,则∠B= 　　　 °.  【 答案 】 　30 【 解析 】 　∵EF垂直平分BC,∴BF=CF,∴∠B=∠BCF,∵△ACF为等边三角形,∴∠AFC=60°,∴∠B=∠BCF=30°.故答案为30. 三．解答题（60分） 21 ．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝3 cm，求BC的长． 解： ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB⊥AD，∴BD＝2AD＝2×3＝6(cm)，∵∠B＋∠ADB＝90°，∴∠ADB＝60°，∵∠ADB＝∠DAC＋∠C＝60°，∴∠DAC＝30°， ∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝3 cm，∴BC＝BD＋DC＝6＋3＝9(cm). ) ( 22 .等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,则△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论. 解 ： △APQ为等边三角形. 证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC.在△ABP与△ACQ中, ∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ. ∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,∴△APQ是等边三角形. 23 .如图1,已知等边△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,连接DE. (1)若DE∥BC,求证:△ADE是等边三角形; (2)如图2,若D、E分别为AB、AC的中点,连接CD、BE,CD与BE相交于点F,请直接写出图中所有等腰三角形.(△ADE与△ABC除外) 图1 图2 解 ： (1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴∠A=∠ADE=∠AED,∴△ADE是等边三角形. (2)△BDE,△DEC,△DEF和△BFC为等腰三角形.∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC,∠A=60°,∵D、E分别为AB、AC的中点,∴AD=BD= AB,AE=CE= AC, ∴AD=AE,∴△ADE为等边三角形,∴AD=DE,∴BD=DE,∴△BDE为等腰三角形,同理△DEC为等腰三角形.∵AB=BC,E为AC的中点,∴∠ABE=∠CBE=30°,∵∠ADE=∠ABC=60°, ∴DE∥BC,∴∠DEB=∠EBC=30°,同理∠BCD=∠EDC=30°,∴∠BCD=∠CBE=∠DEB=∠CDE, ∴FB=FC,DF=EF,∴△DEF和△BFC都为等腰三角形. 24 ．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD，BE，交CE和AC分别于G，H点，连接GH. (1)试证明AD＝BE； (2)试证明△BCH≌△ACG； (3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明． 解： (1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°. ∴∠ACD＝∠ECB，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE. (2)∵△ACD≌△BCE，∴∠CBH＝∠CAG.∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B，C，D在同一条直线上，∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°.又∵AC＝BC，∴△ACG≌△BCH. (3)△CGH是等边三角形，理由如下：∵△ACG≌△BCH，∴CG＝CH，又∵∠ACG＝60°， ∴△CGH是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形). 25 .在复习课上,老师布置了一道思考题:如图所示,点M、N分别在等边△ABC的BC、CA边上,且BM=CN,AM、BN交于点Q,求证:∠BQM=60°. (1)请你完成这道思考题; (2)做完(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出许多问题,譬如: ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题? ②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?请你选择其中一个问题,并画出图形,给出证明. ) ( 解 ： (1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°, 在△ABM和△BCN中, ∴△ABM≌△BCN(SAS).∴∠BAM=∠CBN. ∵∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°,∴∠QBA+∠BAM=60°.∴∠BQM=60°. (2)任选一个问题回答即可.①是. 证明:∵∠BQM=60°,∴∠QBA+∠BAM=60°.∵∠QBA+∠CBN=60°,∴∠BAM=∠CBN. 在△ABM和△BCN中, ∴△ABM≌△BCN(ASA).∴BM=CN. ②能.证明:如图,∵BM=CN,BC=AC,∴CM=AN.∵∠BAC=∠ACB=60°, ∴∠ACM=∠BAN=180°-60°=120°,在△BAN和△ACM中, ∴△BAN≌△ACM(SAS).∴∠NBA=∠MAC,∴∠BQM=∠BNA+∠NAQ=∠BNA+∠CAM=∠BNA+∠ABN=∠BAC=60°. 2 6 ．如图， △ ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形 △ AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x × 1 + 12=2x，解得：x=12； （2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形 △ AMN，如图 ① ，AM=t × 1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t， ∵ 三角形 △ AMN是等边三角形， ∴ t=12﹣2t，解得t=4， ∴ 点M、N运动4秒后，可得到等边三角形 △ AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图 ② ，假设 △ AMN是等腰三角形， ∴ AN=AM， ∴∠ AMN= ∠ ANM， ∴∠ AMC= ∠ ANB， ∵ AB=BC=AC， ∴△ ACB是等边三角形， ∴∠ C= ∠ B， 在 △ ACM和 △ ABN中， ∵ ， ∴△ ACM ≌△ ABN， ∴ CM=BN，设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时， △ AMN是等腰三角形， ∴ CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，y﹣12=36﹣2y，解得：y=16．故假设成立． ∴ 当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$