《1.3全等三角形的判定（三）--AAS》导学案 暑假预习手册6-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册6-《1.3全等三角形的判定（三）--AAS》 ( 一、 预习 目标 1.理解并掌握全等三角形判定方法 “ AAS ” （角角边），能准确表述其内容。 2.学会运用 “ AAS ” 判定定理证明两个三角形全等，规范证明过程的书写。 3.能够通过分析已知条件，合理选择 “ AAS ” 或其他全等判定方法解决相关几何问题，提升逻辑推理和几何思维能力 。 4.了解 “ AAS ” 判定定理与 “ ASA ” （角边角）判定定理之间的联系，体会数学知识的内在逻辑关系。 ) ( 一、 预习内容 （一）探究AAS判定方法 【活动】 若三角形的两个内角分别是60 ° 和45 ° ，且45 ° 所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 几何语言： 在 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 中， ∴△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′ （AAS） （二）AAS ” 判定定理与 “ ASA ” （角边角）判定定理之间的联系 推导联系：由三角形内角和等于180 ° ，推导得出当两个三角形有两个角分别相等时，它们的第三个角也一定相等。进一步理解 “ 角角边 ” 其实是 “ 角边角 ” 的推论，即已知两角及其中一角的对边相等时，可转化为两角及其夹边相等（因为第三个角相等，对边就可看作夹边），从而能用 “ ASA ” 证明三角形全等，这也说明了 “ AAS ” 的合理性。 ) ( （三） .  “ 角角边 ” （AA S ）判定定理的应用 例1 .如图，点B为AC上一点，AD ∥ CE， ∠ DBC+ ∠ BEC = 180 ° ，BD = EB，求证：AD = BC． 例2 . 如图，AB=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=∠E，求证：AE=AC． 例3. 如图,AB、CD相交于点O,AO=BO,AC ∥ DB.求证:AC=BD. 例4. .如图，AB ∥ CD，AB = CD，BF ⊥ AC于点F，DE ⊥ AC于点E，求证：AE = CF． 例5. 探究：如图 ① ，在 △ ABC中， ∠ BAC=90 ° ，AB=AC，直线m经过点A，BD ⊥ m于点D，CE ⊥ m于点E，求证： △ ABD ≌△ CAE． 应用：如图 ② ，在 △ ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有 ∠ BDA= ∠ AEC= ∠ BAC，求证：DE=BD+CE． ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1 .如图所示的四个三角形中,能构成全等三角形的是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 2 .如图4,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列哪个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　) A.AB=DE B.AC=DF C.∠A=∠D D.BF=EC 3 .如图,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM; ④CD=DN;⑤△AFN≌△AEM.其中正确的结论有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4 . 下列条件中，能判定△ABC≌△DEF 是(　　) A. AB=DE，BC=EF，∠A=∠E B. ∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D C. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D. ∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF （二）填空题 5 .如图在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= 　　　　 .  6 . 如图，已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，若以“SAS”为依据，则要添加的条件是____________；若以“AAS”为依据，则要添加的条件是____________；（用图中字母表示） 7 . 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：① BCD≌ CBE;② BAD≌ BCD;③ BDA≌ CEA;④ BOE≌ COD;⑤ ACE≌ BCE;上述结论一定正确的是 _____________. ) ( （三）解答题 8 如图所示,AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°.求证:△ABC≌△EAD. 9 .如图点A,C,B,D在一条直线上,AE⊥AD,FD⊥AD,垂足分别为A,D,CF∥BE,且CF=BE.求证:AC=BD. 10 .如图在四边形ABCD中,点E在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE.求证:AD=AE+AB. ) ( 四．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1. 根据图中所给条件,能够判定哪两个三角形全等？(　　) A. ①和② B. ②和④ C. ①和③ D. ③和④ 2. 在△ABC和△EMN中，已知∠A=50°，∠B=60°，∠E=70°，∠M=60°，AC=EN，则这两个三角形（　　） A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 以上都不对 3. 下列条件中，能判定△ABC≌△DEF 是(　　) A. AB=DE，BC=EF，∠A=∠E B. ∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D C. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D. ∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF 4. 如图,已知AD是△ABC的BC边上的高,下列能使△ABD≌△ACD的条件是(　　) A. ∠BAD=∠CAD B. ∠BAC=99° C. BD=AC D. ∠B=45° 5 . 如图，∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE，添加下列条件后仍不能使△ABD≌△CAE的条件是（　　） A. AD=AE B. AB=AC C. BD=AE D. AD=CE ) ( 6 . 如图，∠B=∠C，增加哪个条件可以让△ABD≌△ACE？（　　） A. BD=AD B. AB=AC C. ∠1=∠2 D. 以上答案都不对 7 . 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 8 . 如图,∠1=∠2,∠3=∠4,OE=OF,则图中全等的三角形有(　　) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 9. 如图，AB ∥ CD，且AB = CD，则ABE ≌△ CDE的根据是（　　） A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS 10. 如图，点E在 △ ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若 ∠ EDC = ∠ EAC = ∠ BAD，AC =AE，则（　　） A ． △ ABD ≌△ AFD B ． △ ABC ≌△ ADE C ． △ AFE ≌△ ADC D ． △ AFE ≌△ DFC 二．填空题（30分） 11 .如图：要测量河岸相对两点A、B间的距离，先从B点出发与AB成 90 ° 角方向，向前走 25 米到C点处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走 25 米到点D处，在点D处转 90 ° 沿DE方向走 17 米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B之间的距离为 　 　 米． 12 .如图，AB ⊥ CD，且AB = CD，CE ⊥ AD，BF ⊥ AD，分别交AD于E、F两点，若BF = a，EF = b，CE = c，则AD的长为 _________. ) ( 13 .如图，若AB ⊥ BC于点B，AE ⊥ DE于点E，AB = AE， ∠ ACB = ∠ ADE， ∠ ACD = ∠ ADC = 70 ° ， ∠ BAD = 60 ° ，则 ∠ BAE的度数是 　 　 ． 14 . 如图， ， ， 于点 ， 于点 ， ， ，则 的长是 _________. 15. 如图， ∠ ACB = 90 ° ，AC = BC，BE ⊥ CE，AD ⊥ CE于D点，AD = 2.5 cm，DE = 1.7 cm，则BE的长为 _________ cm 1 6 . 如图， 中， ，分别过点B、C作过点A的直线的垂线 ，垂足分别为D、E，若 ，则 ________． 17. 如图，过正方形 A BCD的顶点B作直线L，过A，C，D作L的垂线 . 垂足分别为点E，F，G . 若AE=2，CF=6，则CF+AE+DG的值为___. 18 ． 如图 ， 已知AE⊥AB且AE＝AB ，BC ⊥ CD 且BC＝CD ， 按照图中所标注的数据 ， 则图中阴影部分的面积S是 ________. 19 . 如图 3 所示 , 在 △ ABC 中 ,AD ⊥ BC 于点 D,BE ⊥ AC 于点 E,AD 与 BE 相交于点 F. 若 BF=AC, 则 ∠ ABC 的度数是 ________. 20、 如图，在△ABC中， ，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也 停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等． ) ( 三．解答题（60分） 21 ． 如图 ， 在△ABC中 ， ∠ B ＝∠C ，D，E 分别在 BC ，AC 边上 ， 且∠1＝∠B ，AD ＝DE ， 求证：△ADB≌△DEC. 22. 如图在△ABC中 ， ∠ ACB ＝90 ° ，AC ＝BC ，BE ⊥ CE 于点E ，AD ⊥ CE 于点D. 求证：△BEC≌△ CDA. 23. 如图 AB ∥ CD，BE，CE 分别是∠ABC ， ∠ BCD 的平分线 ， 点E在AD上． 求证：BC＝AB＋CD. 24 .如图四边形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别在AD,BC上,AE=CF,过点A,C分别作EF的垂线,垂足为G,H. (1)求证:△AGE≌△CHF; (2)连接AC,线段GH与AC是否互相平分?请说明理由. 25 ． 如图 ， 在△ABC和△DBC中 ， ∠ ACB ＝∠DBC＝90 ° ，E 是BC的中点 ，DE ⊥ AB， 垂足为F ， 且AB＝ED. (1)求证：BD＝CB.(2)若BD＝8 cm， 求AC的长 ) ( 26 .理解证明:如图①,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF; 类比探究:如图②,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF; 拓展应用:如图③,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为 　　　　 .  2 7 .如图1所示，在 △ ABC中， ∠ BAC = 90 ° ，AB = AC，AE是过点A的一条直线，且B、C点在AE的异侧，BD ⊥ AE于D点，CE ⊥ AE于E点． （1）求证：BD = DE+CE； （2）若直线AE绕点A旋转到如图2所示的位置(BD＜CE)时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请予以证明； （3）若直线AE绕点A旋转到如图3所示的位置(BD＜CE)时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明. （4）归纳上述（1）（2）（3）问，请用简洁的语言表述BD与DE、CE的关系. ) ( 2 7 .如图1所示，在 △ ABC中， ∠ BAC = 90 ° ，AB = AC，AE是过点A的一条直线，且B、C点在AE的异侧，BD ⊥ AE于D点，CE ⊥ AE于E点． （1）求证：BD = DE+CE； （2）若直线AE绕点A旋转到如图2所示的位置(BD＜CE)时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请予以证明； （3）若直线AE绕点A旋转到如图3所示的位置(BD＜CE)时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明. （4）归纳上述（1）（2）（3）问，请用简洁的语言表述BD与DE、CE的关系. ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册6-《1.3全等三角形的判定（三）--AAS》 ( 一、 预习 目标 1.理解并掌握全等三角形判定方法 “ AAS ” （角角边），能准确表述其内容。 2.学会运用 “ AAS ” 判定定理证明两个三角形全等，规范证明过程的书写。 3.能够通过分析已知条件，合理选择 “ AAS ” 或其他全等判定方法解决相关几何问题，提升逻辑推理和几何思维能力 。 4.了解 “ AAS ” 判定定理与 “ ASA ” （角边角）判定定理之间的联系，体会数学知识的内在逻辑关系。 ) ( 一、 预习内容 （一）探究AAS判定方法 【活动】 若三角形的两个内角分别是60 ° 和45 ° ，且45 ° 所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 【解析】能画出，如下图，且能与同伴画的三角形完全重合。 几何语言： 在 △ ABC 和 △ A ′ B ′ C ′ 中， ∴△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′ （AAS） （二）AAS ” 判定定理与 “ ASA ” （角边角）判定定理之间的联系 推导联系：由三角形内角和等于180 ° ，推导得出当两个三角形有两个角分别相等时，它们的第三个角也一定相等。进一步理解 “ 角角边 ” 其实是 “ 角边角 ” 的推论，即已知两角及其中一角的对边相等时，可转化为两角及其夹边相等（因为第三个角相等，对边就可看作夹边），从而能用 “ ASA ” 证明三角形全等，这也说明了 “ AAS ” 的合理性。 ) ( （三） .  “ 角角边 ” （AA S ）判定定理的应用 例1 .如图，点B为AC上一点，AD ∥ CE， ∠ DBC+ ∠ BEC = 180 ° ，BD = EB，求证：AD = BC． 证明： ∵ AD ∥ CE ， ∴ ∠A =∠C，∵ ∠DBC+∠ABD = 180° ，∠DBC+∠CEB = 180° ， ∴ ∠ABD =∠CEB，且∠A =∠C，BD = EB，∴ △ADB≌△CEB( AAS ).∴ AD = BC. 例2 . 如图，AB=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=∠E，求证：AE=AC． 解：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠C＝∠E，AB＝AD，∴△ABC≌△ADE（AAS），∴AE=AC． 例3. 如图,AB、CD相交于点O,AO=BO,AC ∥ DB.求证:AC=BD. 证明　 ∵ AC ∥ DB, ∴∠ A= ∠ B, ∠ C= ∠ D.在△AOC与△BOD中, ∵ ∴ △AOC ≌△ BOD(AAS), ∴ AC=BD. 例4. .如图，AB ∥ CD，AB = CD，BF ⊥ AC于点F，DE ⊥ AC于点E，求证：AE = CF． 证明： ∵ AB ∥ CD， BF ⊥ AC于点F，DE ⊥ AC于点E， ∴ ∠A =∠C，∠CED =∠AFB = 90°， 在△CDE和△AB F 中， ∴ △CDE≌△AB F ( AAS ).∴ CE = AF，∴ AE = CF. 例5. 探究：如图 ① ，在 △ ABC中， ∠ BAC=90 ° ，AB=AC，直线m经过点A，BD ⊥ m于点D，CE ⊥ m于点E，求证： △ ABD ≌△ CAE． 应用：如图 ② ，在 △ ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有 ∠ BDA= ∠ AEC= ∠ BAC，求证：DE=BD+CE． 证明： ∵ O是AB的中点， ∴ OA = OB，在△AOC和△BOD中， ∴ △AOC≌△BOD( ASA ). 变式：证明： ∵ O是AB的中点， ∴ OA = OB，在△AOC和△BOD中， ∴ △AOC≌△BOD( AAS ). ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1 .如图所示的四个三角形中,能构成全等三角形的是(　　) A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 【 答案】 .C　 【 解析] 】 ①和③两个三角形满足“AAS”,可以直接判定两个三角形全等. 2 .如图4,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列哪个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　) A.AB=DE B.AC=DF C.∠A=∠D D.BF=EC 【 答案】 C　 【 解析 】 ∵AB∥ED,AC∥FD,∴∠B=∠E,∠ACB=∠DFE,∴当AB=DE时,可利用AAS判定△ABC≌△DEF,故A项能判定,故A项不符合题意;当AC=DF时,可利用AAS判定△ABC≌△DEF,故B项能判定,故B项不符合题意;当∠A=∠D时,两个三角形没有对应边相等,故C项不能判定,故C项符合题意;当BF=EC时,可得BC=EF,利用ASA可判定△ABC≌△DEF,故D项能判定,故D项不符合题意.故选C. 3 .如图,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM; ④CD=DN;⑤△AFN≌△AEM.其中正确的结论有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【 答案】 C　 【 解析] 】 在△ABE和△ACF中,∵ ∴△ABE≌△ACF,(AAS) ∴∠BAE=∠CAF,BE=CF,故②正确,∴∠BAE-∠BAC=∠CAF-∠BAC,∴∠1=∠2,故①正确,∵△ABE≌△ACF,∴AB=AC.在△ACN和△ABM中,∵ ∴△ACN≌△ABM(ASA),故③正确,CD=DN不能证明成立,故④错误. 在△AFN和△AEM中,∵ ∴△AFN≌△AEM(ASA),故⑤正确. 4 . 下列条件中，能判定△ABC≌△DEF 是(　　) A. AB=DE，BC=EF，∠A=∠E B. ∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D C. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D. ∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF 【答案】D 【解析】A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠E，SSA不能确定全等；B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D，AB和EF不是对应边，不能确定全等；C．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AAA不能确定全等；D．∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，根据AAS，能判断△ABC≌△DEF．故选D． ) ( （二）填空题 5 .如图在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= 　　　　 .  【 答案】 3　 【 解析 】 由已知条件易证△ABE≌△ACD,从而得出AC=AB=5.故CE=AC-AE=5-2=3. 6 . 如图，已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，若以“SAS”为依据，则要添加的条件是____________；若以“AAS”为依据，则要添加的条件是____________；（用图中字母表示） 【答案】 BC=EF ∠ACB=∠F 【解析】若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为BC=EF；理由：在△ABC和△DEF， 所以△ABC≌△DEF（SAS）.若以“AAS”为依据，则要添加的条件是: ∠ACB=∠F理由：在△ABC和△DEF， 所以△ABC≌△DEF（AAS）.故答案是：BC=EF,∠ACB=∠F. 7 . 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：① BCD≌ CBE;② BAD≌ BCD;③ BDA≌ CEA;④ BOE≌ COD;⑤ ACE≌ BCE;上述结论一定正确的是 _____________. 【 答案】 ①③④ 【解析】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE．∴①△BCD≌△CBE （ASA）；③△BDA≌△CEA （ASA）； ④△BOE≌△COD （AAS或ASA）．故选D． （三）解答题 8 如图所示,AB=AE,AB∥DE,∠ECB=70°,∠D=110°.求证:△ABC≌△EAD. 证明:由∠ECB=70°得∠ACB=110°.又∵∠D=110°,∴∠ACB=∠D.∵AB∥DE, ∴∠CAB=∠E.在△ABC和△EAD中,∵ ∴△ABC≌△EAD.(AAS) ) ( 9 .如图点A,C,B,D在一条直线上,AE⊥AD,FD⊥AD,垂足分别为A,D,CF∥BE,且CF=BE.求证:AC=BD. 证明:∵AE⊥AD,FD⊥AD,∴∠A=∠D=90°.∵CF∥BE,∴∠EBA=∠FCD.在△ABE和△DCF中,∵ ∴△ABE≌△DCF.(AAS)∴AB=DC.∴AC=BD. 10 .如图在四边形ABCD中,点E在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE.求证:AD=AE+AB. 证明:∵∠BCE=∠ACD=90°,∴∠BCA+∠ACE=∠ACE+∠ECD,∴∠BCA=∠ECD.在△ACD中,∠ACD=90°,∴∠CAE+∠D=90°.∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°,∴∠BAC=∠D. 在△ABC和△DEC中,∵ ∴△ABC≌△DEC,(AAS)∴AB=DE,∴AD=AE+DE=AE+AB. ) ( 四．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1. 根据图中所给条件,能够判定哪两个三角形全等？(　　) A. ①和② B. ②和④ C. ①和③ D. ③和④ 【答案】D 【解析】②中，第三个内角 ，③中，第三个内角 ，④中，第三个内角 ．故③和④中，根据 或 可判定两个三角形全等．故选：D． 2. 在△ABC和△EMN中，已知∠A=50°，∠B=60°，∠E=70°，∠M=60°，AC=EN，则这两个三角形（　　） A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】∵∠A=50°，∠B=60°，∴∠C=70°，在△ABC和△NME中， ， ∴△ABC≌△NME(AAS)，故选A. 3. 下列条件中，能判定△ABC≌△DEF 是(　　) A. AB=DE，BC=EF，∠A=∠E B. ∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D C. ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D. ∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF 【答案】D 【解析】：A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠E，SSA不能确定全等；B．∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D，AB和EF不是对应边，不能确定全等；C．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AAA不能确定全等；D．∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，根据AAS，能判断△ABC≌△DEF．故选D． ) ( 4. 如图,已知AD是△ABC的BC边上的高,下列能使△ABD≌△ACD的条件是(　　) A. ∠BAD=∠CAD B. ∠BAC=99° C. BD=AC D. ∠B=45° 【答案】A 【解析】：∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADB和△ADC中，∵∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD（ASA）．故A正确．故选A． 5 . 如图，∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE，添加下列条件后仍不能使△ABD≌△CAE的条件是（　　） A. AD=AE B. AB=AC C. BD=AE D. AD=CE 【答案】A 【解析】：∵∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠D=∠E=∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAE=90°，∴∠B=∠CAE，A. AD和AE不是对应边，即不能判断△ABD≌△CAE，故本选项正确；B. 在△ABD和△CAE中 ，∴△ABD≌△CAE(AAS)，故本选项错误；C. 在△ABD和△CAE中 ，∴△ABD≌△CAE(AAS)，故本选项错误； D. 在△ABD和△CAE中 ，∴△ABD≌△CAE(AAS)，故本选项错误；故选A． 6 . 如图，∠B=∠C，增加哪个条件可以让△ABD≌△ACE？（　　） A. BD=AD B. AB=AC C. ∠1=∠2 D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】选择AB=AC；理由如下：在△ABD和△ACE中,∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C， ∴ABD≌△ACE(ASA)；故选B 7 . 已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是 （ ） A. AB＝AC B. BD＝CD C. ∠B＝∠C D. ∠BDA＝∠CDA 【答案】B 【解析】A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．故选：B． ) ( 8 . 如图,∠1=∠2,∠3=∠4,OE=OF,则图中全等的三角形有(　　) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】B 【解析】∵∠3=∠4，OE=OF，又∠O=∠O，∴△AOF≌△BOE．∵△AOF≌△BOE，∴OA=OB．又∵OE=OF，∴AE=BF．∵∠1=∠2，∠AME=∠BMF，AE=BF∴△AEM≌△BFM．共2对．故选B． 9. 如图，AB ∥ CD，且AB = CD，则ABE ≌△ CDE的根据是（　　） A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS 【 答案】D 【解析】因为AB ‖ CD，根据两直线平行，内错角相等，所以 ∠ A= ∠ C， ∠ B= ∠ D。已知AB = CD，在 △ ABE和 △ CDE中：依据 ASA 判断我们有 ∠ A= ∠ C，AB = CD， ∠ B= ∠ D，两角及其夹边分别相等，满足 ASA 判定定理。依据 AAS 判定我们可以把 ∠ A= ∠ C， ∠ AEB= ∠ CED（对顶角相等），AB = CD，这里是两角及其中一角（ ∠ A）的对边（AB）对应相等，满足 AAS 判定定理。 10. 如图，点E在 △ ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若 ∠ EDC = ∠ EAC = ∠ BAD，AC =AE，则（　　） A ． △ ABD ≌△ AFD B ． △ ABC ≌△ ADE C ． △ AFE ≌△ ADC D ． △ AFE ≌△ DFC 【 答案】B 【解析】证明 ∠ C = ∠ E，在 △ AFE和 △ DFC中，已知 ∠ EDC = ∠ EAC，且 ∠ AFE与 ∠ CFD是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得 ∠ AFE = ∠ CFD。在三角形中，三角形内角和为180 o ，对于 △ AFE， ∠ E = 1800 o - ∠ EAC - ∠ AFE；对于 △ DFC， ∠ C = 180 o - ∠ EDC - ∠ CFD。因为 ∠ EDC = ∠ EAC， ∠ AFE = ∠ CFD，所以 ∠ C = ∠ E。证明 ∠ DAE = ∠ BAC，已知 ∠ EAC = ∠ BAD， ∠ DAE = ∠ EAC + ∠ CAD， ∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAD，等式两边同时加上相同的角 ∠ CAD，等式仍然成立，所以 ∠ DAE = ∠ BAC。判断三角形全等在 △ ABC和 △ ADE中，已经得到 ∠ C = ∠ E， ∠ BAC = ∠ DAE，又已知AC = AE。根据全等三角形的判定定理 “ 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA） ” ，所以可以得出 △ ABC ≌ △ ADE。 二．填空题（30分） 11 .如图：要测量河岸相对两点A、B间的距离，先从B点出发与AB成 90 ° 角方向，向前走 25 米到C点处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走 25 米到点D处，在点D处转 90 ° 沿DE方向走 17 米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B之间的距离为 　 　 米． 【 答案】17 【解析】由题意得:BC=CD=25米，DE=17米， ZB= ∠ D=90 ° ,在 △ ABC和 △ EDC中 ∴△ ABC= △ EDC(ASA)，DE=AB=17米，故答案为:17. ) ( 12 .如图，AB ⊥ CD，且AB = CD，CE ⊥ AD，BF ⊥ AD，分别交AD于E、F两点，若BF = a，EF = b，CE = c，则AD的长为 _________. 【 答案】 a-b+c 【 解析】 ∵ AB ⊥ CD，CE ⊥ AD，BF ⊥ AD，:. ∠ AFB= ∠ CED=90 ° ， ∠ A+ ∠ D =90 ° , ∠ C + ∠ D = 90 ° ,:. ∠ A= ∠ C, ∵ AB=CD， ∠ A= ∠ C, ∠ CED= ∠ AFB=90 ° :. △ ABF= △ CDE(AAS) AF=CE=c,BF =DE=a, ∵ EF=b,AD= AF+DF =c+(a-b)=a-b+c, 13 .如图，若AB ⊥ BC于点B，AE ⊥ DE于点E，AB = AE， ∠ ACB = ∠ ADE， ∠ ACD = ∠ ADC = 70 ° ， ∠ BAD = 60 ° ，则 ∠ BAE的度数是 　 　 ． 【答案】80 ° 【解析】因为AB ⊥ BC,AE ⊥ DE,所以 ∠ B= ∠ E=90 ° .在 △ ABC和 △ AED 中， 所以 △ ABC ≌△ AED(AAS)，所以 ∠ BAC= ∠ EAD.因为LACD= ∠ ADC=70 ° ,所以 ∠ CAD=180 ° -70 ° -70 ° =40 ° .因为 ∠ BAD=60 ° ,所以 ∠ BAC= ∠ BAD-LCAD=60 ° -40 ° =20 ° ,所以 ∠ BAE= ∠ DAE+ ∠ BAD= ∠ BAC+ ∠ BAD=20 ° +60 ° =80 ° . 14 . 如图， ， ， 于点 ， 于点 ， ， ，则 的长是 _________. 【答案】 【解析】：∵AE⊥CE，BD⊥CE，∠ACB＝90°，∴∠AEC＝∠D＝∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠ACE＝90°，∠ACE＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵AC＝BC， ∴△ACE≌△CBD（AAS），∴AE＝CD，CE＝BD，∵AE＝5cm，BD＝2cm，∴DE＝CD−CE＝5−2＝3cm． 15. 如图， ∠ ACB = 90 ° ，AC = BC，BE ⊥ CE，AD ⊥ CE于D点，AD = 2.5 cm，DE = 1.7 cm，则BE的长为 _________ cm 【答案】 0.8 【解析】 ∵ ∠ ACB=90°,∴ ∠ BCE+ ∠ ECA=90°.∵AD ⊥ CE 于点 D,∴ ∠ CAD+ ∠ ECA=90°,∴ ∠ CAD= ∠ BCE. 又 ∵ ∠ ADC= ∠ CEB=90°,AC=BC,∴ △ ACD ≌△ CBE,∴BE=CD,CE=AD= 2. 5 cm,∴BE=CD=CE-DE= 2. 5- 1.7 = 0.8 (cm). 1 6 . 如图， 中， ，分别过点B、C作过点A的直线的垂线 ，垂足分别为D、E，若 ，则 ________． 【答案】5 【解析】 ， ， ， ， ， ， ， ， ) ( 在 和 中， ， ， ， ．故答案为：5． 17. 如图，过正方形 A BCD的顶点B作直线L，过A，C，D作L的垂线 . 垂足分别为点E，F，G . 若AE=2，CF=6，则CF+AE+DG的值为___. 【答案】12 【解析】 如图，过点D A作DHLCF，垂足为H , 四边形ABCD是正方 形， ∴ CBF+ ∠ FBA= 90 ° , ∠ CBF+ ∠ BCF= 90 °∴ ∠ ABE= B ∠ CF.在 △ ABE与 △ BCF中， ∴ △ ABE= △ BCF(AAS),AE = BF,四边形ABCD是正方形，:. ∠ BCF+ ∠ DCH=90 ° ， ∠ HDC+ ∠ DCH=90 ° ,:. ∠ BCF= ∠ HDC，在 △ BCF与 △ CDH中 △ BCF= △ CDH(AAS):.CH=BF=2.FH=CF-CH=6-2=4. ∵ CF ⊥ L，DG ⊥ L，DH ⊥ CF ∠ BFC= ∠ DHC = ∠ DGB= 90 ° ，四边形FHDG是矩形，:.DG =FH =4,即CF +AE+DG =6+2+4=12.故填12. 18 ． 如图 ， 已知AE⊥AB且AE＝AB ，BC ⊥ CD 且BC＝CD ， 按照图中所标注的数据 ， 则图中阴影部分的面积S是 ________. 【答案】50 【 解析 】　∵EF⊥AC ，BG ⊥ AC， ∴∠ EFA ＝∠AGB＝90 ° ， ∠ FEA ＋ ∠EAF＝90 ° . ∵ EA ⊥ AB， ∴∠ EAB ＝90 ° ， ∴∠ EAF ＋∠GAB＝90 ° ， ∴∠ FEA ＝∠GAB.又∵AE＝BA ， ∴△ EFA ≌△ AGB (AAS) ， ∴ AF ＝BG ，EF ＝AG.同理 ， △ BGC ≌△ CHD， ∴ GC ＝ HD ，BG ＝CH ， ∴ FH ＝FA＋AG＋GC＋CH＝3＋6＋4＋3＝16 ， ∴ S 阴 影 ＝ × (6＋4)×16－ × 3 × 4 × 2 － × 6×3×2＝50. 19 . 如图 3 所示 , 在 △ ABC 中 ,AD ⊥ BC 于点 D,BE ⊥ AC 于点 E,AD 与 BE 相交于点 F. 若 BF=AC, 则 ∠ ABC 的度数是 ________. 【 答案 】 45° 【 解析 】 ∵AD ⊥ BC,BE ⊥ AC,∴ ∠ AEF= ∠ BDF=90°,∴ ∠ FBD+ ∠ BFD=90°, ∠ FAE+ ∠ AFE=90°. 又 ∵ ∠ AFE= ∠ BFD,∴ ∠ FBD= ∠ FAE. 又 ∵ ∠ FDB= ∠ CDA,BF=AC,∴ △ BFD ≌△ ACD,∴BD=AD, 则 △ ADB 是等腰直角三角形 ,∴ ∠ ABC=45°. 20、 如图，在△ABC中， ，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等． 20、 如图，在△ABC中， ，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也 ) ( 停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．则点P运动时间为____秒时，△PMC与△QNC全等． 【答案】2或6 【 解析】 设运动时间为t秒时，△PMC≌△CNQ，∴斜边 ，分两种情况： ①如图1，点P在AC上，点Q在BC上，∵ ， ，∴ ， ，∵ ，∴ ，∴ ； 图1 图 2 ②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合，∵ ， ，∴ ，∴ ；综上所述，点P运动时间为2或6秒时，△PMC与△QNC全等， 故答案为：2或6． 三．解答题（60分） 21 ． 如图 ， 在△ABC中 ， ∠ B ＝∠C ，D，E 分别在 BC ，AC 边上 ， 且∠1＝∠B ，AD ＝DE ， 求证：△ADB≌△DEC. 解 ： ∵∠B＋∠BAD＝∠1＋∠CDE ， ∠ B ＝∠1 ， ∴∠ BAD ＝∠CDE.在△ADB和△DEC中 ， ∵ ∴△ ADB ≌△ DEC (AAS)． 22. 如图在△ABC中 ， ∠ ACB ＝90 ° ，AC ＝BC ，BE ⊥ CE 于点E ，AD ⊥ CE 于点D. 求证：△BEC≌△ CDA. 证明：因为BE⊥ CE于E ，AD ⊥ CE 于D.所以∠BEC＝∠CDA＝90 ° . 在 Rt △ BEC 中 ， ∠ BCE ＋∠CBE＝90 ° ， 在 Rt △ BCA 中 ， ∠ BCE ＋∠ACD＝90 ° ， 所以∠CBE＝∠A CD. 在△BEC和△CDA中 ， 因为 所以△BEC≌△CDA. 23. 如图 AB ∥ CD，BE，CE 分别是∠ABC ， ∠ BCD 的平分线 ， 点E在AD上． 求证：BC＝AB＋CD. ) ( 证明：在BC上截取BF＝AB ， 连接EF.在△A BE和△FBE中 ， 所以 △ ABE≌△FBE( SAS ) ， 所以∠EFB＝∠A.因为AB∥CD ， 所以∠D＋∠A＝180 ° . 又∠EFC＋∠BFE＝180 ° . 所以∠D＝∠EFC.因为∠ECF＝∠DCE ，EC ＝EC ， 所以△EFC≌△EDC( AAS ) ， 所以FC＝DC ， 即BC＝BF＋CF＝AB＋CD. 24 .如图四边形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别在AD,BC上,AE=CF,过点A,C分别作EF的垂线,垂足为G,H. (1)求证:△AGE≌△CHF; (2)连接AC,线段GH与AC是否互相平分?请说明理由. 解:(1)证明:∵AG⊥EF,CH⊥EF,∴∠G=∠H=90°.∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE. ∵∠AEG=∠DEF,∠CFH=∠BFE,∴∠AEG=∠CFH.在△AGE和△CHF中, ∵ ∴△AGE≌△CHF.(AAS) (2)线段GH与AC互相平分.理由如下:设AC与GH的交点为O.由(1)得△AGE≌△CHF, ∴AG=CH.在△AGO和△CHO中,∵ ∴△AGO≌△CHO,(AAS)∴AO=CO,GO=HO, ∴线段GH与AC互相平分. 25 ． 如图 ， 在△ABC和△DBC中 ， ∠ ACB ＝∠DBC＝90 ° ，E 是BC的中点 ，DE ⊥ AB， 垂足为F ， 且AB＝ED. (1)求证：BD＝CB.(2)若BD＝8 cm， 求AC的长 解 ： (1)∵∠DBC＝90 ° ， ∴∠ ABC ＋∠DBF＝90 ° . ∵ DE ⊥ AB， ∴∠ E DB＋∠DBF＝90 ° ， ∴∠ ABC ＝∠EDB. 在△EBD 和△ACB中 ， ∵ ∴△ EBD ≌△ ACB (AAS) ， ∴ BD ＝CB. (2)由(1)可知△EBD≌△ACB ， ∴ EB ＝AC.又∵E是BC的中点 ， ∴ EB ＝ BC， ∴ EB ＝ BD ＝ × 8 ＝4( cm ) ， ∴ AC ＝4 cm. 26 .理解证明:如图①,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证:△ABD≌△CAF; 类比探究:如图②,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF; 拓展应用:如图③,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为 　　　　 .  ) ( 解:理解证明:证明:∵CF⊥AE,BD⊥AE,∴∠ADB=∠CFA=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°. 又∠MAN=∠CAF+∠BAD=90°,∴∠ABD=∠CAF.在△ABD和△CAF中,∵ ∴△ABD≌△CAF. 类比探究:证明:∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠CFA.∵∠1=∠ABE+∠EAB,∠1=∠BAC=∠EAB+ ∠CAF,∴∠ABE=∠CAF.在△ABE和△CAF中,∵ ∴△ABE≌△CAF. 拓展应用:∵△ABC的面积为15,CD=2BD,∴△ABD的面积为15× =5. 由类比探究,得△ABE≌△CAF,∴△ACF与△BDE的面积之和=△ABD的面积=5. 2 7 .如图1所示，在 △ ABC中， ∠ BAC = 90 ° ，AB = AC，AE是过点A的一条直线，且B、C点在AE的异侧，BD ⊥ AE于D点，CE ⊥ AE于E点． （1）求证：BD = DE+CE； （2）若直线AE绕点A旋转到如图2所示的位置(BD＜CE)时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请予以证明； （3）若直线AE绕点A旋转到如图3所示的位置(BD＜CE)时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明. （4）归纳上述（1）（2）（3）问，请用简洁的语言表述BD与DE、CE的关系. 证明：（1） ∵ BD ⊥ AE于D，CE ⊥ AE于E， ∠ BAC = 90 ° ， ∴ ∠ ADB = ∠ AEC = 90 ° ， ∠ ABD+ ∠ BAD = 90 ° ， ∠ BAD+ ∠ CAE = 90 ° ， ∴ ∠ ABD = ∠ CAE， 在 △ ABD和 △ CAE中， ∴ △ ABD ≌△ CAE( AAS ). ∴ BD = AE，AD = CE； ∵ AE = AD+DE， ∴ BD = CE+DE； （2）BD = DE-CE.理由如下： ∵ BD ⊥ AE，CE ⊥ AE， ∠ BAC = 90 ° ， ∴ ∠ ADB = ∠ AEC = 90 ° ， ∠ ABD+ ∠ BAD = 90 ° ， ∠ BAD+ ∠ CAE = 90 ° ， ∴ ∠ ABD = ∠ CAE，在 △ ABD和 △ CAE中， ∴ △ ABD ≌△ CAE( AAS ). ∴ BD = AE，AD = CE， ∴ BD = AE = DE-AD = DE-CE；（3）BD = DE-CE；（4）归纳（1）（2）（3）可知，结论表述为当B、C在AE的同侧时，BD = DE-CE；当B、C在AE的异侧时，BD = DE+CE. ) 学科网（北京）股份有限公司 $$